محاسبه ریشه یک عدد مختلط استخراج ریشه یک عدد مختلط
اعداد به صورت مثلثاتی
فرمول De Moivre
بگذارید z 1 = r 1 (cos 1 + isin 1) و z 2 = r 2 (cos 2 + isin 2).
شکل مثلثاتی یک عدد مختلط برای انجام عملیات ضرب، تقسیم، افزایش به یک عدد صحیح و استخراج ریشه درجه n مناسب است.
z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)).
هنگام ضرب دو عدد مختلطدر شکل مثلثاتی، مدول های آنها ضرب شده و آرگومان های آنها اضافه می شود. هنگام تقسیممدول های آنها تقسیم شده و آرگومان های آنها کم می شود.
نتیجه قاعده ضرب عدد مختلط، قاعده افزایش عدد مختلط به توان است.
z = r(cos + i sin ).
z n \u003d r n (cos n + isin n).
این نسبت نامیده می شود فرمول دو مویور
مثال 8.1 حاصلضرب و ضریب اعداد را بیابید:
و 
راه حل
z1∙z2 
∙
=
;
مثال 8.2 یک عدد را به صورت مثلثاتی بنویسید
∙
-i) 7.
راه حل
مشخص کن 
و z 2 = 
- من.
r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; 1 = argz 1 = arctg 
;
z1 = 
;
r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2; 2 = arg z 2 = arctg 
;
z2 = 2 
;
z 1 5 = ( 
) 5 
; z 2 7 = 2 7 
z = ( 
) 5 2 7 
=
2 9 
§ 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط
تعریف. ریشهnتوان یک عدد مختلط z (نشان دهنده 
) یک عدد مختلط w است به طوری که w n = z. اگر z = 0 باشد، پس 
= 0.
بگذارید z 0، z = r(cos + isin). w = (cos + sin) را نشان می دهیم، سپس معادله w n = z را به شکل زیر می نویسیم.
n (cos(n) + isin(n)) = r(cos + isin).
بنابراین n = r،
=
بنابراین w k = 
·
.
دقیقاً n مقدار متمایز در بین این مقادیر وجود دارد.
بنابراین، k = 0، 1، 2، …، n – 1.
در صفحه مختلط، این نقاط رئوس یک n-گون منظم هستند که در دایره ای با شعاع محاط شده است. 
در مرکز نقطه O (شکل 12).
شکل 12
مثال 9.1همه مقادیر را پیدا کنید 
.
راه حل.
بیایید این عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. مدول و آرگومان آن را بیابید.
w k = 
، که در آن k = 0، 1، 2، 3.
w 0 = 
.
w 1 = 
.
w 2 = 
.
w 3 = 
.
در صفحه مختلط، این نقاط رئوس مربعی هستند که در دایره ای با شعاع محاط شده اند 
در مبدا متمرکز شده است (شکل 13).
شکل 13 شکل 14
مثال 9.2همه مقادیر را پیدا کنید 
.
راه حل.
z = - 64 = 64 (cos + isin)؛
w k = 
، که در آن k = 0، 1، 2، 3، 4، 5 است.
w 0 = 
; w 1 = 
;
w 2 = 
w 3 = 
w4 = 
; w 5 = 
.
در صفحه مختلط، این نقاط رئوس یک شش ضلعی منتظم هستند که در دایره ای با شعاع 2 در مرکز نقطه O (0؛ 0) محاط شده است - شکل 14.
§ 10 شکل نمایی یک عدد مختلط.
فرمول اویلر
مشخص کن 
= cos + isin و 
= cos - isin . این نسبت ها نامیده می شوند فرمول های اویلر .
عملکرد 
دارای خواص معمول یک تابع نمایی است:
بگذارید عدد مختلط z به شکل مثلثاتی z = r(cos + isin) نوشته شود.
با استفاده از فرمول اویلر می توانیم بنویسیم:
z = r 
.
این مدخل نامیده می شود فرم نشان دهندهعدد مختلط. با استفاده از آن، قوانین ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه را بدست می آوریم.
اگر z 1 = r 1 
و z 2 = r 2 
؟سپس
z 1 z 2 = r 1 r 2 
;
·
z n = r n 
، که در آن k = 0، 1، …، n – 1.
مثال 10.1یک عدد را به صورت جبری بنویسید
z= 
.
راه حل.
مثال 10.2معادله z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0 را حل کنید.
راه حل.
برای هر ضرایب مختلط، این معادله دارای دو ریشه z 1 و z 1 (احتمالاً همزمان) است. این ریشه ها را می توان با استفاده از فرمول مشابه در حالت واقعی یافت. زیرا 
دو مقدار را به خود می گیرد که فقط از نظر علامت متفاوت هستند، سپس این فرمول به شکل زیر است:
از -9 \u003d 9 e i، سپس مقادیر 
اعداد خواهد بود:
سپس 
و 
.
|
مثال 10.3حل معادلات z 3 +1 = 0; z 3 = - 1. |
راه حل.
ریشه های مورد نظر معادله مقادیر خواهند بود 
.
برای z = –1، r = 1، arg(–1) = داریم.
w k = 
، k = 0، 1، 2.
تمرینات
9 اعداد را به صورت نمایی ارائه کنید:
|
ب) |
ز) |
+i
.10 عدد را به صورت نمایی و جبری بنویسید:
|
آ) |
که در) |
|
ب) |
د) 7 (cos0 + isin0). |
11 اعداد را به صورت جبری و هندسی بنویسید:
|
آ) |
ب) |
که در) |
ز) |
12 اعداد داده شده 
با ارائه آنها به صورت نمایی، پیدا کنید 
.
13 با استفاده از شکل نمایی یک عدد مختلط، موارد زیر را انجام دهید:
آ) 
ب) 
که در) 
ز) 
|
ه) |
|
|
|
|
.استخراج ریشه یک عدد مختلط غیرممکن است، زیرا دارای مقادیری معادل درجه آن است.
اعداد مختلط به درجه شکل مثلثاتی ارتقا می یابند که فرمول مویوارد برای آن معتبر است:
\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi)، \forall k \in N \)
به طور مشابه، از این فرمول برای محاسبه ریشه kth یک عدد مختلط (نه برابر صفر) استفاده می شود:
\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \ pi n)(k)\right)، \forall k>1، \forall n \in N \)
اگر عدد مختلط برابر با صفر نباشد، ریشه‌های درجه k همیشه وجود دارند و می‌توان آنها را در صفحه مختلط نشان داد: آنها رئوس یک k-gon هستند که در دایره‌ای به مرکز مبدأ و شعاع محاط می‌شوند \( \ r^(\frac(1) (k)) \)
مثال های حل مسئله
ریشه سوم عدد \(\ z=-1 \) را پیدا کنید.
ابتدا عدد \(\ z=-1 \) را به صورت مثلثاتی بیان می کنیم. قسمت واقعی عدد \(\ z=-1 \) عدد \(\ z=-1 \)، قسمت خیالی \(\ y=\operatorname(lm) \), \(\ z= است. 0 \). برای پیدا کردن شکل مثلثاتی یک عدد مختلط، باید مدول و آرگومان آن را پیدا کنید.
مدول یک عدد مختلط \(\z\) یک عدد است:
\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )
آرگومان با فرمول محاسبه می شود:
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(0)(-1)=\operatorname(arctg) 0=\pi \)
بنابراین، شکل مثلثاتی یک عدد مختلط این است: \(\ z=1(\cos \pi+i \sin \pi) \)
سپس ریشه سوم به صورت زیر است:
\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \), \(\ n=0,1, 2\)
\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3))(2) \)
برای \(\ n=1 \) دریافت می کنیم:
\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)
برای \(\ n=2 \) دریافت می کنیم:
\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3))(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)
\(\ \omega_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2), \omega_(2)=-1, \omega_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)
برای استخراج ریشه دوم عدد \(\ z=1-\sqrt(3) i \)
بیایید با این واقعیت شروع کنیم که یک عدد مختلط را به صورت مثلثاتی بیان می کنیم.
قسمت واقعی عدد مختلط \(\ z=1-\sqrt(3) i \) عدد \(\ x=\operatorname(Re) z=1 \) است، قسمت خیالی \(\ y= است. \operatorname(Im) z =-\sqrt(3) \) . برای پیدا کردن شکل مثلثاتی یک عدد مختلط، باید مدول و آرگومان آن را پیدا کنید.
مدول یک عدد مختلط \(\r\) یک عدد است:
\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3 )=2 \)
بحث و جدل:
\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\operatorname(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)
بنابراین، شکل مثلثاتی یک عدد مختلط به صورت زیر است:
\(\ z=2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\راست) \)
با اعمال فرمول استخراج ریشه درجه 2، به دست می آید:
\(\z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ راست)\راست)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\راست)^(\frac(1)(2))= \)
\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\راست)\راست)، n=0,1 \)
برای \(\ \mathrm(n)=0 \) دریافت می کنیم:
\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\right)\right)=\sqrt(2)\left(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=\frac(\sqrt (2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
برای \(\ \mathrm(n)=1 \) دریافت می کنیم:
\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\right)\right)=\sqrt(2)\left(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=-\ frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)
\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ؛ \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2 ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)