ویژگی های آماری اولیه تعدادی از اندازه گیری ها. ویژگی های عددی پراکندگی یک متغیر تصادفی ویژگی های پراکندگی یک متغیر تصادفی

	یکی از دلایل انجام تجزیه و تحلیل آماری، نیاز به در نظر گرفتن تأثیر عوامل تصادفی (آشفتگی) بر شاخص مورد مطالعه است که منجر به پراکندگی (پراکندگی) داده ها می شود. حل مسائلی که در آنها پراکندگی داده وجود دارد با ریسک همراه است، زیرا حتی با استفاده از تمام اطلاعات موجود، غیر ممکن است دقیقاپیش بینی کنید در آینده چه اتفاقی خواهد افتاد. برای کار به اندازه کافی در چنین شرایطی، بهتر است ماهیت خطر را درک کنید و بتوانید درجه پراکندگی مجموعه داده را تعیین کنید. سه مشخصه عددی وجود دارد که اندازه پراکندگی را توصیف می کند: انحراف معیار، محدوده و ضریب تغییرات (تغییرپذیری). بر خلاف شاخص های معمولی (میانگین، میانه، حالت) که مرکز را مشخص می کند، ویژگی های پراکندگی نشان می دهد چقدر نزدیکدر این مرکز مقادیر فردی مجموعه داده قرار دارد
تعریف انحراف معیار	انحراف معیار(انحراف استاندارد) اندازه گیری انحراف تصادفی مقادیر داده ها از میانگین است. در زندگی واقعی، بیشتر داده ها با پراکندگی مشخص می شوند، یعنی. مقادیر فردی در فاصله ای از میانگین قرار دارند.
	استفاده از انحراف معیار به عنوان یک مشخصه تعمیم‌دهنده پراکندگی با میانگین‌گیری انحرافات داده‌ها غیرممکن است، زیرا برخی از انحرافات مثبت و بخشی دیگر منفی و در نتیجه میانگین‌گیری می‌شوند. نتیجه ممکن است صفر شود. برای رهایی از علامت منفی از یک ترفند استاندارد استفاده می شود: ابتدا محاسبه کنید پراکندگیبه عنوان مجموع انحرافات مجذور تقسیم بر ( n–1)، و سپس جذر از مقدار حاصل گرفته می شود. فرمول محاسبه انحراف معیار به شرح زیر است: نکته 1. واریانس در مقایسه با انحراف معیار اطلاعات اضافی ندارد، اما تفسیر آن دشوارتر است، زیرا در واحدهای مربع بیان می شود، در حالی که انحراف استاندارد بیان می شود. در واحدهای آشنا برای ما (مثلاً به دلار) بیان می شود. نکته 2. فرمول فوق برای محاسبه انحراف معیار یک نمونه بوده و با دقت بیشتری نامیده می شود انحراف استاندارد نمونه. هنگام محاسبه انحراف معیار جمعیت(با علامت s مشخص می شود) تقسیم بر n. مقدار انحراف استاندارد نمونه تا حدودی بزرگتر است (زیرا تقسیم بر n-1)، که تصحیحی برای تصادفی بودن خود نمونه فراهم می کند. در صورتی که مجموعه داده دارای توزیع نرمال باشد، انحراف معیار معنای خاصی به خود می گیرد. در شکل زیر، علامت ها در دو طرف میانگین به ترتیب با فاصله یک، دو و سه انحراف معیار قرار گرفته اند. شکل نشان می دهد که تقریباً 66.7٪ (دو سوم) از همه مقادیر در یک انحراف استاندارد در دو طرف میانگین قرار دارند، 95٪ از مقادیر در دو انحراف استاندارد از میانگین قرار دارند و تقریباً تمام مقادیر داده ها (99.7%) در سه انحراف استاندارد از میانگین قرار خواهند گرفت. 66,7% این خاصیت انحراف استاندارد برای داده های توزیع شده معمولی «قانون دو سوم» نامیده می شود. در برخی شرایط، مانند تجزیه و تحلیل کنترل کیفیت محصول، محدودیت‌هایی اغلب به‌گونه‌ای تعیین می‌شوند که مشاهدات (3/0%) که بیش از سه انحراف استاندارد از میانگین دارند، شایسته توجه در نظر گرفته می‌شوند. متأسفانه، اگر داده ها به طور معمول توزیع نشده باشند، قانون توضیح داده شده در بالا نمی تواند اعمال شود. در حال حاضر محدودیتی به نام قاعده چبیشف وجود دارد که می تواند برای توزیع های اریب (کج) اعمال شود.
داده های اولیه را تولید کنید	جدول 1 پویایی تغییرات سود روزانه در بورس اوراق بهادار ثبت شده در روزهای کاری دوره 31 تیر تا 18 مهر 87 را نشان می دهد. جدول 1. پویایی تغییرات سود روزانه در بورس اوراق بهادار تاریخ سود روزانه تاریخ سود روزانه تاریخ سود روزانه -0,006 0,009 0,012 -0,004 -0,015 -0,004 0,008 -0,006 0,002 0,011 0,002 -0,008 -0,001 0,011 -0,010 0,017 0,013 -0,013 0,017 0,002 0,009 -0,004 -0,018 -0,020 0,008 -0,014 -0,003 -0,002 -0,001 -0,001 0,006 -0,001 0,017 -0,017 -0,013 0,001 0,004 0,030 -0,000 0,015 0,007 -0,035 0,001 -0,007 0,001 -0,005 0,001 -0,014
اکسل را راه اندازی کنید
فایل ایجاد کنید	روی دکمه ذخیره در نوار ابزار استاندارد کلیک کنید. پوشه Statistics را در کادر محاوره ای که ظاهر می شود باز کنید و نام فایل Scattering Characteristics.xls را بگذارید.
تنظیم برچسب	6. در Sheet1، در سلول A1، برچسب روزانه سود، 7. و در محدوده A2:A49، داده های جدول 1 را وارد کنید.
عملکرد AVERAGE را تنظیم کنید	8. در سلول D1، برچسب Average را وارد کنید. در سلول D2، میانگین را با استفاده از تابع آماری AVERAGE محاسبه کنید.
عملکرد STDEV را تنظیم کنید	در سلول D4، برچسب استاندارد انحراف را وارد کنید. در سلول D5، انحراف معیار را با استفاده از تابع آماری STDEV محاسبه کنید
طول کلمه حاصل را به رقم چهارم اعشار کاهش دهید.
تفسیر نتایج	کاهش می یابدمیانگین سود روزانه 0.04٪ بود (مقدار متوسط ​​سود روزانه 0.0004- بود). این بدان معنی است که میانگین سود روزانه برای دوره زمانی در نظر گرفته شده تقریباً برابر با صفر بوده است. بازار با نرخ متوسط ​​بود. انحراف معیار 0.0118 بود. این بدان معناست که یک دلار (1 دلار) سرمایه گذاری شده در بازار سهام در روز به طور متوسط ​​0.0118 دلار تغییر کرده است. سرمایه گذاری او می تواند منجر به سود یا زیان 0.0118 دلار شود.
بیایید بررسی کنیم که آیا مقادیر سود روزانه ارائه شده در جدول 1 با قوانین توزیع عادی مطابقت دارد یا خیر	1. فاصله مربوط به یک انحراف معیار در دو طرف میانگین را محاسبه کنید. 2. در سلول های D7، D8 و F8 به ترتیب برچسب ها را تنظیم کنید: یک انحراف استاندارد، حد پایین، حد بالایی. 3. در سلول D9 فرمول = -0.0004 - 0.0118 و در سلول F9 فرمول = -0.0004 + 0.0118 را وارد کنید. 4. نتیجه را تا چهار رقم اعشار بدست آورید.

5. تعداد سودهای روزانه را که در یک انحراف معیار قرار دارند، تعیین کنید. ابتدا داده ها را فیلتر کنید و مقادیر سود روزانه را در بازه [-0.0121، 0.0114] بگذارید. برای انجام این کار، هر سلول در ستون A را با مقادیر سود روزانه انتخاب کنید و دستور را اجرا کنید:

Data®Filter®AutoFilter

با کلیک بر روی فلش در هدر، منو را باز کنید سود روزانهو (شرط...) را انتخاب کنید. در کادر محاوره ای Custom AutoFilter، گزینه ها را مطابق شکل زیر تنظیم کنید. روی دکمه OK کلیک کنید.

برای شمارش تعداد داده های فیلتر شده، محدوده مقادیر سود روزانه را انتخاب کنید، روی فضای خالی در نوار وضعیت کلیک راست کرده و دستور Number of values ​​را از منوی زمینه انتخاب کنید. نتیجه را بخوانید. اکنون تمام داده های اصلی را با اجرای دستور: Data®Filter®Show All نمایش دهید و فیلتر خودکار را با استفاده از دستور: Data®Filter®AutoFilter خاموش کنید.

6. درصد سود روزانه را که در یک انحراف استاندارد از میانگین قرار دارد، محاسبه کنید. برای انجام این کار، برچسب را در سلول H8 وارد کنید درصدو در سلول H9 فرمول محاسبه درصد را برنامه ریزی کنید و نتیجه را با دقت یک رقم اعشار بدست آورید.

7. محدوده سود روزانه را در دو انحراف استاندارد از میانگین محاسبه کنید. در سلول های D11، D12 و F12، برچسب ها را بر اساس آن تنظیم کنید: دو انحراف معیار, خط پایین, کران بالا. در سلول های D13 و F13، فرمول های محاسبه را وارد کنید و نتیجه را تا رقم چهارم اعشار دقیق دریافت کنید.

8. ابتدا با فیلتر کردن داده ها، تعداد سود روزانه را که در دو انحراف معیار قرار دارند، تعیین کنید.

9. درصد سود روزانه را که دو انحراف معیار با میانگین فاصله دارد محاسبه کنید. برای انجام این کار، برچسب را در سلول H12 وارد کنید درصدو در سلول H13 فرمول محاسبه درصد را برنامه ریزی کنید و نتیجه را با دقت یک رقم اعشار بدست آورید.

10. محدوده سود روزانه را در سه انحراف استاندارد از میانگین محاسبه کنید. در سلول‌های D15، D16 و F16، برچسب‌ها را بر این اساس تنظیم کنید: سه انحراف معیار, خط پایین, کران بالا. در سلول های D17 و F17 فرمول های محاسبه را وارد کنید و نتیجه را تا رقم چهارم اعشار دقیق بگیرید.

11. ابتدا با فیلتر کردن داده ها، تعداد سود روزانه را که در سه انحراف استاندارد قرار دارند، تعیین کنید. درصد ارزش های سود روزانه را محاسبه کنید. برای انجام این کار، برچسب را در سلول H16 وارد کنید درصدو در سلول H17 فرمول محاسبه درصد را برنامه ریزی کنید و نتیجه را با دقت یک رقم اعشار بدست آورید.

13. یک هیستوگرام از سود روزانه سهام در بورس ترسیم کنید و آن را همراه با جدول توزیع فراوانی در ناحیه J1:S20 قرار دهید. میانگین تقریبی و فواصل مربوط به یک، دو و سه انحراف معیار از میانگین را روی هیستوگرام نشان دهید.

ویژگی های موقعیت مرکز توزیع را توصیف می کند. در عین حال، مقادیر یک نوع را می توان در اطراف آن در یک نوار گسترده و یک باند باریک گروه بندی کرد. بنابراین، برای توصیف توزیع، لازم است محدوده تغییر در مقادیر ویژگی مشخص شود. ویژگی های پراکندگی برای توصیف دامنه تغییرات ویژگی استفاده می شود. پرکاربردترین آنها محدوده تغییرات، واریانس، انحراف معیار و ضریب تغییرات است.

تنوع دهانهبه عنوان تفاوت بین حداکثر و حداقل مقدار صفت در جمعیت مورد مطالعه تعریف می شود:

آر=ایکسحداکثر ایکسدقیقه

مزیت بارز این شاخص سهولت محاسبه است. با این حال، از آنجایی که دامنه تغییرات فقط به مقادیر مقادیر شدید ویژگی بستگی دارد، دامنه کاربرد آن به توزیع های نسبتاً همگن محدود می شود. در موارد دیگر، محتوای اطلاعاتی این شاخص بسیار کوچک است، زیرا توزیع های زیادی وجود دارد که از نظر شکل بسیار متفاوت هستند، اما محدوده یکسانی دارند. در مطالعات عملی، گستره تغییرات گاهی برای اندازه های کوچک (بیش از 10) استفاده می شود. بنابراین، برای مثال، بر اساس دامنه تغییرات، به راحتی می توان تخمین زد که بهترین و بدترین نتایج در یک گروه از ورزشکاران چقدر متفاوت است.

در این مثال:

آر\u003d 16.36 - 13.04 \u003d 3.32 (m).

دومین ویژگی پراکندگی این است پراکندگیواریانس میانگین مربع انحراف مقدار یک متغیر تصادفی از مقدار میانگین آن است. پراکندگی مشخصه پراکندگی است، پراکندگی مقادیر یک کمیت حول مقدار متوسط ​​آن. خود کلمه پراکندگی به معنای پراکندگی است.

هنگام انجام مطالعات نمونه، لازم است برآوردی برای واریانس ایجاد شود. واریانس محاسبه شده از داده های نمونه، واریانس نمونه نامیده می شود و نشان داده می شود اس 2 .

در نگاه اول، طبیعی ترین برآورد برای واریانس، واریانس آماری محاسبه شده از تعریف با استفاده از فرمول است:

در این فرمول، مجموع مجذور انحرافات مقادیر صفت x iاز میانگین حسابی . این مجموع بر حجم نمونه تقسیم می شود تا میانگین مجذور انحرافات به دست آید. پ.

با این حال، این برآورد بی طرفانه نیست. می توان نشان داد که مجموع مجذور انحرافات مقادیر مشخصه برای میانگین حسابی نمونه کمتر از مجذور انحرافات از هر مقدار دیگر، از جمله میانگین واقعی (انتظار ریاضی) است. بنابراین، نتیجه به دست آمده توسط فرمول فوق حاوی یک خطای سیستماتیک خواهد بود و مقدار تخمینی واریانس کمتر برآورد می شود. برای از بین بردن سوگیری، کافی است یک عامل اصلاح را معرفی کنید. نتیجه رابطه زیر برای واریانس برآورد شده است:

برای مقادیر بزرگ nالبته، هر دو تخمین - مغرضانه و بی طرفانه - بسیار اندک متفاوت خواهند بود و معرفی یک عامل تصحیح بی معنی می شود. به عنوان یک قاعده، فرمول برای تخمین واریانس باید زمانی اصلاح شود n<30.

در مورد داده های گروه بندی شده، آخرین فرمول برای ساده کردن محاسبات را می توان به شکل زیر کاهش داد:

جایی که ک- تعداد فواصل گروه بندی.

n من- فرکانس بازه با عدد من;

x i- مقدار وسط فاصله با عدد من.

به عنوان مثال، اجازه دهید واریانس داده های گروه بندی شده مثالی را که در حال تجزیه و تحلیل هستیم محاسبه کنیم (جدول 4 را ببینید).

اس 2 =/ 28=0.5473 (m2).

واریانس یک متغیر تصادفی دارای بعد مربع ابعاد یک متغیر تصادفی است که تفسیر آن را دشوار می کند و باعث می شود خیلی بصری نباشد. برای توصیف بصری بیشتر پراکندگی، استفاده از مشخصه ای که بعد آن با بعد ویژگی مورد مطالعه مطابقت دارد راحت تر است. برای این منظور، مفهوم انحراف معیار(یا انحراف معیار).

انحراف معیارجذر مثبت واریانس نامیده می شود:

در مثال ما، انحراف معیار است

انحراف معیار دارای واحدهای اندازه گیری مشابه نتایج اندازه گیری صفت مورد مطالعه است و بنابراین، درجه انحراف صفت را از میانگین حسابی مشخص می کند. به عبارت دیگر، نشان می دهد که چگونه قسمت اصلی واریانت نسبت به میانگین حسابی قرار گرفته است.

انحراف معیار و واریانس پرکاربردترین معیارهای تغییرات هستند. این به دلیل این واقعیت است که آنها در بخش قابل توجهی از قضایای نظریه احتمال گنجانده شده اند که به عنوان پایه و اساس آمار ریاضی عمل می کند. علاوه بر این، واریانس را می توان به عناصر تشکیل دهنده آن تجزیه کرد و امکان ارزیابی تأثیر عوامل مختلف بر تنوع صفت مورد مطالعه را فراهم می کند.

علاوه بر شاخص های مطلق تغییرات که واریانس و انحراف معیار است، شاخص های نسبی نیز در آمار معرفی شده اند. متداول ترین ضریب تغییرات. ضریب تغییراتبرابر است با نسبت انحراف معیار به میانگین حسابی که به صورت درصد بیان می شود:

از تعریف مشخص می شود که ضریب تغییرات به معنای آن معیاری نسبی برای پراکندگی یک ویژگی است.

برای مثال مورد بحث:

ضریب تغییرات به طور گسترده در تحقیقات آماری استفاده می شود. به عنوان یک مقدار نسبی، به شما امکان می دهد نوسانات هر دو صفت را با واحدهای اندازه گیری مختلف و همچنین یک صفت را در چندین جمعیت مختلف با مقادیر مختلف میانگین حسابی مقایسه کنید.

از ضریب تغییرات برای مشخص کردن همگنی داده های تجربی به دست آمده استفاده می شود. در تمرین فرهنگ بدنی و ورزش، گسترش نتایج اندازه گیری بسته به مقدار ضریب تغییرات کم در نظر گرفته می شود (V<10%), средним (11-20%) и большим (V> 20%).

محدودیت در استفاده از ضریب تغییرات مربوط به ماهیت نسبی آن است - این تعریف شامل نرمال سازی میانگین حسابی است. در این راستا، برای مقادیر مطلق کوچک میانگین حسابی، ضریب تغییرات ممکن است ارزش اطلاعاتی خود را از دست بدهد. هر چه مقدار میانگین حسابی به صفر نزدیکتر باشد، اطلاعات این شاخص کمتر می شود. در حالت محدود، بدون توجه به گسترش علامت، میانگین حسابی به صفر (مثلاً دما) و ضریب تغییرات به بی نهایت می رود. با قیاس با مورد خطا، می توانیم قاعده زیر را فرموله کنیم. اگر مقدار میانگین حسابی در نمونه بیشتر از یک باشد، استفاده از ضریب تغییرات موجه است؛ در غیر این صورت، باید از پراکندگی و انحراف معیار برای توصیف پراکندگی داده‌های تجربی استفاده شود.

در پایان این بخش، ارزیابی تغییرات در مقادیر مشخصه های برآورد شده را در نظر می گیریم. همانطور که قبلا ذکر شد، مقادیر مشخصه های توزیع محاسبه شده از داده های تجربی با مقادیر واقعی آنها برای جمعیت عمومی منطبق نیست. امکان تعیین دقیق دومی وجود ندارد، زیرا، به عنوان یک قاعده، بررسی کل جمعیت غیرممکن است. اگر از نتایج نمونه‌های مختلف از یک جمعیت عمومی برای تخمین پارامترهای توزیع استفاده کنیم، معلوم می‌شود که این تخمین‌ها برای نمونه‌های مختلف با یکدیگر متفاوت است. مقادیر تخمینی حول مقادیر واقعی آنها در نوسان است.

انحراف برآورد پارامترهای کلی از مقادیر واقعی این پارامترها را خطاهای آماری می نامند. دلیل وقوع آنها حجم محدود نمونه است - همه اشیاء جمعیت عمومی در آن گنجانده نمی شوند. برای تخمین بزرگی خطاهای آماری از انحراف معیار مشخصات نمونه استفاده می شود.

به عنوان مثال، مهمترین مشخصه موقعیت - میانگین حسابی را در نظر بگیرید. می توان نشان داد که انحراف معیار میانگین حسابی به صورت زیر بدست می آید:

جایی که σ - انحراف معیار برای جمعیت عمومی

از آنجایی که مقدار واقعی انحراف معیار مشخص نیست، کمیتی نامیده می شود خطای استاندارد میانگین حسابیو برابر:

مقدار خطا را مشخص می کند که به طور متوسط ​​هنگام جایگزینی میانگین عمومی با تخمین نمونه آن مجاز است. طبق فرمول، افزایش حجم نمونه در طول مطالعه منجر به کاهش خطای استاندارد به نسبت جذر حجم نمونه می شود.

برای مثال مورد بررسی، مقدار خطای استاندارد میانگین حسابی برابر است با . در مورد ما، معلوم شد که 5.4 برابر کمتر از مقدار انحراف استاندارد است.

پراکندگی یک متغیر تصادفی، پراکندگی آن را نسبت به نقطه انتظار ریاضی مشخص می کند. از آنجایی که پراکندگی عناصر طیف یک متغیر تصادفی در دو طرف مرکز پراکندگی رخ می‌دهد، برای محاسبه آن از توان زوج‌های ممان مرکزی یا گشتاورهای مرکزی مطلق استفاده می‌شود. در نظر گرفتن لحظه مرکزی مرتبه دوم کافی است متر مربعو لحظه مرکزی مطلق مرتبه اول t1. اولی نام دارد پراکندگی و دوم - انحراف متوسط . بیایید آنها را با جزئیات بیشتر مطالعه کنیم.

پراکندگیمتغیر تصادفی ایکسچندین نام دارد:

– DSV;

D( ایکس) = = m 2 = E( 2) = (59)

– NSV,

عملگر واریانس D دارای خواص زیر است:

1) D(سی) = 0

2) D(CX) = سی 2 · D(ایکس) . (60)

3) D(سی+ایکس) = D(ایکس)

وضعیت اثبات ویژگی‌های عملگر پراکندگی مشابه با حالتی است که برای عملگر انتظار ذکر شد. اجازه دهید به معنای فیزیکی این ویژگی ها بپردازیم.

ملک اولمی گوید که مقدار ثابت هیچ اسپردی ندارد. نیازی به نظر نیست

هنگام تغییر مقیاس در امتداد محور آبسیسا ( ملک دوم ، مقدار پراکندگی جدید با ضرب دومی در مجذور ضریب مقیاس از مقدار قدیمی بدست می آید.

ملک سومپراکندگی در این واقعیت نهفته است که هنگام انتقال مبدا مختصات توسط مقدار سیدر امتداد آبسیسا، واریانس متغیر تصادفی تغییر نمی کند، زیرا مرکزیت انتقال را جبران می کند.

اتحاد این ویژگی ها پاسخ عملگر پراکندگی را به تبدیل خطی متغیر تصادفی بیان می کند. ایکس :

D( سی 1 + سی 2 ∙ ایکس) = سی 2 2 ∙ D(ایکس) . (61)

از تعریف پراکندگی نتیجه می شود که بعد آن برابر است با مربع بعد متغیر تصادفی که مشخص می کند. این همیشه برای درک راحت نیست. به عنوان مثال، اگر شما بگویید که مقداری فاصله اس= 567.89 مترو واریانس آن D(اس) \u003d 9 ∙ 10 -4 متر مربع، سپس مقایسه ای از این مقادیر داشتن ابعاد مختلف ، ایده ای از دقت اندازه گیری ها به دست نمی دهد. این واقعیت به استفاده علاوه بر این به عنوان مشخصه پراکندگی شاخص دیگری کمک کرد - استاندارد .

استانداردیا انحراف معیار (RMS) است ارزش مثبت جذر واریانس و مشخصه ها پراکندگی جنوب غربی نسبت به مرکز پراکندگی آن در همان واحدهایی که خود متغیر تصادفی در آن بیان می شود:

(62)

خواص استاندارد با خواص پراکندگی تعیین می شود:

1) س سی = 0

2) س CX = سیس ایکس (63)

3) س سی + ایکس= s ایکس

اگر اکنون فاصله داده شده قبلی را مشخص کنیم S=567.89 متراستاندارد s S \u003d 3 * 10 -2 متر، پس تصور ما از دقت این فاصله کافی خواهد بود.

انحراف متوسطلحظه مرکزی مطلق مرتبه اول برای متغیر تصادفی است ایکس ، که با حرف مشخص می شود ϑ ایکس و با تعریف (58) برای r = 1 :

– DSV;

ϑ ایکس= τ 1 = E(| |)= (64)

– NSV.

خواص انحراف متوسط مشابه ویژگی های استاندارد هستند (از این موضوع اطمینان حاصل کنید تمرینات 2.1):

1) ϑ ایکس = 0

2)ϑ CX = |سی| ϑ X (65)

3) ϑ سی + ایکس = ϑ ایکس

2.2.6 نمونه هایی از توزیع های تک متغیره.

اجازه دهید قوانین توزیع برخی از متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته را که در تئوری و عمل نقش مهمی دارند، در نظر بگیریم.

نشانگر رویداد

نشانگر رویداد من A یک مورد خاص از آزمایشات برنولی است. این یک متغیر تصادفی گسسته است که می گیرد فقط دوتا مقادیر ممکن 0 و 1 با احتمالات ( 1 – پ ) و پ به ترتیب. اینجا پ = پ(آ) - احتمال وقوع یک رویداد آ در فضایی توضیح داده شده است دبلیو. اجازه دهید تمام ویژگی های معرفی شده در بالا برای این متغیر تصادفی را به عنوان مثال و با هدف استفاده از آنها در مطالعه قوانین پیچیده تر در نظر بگیریم.

داده شده:ایکس = من A = {ایکس 1 = 0; ایکس 2 = 1} ; پ(ایکس 1) = پ(Ā ) = 1 – پ =q ; پ(ایکس 2) = پ(آ) = پ.

پیدا کردن: 1) اف(من A) – ? 2) E(من A) – ? 3) D(من A) – ? 4) س من – ?

راه حل:

1) تابع توزیع را همانطور که در (44) پیشنهاد شده است، در جدول توسعه یافته سری توزیع قرار می دهیم:

X= من A			-
پ( ایکس = من A)	q	پ	-
F( من A)		q

مشخصات عددی با فرمول های (51)، (59) و (62) تعیین می شود:

2)E(من A) = 0∙q + 1∙پ = پ ;

3)D(من A) = =a 2 - = 0 2 ∙ q+1 2 ∙پ – پ 2 = پ∙(1 – پ) = pq ;

4) = .

شاخص رویداد در مطالعه تست های مکرر و در حل مسائل دیگر به عنوان یک متغیر تصادفی کمکی استفاده می شود.

2.2.6.2 توزیع یکنواخت.

به عنوان تصویری که مطالب بخش را توضیح می دهد 2.2 برای متغیرهای تصادفی پیوسته مطالعه می کنیم توزیع یکنواخت پیوسته در برخی از بخش ها [ آ; ب ]. توزیع نامیده می شود لباس فرم در بخش، اگر تراکم احتمالات مقدار ثابت در این بازه و در خارج از آن برابر با صفر است. اجازه دهید مطالعه این توزیع را در قالب یک راه حل برای مسئله نشان دهیم.

داده شده: f(ایکس) = ج , [آ; ب] ; f(ایکس) = 0 خارج از این بخش

پیدا کردن: 1 ) چگالی توزیع ثابت ج – ?, 2 ) اف(ایکس) – ?, 3 )E(ایکس) – ?, 4 ) مو( ایکس) – ?, 5 ) من( ایکس) – ?, 6 ) D(ایکس) – ?, 7 ) س ایکس – ?, 8 ) ϑ ایکس – ?, 9 )پ(ایکس 1 <ایکس<ایکس 2) – ?

راه حل: خودت اجرا کن تمرینات 2.2.

پاسخ ها: 1 ) ج = 1 / (ب – آ) ; 2 ) اف(ایکس) = (ایکس – آ) / (ب – آ) ; 3 ) E(ایکس) = (آ + ب)/2 ;

4 ) مو( ایکس) - مشخص نشده؛ 5 ) من( ایکس) = E(ایکس) ; 6 ) D(ایکس) = (ب – آ) 2 / 12 ;

7 ) س ایکس = (ب – آ) /() ;8 ) ϑ ایکس = (ب – آ) / 4 ; 9 ) پ(ایکس 1 < ایکس < ایکس 2) = (ایکس 2 – ایکس 1)/(ب – آ) ، چه زمانی ]ایکس 1 ; ایکس 2 [ [آ;ب] .

نمودارهای توابع چگالی و توزیع یکنواخت در شکل های زیر ارائه شده است ( شکل 19و 20 ).

f(ایکس) اف(ایکس)

ج

اس=1 ج=1/

0 یک E(ایکس) b X 0 یک E(ایکس) b X

برنج. 2.19 چگالی یکنواخت شکل. 2.20 تابع یکنواخت

سطح پراکندگی موثر (منطقه)- مشخصه بازتابی هدف که با نسبت قدرت el بیان می شود. بزرگ انرژی منعکس شده توسط هدف در جهت گیرنده، به چگالی شار انرژی سطحی که روی هدف وارد می شود. بستگی دارد به… … دایره المعارف نیروهای موشکی استراتژیک

مکانیک کوانتومی ... ویکی پدیا

- (EPR) مشخصه بازتابی هدف تابش شده توسط امواج الکترومغناطیسی. مقدار EPR به عنوان نسبت جریان (قدرت) انرژی الکترومغناطیسی منعکس شده توسط هدف در جهت وسیله رادیویی الکترونیکی (RES) به ... ... Marine Dictionary تعریف می شود.

باند ولگرد- ویژگی های آماری داده های تجربی، منعکس کننده انحراف آنها از مقادیر متوسط. موضوعات متالورژی به طور کلی EN گروه ناامید… کتابچه راهنمای مترجم فنی

- (تابع انتقال مدولاسیون)، عملکرد، با کمک یک برش، "تیز بودن" تصویر نوری تصویر. سیستم ها و عناصر چنین سیستم هایی چ. تا x. تبدیل فوریه به اصطلاح است. تابع پخش خط که ماهیت "گسترش" را توصیف می کند ... ... دایره المعارف فیزیکی

تابع انتقال مدولاسیون، تابعی که ویژگی‌های «شارپنس» سیستم‌های نوری تصویربرداری و عناصر منفرد چنین سیستم‌هایی را ارزیابی می‌کند (به عنوان مثال، وضوح تصویر عکاسی را ببینید). چ. تا x. یک فوریه وجود دارد ......

باند ولگرد- مشخصه آماری داده های تجربی که منعکس کننده انحراف آنها از مقدار متوسط ​​است. همچنین ببینید: نوار لغزش نوار بازنشانی نوار سختی پذیری نوار… فرهنگ لغت دایره المعارف متالورژی

باند پراکنده- ویژگی های آماری داده های تجربی، منعکس کننده انحراف آنها از مقادیر متوسط ​​... فرهنگ لغت متالورژی

مشخصه پراکندگی مقادیر یک متغیر تصادفی. کوه h با فرمول σ به انحراف مربع مربوط می شود (نگاه کنید به انحراف مربع) σ این روش اندازه گیری پراکندگی با این واقعیت توضیح داده می شود که در حالت عادی ... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

آمار تغییرات- آمار متغیر، اصطلاحی که گروهی از تکنیک های تحلیل آماری را که عمدتاً در علوم طبیعی استفاده می شوند، متحد می کند. در نیمه دوم قرن نوزدهم. Quetelet (Quetelet، "Anthro pomete ou mesure des differentes facultes de 1…… دایره المعارف بزرگ پزشکی

ارزش مورد انتظار- (میانگین جمعیت) انتظار ریاضی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی است انتظار ریاضی، تعریف، انتظار ریاضی متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته، انتخابی، انتظار شرطی، محاسبه، ... ... دایره المعارف سرمایه گذار