حل مشتق برای آدمک ها: تعریف، نحوه پیدا کردن، نمونه هایی از راه حل ها. مشتقات توابع ابتدایی پایه مشتقات توابع ابتدایی اثبات

ما بدون اثبات فرمول مشتقات توابع ابتدایی را ارائه می دهیم:

1. تابع توان: (x n)` =nx n -1 .

2. یک تابع نمایی: (a x)` = a x lna (به ویژه، (e x)` = e x).

3. تابع لگاریتمی: (به طور خاص، (lnx)` = 1/x).

4. توابع مثلثاتی:

(cosx)` = -sinx

(tgх)` = 1/cos 2 x

(ctgх)` = -1/sin 2 x

5. توابع مثلثاتی معکوس:

می توان ثابت کرد که برای افتراق یک تابع نمایی باید از فرمول مشتق یک تابع مختلط دو بار استفاده کرد، یعنی هم به عنوان یک تابع نمایی مختلط و هم به عنوان تابع نمایی مختلط افتراق داد و نتایج: (f (x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  (x) *lnf(x)* (x)`.

مشتقات سفارشات بالاتر

از آنجایی که مشتق تابع خود یک تابع است، می تواند مشتق نیز داشته باشد. مفهوم مشتق، که در بالا مورد بحث قرار گرفت، به مشتق مرتبه اول اشاره دارد.

مشتقn- مرتبهمشتق مشتق از مرتبه (n-1) -ام نامیده می شود. به عنوان مثال، f``(x) = (f`(x))` - مشتق مرتبه دوم (یا مشتق دوم)، f```(x) = (f``(x))` - مشتق مرتبه سوم ( یا مشتق سوم) و غیره گاهی اوقات از اعداد عربی رومی در پرانتز برای نشان دادن مشتقات بالاتر استفاده می شود، به عنوان مثال، f (5) (x) یا f (V) (x) برای یک مشتق مرتبه پنجم.

معنای فیزیکی مشتقات مرتبه بالاتر به همان شیوه برای مشتق اول تعریف می شود: هر یک از آنها نرخ تغییر مشتق مرتبه قبلی را نشان می دهد. به عنوان مثال، مشتق دوم نرخ تغییر اولی است، یعنی. سرعت سرعت برای حرکت مستقیم، به معنای شتاب یک نقطه در یک زمان است.

قابلیت ارتجاعی عملکرد

قابلیت ارتجاعی عملکرد E x (y) حد نسبت افزایش نسبی تابع y به افزایش نسبی آرگومان x با گرایش دومی به صفر است:
.

کشش یک تابع نشان می‌دهد که وقتی متغیر مستقل x به میزان 1% تغییر می‌کند، تقریباً چند درصد تابع y \u003d f (x) تغییر می‌کند.

در مفهوم اقتصادی، تفاوت این شاخص با مشتق در این است که مشتق دارای واحدهای اندازه گیری است و بنابراین مقدار آن بستگی به واحدهایی دارد که متغیرها در آن اندازه گیری می شوند. به عنوان مثال، اگر وابستگی حجم تولید به زمان به ترتیب بر حسب تن و ماه بیان شود، مشتق افزایش حاشیه ای حجم را به تن در ماه نشان می دهد. با این حال، اگر این شاخص ها، به عنوان مثال، در کیلوگرم و روز اندازه گیری شوند، هم خود تابع و هم مشتق آن متفاوت خواهد بود. خاصیت ارتجاعی اساساً یک مقدار بدون بعد است (در درصد یا کسری اندازه گیری می شود) و بنابراین به مقیاس شاخص ها بستگی ندارد.

قضایای اساسی در مورد توابع متمایز و کاربردهای آنها

قضیه فرما. اگر یک تابع قابل تمایز در یک بازه به حداکثر یا حداقل مقدار خود در نقطه داخلی این بازه برسد، مشتق تابع در این نقطه برابر با صفر است.

بدون مدرک

معنای هندسی قضیه فرما این است که در نقطه بزرگترین یا کوچکترین مقدار بدست آمده در شکاف، مماس بر نمودار تابع موازی با محور آبسیسا است (شکل 3.3).

قضیه رول. اجازه دهید تابع y \u003d f (x) شرایط زیر را برآورده کند:

2) قابل تمایز در بازه (a، b).

3) در انتهای بخش مقادیر مساوی می گیرد، یعنی. f(a)=f(b).

سپس حداقل یک نقطه در داخل قطعه وجود دارد که مشتق تابع برابر با صفر است.

بدون مدرک

معنای هندسی قضیه رول این است که حداقل یک نقطه وجود دارد که در آن مماس نمودار تابع با محور آبسیسا موازی خواهد بود (به عنوان مثال، دو نقطه از این قبیل در شکل 3.4 وجود دارد).

اگر f(a) =f(b) = 0، آنگاه قضیه رول را می توان به گونه ای متفاوت فرموله کرد: بین دو صفر متوالی یک تابع متمایز حداقل یک صفر از مشتق وجود دارد.

قضیه رول یک مورد خاص از قضیه لاگرانژ است.

قضیه لاگرانژ. اجازه دهید تابع y \u003d f (x) شرایط زیر را برآورده کند:

1) روی قطعه [a, b] پیوسته است.

2) در بازه (a, b) قابل تمایز است.

سپس در داخل قطعه حداقل یک نقطه c وجود دارد که در آن مشتق برابر است با ضریب افزایش توابع تقسیم بر افزایش آرگومان در این بخش:
.

بدون مدرک

برای درک معنای فیزیکی قضیه لاگرانژ، به این نکته توجه می کنیم
چیزی جز نرخ متوسط تغییر تابع در کل بازه [a,b] نیست. بنابراین، این قضیه بیان می‌کند که در داخل قطعه حداقل یک نقطه وجود دارد که در آن نرخ تغییر "آنی" تابع برابر با میانگین نرخ تغییر آن در کل بخش است.

معنای هندسی قضیه لاگرانژ در شکل 3.5 نشان داده شده است. توجه داشته باشید که عبارت
شیب خطی است که وتر AB روی آن قرار دارد. این قضیه بیان می کند که حداقل یک نقطه در نمودار یک تابع وجود دارد که مماس آن با این وتر موازی خواهد بود (یعنی شیب مماس - مشتق - یکسان خواهد بود).

نتیجه: اگر مشتق یک تابع در یک بازه برابر با صفر باشد، در این بازه تابع به طور یکسان ثابت است.

در واقع بیایید یک فاصله زمانی در این بازه در نظر بگیریم. بر اساس قضیه لاگرانژ، یک نقطه c در این بازه وجود دارد که برای آن
. از این رو f(a) - f(x) = f`(с)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = ثابت.

قانون L'Hopital. حد نسبت دو تابع بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ برابر است با حد نسبت مشتقات آنها (متناهی یا نامتناهی) در صورتی که دومی به معنای مشخص شده وجود داشته باشد.

به عبارت دیگر، اگر عدم قطعیت شکل وجود داشته باشد
، سپس
.

بدون مدرک

کاربرد قانون L'Hospital برای یافتن محدودیت ها در تمرین های عملی پوشش داده خواهد شد.

شرط کافی برای افزایش (کاهش) یک تابع. اگر مشتق یک تابع متمایز در یک بازه مثبت (منفی) باشد، در این بازه تابع افزایش (کاهش) می یابد.

اثبات دو مقدار x 1 و x 2 را از بازه داده شده در نظر بگیرید (بگذارید x 2 > x 1). بر اساس قضیه لاگراند، در [x 1 , x 2 ] یک نقطه c وجود دارد که در آن
. بنابراین f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). سپس برای f`(c) > 0، سمت چپ نابرابری مثبت است، یعنی f(x 2) > f(x 1)، و تابع در حال افزایش است. در f`(s)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

قضیه ثابت شده است.

تفسیر هندسی شرط یکنواختی تابع: اگر مماس ها بر منحنی در یک بازه معین در زوایای حاد به محور آبسیسا هدایت شوند، تابع افزایش می یابد و اگر زیر زوایای مبهم باشد، کاهش می یابد (شکل 3.6 را ببینید). .

نکته: شرط لازم برای یکنواختی ضعیف تر است. اگر تابع در بازه معینی افزایش (کاهش) پیدا کند، آنگاه مشتق در این بازه غیر منفی (غیر مثبت) است (یعنی در برخی نقاط، مشتق تابع یکنواخت ممکن است برابر با صفر باشد).

هنگام استخراج اولین فرمول جدول، از تعریف مشتق یک تابع در یک نقطه استفاده می کنیم. بریم کجا ایکس- هر عدد واقعی، یعنی ایکس– هر عددی از ناحیه تعریف تابع. اجازه دهید حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان را در زیر بنویسیم:

لازم به ذکر است که در زیر علامت حد، عبارتی به دست می آید که عدم قطعیت صفر تقسیم بر صفر نیست، زیرا صورت شامل یک مقدار بینهایت کوچک نیست، بلکه دقیقاً صفر است. به عبارت دیگر، افزایش یک تابع ثابت همیشه صفر است.

به این ترتیب، مشتق تابع ثابتدر کل دامنه تعریف برابر با صفر است.

مشتق تابع توان.

فرمول مشتق تابع توان دارای شکل است ، جایی که توان پهر عدد واقعی است

اجازه دهید ابتدا فرمول توان طبیعی، یعنی برای را اثبات کنیم p = 1، 2، 3، ...

ما از تعریف مشتق استفاده خواهیم کرد. اجازه دهید حد نسبت افزایش تابع توان به افزایش آرگومان را بنویسیم:

برای ساده کردن عبارت در عدد، به فرمول دو جمله ای نیوتن می پردازیم:

در نتیجه،

این فرمول مشتق تابع توان را برای یک توان طبیعی ثابت می کند.

مشتق تابع نمایی.

ما فرمول مشتق را بر اساس تعریف بدست می آوریم:

به عدم قطعیت رسید. برای گسترش آن، یک متغیر جدید معرفی می کنیم و برای . سپس . در آخرین انتقال، از فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم استفاده کردیم.

بیایید یک جایگزین در حد اصلی انجام دهیم:

اگر حد قابل توجه دوم را به خاطر بیاوریم، به فرمول مشتق تابع نمایی می رسیم:

مشتق تابع لگاریتمی

اجازه دهید فرمول مشتق تابع لگاریتمی را برای همه ثابت کنیم ایکساز دامنه و همه مقادیر پایه معتبر آلگاریتم با تعریف مشتق، داریم:

همانطور که متوجه شدید، در اثبات، تبدیل ها با استفاده از خواص لگاریتم انجام شد. برابری با توجه به محدودیت قابل توجه دوم معتبر است.

مشتقات توابع مثلثاتی.

برای به دست آوردن فرمول برای مشتقات توابع مثلثاتی، باید برخی از فرمول های مثلثاتی و همچنین اولین حد قابل توجه را به یاد بیاوریم.

با تعریف مشتق تابع سینوس، داریم .

ما از فرمول تفاضل سینوس ها استفاده می کنیم:

باقی مانده است که به اولین محدودیت قابل توجه بپردازیم:

بنابراین مشتق تابع گناه xوجود دارد cos x.

فرمول مشتق کسینوس دقیقاً به همین شکل ثابت می شود.

بنابراین، مشتق تابع cos xوجود دارد – sin x.

اشتقاق فرمول های جدول مشتقات مماس و کوتانژانت با استفاده از قوانین اثبات شده تمایز (مشتق کسری) انجام می شود.

مشتقات توابع هذلولی.

قوانین تمایز و فرمول مشتق تابع نمایی از جدول مشتقات به ما امکان می دهد تا فرمول هایی را برای مشتقات سینوس هایپربولیک، کسینوس، مماس و کوتانژانت استخراج کنیم.

مشتق تابع معکوس.

برای اینکه در ارائه سردرگمی وجود نداشته باشد، بیایید در نمایه پایین آرگومان تابعی را که توسط آن تمایز انجام می شود، نشان دهیم، یعنی مشتق تابع است. f(x)بر ایکس.

اکنون فرموله می کنیم قانون برای یافتن مشتق تابع معکوس.

اجازه دهید توابع y = f(x)و x = g(y)متقابلاً معکوس، بر اساس فواصل و به ترتیب تعریف شده است. اگر در نقطه ای یک مشتق غیرصفر متناهی از تابع وجود داشته باشد f(x)، سپس در نقطه ای یک مشتق محدود از تابع معکوس وجود دارد g(y)، و . در مدخلی دیگر .

این قانون برای هر کسی قابل تنظیم مجدد است ایکساز بازه، سپس دریافت می کنیم .

بیایید اعتبار این فرمول ها را بررسی کنیم.

بیایید تابع معکوس لگاریتم طبیعی را پیدا کنیم (اینجا yیک تابع است و ایکس- بحث و جدل). حل این معادله برای ایکس، دریافت می کنیم (اینجا ایکسیک تابع است و yاستدلال او). به این معنا که، و توابع معکوس متقابل.

از جدول مشتقات می بینیم که و .

بیایید مطمئن شویم که فرمول های یافتن مشتقات تابع معکوس ما را به نتایج مشابهی می رساند:

همانطور که می بینید، نتایج مشابه جدول مشتقات را به دست آوردیم.

اکنون ما دانش اثبات فرمول های مشتقات توابع مثلثاتی معکوس را داریم.

بیایید با مشتق آرکسین شروع کنیم.

. سپس با فرمول مشتق تابع معکوس به دست می آوریم

باقی مانده است که تحول را انجام دهیم.

از آنجایی که محدوده آرکسین فاصله است ، سپس (به بخش توابع ابتدایی اساسی، خصوصیات و نمودارها مراجعه کنید). بنابراین ما در نظر نمی گیریم.

در نتیجه، . دامنه تعریف مشتق آرکسین بازه است (-1; 1) .

برای آرکوزین، همه چیز دقیقاً به همین ترتیب انجام می شود:

مشتق مماس قوس را بیابید.

برای تابع معکوس است .

مماس قوس را از طریق کسینوس قوس بیان می کنیم تا عبارت حاصل را ساده کنیم.

اجازه دهید arctanx = z، سپس

در نتیجه،

به طور مشابه، مشتق مماس معکوس یافت می شود:

فرمول 3 و 5 خود را ثابت می کند.

قوانین اساسی تمایز

با استفاده از روش کلی یافتن مشتق با استفاده از حد، می توانید ساده ترین فرمول های تمایز را بدست آورید. اجازه دهید u=u(x)،v=v(x)دو تابع متمایزپذیر از یک متغیر هستند ایکس.

فرمول 1 و 2 خود را ثابت می کند.

اثبات فرمول 3.

اجازه دهید y = u(x) + v(x).برای مقدار آرگومان ایکس+Δ ایکسما داریم y(ایکس+Δ ایکس)=تو(ایکس+Δ ایکس) + v(ایکس+Δ ایکس).

Δ y=y(ایکس+Δ ایکس) – y(x) = u(x+Δ ایکس) + v(x+Δ ایکس) – u(x) – v(x) = Δ تو +Δ v.

در نتیجه،

اثبات فرمول 4.

اجازه دهید y=u(x) v(x).سپس y(ایکس+Δ ایکس)=تو(ایکس+Δ ایکس)· v(ایکس+Δ ایکس)، از همین رو

Δ y=تو(ایکس+Δ ایکس)· v(ایکس+Δ ایکس) – تو(ایکس)· v(ایکس).

توجه داشته باشید که از آنجایی که هر یک از توابع توو vقابل تمایز در یک نقطه ایکس، سپس آنها در این نقطه پیوسته هستند و از این رو تو(ایکس+Δ ایکس)→u(x)، v(ایکس+Δ ایکس)→v(x)، برای Δ ایکس→0.

بنابراین، ما می توانیم بنویسیم

بر اساس این خاصیت، می توان قاعده ای برای تمایز حاصلضرب هر تعداد توابع به دست آورد.

اجازه دهید، برای مثال، y=u v w.سپس،

y " = تو "·( v w) + تو·( v w) "= تو "· v w+ تو·( v"w + v w") = تو "· v w+ تو· v"w + u v w ".

اثبات فرمول 5.

اجازه دهید . سپس

در اثبات، از این واقعیت استفاده کردیم که v(x+Δ ایکس)→v(x)در Δ ایکس→0.

مثال ها.

قضیه در مورد مشتق تابع مختلط

اجازه دهید y = f(u)،آ تو= تو(ایکس). یک تابع می گیریم y، بسته به استدلال ایکس: y = f(u(x)).آخرین تابع تابع یک تابع یا نامیده می شود تابع پیچیده.

محدوده عملکرد y = f(u(x))یا کل محدوده تابع است تو=تو(ایکس) یا قسمتی از آن که مقادیر در آن تعیین شده است تو، خارج از محدوده عملکرد نیست y= f(u).

عملیات "عملکرد از تابع" را می توان نه یک بار، بلکه چند بار انجام داد.

اجازه دهید یک قاعده برای متمایز کردن یک تابع پیچیده ایجاد کنیم.

قضیه.اگر تابع تو= تو(ایکس) در مقطعی داشته است x0مشتق است و مقدار را در این نقطه می گیرد u 0 = تو(x0) و تابع y=f(u)در نقطه دارد u 0مشتق y"u= f "(u 0، سپس تابع مختلط y = f(u(x))در نقطه مشخص شده x0مشتقی نیز دارد که برابر است با y"x= f "(u 0)· تو "(x0، جایی که به جای توبیان باید جایگزین شود تو= تو(ایکس).

بنابراین، مشتق یک تابع مختلط برابر با حاصلضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی است. توبه مشتق استدلال میانی با توجه به ایکس.

اثبات. برای یک مقدار ثابت ایکس 0 خواهیم داشت تو 0 =تو(ایکس 0), در 0 =f(u 0 ). برای مقدار آرگومان جدید x0+Δ ایکس:

Δ تو= تو(x0 + Δ ایکس) – تو(ایکس 0), Δ y=f(u 0+Δ تو) – f(u 0).

زیرا تو- قابل تمایز در یک نقطه x0، سپس تودر این نقطه پیوسته است. بنابراین، برای Δ ایکس→0 Δ تو→ 0. به طور مشابه، برای Δ تو→0 Δ y→0.

با شرط . از این رابطه، با استفاده از تعریف حد، (برای Δ تو→0)

جایی که α→0 در Δ تو→ 0، و در نتیجه، برای Δ ایکس→0.

بیایید این معادله را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

Δ y=y"u ∆ تو+α·Δ تو.

برابری حاصل برای Δ نیز معتبر است تو= 0 برای α دلخواه، زیرا به هویت 0=0 تبدیل می شود. در Δ تو=0 ما α=0 را فرض خواهیم کرد. تمام عبارات تساوی حاصل را بر Δ تقسیم کنید ایکس

با شرط . بنابراین، عبور از حد Δ ایکس→ 0، دریافت می کنیم y"x= y"تو تو" x. قضیه ثابت شده است.

بنابراین، برای متمایز کردن یک تابع پیچیده y = f(u(x))،شما باید مشتق تابع "خارجی" را بگیرید f، استدلال آن را به سادگی به عنوان یک متغیر در نظر می گیرد و در مشتق تابع "داخلی" نسبت به متغیر مستقل ضرب می کند.

اگر تابع y=f(x)را می توان به عنوان نشان داد y=f(u)، u=u(v)، v=v(x)،سپس یافتن مشتق y "x با اعمال متوالی قضیه قبلی انجام می شود.

طبق قاعده ثابت شده داریم y"x= y"تو · تو"x. اعمال همان قضیه برای تو"x دریافت می کنیم، یعنی.

y"x= y" ایکس تو"v · v"x= f"تو( تو)· تو"v( v)· v"ایکس( ایکس).

مثال ها.

مفهوم تابع معکوس

بیایید با یک مثال شروع کنیم. تابع را در نظر بگیرید y=x3. ما برابری را در نظر خواهیم گرفت y= x 3به عنوان یک معادله برای ایکس. این معادله برای هر مقدار است دریک مقدار واحد را تعریف می کند ایکس: . از نظر هندسی، این بدان معنی است که هر خط موازی با محور گاو نرنمودار تابع را قطع می کند y=x3فقط در یک نقطه بنابراین می توانیم در نظر بگیریم ایکسبه عنوان تابعی از y. تابع معکوس تابع نامیده می شود y=x3.

قبل از گذر از حالت کلی به معرفی تعاریف می پردازیم.

عملکرد y = f(x)تماس گرفت افزایش می یابددر یک بازه زمانی مشخص، اگر مقدار آرگومان بزرگتر باشد ایکساز این بخش مربوط به مقدار بزرگتری از تابع است، یعنی. اگر ایکس 2 >ایکس 1، سپس f(x 2 ) > f(x 1 ).

به طور مشابه، تابع فراخوانی می شود رو به زوال، اگر مقدار کوچکتر آرگومان با مقدار بزرگتر تابع مطابقت داشته باشد، i.e. اگر ایکس 2 < ایکس 1، سپس f(x 2 ) > f(x 1 ).

بنابراین، با توجه به یک تابع افزایش یا کاهش y=f(x)، در یک بازه تعریف شده [ آ; ب]. برای قطعیت، یک تابع افزایشی در نظر خواهیم گرفت (برای یک تابع کاهشی، همه چیز مشابه است).

دو مقدار متفاوت را در نظر بگیرید ایکس 1 و ایکس 2. اجازه دهید y 1 =f(x 1 ) y 2 =f(x 2 ). از تعریف تابع افزایشی چنین بر می آید که اگر ایکس 1 <ایکس 2، سپس در 1 <در 2. بنابراین، دو مقدار متفاوت ایکس 1 و ایکس 2 مربوط به دو مقدار تابع متفاوت است در 1 و در 2. برعکس آن نیز صادق است، یعنی. اگر در 1 <در 2، سپس از تعریف تابع افزایشی چنین بر می آید که ایکس 1 <ایکس 2. آن ها دوباره به دو مقدار متفاوت در 1 و در 2 مربوط به دو مقدار متفاوت است ایکس 1 و ایکس 2. بنابراین، بین مقادیر ایکسو مقادیر مربوط به آنها yمکاتبات یک به یک برقرار می شود، یعنی. معادله y=f(x)برای همه y(برگرفته از محدوده تابع y=f(x))یک مقدار واحد را تعریف می کند ایکس، و می توانیم بگوییم ایکسیک تابع آرگومان دارند y: x=g(y).

این تابع نامیده می شود معکوسبرای عملکرد y=f(x). بدیهی است که عملکرد y=f(x)معکوس تابع است x=g(y).

توجه داشته باشید که تابع معکوس x=g(y)با حل معادله به دست می آید y=f(x)به طور نسبی ایکس.

مثال.اجازه دهید تابع y= e x. این تابع در -∞ افزایش می یابد< ایکس <+∞. Она имеет обратную функцию ایکس=ln y. دامنه تابع معکوس 0< y < + ∞.

بیایید نکاتی را بیان کنیم.

تبصره 1.اگر تابع افزایش (یا کاهشی) باشد y=f(x)پیوسته در بخش [ آ; ب]، و f(a)=c، f(b)=d، سپس تابع معکوس تعریف شده و در بازه [ ج; د].

تبصره 2.اگر تابع y=f(x)در برخی بازه ها نه افزایش می یابد و نه کاهش می یابد، پس می تواند چندین تابع معکوس داشته باشد.

مثال.عملکرد y=x2تعریف شده در –∞<ایکس<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤ایکس<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <ایکس≤ 0 تابع در حال کاهش و معکوس آن است.

تبصره 3.اگر توابع y=f(x)و x=g(y)متقابل معکوس هستند، سپس رابطه یکسانی را بین متغیرها بیان می کنند ایکسو y. بنابراین، نمودار همان منحنی است. اما اگر آرگومان تابع معکوس را دوباره با نشان دهیم ایکسو تابع از طریق yو آنها را در یک سیستم مختصات بسازیم، دو نمودار متفاوت دریافت می کنیم. به راحتی می توان دید که نمودارها با توجه به نیمساز زاویه مختصات 1 متقارن خواهند بود.

قضیه در مورد مشتق تابع معکوس

اجازه دهید یک قضیه را ثابت کنیم که به ما امکان می دهد مشتق تابع را پیدا کنیم y=f(x)دانستن مشتق تابع معکوس

قضیه.اگر برای تابع y=f(x)تابع معکوس وجود دارد x=g(y) که در مقطعی در 0 مشتق دارد g "(v0) غیر از صفر، سپس در نقطه مربوطه x0=g(x0) عملکرد y=f(x)مشتق دارد f "(x0) برابر است، i.e. فرمول صحیح

اثبات. زیرا x=g(y)قابل تمایز در یک نقطه y 0، سپس x=g(y)در این نقطه پیوسته است، بنابراین تابع y=f(x)پیوسته در نقطه x0=g(y 0). بنابراین، برای Δ ایکس→0 Δ y→0.

بگذارید این را نشان دهیم .

اجازه دهید . سپس توسط خاصیت حد . اجازه دهید در این برابری به حد Δ بگذریم y→ 0. سپس Δ ایکس← 0 و α(Δx)→0، یعنی. .

در نتیجه،

Q.E.D.

این فرمول را می توان به صورت .

اجازه دهید کاربرد این قضیه را با مثال هایی در نظر بگیریم.

به خاطر سپردن آن بسیار آسان است.

خوب، ما خیلی دور نخواهیم رفت، بلافاصله تابع معکوس را در نظر خواهیم گرفت. معکوس تابع نمایی چیست؟ لگاریتم:

در مورد ما، پایه یک عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

برابر چیست؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

مشتق تابع را بیابید.
مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: توان و لگاریتم طبیعی توابعی هستند که از نظر مشتق ساده هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

چه قوانینی؟ بازم یه اصطلاح جدید دیگه؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

فقط و همه چیز. کلمه دیگری برای این فرآیند چیست؟ نه proizvodnovanie... دیفرانسیل ریاضی را همان افزایش تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید ثابت کنیم. اجازه دهید، یا راحت تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

در نقطه؛
در نقطه؛
در نقطه؛
در نقطه

راه حل ها:

(مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا یک تابع خطی است، یادتان هست؟)

مشتق از یک محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: ما یک تابع جدید را معرفی می کنیم و افزایش آن را پیدا می کنیم:

مشتق:

مثال ها:

مشتقات توابع را پیدا کنید و
مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید که چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط توان را (آیا فراموش کرده اید که چیست؟).

پس فلان عدد کجاست

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید برسانیم:

برای این کار از یک قانون ساده استفاده می کنیم: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق توان است: همانطور که بود، باقی می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد، که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی نمی توان آن را به شکل ساده تر نوشت. لذا در جواب به این صورت رها شده است.

توجه داشته باشید که در اینجا ضریب دو تابع است، بنابراین قانون تمایز مناسب را اعمال می کنیم:

در این مثال حاصل ضرب دو تابع:

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک دلخواه از لگاریتم با پایه متفاوت، به عنوان مثال،:

ما باید این لگاریتم را به پایه بیاوریم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر بسپارید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج فقط یک ثابت بود (یک عدد ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده است:

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در امتحان یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست، و نه یک مماس قوسی. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم برای شما دشوار به نظر می رسد، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و همه چیز درست می شود)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "مشکل" نیست.

یک نوار نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیاء اقداماتی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. به نظر می رسد چنین شی کامپوزیتی: یک شکلات پیچیده شده و با یک روبان گره خورده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل مخالف را به ترتیب معکوس انجام دهید.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، آنها به ما یک عدد (شکلات) می دهند، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف) و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ عملکرد. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم، و سپس اقدام دوم دیگری را با آنچه در نتیجه اولین اتفاق افتاده است، انجام می دهیم.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال ما، .

ممکن است همین مراحل را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا شما مربع می کنید و سپس من به دنبال کسینوس عدد حاصل می گردم:. به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یک ویژگی مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

مثال دوم: (همان). .

آخرین اقدامی که انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".و اولین اقدام انجام شد - به ترتیب عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در تابع

ابتدا چه اقدامی انجام خواهیم داد؟ ابتدا سینوس را محاسبه می کنیم و تنها سپس آن را به مکعب می آوریم. بنابراین یک عملکرد داخلی است، نه یک عملکرد خارجی.
و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .
درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .
درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .
درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و یک تابع می گیریم.

خوب، اکنون شکلات خود را استخراج می کنیم - به دنبال مشتق باشید. روال همیشه برعکس است: ابتدا به دنبال مشتق تابع بیرونی می گردیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع داخلی ضرب می کنیم. برای مثال اصلی، به نظر می رسد:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

به نظر ساده است، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان کم کنید! چیزی از زیر کسینوس خارج نشده، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

بلافاصله مشخص می شود که در اینجا یک عملکرد پیچیده سه سطحی وجود دارد: از این گذشته ، این به خودی خود یک عملکرد پیچیده است و ما هنوز ریشه را از آن استخراج می کنیم ، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی قرار می دهیم. و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: به هر حال، ما این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" می کنیم: از انتها.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. دنباله اقدامات - مانند قبل:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوس. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد اصلی

مشتق تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان با افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

محصول مشتق:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ما تابع "داخلی" را تعریف می کنیم، مشتق آن را پیدا می کنیم.
ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم، مشتق آن را پیدا می کنیم.
نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

اگر از تعریف پیروی کنیم، مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایشی تابع Δ است. yبه افزایش آرگومان Δ ایکس:

به نظر می رسد همه چیز روشن است. اما سعی کنید با این فرمول مثلاً مشتق تابع را محاسبه کنید f(ایکس) = ایکس 2 + (2ایکس+ 3) · ه ایکسگناه ایکس. اگر همه چیز را طبق تعریف انجام دهید، پس از چند صفحه محاسبات به سادگی به خواب خواهید رفت. بنابراین، راه های ساده تر و موثرتری وجود دارد.

برای شروع، متذکر می شویم که توابع به اصطلاح ابتدایی را می توان از انواع توابع متمایز کرد. اینها عبارات نسبتاً ساده ای هستند که مشتقات آنها مدتهاست محاسبه شده و در جدول وارد شده است. یادآوری چنین توابعی به همراه مشتقات آنها به اندازه کافی آسان است.

مشتقات توابع ابتدایی

توابع ابتدایی همه موارد ذکر شده در زیر است. مشتقات این توابع را باید از روی قلب دانست. علاوه بر این، حفظ کردن آنها دشوار نیست - به همین دلیل آنها ابتدایی هستند.

بنابراین، مشتقات توابع ابتدایی:

نام	عملکرد	مشتق
مقدار ثابت	f(ایکس) = سی, سی ∈ آر	0 (بله، بله، صفر!)
درجه با توان منطقی	f(ایکس) = ایکس n	n · ایکس n − 1
سینوسی	f(ایکس) = گناه ایکس	cos ایکس
کسینوس	f(ایکس) = cos ایکس	- گناه ایکس(منهای سینوس)
مماس	f(ایکس) = tg ایکس	1/cos 2 ایکس
کوتانژانت	f(ایکس) = ctg ایکس	− 1/sin2 ایکس
لگاریتم طبیعی	f(ایکس) = ورود ایکس	1/ایکس
لگاریتم دلخواه	f(ایکس) = ورود آ ایکس	1/(ایکسلوگاریتم آ)
تابع نمایی	f(ایکس) = ه ایکس	ه ایکس(هیچ چیز تغییر نکرد)

اگر یک تابع ابتدایی در یک ثابت دلخواه ضرب شود، مشتق تابع جدید نیز به راحتی محاسبه می شود:

(سی · f)’ = سی · f ’.

به طور کلی، ثابت ها را می توان از علامت مشتق خارج کرد. مثلا:

(2ایکس 3)' = 2 ( ایکس 3)' = 2 3 ایکس 2 = 6ایکس 2 .

بدیهی است که توابع ابتدایی را می توان به یکدیگر اضافه کرد، ضرب کرد، تقسیم کرد و موارد دیگر. به این ترتیب توابع جدید ظاهر می شوند که دیگر خیلی ابتدایی نیستند، بلکه طبق قوانین خاصی قابل تمایز هستند. این قوانین در زیر مورد بحث قرار می گیرند.

مشتق جمع و تفاوت

اجازه دهید توابع f(ایکس) و g(ایکس) که مشتقات آن برای ما شناخته شده است. به عنوان مثال، می توانید توابع ابتدایی مورد بحث در بالا را انتخاب کنید. سپس می توانید مشتق حاصل از مجموع و تفاضل این توابع را پیدا کنید:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

پس مشتق مجموع (تفاوت) دو تابع برابر است با مجموع (تفاوت) مشتقات. ممکن است شرایط بیشتری وجود داشته باشد. مثلا، ( f + g + ساعت)’ = f ’ + g ’ + ساعت ’.

به بیان دقیق، در جبر مفهوم «تفریق» وجود ندارد. مفهوم "عنصر منفی" وجود دارد. بنابراین، تفاوت f − gرا می توان به صورت جمع بازنویسی کرد f+ (-1) g، و سپس فقط یک فرمول باقی می ماند - مشتق جمع.

f(ایکس) = ایکس 2 + سینکس; g(ایکس) = ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3.

عملکرد f(ایکس) مجموع دو تابع ابتدایی است، بنابراین:

f ’(ایکس) = (ایکس 2+ گناه ایکس)’ = (ایکس 2)' + (گناه ایکس)’ = 2ایکس+ cosx;

ما به طور مشابه برای تابع استدلال می کنیم g(ایکس). فقط سه اصطلاح وجود دارد (از نظر جبر):

g ’(ایکس) = (ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3)’ = (ایکس 4 + 2ایکس 2 + (−3))’ = (ایکس 4)’ + (2ایکس 2)’ + (−3)’ = 4ایکس 3 + 4ایکس + 0 = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2ایکس+ cosx;
g ’(ایکس) = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

مشتق از یک محصول

ریاضیات یک علم منطقی است، بنابراین بسیاری از مردم معتقدند که اگر مشتق حاصل با مجموع مشتقات برابر باشد، مشتق حاصلضرب است. ضربه"\u003e برابر با حاصل ضرب مشتقات است. اما انجیر برای شما! مشتق محصول با استفاده از یک فرمول کاملاً متفاوت محاسبه می شود. یعنی:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

فرمول ساده است، اما اغلب فراموش می شود. و نه تنها دانش آموزان، بلکه دانش آموزان نیز. نتیجه مشکلات حل نادرست است.

یک وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ایکس 3 cosx; g(ایکس) = (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس .

عملکرد f(ایکس) محصول دو تابع ابتدایی است، بنابراین همه چیز ساده است:

f ’(ایکس) = (ایکس 3 cos ایکس)’ = (ایکس 3)' cos ایکس + ایکس 3 (Cos ایکس)’ = 3ایکس 2 cos ایکس + ایکس 3 (-گناه ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس)

عملکرد g(ایکس) ضریب اول کمی پیچیده تر است، اما طرح کلی از این تغییر نمی کند. بدیهی است که اولین ضرب کننده تابع g(ایکس) چند جمله ای است و مشتق آن مشتق جمع است. ما داریم:

g ’(ایکس) = ((ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس)’ = (ایکس 2 + 7ایکس− 7)' · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) ( ه ایکس)’ = (2ایکس+ 7) · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس = ه ایکس(2 ایکس + 7 + ایکس 2 + 7ایکس −7) = (ایکس 2 + 9ایکس) · ه ایکس = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

پاسخ:
f ’(ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس);
g ’(ایکس) = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

توجه داشته باشید که در مرحله آخر، مشتق فاکتورسازی می شود. به طور رسمی، این ضروری نیست، اما بیشتر مشتقات به تنهایی محاسبه نمی شوند، بلکه برای کشف تابع محاسبه می شوند. این بدان معنی است که در ادامه مشتق برابر با صفر می شود، علائم آن مشخص می شود و غیره. برای چنین موردی، بهتر است یک عبارت تجزیه شده به عوامل باشد.

اگر دو عملکرد وجود دارد f(ایکس) و g(ایکس) و g(ایکس) ≠ 0 در مجموعه مورد علاقه ما، می توانیم یک تابع جدید تعریف کنیم ساعت(ایکس) = f(ایکس)/g(ایکس). برای چنین تابعی، می توانید مشتق را نیز پیدا کنید:

ضعیف نیست، درسته؟ منهای از کجا آمد؟ چرا g 2؟ اما اینجوری! این یکی از پیچیده ترین فرمول ها است - بدون بطری نمی توانید آن را بفهمید. بنابراین بهتر است با مثال های مشخص آن را مطالعه کنید.

یک وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید:

توابع ابتدایی در صورت و مخرج هر کسر وجود دارد، بنابراین تنها چیزی که ما نیاز داریم فرمول مشتق ضریب است:

طبق سنت، ما شمارنده را به فاکتورها تبدیل می کنیم - این پاسخ را بسیار ساده می کند:

یک تابع پیچیده لزوما فرمولی به طول نیم کیلومتر نیست. به عنوان مثال، برای گرفتن تابع کافی است f(ایکس) = گناه ایکسو متغیر را جایگزین کنید ایکس، بگو ، در ایکس 2 + ln ایکس. معلوم می شود f(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس) یک تابع پیچیده است. او همچنین یک مشتق دارد، اما یافتن آن طبق قوانینی که در بالا ذکر شد کار نخواهد کرد.

چگونه بودن؟ در چنین مواردی، جایگزینی یک متغیر و فرمول مشتق یک تابع مختلط کمک می کند:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی'، اگر ایکسجایگزین می شود تی(ایکس).

به عنوان یک قاعده، وضعیت با درک این فرمول حتی غم انگیزتر از مشتق ضریب است. بنابراین بهتر است آن را با مثال های خاص و با شرح مفصل هر مرحله توضیح دهیم.

یک وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ه 2ایکس + 3 ; g(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس)

توجه داشته باشید که اگر در تابع f(ایکس) به جای عبارت 2 ایکس+ 3 آسان خواهد بود ایکس، سپس یک تابع ابتدایی دریافت می کنیم f(ایکس) = ه ایکس. بنابراین، ما یک جایگزین انجام می دهیم: اجازه دهید 2 ایکس + 3 = تی, f(ایکس) = f(تی) = ه تی. ما به دنبال مشتق یک تابع پیچیده با فرمول هستیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (ه تی)’ · تی ’ = ه تی · تی ’

و اکنون - توجه! انجام یک تعویض معکوس: تی = 2ایکس+ 3. دریافت می کنیم:

f ’(ایکس) = ه تی · تی ’ = ه 2ایکس+ 3 (2 ایکس + 3)’ = ه 2ایکس+ 3 2 = 2 ه 2ایکس + 3

حالا بیایید به تابع نگاه کنیم g(ایکس). بدیهی است که نیاز به تعویض دارد. ایکس 2 + ln ایکس = تی. ما داریم:

g ’(ایکس) = g ’(تی) · تی= (گناه تی)’ · تی' = cos تی · تی ’

تعویض معکوس: تی = ایکس 2 + ln ایکس. سپس:

g ’(ایکس) = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · ( ایکس 2 + ln ایکس)' = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · (2 ایکس + 1/ایکس).

همین! همانطور که از عبارت آخر مشاهده می شود، کل مشکل به محاسبه مشتق جمع خلاصه شده است.

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2 ه 2ایکس + 3 ;
g ’(ایکس) = (2ایکس + 1/ایکس) cos ( ایکس 2 + ln ایکس).

اغلب در درس هایم به جای اصطلاح مشتق از کلمه سکته مغزی استفاده می کنم. به عنوان مثال، ضربه از مجموع برابر است با مجموع ضربه. این واضح تر است؟ خوب، این خوب است.

بنابراین، محاسبه مشتق به خلاص شدن از شر این سکته ها طبق قوانینی که در بالا توضیح داده شد، ختم می شود. به عنوان مثال آخر، اجازه دهید به توان مشتق با توان گویا برگردیم:

(ایکس n)’ = n · ایکس n − 1

کمتر کسی آن را در نقش می داند nممکن است یک عدد کسری باشد. به عنوان مثال، ریشه است ایکس 0.5. اما اگر چیزی روی حیله و تزویر در زیر ریشه وجود داشته باشد چه؟ باز هم یک عملکرد پیچیده به نظر می رسد - آنها دوست دارند چنین ساختارهایی را در آزمون ها و امتحانات ارائه دهند.

یک وظیفه. مشتق تابع را بیابید:

ابتدا، بیایید ریشه را به عنوان یک توان با توان گویا بازنویسی کنیم:

f(ایکس) = (ایکس 2 + 8ایکس − 7) 0,5 .

اکنون یک جایگزین می کنیم: اجازه دهید ایکس 2 + 8ایکس − 7 = تی. ما مشتق را با فرمول پیدا می کنیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (تی 0.5)' تی' = 0.5 تی-0.5 تی ’.

ما یک تعویض معکوس انجام می دهیم: تی = ایکس 2 + 8ایکس− 7. داریم:

f ’(ایکس) = 0.5 ( ایکس 2 + 8ایکس− 7) −0.5 ( ایکس 2 + 8ایکس− 7)' = 0.5 (2 ایکس+ 8) ( ایکس 2 + 8ایکس − 7) −0,5 .

در نهایت به ریشه ها بازگردیم: