انتگرال با حد بالایی بی نهایت. انتگرال نامناسب با حد انتگرال بی نهایت
دو نوع فواصل نامناسب را در نظر بگیرید:
- 1. انتگرال های نادرست از نوع اول با حدود نامتناهی ادغام.
- 2. انتگرال های نامناسب توابع نوع دوم با ناپیوستگی های بی نهایت.
انتگرال های نادرست از نوع اول با محدودیت های بی نهایت ادغام
تعریف: انتگرال های شکل: به انتگرال های نامناسب از نوع اول با حدود بی نهایت گفته می شود که با استفاده از حدود تعریف می شوند:
تعریف انتگرال های نامناسب در صورتی همگرا نامیده می شوند که حدهای محدودی وجود داشته باشد که این انتگرال ها توسط آنها تعیین شود.
انتگرال های نامناسب در صورتی که این حدود وجود نداشته باشند یا نامحدود باشند واگرا گفته می شود.
در واقع، اجازه دهید تابع f(x) برای هر مقدار x=v از بخش نیمه نامتناهی از توابع که داریم، تعریف و پیوسته باشد:
به 1 همگرا می شود. سپس طبق قضیه 1، انتگرال نامناسب تابع کوچکتر: نیز همگرا می شود و مقدار آن کمتر از 1 است.
قضیه 2. اگر برای توابع با علامت مثبت که نابرابری 0?g(x)?f(x) برقرار است، برای هر x؟ الف، انتگرال نامناسب تابع کوچکتر واگرا می شود، سپس انتگرال نامناسب تابع بزرگتر نیز واگرا می شود.
مثال. بررسی همگرایی انتگرال:
راه حل. بیایید انتگرال را با تابع مقایسه کنیم. برای علامت مثبت در فاصله )