Формула гиперболы на графике функции. Квадратичная функция и ее график
В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция
, научимся строить ее график
и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.
Функция вида , где title="a0"> называется квадратичной функцией.
В уравнении квадратичной функции:
a - старший коэффициент
b - второй коэффициент
с - свободный член.
Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола , которая для функции имеет вид:
Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками - это, так называемые "базовые точки". Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:
Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции имеет вид:
Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:
Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.
Итак, мы заметили:
Если старший коэффициент a>0 , то ветви параболы напрaвлены вверх .
Если старший коэффициент a<0 , то ветви параболы напрaвлены вниз .
Второй параметр для построения графика функции - значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции . На графике нули функции - это точки пересечения графика функции с осью ОХ.
Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .
В случае квадратичной функции нужно .
Теперь внимание!
В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.
И здесь возможны три случая:
1 . Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если title="a>0">,то график функции выглядит как-то так:
2 . Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если title="a>0">
3 . Если title="D>0">,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:
Если title="a>0">,то график функции выглядит примерно так:
Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.
Следующий важный параметр графика квадратичной функции - координаты вершины параболы:
Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.
И еще один параметр, полезный при построении графика функции - точка пересечения параболы с осью OY.
Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .
То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).
Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.
1 . Функция задана формулой .
Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции
1 . Направление ветвей параболы.
Так как title="a=2>0">,ветви параболы направлены вверх.
2 . Найдем дискриминант квадратного трехчлена
Title="D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0">
Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.
Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:
,
3 . Координаты вершины параболы:
4 . Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.
Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:
Этот способ можно несколько упростить.
1. Найдем координаты вершины параболы.
2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.
Воспользуемся результатами построения графика функции
Кррдинаты вершины параболы
Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3
Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2
Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:
Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:
2 . Уравнение квадратичной функции имеет вид - в этом уравнении - координаты вершины параболы
или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент - четное число.
Построим для примера график функции .
Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент - четное число.
Выделим в уравнении функции полный квадрат:
Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):
3 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)
Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)
1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции - точки пересечения графика функции с осью ОХ:
(х-2)(х+1)=0, отсюда
2. Координаты вершины параболы:
3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.
Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:
График квадратичной функции.
Перед вами график квадратичной функции вида .
Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
- ширины графика функции
от значения коэффициента
,
- сдвига графика функции
вдоль оси
от значения
,
Сдвига графика функции
вдоль оси
от значения
- направления ветвей параболы от знака коэффициента
- координат вершины параболы
Построить функцию
Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.
Преимущества построения графиков онлайн
- Визуальное отображение вводимых функций
- Построение очень сложных графиков
- Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
- Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
- Управление масштабом, цветом линий
- Возможность построения графиков по точкам, использование констант
- Построение одновременно нескольких графиков функций
- Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))
С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.
Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.
Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.
Выделяют следующие виды основных элементарных функций:
Определение 1
- постоянная функция (константа);
- корень n -ой степени;
- степенная функция;
- показательная функция;
- логарифмическая функция;
- тригонометрические функции;
- братные тригонометрические функции.
Постоянная функция определяется формулой: y = C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C .
График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0 , С) . Для наглядности приведем графики постоянных функций y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).
Определение 2
Данная элементарная функция определяется формулой y = x n (n – натуральное число больше единицы).
Рассмотрим две вариации функции.
- Корень n -й степени, n – четное число
Для наглядности укажем чертеж, на котором изображены графики таких функций: y = x , y = x 4 и y = x 8 . Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.
Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.
Определение 3
Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число
- область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [ 0 , + ∞) ;
- когда x = 0 , функция y = x n имеет значение, равное нулю;
- данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
- область значений: [ 0 , + ∞) ;
- данная функция y = x n при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
- функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
- отсутствуют точки перегиба;
- асимптоты отсутствуют;
- график функции при четных n проходит через точки (0 ; 0) и (1 ; 1) .
- Корень n -й степени, n – нечетное число
Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y = x 3 , y = x 5 и x 9 . На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.
Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.
Определение 4
Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число
- область определения – множество всех действительных чисел;
- данная функция – нечетная;
- область значений – множество всех действительных чисел;
- функция y = x n при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
- функция имеет вогнутость на промежутке (- ∞ ; 0 ] и выпуклость на промежутке [ 0 , + ∞) ;
- точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) ;
- асимптоты отсутствуют;
- график функции при нечетных n проходит через точки (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) и (1 ; 1) .
Степенная функция
Определение 5Степенная функция определяется формулой y = x a .
Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.
- когда степенная функция имеет целый показатель a , то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
- показатель степени может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0 < a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
- степенная функция может иметь нулевой показатель, этот случай также ниже разберем подробнее.
Разберем степенную функцию y = x a , когда a – нечетное положительное число, например, a = 1 , 3 , 5 …
Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x (черный цвет графика), y = x 3 (синий цвет графика), y = x 5 (красный цвет графика), y = x 7 (зеленый цвет графика). Когда a = 1 , получаем линейную функцию y = x .
Определение 6
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный
- функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (исключая линейную функцию);
- точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) (исключая линейную функцию);
- асимптоты отсутствуют;
- точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .
Разберем степенную функцию y = x a , когда a – четное положительное число, например, a = 2 , 4 , 6 …
Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x 2 (черный цвет графика), y = x 4 (синий цвет графика), y = x 8 (красный цвет графика). Когда a = 2 , получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола.
Определение 7
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:
- область определения: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- убывающей при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- очки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
- точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .
На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – нечетное отрицательное число: y = x - 9 (черный цвет графика); y = x - 5 (синий цвет графика); y = x - 3 (красный цвет графика); y = x - 1 (зеленый цвет графика). Когда a = - 1 , получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола.
Определение 8
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:
Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1 , - 3 , - 5 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значений: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
- функция является нечетной, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является убывающей при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0) и вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
- точки перегиба отсутствуют;
k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда а = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .
- точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .
На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – четное отрицательное число: y = x - 8 (черный цвет графика); y = x - 4 (синий цвет графика); y = x - 2 (красный цвет графика).
Определение 9
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:
- область определения: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2 , - 4 , - 6 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;
- функция является четной, поскольку y (- x) = y (x) ;
- функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; 0) и убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 , поскольку:
k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .
- точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .
С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда a – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал - ∞ ; + ∞ , оговаривая при этом, что показатель a – несократимая дробь. На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество [ 0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий.
Итак, разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – рациональное или иррациональное число при условии, что 0 < a < 1 .
Проиллюстрируем графиками степенные функции y = x a , когда a = 11 12 (черный цвет графика); a = 5 7 (красный цвет графика); a = 1 3 (синий цвет графика); a = 2 5 (зеленый цвет графика).
Иные значения показателя степени a (при условии 0 < a < 1) дадут аналогичный вид графика.
Определение 10
Свойства степенной функции при 0 < a < 1:
- область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
Разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что a > 1 .
Проиллюстрируем графиками степенную функцию y = x a в заданных условиях на примере таких функций: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно).
Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.
Определение 11
Свойства степенной функции при a > 1:
- область определения: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) (когда 1 < a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
- точки прохождения функции: (0 ; 0) , (1 ; 1) .
Обращаем ваше внимание!Когда a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) с оговоркой, что показатель степени a – несократимая дробь. На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество (0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий.
Продолжаем тему и разбираем степенную функцию y = x a при условии: - 1 < a < 0 .
Приведем чертеж графиков следующий функций: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно).
Определение 12
Свойства степенной функции при - 1 < a < 0:
lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда - 1 < a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значений: y ∈ 0 ; + ∞ ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- точки перегиба отсутствуют;
На чертеже ниже приведены графики степенных функций y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно).
Определение 13
Свойства степенной функции при a < - 1:
- область определения: x ∈ 0 ; + ∞ ;
lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда a < - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- функция является убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 ;
- точка прохождения функции: (1 ; 1) .
Когда a = 0 и х ≠ 0 , получим функцию y = x 0 = 1 , определяющую прямую, из которой исключена точка (0 ; 1) (условились, что выражению 0 0 не будет придаваться никакого значения).
Показательная функция имеет вид y = a x , где а > 0 и а ≠ 1 , и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания a . Рассмотрим частные случаи.
Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы (0 < a < 1) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).
Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии 0 < a < 1 .
Определение 14
Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:
- область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к + ∞ ;
Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица (а > 1) .
Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).
Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.
Определение 15
Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:
- область определения – все множество действительных чисел;
- область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к - ∞ ;
- точка прохождения функции: (0 ; 1) .
Логарифмическая функция имеет вид y = log a (x) , где a > 0 , a ≠ 1 .
Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при x ∈ 0 ; + ∞ .
График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.
Рассмотрим сначала ситуацию, когда 0 < a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).
Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.
Определение 16
Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:
- область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к + ∞ ;
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- логарифмическая
- функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже –графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).
Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.
Определение 17
Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:
- область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к - ∞ ;
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ (все множество действительных чисел);
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- логарифмическая функция является возрастающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
- точка прохождения функции: (1 ; 0) .
Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.
В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f (x + T) = f (x) (T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.
- Функция синус: y = sin (х)
График данной функции называется синусоида.
Определение 18
Свойства функции синус:
- область определения: все множество действительных чисел x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- функция обращается в нуль, когда x = π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- функция является возрастающей при x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
- функция синус имеет локальные максимумы в точках π 2 + 2 π · k ; 1 и локальные минимумы в точках - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
- функция синус вогнутая, когда x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
- асимптоты отсутствуют.
- Функция косинус: y = cos (х)
График данной функции называется косинусоида.
Определение 19
Свойства функции косинус:
- область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- наименьший положительный период: Т = 2 π ;
- область значений: y ∈ - 1 ; 1 ;
- данная функция – четная, поскольку y (- x) = y (x) ;
- функция является возрастающей при x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
- функция косинус имеет локальные максимумы в точках 2 π · k ; 1 , k ∈ Z и локальные минимумы в точках π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
- функция косинус вогнутая, когда x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
- точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
- асимптоты отсутствуют.
- Функция тангенс: y = t g (х)
График данной функции называется тангенсоида.
Определение 20
Свойства функции тангенс:
- область определения: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- Поведение функции тангенс на границе области определения lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким образом, прямые x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;
- функция обращается в нуль, когда x = π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является возрастающей при - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z ;
- функция тангенс является вогнутой при x ∈ [ π · k ; π 2 + π · k) , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
- точки перегиба имеют координаты π · k ; 0 , k ∈ Z ;
- Функция котангенс: y = c t g (х)
График данной функции называется котангенсоида.
Определение 21
Свойства функции котангенс:
- область определения: x ∈ (π · k ; π + π · k) , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
Поведение функции котангенс на границе области определения lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким образом, прямые x = π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;
- наименьший положительный период: Т = π ;
- функция обращается в нуль, когда x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является убывающей при x ∈ π · k ; π + π · k , k ∈ Z ;
- функция котангенс является вогнутой при x ∈ (π · k ; π 2 + π · k ] , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k) , k ∈ Z ;
- точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
- наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.
Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.
- Функция арксинус: y = a r c sin (х)
Определение 22
Свойства функции арксинус:
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция арксинус имеет вогнутость при x ∈ 0 ; 1 и выпуклость при x ∈ - 1 ; 0 ;
- точки перегиба имеют координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
- асимптоты отсутствуют.
- Функция арккосинус: y = a r c cos (х)
Определение 23
Свойства функции арккосинус:
- область определения: x ∈ - 1 ; 1 ;
- область значений: y ∈ 0 ; π ;
- данная функция - общего вида (ни четная, ни нечетная);
- функция является убывающей на всей области определения;
- функция арккосинус имеет вогнутость при x ∈ - 1 ; 0 и выпуклость при x ∈ 0 ; 1 ;
- точки перегиба имеют координаты 0 ; π 2 ;
- асимптоты отсутствуют.
- Функция арктангенс: y = a r c t g (х)
Определение 24
Свойства функции арктангенс:
- область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- область значений: y ∈ - π 2 ; π 2 ;
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является возрастающей на всей области определения;
- функция арктангенс имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
- горизонтальные асимптоты – прямые y = - π 2 при x → - ∞ и y = π 2 при x → + ∞ (на рисунке асимптоты – это линии зеленого цвета).
- Функция арккотангенс: y = a r c c t g (х)
Определение 25
Свойства функции арккотангенс:
- область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- область значений: y ∈ (0 ; π) ;
- данная функция – общего вида;
- функция является убывающей на всей области определения;
- функция арккотангенс имеет вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) и выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
- точка перегиба имеет координаты 0 ; π 2 ;
- горизонтальные асимптоты – прямые y = π при x → - ∞ (на чертеже – линия зеленого цвета) и y = 0 при x → + ∞ .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.
Основные элементарные функции. Их свойства и графики
1. Линейная функция.
Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.
Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.
Свойства линейной функции
1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R
2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R
3. Функция принимает нулевое значение при или.
4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.
5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .
2. Квадратичная функция.
Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.
Коэффициенты а, b, с определяют расположение графика на координатной плоскости
Коэффициент а определяет направление ветвей. График квадратичной функции - парабола. Координаты вершины параболы находятся по формулам:
Свойства функции:
2. Множество значений одного из промежутков: или.
3. Функция принимает нулевые значения при , где дискриминант вычисляется по формуле:.
4. Функция непрерывна на всей области определения и производная функции равна .
Для начала попробуй найти область определения функции:
Справился? Сравним ответы:
Все верно? Молодец!
Теперь попробуем найти область значений функции:
Нашел? Сравниваем:
Сошлось? Молодец!
Еще раз поработаем с графиками, только теперь чуть-чуть посложнее - найти и область определения функции, и область значений функции.
Как найти и область определения и область значений функции (продвинутый вариант)
Вот что получилось:
С графиками, я думаю, ты разобрался. Теперь попробуем в соответствии с формулами найти область определения функции (если ты не знаешь как это сделать, прочитай раздел про ):
Справился? Сверим ответы :
- , так как подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.
- , так как на ноль делить нельзя и подкоренное выражение не может быть отрицательным.
- , так как, соответственно при всех.
- , так как на ноль делить нельзя.
Однако, у нас остался еще один не разобранный момент…
Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент:
Заметил? Слово «единственный» - это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.
Допустим, у нас есть функция, заданная прямой. . При, мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что. Одному значению соответствует одно значение. Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.
«Смотри! - скажешь ты, -« » встречается два раза!» Так быть может парабола не является функцией? Нет, является!
То, что « » встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности!
Дело в том, что, при расчёте для, мы получили один игрек. И при расчёте с мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией. Посмотри на график:
Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!
Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет:
Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» - нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.
Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы:
Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу множества ставится в соответствие несколько элементов множества. Соответственно, это не функция.
Проверим твои знания на практике.
Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:
Разобрался? А вот и ответы :
- Функцией является - В,Е.
- Функцией не является - А, Б, Г, Д.
Ты спросишь почему? Да вот почему:
На всех рисунках кроме В) и Е) на один приходится несколько!
Уверена, теперь, ты с легкостью отличишь функцию от не функции, скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции. Приступаем к следующему разделу - как задать функцию?
Способы задания функции
Как ты думаешь, что означают слова «задать функцию» ? Правильно, это значит объяснить всем желающим, о какой функции в данном случае идет речь. Причем объяснить так, чтобы каждый понял тебя правильно и нарисованные людьми по твоему объяснению графики функций были одинаковы.
Как это можно сделать? Как задать функцию? Самый простой способ, который уже не раз применялся в этой статье - с помощью формулы. Мы пишем формулу, и, подставляя в нее значение, высчитываем значение. А как ты помнишь, формула - это закон, правило, по которому нам и другому человеку становится ясно, как икс превращается в игрек.
Обычно, именно так и делают - в заданиях мы видим уже готовые функции, заданные формулами, однако, существуют и другие способы задать функцию, про которые все забывают, в связи с чем вопрос «как еще можно задать функцию?» ставит в тупик. Разберемся во всем по порядку, а начнем с аналитического способа.
Аналитический способ задания функции
Аналитический способ это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ. Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все - ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе.
Рассмотрим функцию. Чему равно?
«Что это значит?» - спросишь ты. Сейчас объясню.
Напомню, что в записи выражение в скобках называется аргументом. И этот аргумент может быть любым выражением, не обязательно просто. Соответственно, каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении.
В нашем примере получится так:
Рассмотрим еще задание, связанное с аналитическим способом задания функции, которое будет у тебя на экзамене.
Найдите значение выражения, при.
Уверена, что сначала, ты испугался, увидев такое выражение, но в нем нет абсолютно ничего страшного!
Все как и в прошлом примере: каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении. Например, для функции.
Что же нужно сделать в нашем примере? Вместо надо написать, а вместо - :
сократить получившееся выражение:
Вот и все!
Самостоятельная работа
Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений:
- , если
- , если
Справился? Сравним наши ответы: Мы привыкли, что функция имеет вид
Даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например.
Попробуй построить эту функцию самостоятельно.
Справился?
Вот как строила ее я.
Какое уравнение мы в итоге вывели?
Правильно! Линейное, а это значит, что графиком будет прямая линия. Сделаем табличку, чтобы определить, какие точки принадлежат нашей прямой:
Вот как раз то, о чем мы говорили… Одному соответствует несколько.
Попробуем нарисовать то, что получилось:
Является ли то, что у нас получилось функцией?
Правильно, нет! Почему? Попробуй ответить на этот вопрос с помощью рисунка. Что у тебя вышло?
«Потому что одному значению соответствует несколько значений!»
Какой вывод мы можем из этого сделать?
Правильно, функция не всегда может быть выражена явно, и не всегда то, что «замаскировано» под функцию является функцией!
Табличный способ задания функции
Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. Да, да. Наподобие той, которой мы с тобой уже составляли. Например:
Здесь ты сразу подметил закономерность - игрек в три раза больше чем икс. А теперь задание на «очень хорошо подумать»: как ты считаешь, равносильная ли функция, заданная в виде таблицы, функции?
Не будем долго рассуждать, а будем рисовать!
Итак. Рисуем функцию, заданную обоями способами:
Видишь разницу? Дело совсем не в отмеченных точках! Присмотрись внимательнее:
Теперь увидел? Когда мы задаем функцию табличным способом, мы на графике отражаем только те точки, которые есть у нас в таблице и линия (как в нашем случае) проходит только через них. Когда мы задаем функцию аналитическим способом, мы можем взять любые точки, и наша функция ими не ограничивается. Вот такая вот особенность. Запоминай!
Графический способ построения функции
Графический способ построения функции не менее удобен. Мы рисуем нашу функцию, а другой заинтересованный человек может найти чему равен игрек при определенном икс и так далее. Графический и аналитический способы одни из самых распространенных.
Однако, здесь нужно помнить о чем мы с тобой говорили в самом начале - не каждая «загогулина» нарисованная в системе координат является функцией! Вспомнил? На всякий случай скопирую тебе сюда определение, что функцией является:
Как правило, люди обычно называют именно те три способа задания функции, которые мы разобрали - аналитический (с помощью формулы), табличный и графический, напрочь забывая о том, что функцию можно словесно описать. Как это? Да очень просто!
Словесное описание функции
Как же описать функцию словесно? Возьмем наш недавний пример - . Данную функцию можно описать «каждому действительному значению икс соответствует его утроенное значение». Вот и все. Ничего сложного. Ты, конечно, возразишь - «есть настолько сложные функции, которые словесно задать просто невозможно!» Да, есть и такие, но есть функции, которые описать словесно легче, чем задать формулой. Например: «каждому натуральному значению икс соответствует разница между цифрами, из которых он состоит, при этом за уменьшаемое берется наибольшее цифра, содержащиеся в записи числа». Теперь рассмотрим, как наше словесное описание функции реализуется на практике:
Наибольшая цифра в данном числе - , соответственно, - уменьшаемое, тогда:
Основные виды функций
Теперь перейдем к самому интересному - рассмотрим основные виды функций, с которыми ты работал/работаешь и будешь работать в курсе школьной и институтской математики, то есть познакомимся с ними, так сказать и дадим им краткую характеристику. Более подробно про каждую функцию читай в соответствующем разделе.
Линейная функция
Функция вида, где, - действительные числа.
Графиком данной функции служит прямая, поэтому построение линейной функции сводится к нахождению координат двух точек.
Положение прямой на координатной плоскости зависит от углового коэффициента.
Область определения функции (aka область допустимых значений аргумента) - .
Область значений - .
Квадратичная функция
Функция вида, где
Графиком функции является парабола, при ветви параболы направлены вниз, при — вверх.
Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле
Положение параболы на координатной плоскости относительно значения и коэффициента показаны на рисунке:
Область определения
Область значений зависит от экстремума данной функции (точки вершины параболы) и коэффициента (направления ветвей параболы)
Обратная пропорциональность
Функция, задаваемая формулой, где
Число называется коэффициентом обратной пропорциональности. В зависимости от того, какое значение, ветви гиперболы находятся в разных квадратах:
Область определения - .
Область значений - .
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Функцией называется правило, по которому каждому элементу множества ставится в соответствие единственный элемент множества.
- - это формула, обозначающая функцию, то есть зависимость одной переменной от другой;
- - переменная величина, или, аргумент;
- - зависимая величина - изменяется при изменении аргумента, то есть согласно какой-либо определенной формуле, отражающей зависимость одной величины от другой.
2. Допустимые значения аргумента , или область определения функции - это то, что связано с возможными, при которых функция имеет смысл.
3. Область значений функции - это то, какие значения принимает, при допустимых значениях.
4. Существует 4 способа задания функции:
- аналитический (с помощью формул);
- табличный;
- графический
- словесное описание.
5. Основные виды функций:
- : , где, - действительные числа;
- : , где;
- : , где.