چند جمله ای مشخصه و حداقل. اعداد چند جمله ای و مشخصه یک ماتریس
یک ماتریس مربع را در نظر بگیرید
همانطور که نشان داده شد (6.1.)، همه ماتریس ها شبیه به ماتریس هستند ولی، یعنی همه ماتریس های فرم A*= T -1 AT، جایی که تی- هر ماتریس غیر مفرد (مربع)، تعیین کننده یکسانی دارد | آ|=| آ*|.
چنین ماتریس هایی یک مشخصه مشترک دیگر برای همه آنها دارند.
همراه با ماتریس ولیماتریس را در نظر بگیرید
,
که از تشکیل شده است ولیجایگزینی عناصر مورب آ ijعناصر 
، جایی که 
یک عدد دلخواه است تعیین کننده این ماتریس
چند جمله ای درجه است nبه طور نسبی 
(ضریب در 
برابر با (-1)n). چند جمله ای 
چند جمله ای مشخصه ماتریس نامیده می شود ولی.
اجازه دهید نشان دهیم که همه ماتریس های مشابه چند جمله ای مشخصه یکسانی دارند، یعنی: منظورت کجاست A*=T -1 AT.
برای این کار از هویت استفاده می کنیم E*= T -1
ET. سپس، در ماتریس جایگزین کنید 
ماتریس ها ولی*و Eبه ترتیب در تی -1
ATو تی -1
ET، ما گرفتیم:
بنابراین، همه ماتریس های مشابه چند جمله ای مشخصه یکسانی دارند 
.
معادله جبری nدرجه ام 
معادله مشخصه ماتریس نامیده می شود ولی، و ریشه های آن اعداد مشخصه است.
معادله مشخصه شکل دارد
جایی که 
- پی گیری کماتریس مرتبه -ام ولی.
ذیل ک- مرتبه 
جمع ممکن نامیده می شود 
خردسالان اصلی ک- مرتبه:
معادله مشخصه دارد nنه لزوماً ریشه های متفاوت 
. هر ریشه مشخصه با یک بردار ویژه تا یک عامل ثابت مطابقت دارد.
مجموع ریشه های مشخصه برابر با رد ماتریس است ولی:
و حاصل ضرب ریشه های مشخصه برابر با تعیین کننده ماتریس است ولی:
تعداد ریشه های غیر صفر با رتبه ماتریس عملگر خطی منطبق است.
یکی از روش های یافتن ضرایب است 
معادله مشخصه روش فادیف است. اجازه دهید عملگر خطی 
توسط ماتریس داده شده است ولی. سپس ضرایب 
بر اساس طرح زیر محاسبه می شود:
مثال.مقادیر ویژه یک عملگر خطی را بیابید 
، توسط ماتریس ارائه شده است
.
راه حل.معادله مشخصه شکل دارد
در نتیجه معادله مشخصه زیر را بدست می آوریم:
یا مقادیر ویژه عملگر خطی از کجاست 
.
قضیه همیلتون کیلی.هر ماتریس مربع ریشه چند جمله ای مشخصه آن است.
اثباتچند جمله ای را در نظر بگیرید
عناصر ماتریسی ATچند جمله ای از هستند 
بدون مدرک بالاتر n-1
). بنابراین، ماتریس ATرا می توان به شکل زیر ارائه کرد:
معادل سازی ضرایب در توان های یکسان 
در هر دو قسمت برابری (6.2.4)، به دست می آوریم
برابری های (6.2.5) را به ترتیب در ضرب می کنیم 
و نتایج را جمع بندی کنید:
از آنجا نتیجه می گیرد که 
. قضیه ثابت شده است.
مثال.عملگر خطی 
توسط ماتریس داده شده است
.
پیدا کردن 
و نشان دهد که 
.
راه حل.بیایید یک ماتریس بسازیم
چند جمله ای 
فرم را دارد
.
6.3. بردار ویژه و مقدار ویژه یک عملگر خطی
اجازه دهید در فضا 
عملگر خطی داده شده 
.
تعریف.بردار غیر صفر 
، ارضای رابطه 
، بردار ویژه و عدد مربوطه نامیده می شود 
- ارزش ویژه اپراتور 
.
از این تعریف برمی آید که تصویر بردار ویژه 
یک بردار خطی است 
.
برخی از ویژگی های بردارهای ویژه عملگر را یادداشت می کنیم 
.
1. هر بردار ویژه مربوط به یک مقدار ویژه است. برعکس را فرض کنید: اجازه دهید بردار ویژه 
اپراتور 
با دو مقدار ویژه مطابقت دارد 
. معنیش اینه که
,
.
اما از این نتیجه می شود که
از آنجایی که با توجه به شرایط 
پس یک بردار غیر صفر است 
.
2. اگر 
و 
بردارهای ویژه عملگر هستند 
با همان مقدار ویژه 
، سپس مجموع آنها 
همچنین بردار ویژه عملگر است 
با شماره خود 
. در واقع، از آن زمان 
و 
، سپس
3. اگر 
بردار ویژه عملگر است 
با شماره خود 
، سپس هر بردار 
، هم خط به بردار 
، همچنین بردار ویژه عملگر است 
با همان مقدار ویژه 
.
واقعا،
بنابراین، هر مقدار ویژه 
مربوط به مجموعه ای غیرقابل شمارش از بردارهای ویژه خطی است. از خصوصیات 2 و 3 بر می آید که مجموعه بردارهای ویژه عملگر 
مربوط به همان مقدار ویژه فضایی را تشکیل می دهد که زیرفضای فضا است 
.
اجازه دهید قضیه وجود بردار ویژه را اثبات کنیم.
قضیه.در فضای خطی پیچیده 
هر اپراتور خط 
حداقل یک بردار ویژه دارد.
اثباتاجازه دهید 
یک عملگر خطی است که در فضا تعریف شده است 
، آ 
بردار ویژه این عملگر با مقدار ویژه است 
، یعنی 
. ما یک مبنای دلخواه را انتخاب می کنیم 
و مختصات بردار را مشخص کنید 
در این مبنا از طریق 
. سپس اگر 
ماتریس عملگر است 
بر اساس 
، سپس با نوشتن رابطه به صورت ماتریسی، بدست می آوریم
|
جایی که |
.در شکل مختصات، معادله ماتریسی (6.3.1) شکل دارد
|
|
برای یافتن بردار ویژه، باید جواب های غیر صفر سیستم (6.3.2) را پیدا کرد، که اگر و فقط در صورتی وجود داشته باشند که تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، یعنی. چه زمانی 
. این بدان معناست که مقدار ویژه عملگر خطی 
عدد مشخصه آن است که همیشه وجود دارد. با جایگزینی این عدد در سیستم (6.3.2)، راه حل غیر صفر این سیستم پیدا می شود که بردار ویژه مورد نظر را مشخص می کند. قضیه ثابت شده است.
از این قضیه نتیجه می گیرد که یافتن مقدار ویژه یک عملگر خطی 
و بردار ویژه مربوطه 
به حل معادله مشخصه تقلیل می دهد 
. اجازه دهید 
ریشه های مختلف معادله مشخصه هستند. جایگزینی مقداری ریشه 
در سیستم (6.3.2)، همه راه حل های مستقل خطی آن را پیدا می کنیم، که بردارهای ویژه مربوط به مقدار ویژه را تعیین می کند. 
. اگر رتبه ماتریس 
برابر است rو r<
n، پس وجود دارد ک=
n-
rبردارهای ویژه مستقل خطی مربوط به ریشه.
مثال.بردارهای ویژه یک عملگر خطی را پیدا کنید 
، توسط ماتریس ارائه شده است
.
راه حل.معادله مشخصه را می سازیم
,
یا 
جایی که 
.
ما ریشه ها را جایگزین می کنیم 
وارد سیستم (6.3.1). اجازه دهید بردارهای ویژه عملگر را پیدا کنیم 
.
در 
ما داریم
.
ما یک سیستم همگن از سه معادله خطی به دست می آوریم که تنها یکی (هر کدام) به صورت خطی مستقل است. راه حل کلی سیستم دارای شکل است 
. بیایید دو راه حل مستقل خطی پیدا کنیم:
سپس بردارهای ویژه مربوط به مقادیر ویژه 
، فرم را داشته باشید
,
جایی که بایک عدد واقعی دلخواه غیر از صفر است.
در 
ما داریم
.
راه حل کلی این سیستم شکل دارد
بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه 
، برابر است با
.
قضیه.اجازه دهید مقادیر ویژه 
اپراتور 
به صورت جفتی متفاوت هستند سپس بردارهای ویژه مربوطه 
به صورت خطی مستقل هستند.
اثباتما از روش استقرا بر روی تعداد متغیرها استفاده می کنیم. زیرا 
یک بردار غیر صفر است، سپس برای پ=1 ادعای قضیه درست است.
اجازه دهید ادعای قضیه برای آن صادق باشد متر<
پبردارها 
. بیایید بردار را به این بردارها اضافه کنیم 
و فرض کنید که برابری
زیرا 
بردارهای ویژه، سپس 
و بنابراین برابری (6.3.4) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
مشروط همه 
، متفاوت هستند، بنابراین 
. سیستم برداری 
مستقل خطی است بنابراین از (6.3.6) چنین بر می آید که. سپس از (6.3.3) و از شرطی که 
بردار ویژه است ( 
)، ما گرفتیم 
. معنیش اینه که 
سیستمی از بردارهای مستقل خطی است. القاء انجام شد. قضیه ثابت شده است.
نتیجه:اگر همه مقادیر ویژه 
به صورت جفتی مجزا هستند، سپس بردارهای ویژه مربوطه 
اساس فضا را تشکیل می دهد 
.
قضیه.اگر به عنوان اساس فضا 
پذیرفتن nبردارهای ویژه مستقل خطی، سپس عملگر 
در این مبنا با ماتریس مورب مطابقت دارد
.
اثباتیک بردار دلخواه را در نظر بگیرید 
و پایه ای متشکل از بردارهای ویژه 
این فضا بعد کجا 
مختصات برداری هستند 
بر اساس 
.
اعمال بر وکتور 
اپراتور 
، ما گرفتیم 
یا 
.
زیرا 
، یک بردار ویژه است، پس 
.
|
|
از (6.3.7) داریم
|
|
,
,
.معادلات (6.3.8) به این معنی است که ماتریس عملگر خطی 
بر اساس 
فرم را دارد
.
قضیه ثابت شده است.
تعریف.عملگر خطی 
در فضای آر nاگر داشته باشد یک عملگر ساختار ساده نامیده می شود nبردارهای ویژه مستقل خطی
بدیهی است که عملگرهای ساختار ساده، و فقط آنها، در برخی موارد دارای ماتریس های مورب هستند. این مبنا فقط می تواند از بردارهای ویژه عملگر تشکیل شود 
. عمل هر عملگر یک ساختار ساده همیشه به "کشش" مختصات یک بردار در یک مبنای معین ختم می شود.
اجازه دهید یک ماتریس مربع از نظم n. ماتریس مشخصه ماتریس آماتریس نامیده می شود
=
با متغیر λ که هر مقدار عددی را می گیرد.
تعیین کننده ׀https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_113.gif" width="153" height="75 src="> یک ماتریس یک چند جمله ای است nدرجه -ام از λ. این چند جمله ای را چند جمله ای مشخصه ماتریس می گویند ولیمعادله =0 معادله مشخصه آن است و ریشه های آن https://pandia.ru/text/78/250/images/image008_68.gif" width="15" height="17 src="> هر نامیده می شود. غیر صفربردار ایکس، ارضای شرط https://pandia.ru/text/78/250/images/image010_64.gif" width="19" height="24 src="> یک عدد است.
این عدد به نام مقدار تبدیل خودش https://pandia.ru/text/78/250/images/image011_63.gif" width="201" height="75"> (*)
اگر مقدار ویژه مشخص باشد λ ، سپس تمام بردارهای ویژه ماتریس ولیمتعلق به این مقدار ویژه به عنوان راه حل های غیر صفر این سیستم یافت می شود. از سوی دیگر، این سیستم همگن با ماتریس مربع است A–λEراه حل های غیر صفر دارد ایکساگر و فقط اگر تعیین کننده ماتریس این سیستم برابر با صفر و باشد λ متعلق به رشته مورد نظر است آر. اما این به این معنی است λ ریشه چند جمله ای مشخصه است و متعلق به میدان است آر. بنابراین، اعداد مشخصه ماتریس متعلق به میدان اصلی، و فقط آنها، مقادیر خود آن هستند. برای پیدا کردن تمام مقادیر ویژه یک ماتریس ولیشما باید تمام اعداد مشخصه آن را پیدا کنید و فقط آنهایی را انتخاب کنید که به قسمت اصلی تعلق دارند آرو برای یافتن تمام بردارهای ویژه ماتریس ولیباید همه چیز را پیدا کرد غیر صفرراه حل های سیستمی (*) برای هر مقدار ویژه λ ماتریس ها ولی.
مثال 1مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک ماتریس واقعی را بیابید 
.
راه حل.چند جمله ای مشخصه یک ماتریس ولیبه نظر می رسد:
https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" height="75 src=">=(ضرب (2)امستون در هر عدد (-2)
و اضافه کنید با (1 مترستون) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" height="75">=(ضرب (1)امستون در هر عدد (-1)
و اضافه کنید با (3 مترستون) = 
=(ضرب (1)امخط به شماره (2)
و اضافه کنید با (2)امرشته) = 
=(ضرب (2)امستون در هر عدد (-2)
و اضافه کنید با (3 مترستون) = 
.
بنابراین، چند جمله ای مشخصه دارای ریشه λ1=6، λ2=λ3= – 3 است. همه آنها واقعی هستند و بنابراین مقادیر ویژه ماتریس هستند. ولی.
برای λ=6 سیستم ( А–λЕ)Х=0دارای فرم https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" height="75 src=">..gif" width="153" height="75 src = ">.
راه حل کلی آن است ایکس=https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" height="27 src=">، یک نمای کلی از بردارهای ویژه ماتریس ارائه می دهد. ولیمتعلق به مقدار ویژه λ= – 3.
اجازه دهید ولی- ماتریس مربع واقعی یا مختلط از مرتبه n. ماتریس
با متغیر A که هر مقدار عددی را می گیرد، فراخوانی می شود ماتریس مشخصهماتریس ها ولی.تعیین کننده او
یک چند جمله ای در متغیر L درجه است پ.این چند جمله ای نامیده می شود چند جمله ای مشخصهماتریس ها ولی.
اینکه چند جمله ای مشخصه در واقع یک چند جمله ای در متغیر A است مستقیماً از تعریف تعیین کننده نتیجه می گیرد. بالاترین توان برابر با n در بین تمام عبارات تعیین کننده الف - اییک محصول دارد
عبارات باقی مانده از تعیین کننده حداقل شامل دو عنصر از ماتریس نیستند ولی- ولی Eبا متغیر A و بنابراین دارای درجه بالاتر از پ - 2. بنابراین، درجه چند جمله ای است پ.توجه می کنیم که حاصلضرب (5.9) نه تنها درجه چند جمله ای مشخصه، بلکه دو عبارت آن را با درجات بالاتر نیز تعیین می کند.
جمله آزاد چند جمله ای مشخصه با مقدار آن در A = 0 منطبق است و برابر است با | الف -ولی E= |A|، یعنی تعیین کننده ماتریس ولی.
بنابراین چند جمله ای مشخصه ماتریس ولیسفارش پشکل دارد (رجوع کنید به ص 83 و ص 55):
جایی که pk-مجموع مینورهای اصلی از مرتبه A>ام ماتریس ولی،به خصوص، پی\u003d ats + "22 + - - + ftnn - مجموع عناصر مورب اصلی ماتریس ولی،رد این ماتریس نامیده می شود و با Sp نشان داده می شود A, r p- تعیین کننده |L| ماتریس ها ولی.
ریشه های چند جمله ای مشخصه | A - XEتماس گرفت ریشه های مشخصهیا اعداد مشخصهماتریس ها ولی.کثرت به gریشه مشخصه A* در چند جمله ای مشخصه نامیده می شود کثرت جبریاین ریشه مجموعه تمام ریشه های مشخصه یک ماتریس که در آن هر ریشه مشخصه به تعداد دفعات کثرت آن تکرار می شود. طیف ماتریس A.اگر همه ریشه های مشخصه ماتریس ساده باشند (یعنی دارای تعدد واحد باشند)، طیف ماتریس نامیده می شود. ساده.
مطابق با فرمول Vieta، ضرایب چند جمله ای مشخصه به صورت زیر به ریشه های مشخصه مربوط می شود:
از این فرمول ها، به ویژه، روابط پرکاربرد را دنبال کنید
با توجه به آخرین برابری، چند جمله ای مشخصه یک ماتریس دارای ریشه های مشخصه صفر است اگر و تنها در صورتی که تعیین کننده این ماتریس برابر با صفر باشد، یعنی. هنگامی که ماتریس منحط است.
مثال 5.5. چند جمله ای مشخصه یک ماتریس را محاسبه کنید
راه حل. مطابق با تعریف چند جمله ای مشخصه، به دست می آوریم:
اگر از فرمول (5.10) استفاده کنیم، ابتدا پیدا می کنیم
و سپس بنویسید
برای روش های محاسبه چند جمله ای مشخصه، به پیوست انتهای کتاب مراجعه کنید.
قضیه 5.7.چند جمله ای های مشخصه ماتریس های مشابه منطبق هستند.
> اگر ماتریس ها ولیو ATمشابه، سپس برای برخی از ماتریس های غیر منحط سبرابری AT = Q ~ lAQ.در نتیجه،
به یک چند جمله ای دلخواه
به جای متغیر Λ، می توان ماتریس مربع را جایگزین کرد ولیسفارش پ.در نتیجه ماتریس را بدست می آوریم P(A) \u003d در A p + a A p ~ 1 -
N----+ a n _ 1 A + a p Eکه به آن مقدار چند جمله ای می گویند R(ل)
در L = ولی.اگر برای یک ماتریس معین ولیبرابری واقعی P(A)= O (مقدار چند جمله ای R(الف) در L = ولیماتریس صفر است)، سپس ولیتماس گرفت ماتریس، ریشه چند جمله ای Р( A)، و خود چند جمله ای P(A) - چند جمله ای نابود شده توسط ماتریس A.
قضیه 5.8. هر ماتریس مربع یک ریشه چند جمله ای غیر صفر است.
> مجموعه همه ماتریس های مربع ترتیب پبا عناصری از میدان آریک فضای خطی در بالا وجود دارد آرابعاد n 2 .در این فضای خطی، هر سیستمی که در آن حداقل ص 2عناصر +1، به صورت خطی وابسته است. بنابراین، سیستم یک صفحه , یک صفحه -1 , ..., ولی, Eاز جانب n 2 + 1 ماتریس به صورت خطی وابسته است، یعنی. چنین مجموعه ای از اعداد وجود دارد آئو،از جانب، ...، یک صفحه 2 ، که در همان زمان ناپدید نمی شوند، که برابری را برآورده می کند
این برابری به این معنی است که ماتریس ولیریشه چند جمله ای است
قضیه اثبات شده در واقع از عبارت زیر ناشی می شود.
قضیه 5.9 (قضیه همیلتون - کیلی).
هر ماتریس مربعی ریشه چند جمله ای مشخصه آن است.
قبل از اثبات این قضیه، این مفهوم را معرفی می کنیم ماتریس های X- ماتریسی که عناصر آن چند جمله‌ای در متغیر A هستند. هر ماتریس A را می‌توان به صورت چند جمله‌ای در متغیر A نشان داد که ضرایب آن ماتریس‌های مربعی مرتبه مربوطه هستند. مثلا،
> بگذار ولییک ماتریس مربع از مرتبه n است. ماتریس مرتبط را در نظر بگیرید از جانببه ماتریس الف - ای.عناصر آن مکمل جبری عناصر تعیین کننده | ولی - E|، که چند جمله‌ای در درجه A بالاتر از آن نیستند پ- 1. همانطور که در بالا ذکر شد، ماتریس از جانبرا می توان به عنوان نشان داد
جایی که Ci، С2، ...، C p -برخی از ماتریس های اعداد با توجه به ویژگی اصلی ماتریس مرتبط (به بخش 3.C، نتیجه 3.2 مراجعه کنید)، ما داریم:
در این تساوی، ماتریس C را با مجموع (5.11) و چند جمله ای مشخصه را با مجموع (5.10) جایگزین می کنیم. سپس برابری را بدست می آوریم
با باز کردن پرانتز در هر دو قسمت تساوی و برابر کردن ضرایب در توان های مشابه A، سیستمی از پ+ 1 برابری: 
اولین برابری سیستم را در ضرب می کنیم یک پی،دوم - در L p_1 و غیره، n-eبرابری - روشن الف، (ن+ 1) برابری - روشن درجه = E:
وقتی این برابری ها را در سمت چپ اضافه می کنیم، یک ماتریس صفر و در سمت راست عبارت
از همین رو f(A) = 0. ?
5.6. چند جمله ای مشخصه و حداقل
چند جمله ای 92 (A) با حداقل درجه دارای ضریب پیشرو برابر با یک و نابود شده توسط ماتریس ولی،تماس گرفت چند جمله ای حداقل این ماتریس
قضیه 5 . 10 . هر چند جمله ای که توسط یک ماتریس A نابود شود کاملاً بر چند جمله ای حداقل این ماتریس تقسیم می شود. به طور خاص، چند جمله ای مشخصه یک ماتریس بر چند جمله ای حداقل آن قابل تقسیم است.
درباره تقسیم چند جمله ای R( K) به چند جمله ای حداقل 9?(L) با باقی مانده: R( A) = 99(A) g(A) + r(A)، که در آن چند جمله ای r(A) دارای درجه کمتر از 92(A) است. جایگزینی متغیر A با ماتریس ولی،ما گرفتیم:
زیرا P(A)= p(A) = 0 ، سپس و جی (ولی) = 0 . اما این برابری تنها در صورتی امکان پذیر است که چند جمله ای باشد GA)خالی. در غیر این صورت، تناقضی با تعریف چند جمله ای حداقلی ایجاد می شود. برابری جی = 0 به این معنی است که چند جمله ای R( A) کاملاً بر 92 (A) بخش پذیر است. ?
نتیجه 5 .1 . هر ریشه چند جمله ای حداقلی یک ماتریس، ریشه چند جمله ای مشخصه آن است.
О همانطور که در اثبات قضیه مشخص شد، چند جمله ای مشخصه /(A) با تساوی /(A) = 99(A) به چند جمله ای حداقل 92(A) مربوط می شود. q(). ادعای نتیجه از این برابری ناشی می شود. ?
اجازه دهید چند واقعیت مفید دیگر را یادداشت کنیم (نگاه کنید به [ 7 ]، با. 100 ).
چند جمله ای مشخصه | ولی - XEماتریس های A و چند جمله ای حداقل 92 (A) با رابطه مرتبط هستند
جایی که Dn- 1 بزرگترین مقسوم علیه مشترک همه ماتریس های فرعی است ولی -ولی E، داشتن (n - 1 )مین مرتبه
ریشه های چند جمله ای حداقل 92 (A) همه ریشه های مختلف چند جمله ای مشخصه هستند | ولی- ولی Eو اگر
کجا 1^ p به ^ t k: k = 1,2
فرمول (5.12) به شخص اجازه می دهد چند جمله ای حداقل یک ماتریس را پیدا کند. روش دیگری برای ساختن چند جمله ای حداقلی یک ماتریس در زیر مورد بحث قرار گرفته است (به بخش 6.5 مراجعه کنید).
مثال 5.6. حداقل چند جمله ای یک ماتریس را پیدا کنید
راه حل. در مثال های قبلی برای ماتریس ولیچند جمله ای مشخصه پیدا شد الف - ای\u003d - A 3 + 2 L 2 + L - 2. بزرگترین مقسوم علیه مشترک دی2 از همه مینورهای مرتبه دوم ماتریس
برابر یک است، زیرا کوچکتر است
متقابل ساده از همین رو
مثال 5.7. چند جمله ای های مشخصه و حداقلی ماتریس ها را پیدا کنید
راه حل برای ماتریس ولیبا محاسبه مستقیم دترمینان، چند جمله ای مشخصه را پیدا می کنیم
ما تمام مینورهای مرتبه دوم ماتریس را می نویسیم ولی -ولی E:
بزرگترین مقسوم علیه مشترک دی2 از همه این مینورها A - 4 است. بنابراین، چند جمله ای حداقلی ماتریس ولیبه نظر می رسد:
توجه کنید که دی2 در غیر این صورت می توان یافت. در واقع، اگر ماتریس الف - ای L = 4 را جایگزین کنید، سپس ماتریس را دریافت می کنیم
رتبه G - 1. بنابراین، تمام مینورهای مرتبه دوم این ماتریس برابر با صفر هستند. این به این معنی است که همه فرعی‌های مرتبه دوم ماتریس ولی -ال Eبر A - 4 بخش پذیر هستند و همه این مینورها را نمی توان به درجه زیادی از دو جمله ای A - 4 تقسیم کرد ، زیرا برای مثال مینور
فقط بر توان اول این دوجمله ای بخش پذیر است. در نتیجه، در؟ > 2 شامل عامل A -4 تا درجه اول است. سایر ضرب کننده ها از | ولی - A? ^ 1 in?> 2 را وارد نکنید، زیرا برای مثال، جزئی مرتبه دوم که تازه نوشته شده است بر آنها تقسیم پذیر نیست. بنابراین، Dg \u003d A - 4.
برای ماتریس ولی2 همچنین با محاسبه مستقیم دترمینان، چند جمله ای مشخصه را پیدا می کنیم
خردسالان درجه دوم
متقابل ساده از همین رو دی2 = 1 و
مثال در نظر گرفته شده نشان می‌دهد که ماتریس‌های مختلف می‌توانند مشخصه‌های یکسانی داشته باشند اما چندجمله‌ای‌های حداقلی متفاوتی داشته باشند.
با توجه به اینکه ماتریس های یک عملگر خطی معین در پایه های مختلف مشابه هستند و چند جمله ای مشخصه یکسانی دارند، منطقی است که این چند جمله ای نامیده شود. چند جمله ای مشخصه یک عملگر خطی،و ریشه های آن ریشه های مشخصه یک عملگر خطی
همچنین توجه داشته باشید که ماتریس جابجا شده است A Tهمین ماتریس را دارد ولیچند جمله ای های مشخصه و اعداد مشخصه.
تعریف
برای این ماتریس،، که در آن E- ماتریس هویت، یک چند جمله ای در است که نامیده می شود چند جمله ای مشخصهماتریس ها آ(گاهی نیز «معادله سکولار» (معادله سکولار)).
مقدار چند جمله ای مشخصه این است که مقادیر ویژه ماتریس ریشه های آن هستند. در واقع، اگر معادله یک راه حل غیر صفر داشته باشد، آنگاه ماتریس منحط است و تعیین کننده آن برابر با صفر است.
تعاریف مرتبط
خواص
.پیوندها
- V. Yu. Kiselev، A. S. Pyartli، T. F. Kaluginaریاضیات عالی جبر خطی . - دانشگاه انرژی دولتی ایوانوو.
بنیاد ویکی مدیا 2010 .
- منحنی مشخصه مرجع
- هارالد سوم (پادشاه نروژ)
ببینید "چند جمله ای مشخصه یک ماتریس" در فرهنگ های دیگر چیست:
چند جمله ای مشخصه- در ریاضیات، چند جمله ای مشخصه می تواند به این معنا باشد: چند جمله ای مشخصه یک ماتریس، چند جمله ای مشخصه یک دنباله بازگشتی خطی، چند جمله ای مشخصه یک معادله دیفرانسیل معمولی ... ... ویکی پدیا
چند جمله ای مشخصه- ماتریس های روی فیلد K چند جمله ای روی فیلد K درجه X. m برابر است با ترتیب ماتریس مربع A، ضریب b1 برابر با ردیابی ماتریس است. جزئی های اصلی مرتبه t، به ویژه bn= detA… دایره المعارف ریاضی
حداقل چند جمله ای یک ماتریس- این اصطلاح معانی دیگری دارد، به چند جمله ای کمینه مراجعه کنید. چند جمله ای حداقل یک ماتریس، چند جمله ای واحد نابود کننده با درجه حداقل است. ویژگی ها چند جمله ای حداقل چند جمله ای مشخصه یک ماتریس را تقسیم می کند ... ... ویکی پدیا
ماتریس های لامبدا- مقاله اصلی: توابع ماتریس ها ماتریس لامبدا (ماتریس λ، ماتریس چند جمله ای ها) یک ماتریس مربعی است که عناصر آن چند جمله ای در یک فیلد عددی هستند. اگر عنصر ماتریسی وجود داشته باشد که چند جمله ای باشد ... ویکی پدیا
طیف ماتریکس- مجموعه ای از ارزش های خود را. چند جمله ای مشخصه یک ماتریس را نیز ببینید... دایره المعارف ریاضی
عدد مشخصه ماتریس- بردار ویژه با رنگ قرمز مشخص شده است. بر خلاف رنگ آبی، در طول تغییر شکل، جهت و طول را تغییر نداد، بنابراین یک بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه λ = 1 است. هر بردار موازی با بردار قرمز ... ... ویکی پدیا
ماتریس های مشابه- ماتریس های مربعی A و B از یک مرتبه در صورت وجود ماتریس غیر مفرد P به همان ترتیب مشابه نامیده می شوند، به طوری که: ماتریس های مشابه با تعیین تبدیل خطی یکسان توسط یک ماتریس در ... .. به دست می آیند. . ویکیپدیا
ماتریس مشخصه
معادله مشخصه- چند جمله ای مشخصه، چند جمله ای است که مقادیر ویژه یک ماتریس را تعریف می کند. معنی دیگر: چند جمله ای مشخصه عود خطی، چند جمله ای است. مطالب 1 تعریف ... ویکی پدیا
قضیه همیلتون- قضیه همیلتون کیلی یک قضیه معروف در نظریه ماتریس است که به نام ویلیام همیلتون و آرتور کیلی نامگذاری شده است. قضیه همیلتون کیلی هر ماتریس مربع معادله مشخصه آن را برآورده می کند. اگر ... ویکی پدیا
ما مطالعه عملگرهای خطی را ادامه می دهیم. ما قبلاً می دانیم که هر عملگر A با یک ماتریس مربع مرتبط است که به نوبه خود با تعیین کننده آن مرتبط است. مقدار دترمینان یک عدد اسکالر (عدد) است. بنابراین، تابعی است که یک اسکالر را به عملگر A اختصاص می دهد. بنابراین، مطالعه خواص عامل تعیین کننده می تواند مطالعه خواص عملگر را ساده کند.
تعریفاسکالر لیک مقدار ویژه (مقدار ویژه) و یک بردار غیر صفر نامیده می شود ایکسبردار ویژه عملگر خطی A است که در آن عمل می کند nفضای برداری بعدی ال، اگر
با در نظر گرفتن بردار، هر بردار، , هم خطی است ایکس،بردار ویژه با مقدار ویژه خواهد بود ل. اگر مقدار ویژه لمربوط به دو بردار است، ایکسو y، پس هر بردار غیر صفر شکل نیز بردار ویژه خواهد بود. از آنجایی که بردار 0 مناسب نیست، مجموعه متمام بردارهای ویژه عملگر آیک زیرفضا نیست اگر مسپس با یک بردار 0 تکمیل کنید مبه یک زیرفضا تبدیل می شود. کثرت مقدار خاص لبعد زیرفضا نامیده می شود م; مقدار خاص لتماس گرفت ساده اگر تعدد آن 1 باشد.
یک تمرین.همه مقادیر ویژه و بردارهای عملگرهای صفر - O و یکسان - E را بیابید. اگر عملگر خطی در آن عمل کند، تعدد آنها را تعیین کنید. nفضای خطی بعدی
قضیه VI.1.خانواده بردارهای ویژه عملگر A مربوط به خانواده مشابهی از مقادیر ویژه، به صورت خطی مستقل است.
اثبات. ما از روش استقرای ریاضی استفاده می کنیم. برای، قضیه با تعریف بردار ویژه به عنوان متفاوت از صفر صادق است.
اجازه دهید برای هر، به عنوان مثال، برای، قضیه درست است، اما برای درست نیست. سپس، اگر سیستم بردارهای , …, , به صورت خطی وابسته باشد، یعنی اعدادی وجود داشته باشند، نه همه مساوی 0 باشند، برای مثال، که درست است.
با اعمال عملگر خطی A بر روی آن، با در نظر گرفتن (VI.5)، به دست می آوریم
با ضرب (VI.6) در (VI.7) و تفریق از (VI.7)، به دست می آید
ترکیب خطی حاصل، با توجه به فرض استقرایی، مستقل خطی است، یعنی تمام ضرایب در برابر با 0 هستند، از جمله، اما، با فرض،، سپس، اما پس از آن، که با توجه به شرایط غیر ممکن است. قضیه ▼
نتیجه.عملگر خطی که در n- فضای خطی بعدی، نمی تواند بیشتر از آن باشد nمقادیر ویژه متمایز جفتی
از تعریف بردار ویژه یک عملگر خطی برمی‌آید که تصویر و پیش تصویر ایکسخطی هستند. این بدان معناست که هر عملگر خطی که در یک فضای خطی بر روی میدان اعداد واقعی عمل می کند حداقل یک بردار ویژه ندارد. به عنوان مثال، برای هر چرخش محورها توسط زاویه ای که مضرب نیست پ، بردارهای خطی را نخواهیم گرفت.
اجازه دهید به استخراج معادله که توسط همه بردارهای ویژه ارضا می شود، ادامه دهیم.
اجازه دهید عملگر خطی وارد عمل شود nفضای خطی واقعی بعدی الو اجازه دهید , , یک پایه باشد و در نهایت ماتریس عملگر A در این مبنا باشد. یک عملگر خطی منحط است اگر و فقط در صورتی که ماتریس آن منحط باشد، یعنی . از این رو نتیجه می گیریم که کثرت لمنطبق با نقص عملگر خطی است.
توجه داشته باشید که اگر B هر عملگر معکوس باشد، می توان آن را نشان داد
یعنی اگر و فقط اگر 
، جایی که . این بدان معناست که تمام مفاهیم طیفی (طیف، مقادیر ویژه، کثرت، بعد، و غیره) تحت جایگزینی A توسط یک عملگر مشابه، ثابت هستند. با توجه به اینکه، طبق تعریف، یک تعیین کننده چند جمله ای از عناصر آن است، به دست می آوریم
,
که در آن ضرایب تابعی از عناصر تعیین کننده (یا ماتریس) هستند و به ل. حداکثر درجه لتنها در یک جمله از تعیین گنجانده شده است که از حاصل ضرب عناصر آن در مورب اصلی تشکیل شده است، بنابراین . بنابراین، ما یک چند جمله ای دریافت می کنیم
بسط تعیین کننده داریم
که نامیده می شود چند جمله ای مشخصه اپراتور آدر فضای خطی واقعی ال.
برای اینکه یک عدد یک مقدار ویژه یک عملگر باشد آلازم و کافی است که معادله را برآورده کند، یعنی ریشه چند جمله ای مشخصه باشد.
مثال VI.6.آیا همزمانی چند جمله ای های مشخصه نشانه برابری عملگرها است؟
راه حل. نه، اینطور نیست، زیرا چند جمله ای مشخصه برای خانواده ای از ماتریس های مشابه یکسان است. در واقع، عملگرهای خطی در صورتی منطبق می‌شوند که ماتریس‌هایشان منطبق باشد. دو پایه و . اجازه دهید عملگر A، یک ماتریس در پایه و در پایه - داشته باشد. سپس این ماتریس ها مشابه هستند، یعنی 
، جایی که سیک ماتریس غیر منحط است. برای هر، با توجه به آن، ما داریم