ارتعاشات آزاد سیستم های با دو درجه آزادی. ارتعاشات آزاد کوچک سیستم های مکانیکی با دو درجه آزادی

در مرحله بعد، ثابت می کنیم که ریشه های معادله فرکانس (4.25) دو مقدار مثبت هستند به 2 و به 2(در تئوری نوسانات، یک شاخص کوچکتر مربوط به فرکانس کمتر است، به عنوان مثال. k ( برای این منظور ابتدا مفهوم فرکانس جزئی را معرفی می کنیم. این اصطلاح به عنوان فرکانس طبیعی یک سیستم با یک درجه آزادی که از سیستم اصلی با تثبیت همه مختصات تعمیم یافته به جز یک مختصات به دست می آید، فهمیده می شود. بنابراین برای مثال. ، اگر در اولین معادلات سیستم باشد ما (4.22) قبول می کنیم q 2 = 0، سپس فرکانس جزئی خواهد بود p (=yjc u /a n. به طور مشابه، ثابت کردن p 2 ~^c p / a 21.

برای اینکه معادله فرکانس (4.25) دو ریشه واقعی داشته باشد به xو ک 2، لازم و کافی است که اولاً نمودار تابع A (تا 2)در k = 0 دارای یک ارتین مثبت است و ثانیاً به طوری که از محور x عبور کند. مورد فرکانس های متعدد به (= به. ، و همچنین ناپدید شدن کمترین فرکانس، در اینجا در نظر گرفته نشده است. اولین مورد از این شرایط برآورده شده است، زیرا q (0) \u003d c „c 22 - با و> 0 تأیید صحت شرط دوم با جایگزینی به وابستگی آسان است (4.25) k = k = p 2 در حالی که A(p,2) اطلاعاتی از این دست در محاسبات مهندسی، پیش بینی ها و تخمین ها را تسهیل می کند.

دو مقدار فرکانس به دست آمده است به، و به 2مربوط به محلول های جزئی شکل (4.23) است، بنابراین راه حل کلی به شکل زیر است:

بنابراین، هر یک از مختصات تعمیم یافته در یک فرآیند نوسانی پیچیده شرکت می کند، که عبارت است از افزودن حرکات هارمونیک با فرکانس ها، دامنه ها و فازهای مختلف (شکل 4.6). فرکانس ها k tو به 2به طور کلی غیر قابل مقایسه هستند، بنابراین q v cتوابع تناوبی نیستند

برنج. 4.6

نسبت دامنه های نوسانات آزاد در یک فرکانس ثابت طبیعی را ضریب فرم می گویند. برای سیستمی با دو درجه آزادی، ضرایب شکل (3.= B.J.A."مستقیماً از معادلات (4.24) تعیین می شوند:

بنابراین، ضرایب شکل p، = B 1 /A [و r.,= V.، / A.،فقط به پارامترهای سیستم بستگی دارد و به شرایط اولیه بستگی ندارد. ضرایب فرم برای فرکانس طبیعی در نظر گرفته شده مشخص می شود به.توزیع دامنه ها در طول مدار نوسانی ترکیب این دامنه ها به اصطلاح را تشکیل می دهد شکل نوسان

ضریب شکل منفی به این معنی است که نوسانات در پادفاز هستند.

هنگام استفاده از برنامه های کامپیوتری استاندارد، گاهی اوقات آنها استفاده می کنند ضرایب شکل نرمال شدهاین اصطلاح قابل درک است

در شاخص p‘r ضریب منمربوط به عدد مختصات و شاخص است G-شماره فرکانس بدیهی است که یا به راحتی می توان فهمید که p*

در سیستم معادلات (4.28)، چهار مجهول باقی مانده A g A 2، oc، cx 2 با استفاده از شرایط اولیه تعیین می شوند:

وجود یک نیروی مقاومت خطی، درست مانند یک سیستم با یک درجه آزادی، منجر به میرایی نوسانات آزاد می شود.

برنج. 4.7

مثال. اجازه دهید فرکانس های طبیعی، فرکانس های جزئی و فاکتورهای شکلی را برای سیستم نوسانی که در شکل نشان داده شده است، تعیین کنیم. 4.7، آ.در نظر گرفتن مختصات تعمیم یافته جابجایی های مطلق mass.r، = q v x 2 = q. rاجازه دهید عبارات انرژی جنبشی و پتانسیل را بنویسیم:

به این ترتیب،

پس از جایگزینی در معادلات فرکانس (4.25)، به دست می آوریم

علاوه بر این، طبق (4.29)

روی انجیر 4.7، بشکل موج داده شده است. در شکل اول نوسان، جرم ها به طور همزمان در یک جهت حرکت می کنند و در حالت دوم، در جهت مخالف حرکت می کنند. علاوه بر این، در مورد دوم، یک مقطع ظاهر شد N،با فرکانس خاص خود در فرآیند نوسانی شرکت نمی کند k rاین به اصطلاح گره نوسانی

همانطور که می دانید جسمی که به هیچ وجه در حرکاتش محدودیت نداشته باشد، آزاد نامیده می شود، زیرا می تواند در هر جهتی حرکت کند. از این رو، هر جسم صلب آزاد شش درجه آزادی حرکت دارد. این قابلیت انجام حرکات زیر را دارد: سه حرکت انتقالی مربوط به سه سیستم مختصات اصلی و سه حرکت چرخشی حول این سه محور مختصات.

تحمیل پیوندها (تثبیت) تعداد درجات آزادی را کاهش می دهد. بنابراین، اگر جسم در یکی از نقاط خود ثابت باشد، نمی تواند در امتداد محورهای مختصات حرکت کند، حرکات آن تنها با چرخش حول این محورها محدود می شود، یعنی. بدن سه درجه آزادی دارد. در حالتی که دو نقطه ثابت هستند، جسم فقط یک درجه آزادی دارد، فقط می تواند حول یک خط (محور) که از هر دو نقطه عبور می کند بچرخد. و در نهایت، با سه نقطه ثابت که روی یک خط قرار ندارند، تعداد درجات آزادی صفر است و هیچ حرکتی وجود ندارد. در یک فرد، دستگاه غیرفعال حرکت از قسمت هایی از بدن او تشکیل شده است که به آنها پیوند می گویند. همه آنها به هم متصل هستند، بنابراین امکان سه نوع حرکت در امتداد محورهای مختصات را از دست می دهند. آنها فقط امکان چرخش حول این محورها را دارند. بنابراین حداکثر درجه آزادی که یک پیوند از بدن می تواند نسبت به پیوند دیگر مجاور آن داشته باشد سه است.

این به متحرک ترین مفاصل بدن انسان اشاره دارد که شکل کروی دارند.

اتصالات متوالی یا منشعب اعضای بدن (پیوندها) زنجیره های سینماتیکی را تشکیل می دهند.

یک شخص متمایز می شود:

• - زنجیره های سینماتیک بازداشتن یک انتهای متحرک آزاد که فقط در یکی از انتهای آن ثابت شده است (به عنوان مثال، یک بازو در رابطه با بدن).
• - زنجیره های سینماتیک بسته، در دو انتها ثابت شده است (مثلاً مهره - دنده - جناغ - دنده - مهره).

لازم به ذکر است که این در مورد دامنه حرکتی بالقوه در مفاصل صدق می کند. در واقعیت، در یک فرد زنده، این شاخص ها همیشه کمتر است، که توسط کارهای متعدد محققان داخلی - P. F. Lesgaft، M. F. Ivanitsky، M. G. Prives، N. G. Ozolin و دیگران ثابت شده است. یک فرد زنده تحت تأثیر تعدادی از عوامل مرتبط با سن، جنسیت، ویژگی های فردی، وضعیت عملکردی سیستم عصبی، میزان کشش عضلانی، دمای محیط، زمان روز و در نهایت، که برای ورزشکاران مهم است، درجه آمادگی جسمانی. بنابراین در تمام مفاصل استخوان (ناپیوسته و پیوسته) میزان تحرک در جوانان بیشتر از افراد مسن است. زنان به طور متوسط ​​بیشتر از مردان میزان تحرک تحت تأثیر میزان کشش عضلاتی است که در سمت مخالف حرکت قرار دارند و همچنین قدرت عضلاتی که این حرکت را ایجاد می کنند. هرچه ماهیچه اولی الاستیک‌تر و دومی قوی‌تر باشد، دامنه حرکتی در یک مفصل معین از استخوان‌ها بیشتر است و بالعکس. مشخص است که در یک اتاق سرد، حرکات نسبت به اتاق گرم دامنه کمتری دارد، در صبح کمتر از عصر است. استفاده از تمرینات مختلف به طرق مختلف بر تحرک مفاصل تأثیر می گذارد. بنابراین، تمرین سیستماتیک با تمرینات "انعطاف پذیری" باعث افزایش دامنه حرکت در مفاصل می شود، در حالی که تمرینات "قدرتی" برعکس آن را کاهش می دهد و منجر به "بردگی" مفاصل می شود. با این حال، کاهش دامنه حرکتی مفاصل در حین استفاده از تمرینات قدرتی مطلقاً اجتناب ناپذیر نیست. با ترکیب صحیح تمرینات قدرتی با تمرینات کششی برای همان گروه های عضلانی می توان از آن جلوگیری کرد.

در زنجیره‌های سینماتیک باز بدن انسان، تحرک در ده‌ها درجه آزادی محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، تحرک مچ نسبت به کتف و تحرک تارس نسبت به لگن هر کدام هفت درجه آزادی و نوک انگشتان دست نسبت به سینه دارای 16 درجه آزادی هستند. اگر تمام درجات آزادی اندام ها و سر را نسبت به بدن جمع کنیم، این عدد با عدد 105 که از حالت های زیر تشکیل شده است بیان می شود:

• - سر - 3 درجه آزادی؛
• - دست - 14 درجه آزادی؛
• - پاها - 12 درجه آزادی؛
• - دست و پا - 76 درجه آزادی.

برای مقایسه، اشاره می کنیم که اکثریت قریب به اتفاق ماشین ها تنها یک درجه آزادی حرکت دارند.

در اتصالات کروی، چرخش حول سه محور متقابل عمود بر هم امکان پذیر است. تعداد کل محورهایی که چرخش حول آنها در این اتصالات امکان پذیر است بی نهایت زیاد است. بنابراین در مورد اتصالات کروی می توان گفت که حلقه هایی که از شش درجه آزادی حرکت ممکن در آنها مفصل می شود دارای سه درجه آزادی و سه درجه اتصال هستند.

مفاصل با دو درجه آزادی حرکت و چهار درجه اتصال، تحرک کمتری دارند. اینها شامل مفاصل بیضی یا بیضی شکل و زین هستند، یعنی. دو محوری آنها می توانند حول این دو محور حرکت کنند.

یک درجه آزادی تحرک و در عین حال پنج درجه اتصال دارای پیوندهای بدن در آن مفاصل است که یک محور چرخش دارند، یعنی. دارای دو نقطه ثابت

در قسمت غالب مفاصل بدن انسان دو یا سه درجه آزادی وجود دارد. با چندین درجه آزادی حرکت (دو یا بیشتر)، تعداد بی نهایت مسیر ممکن است. مفاصل استخوان های جمجمه شش درجه اتصال دارند و غیر قابل حرکت هستند. اتصال استخوان ها به کمک غضروف ها و رباط ها (سینکوندروز و سیندسموز) در برخی موارد می تواند تحرک قابل توجهی داشته باشد که بستگی به خاصیت ارتجاعی و اندازه تشکیلات غضروفی یا بافت همبند واقع بین این استخوان ها دارد.

مکانیک نظری

UDC 531.8:621.8

D.M. Kobylyansky، V.F. Gorbunov، V.A. Gogolin

سازگاری چرخش و نوسانات اجسام با یک درجه آزادی

اجازه دهید یک جسم مسطح T را در نظر بگیریم، که بر روی آن سه محدودیت ایده‌آل اعمال می‌شود و فقط بدن را از حرکت در همه جهات جلوگیری می‌کند، همانطور که در شکل 1a نشان داده شده است. اتصالات نقاط A، B، C هستند که در راس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند. با انتخاب یک سیستم مختصات به طوری که مرکز آن با مرکز مثلث منطبق باشد و با آن تراز شود (شکل 1a)، مختصات پیوندها را داریم: ^-Ld/e /2; -I / 2) که در آن I فاصله مرکز مثلث تا رئوس آن است، یعنی شعاع دایره ای که از نقاط A، B، C می گذرد. ​​در این حالت، جسم یک درجه خواهد داشت. آزادی، تنها در صورتی که نرمال های مرز آن در نقاط A، B، C در یک نقطه تلاقی کنند که مرکز آنی سرعت ها خواهد بود. در غیر این صورت، تعداد درجات آزادی جسم برابر با صفر است و نه تنها نمی تواند به جلو حرکت کند، بلکه حرکت چرخشی را نیز انجام می دهد. وقتی جسمی یک درجه آزادی دارد، می تواند با مرکز چرخش آنی در نقطه تقاطع نرمال های فوق شروع به چرخش کند. بگذارید این نقطه مبدا مختصات باشد، نقطه O. اگر مرکز لحظه ای چرخش موقعیت خود را تغییر ندهد، تنها شکل ممکن جسم T دایره ای به شعاع R است که در مرکز نقطه O قرار دارد.

مشکل بوجود می آید - آیا اشکال دیگری از بدن وجود دارد که به آن اجازه می دهد نسبت به مرکز متحرک بچرخد تا

آیا بدن بدن به طور مداوم از سه نقطه A، B، C بدون قطع این اتصالات عبور کرده است؟ در ادبیات شناخته شده ما، چنین مشکلی مورد توجه قرار نگرفته است و ظاهراً برای اولین بار حل شده است.

برای حل این مشکل، ابتدا حرکت مثلث ABC را به عنوان یک جسم صلب نسبت به سیستم مختصات X1O1Y1 مرتبط با جسم T در نظر می گیریم (شکل 1b). سپس، اگر حرکت مثلث به گونه ای اتفاق بیفتد که وقتی مثلث به طور کامل 360 درجه بچرخد، رئوس آن به طور مداوم روی مرز جسم باقی بماند، آنگاه جسم نیز حرکت لازم را در جهت مخالف نسبت به مثلث ثابت ABC و سیستم مختصات XOU مرتبط با آن.

اجازه دهید حرکت مثلث ABC را به صورت چرخش حول مرکز O و جابجایی مرکز O در امتداد محور OіXi با /(r)، در امتداد محور OіUi با g(t) تنظیم کنیم. سپس معادله پارامتری مسیر نقطه A به صورت زیر خواهد بود: уі=г-єо،?ґ + g(t)، ґє (1)

از آنجایی که برای r=0 نقطه O باید با نقطه O1 منطبق باشد، شرط /(0)= g(0)=0 باید برآورده شود. ما نیاز داریم که هنگام چرخش از زاویه r=2n/3، نقطه A با نقطه B1، نقطه B با نقطه Ci و نقطه C منطبق باشد.

با نقطه A1. هنگام چرخش از زاویه r=4p/3، نقطه A باید به نقطه C1، نقطه B - به نقطه A1 و نقطه C - به نقطه B1 برود. ترکیب این الزامات برای حرکت رئوس مثلث منجر به شرایطی در مقادیر توابع حرکت مرکز چرخش می شود /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0. (2) شرایط (2) توسط دسته وسیعی از توابع، به ویژه، توابع شکل sin(3mt/2)، که در آن m یک عدد صحیح است، و ترکیبات خطی آنها با ضرایب معمولاً متغیر شکل برآورده می شوند:

H (r) \u003d ^ bm (r) 8n (3m / 2)

علاوه بر این، به عنوان

عکس. 1. طرح محاسبه: الف) - موقعیت یک بدن ثابت و اتصالات آن در سیستم HOU. ب) - موقعیت سیستم ثابت X1O1U1 مرتبط با بدنه، و سیستم متحرک XOU مرتبط با مثلث ABC

مکانیک نظری

شکل 2. اشکال اجسام و مسیر حرکت مراکز چرخش آنها

برنج. 3. موقعیت بدن هنگام چرخش از طریق یک زاویه در مسیر حرکت مرکز چرخش آن.

توابع جابجایی، می‌توان توابعی را که منحنی‌های بسته را تعریف می‌کنند، مانند سیکلوئیدها، تروکوئیدها، لمنسکیت‌ها، با پارامترهای مناسب با توجه به شرایط (2) انتخاب کرد. در این حالت، تمام توابع ممکن باید تناوبی با دوره 2n/3 باشند.

بنابراین، سیستم معادلات پارامتری (1) با شرایطی بر روی مقادیر توابع /(^، g(t) (2) یا به شکل آنها (3) معادله مورد نظر را برای مرز جسم T می دهد. شکل 2 نمونه هایی از اشکال بدن ممکن را نشان می دهد که شرایط کار را برآورده می کند.در مرکز هر شکل، مسیر مرکز چرخش O1 نشان داده شده است و اتصالات نقطه ای A، B، C برای تجسم بهتر آنها بزرگ شده است. مثال‌ها نشان می‌دهند که حتی انواع ساده توابع از کلاس تعریف شده با عبارت (3) با ضرایب ثابت، به مجموعه‌ای از منحنی‌های نسبتاً گسترده نیاز داریم که مرزهای اجسامی را که می‌چرخند و

نوسانات در همان زمان تنها با یک درجه آزادی. منحنی های مرزی a)، ج) در شکل 2 مربوط به حرکت مرکز چرخش فقط در امتداد محور افقی است.

ОіХі مطابق قانون هارمونیک، و ظاهراً دارای دو محور تقارن است و می تواند محدب محدب، بیضی (شکل 2a) یا ترکیب تحدب با تقعر (شکل 2b) باشد. با یک قانون هارمونیک عمودی و افقی با دامنه حرکت یکسان مرکز چرخش، منحنی های مرزی تقارن خود را از دست می دهند (شکل 2 c, d). تأثیر قابل توجهی از فرکانس نوسانات هارمونیک بر شکل منحنی مرزی بدنه در شکل 2 e، f. توانایی حل مسائل فنی با انتخاب فرم مورد نظر نشان داده شده است.

جسم برای ترکیب حرکت دورانی خود با نوسانات در صفحه چرخش.

با توجه به حرکت بدن نسبت به سیستم مختصات XOY ثابت مرتبط با مثلث ABC، یعنی عبور از سیستم مختصات X1O1Y1 به سیستم مختصات XOY، معادلات پارامتری زیر را از منحنی مرزی جسم برای یک به دست می آوریم. زاویه چرخش داده شده p x=cosp-

Cosp (4)

یا با در نظر گرفتن معادلات (1)، معادلات (4) به شکل x = cosp-

- [R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p، y = sin p +

Cos p.

معادلات (5) توصیف مسیر هر نقطه از بدن در امتداد قطبیت داده شده آن را ممکن می سازد.

t-g.i m*4<. п-і

t-ÍLÍtWM. d-0

برنج. 4. انواع اشکال بدن با تعداد پیوندهای متفاوت، که از سازگاری چرخش و ارتعاش اجسام اطمینان می دهد.

مختصات R,t. به طور خاص، در R=0، t=0 یک نقطه منطبق با مبدا Ob، یعنی مرکز چرخش، داریم که مسیر آن در طرح مورد بررسی با معادلات زیر از (5) توصیف می‌شود:

* 0 \u003d -f (f) cos f + g (f) sin f، y0 \u003d - f (f) sin f-g (f) cos p.

شکل 3 نمونه ای از موقعیت بدن را نشان می دهد (شکل 2b) زمانی که در یک زاویه φ می چرخد ​​و در مرکز هر شکل مسیر مرکز چرخش را نشان می دهد.

Оі ، مربوط به چرخش بدن در این زاویه است. از نظر فنی ساخت انیمیشن آسان است

حرکت بدن نشان داده شده در شکل 3 به جای یک مدل فیزیکی، با این حال، چارچوب یک مقاله ژورنالی فقط می تواند این اجازه را در یک نسخه الکترونیکی بدهد. مثال نشان داده شده بود

تعمیم مسئله در نظر گرفته شده سیستمی از n اتصال ایده آل به شکل نقاطی است که در راس یک n-gon منظم قرار دارند و فقط از حرکات انتقالی بدن جلوگیری می کنند. بنابراین، مانند یک مثلث، بدن می تواند شروع به چرخش در اطراف مرکز چرخش کند، که نقطه تلاقی نرمال ها با مرز جسم در نقاط اتصال است. در این صورت معادله مسیر نقطه جسم A که روی محور OY قرار دارد و از مرکز چرخش در فاصله R فاصله دارد، به شکل (1) خواهد بود. شرایط برای مقادیر توابع حرکت مرکز چرخش (2) در این مورد خواهد بود.

کوبیلیانسکی گوربونوف

دیمیتری میخائیلوویچ والری فدوروویچ

دانشجوی دکتری ثابت و - داک. فن آوری علوم، پروفسور کافه یکصد

وسایل نقلیه ثابت و وسایل نقلیه حمل و نقل

f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)

شرط (7) مربوط به توابع تناوبی با پریود 2n/n است، به عنوان مثال، 8m(n-m4/2)، و همچنین ترکیبات خطی آنها از شکل (3) و سایر توابع که منحنی های بسته را توصیف می کنند. استدلال مشابه با بالا منجر به همان معادلات (4-6) می شود که محاسبه شکل بدن، موقعیت آن در حین چرخش و مسیر مرکز چرخش را با ارتعاشات بدن مطابق با چرخش ممکن می سازد. نمونه ای از این محاسبات شکل 4 است که در آن خط نقطه چین موقعیت اولیه اجسام را نشان می دهد، خط ثابت موقعیت اجسام را هنگام چرخش از یک زاویه l / 3 نشان می دهد و در مرکز هر شکل، مسیر کامل مرکز چرخش زمانی که بدن به طور کامل بچرخد. و اگرچه در این مثال فقط حرکت افقی مرکز چرخش O به عنوان مرکز یک n-ضلعی در نظر گرفته شده است، نتایج به دست آمده طیف وسیعی از اشکال ممکن بدن را با یک درجه آزادی نشان می دهد که حرکت چرخشی را با ارتعاشات ترکیب می کند. در حضور چهار، پنج و شش اوراق قرضه.

روش به دست آمده برای محاسبه سازگاری حرکات چرخش و نوسان اجسام با یک درجه آزادی را می توان بدون هیچ گونه اضافاتی برای اجسام فضایی که در آنها حرکت در امتداد مختصات سوم و چرخش در سایر صفحات مختصات ممنوع است استفاده کرد.

گوگولین ویاچسلاو آناتولیویچ

دکتر. فن آوری علوم، پروفسور کافه ریاضیدان کاربردی و

نوسانات یک سیستم با چندین درجه آزادی که کاربردهای عملی مهمی دارند، از نظر تعدادی ویژگی اساسی با نوسانات یک سیستم با یک درجه آزادی متفاوت است. برای ارائه ایده ای از این ویژگی ها، مورد نوسانات آزاد یک سیستم با دو درجه آزادی را در نظر بگیرید.

اجازه دهید موقعیت سیستم با مختصات تعمیم یافته تعیین شود و اجازه دهید سیستم در تعادل پایدار باشد. سپس انرژی‌های جنبشی و پتانسیل سیستم، تا مربع‌های مقادیر کوچک را می‌توان به همان شکلی که برابری‌های (132)، (133) یافت شد، یافت و می‌توان به صورت زیر نمایش داد:

که در آن ضرایب اینرسی و ضرایب شبه الاستیک مقادیر ثابتی هستند. اگر از دو معادله لاگرانژ به شکل (131) استفاده کنیم و این مقادیر T و P را جایگزین آنها کنیم، معادلات دیفرانسیل زیر را برای نوسانات کوچک یک سیستم با دو درجه آزادی بدست می آوریم.

حل معادلات (145) را به شکل زیر جستجو می کنیم:

که در آن A، B، k، a ثابت هستند. با جایگزینی این مقادیر به معادله (145) و کاهش آن به دست می آید

برای اینکه معادلات (147) جواب های A و B را متفاوت از جولای بدهد، تعیین کننده این سیستم باید برابر با صفر باشد و یا در غیر این صورت ضرایب A و B در معادلات باید متناسب باشد، یعنی.

از اینجا برای تعریف، معادله زیر را به دست می آوریم که معادله فرکانس ها نام دارد.

ریشه های این معادله واقعی و مثبت است. این از نظر ریاضی ثابت می شود، اما می توان آن را با این واقعیت نیز توجیه کرد که در غیر این صورت معادلات (145) واقعی نخواهند بود و راه حل هایی به شکل (146) ندارند، که نمی تواند برای یک سیستم در تعادل پایدار باشد (پس از اغتشاش، آن باید نزدیک موقعیت حرکت کند

با تعریف nz (149)، دو مجموعه راه حل خاص به شکل (146) پیدا می کنیم. با توجه به اینکه طبق این تصمیمات:

مقادیری که من از (148) با و به ترتیب دریافت می کنم کجا و هستند.

نوسانات تعریف شده توسط معادلات (150) و (151) را نوسانات اصلی می نامند و فرکانس آنها و k فرکانسهای طبیعی سیستم هستند. در این حالت، یک نوسان با فرکانس (همیشه در حال تغییر) اولین نوسان اصلی و با یک فرکانس - دومین نوسان اصلی نامیده می شود. اعدادی که نسبت دامنه ها (یا خود مختصات، به عنوان مثال) را در هر یک از این نوسانات تعیین می کنند، ضرایب شکل نامیده می شوند.

از آنجایی که معادلات (145) خطی هستند، مجموع راه‌حل‌های خاص (150) و (151) نیز راه‌حل‌هایی برای این معادلات خواهند بود:

تساوی (152) که شامل چهار ثابت دلخواه تعیین شده از شرایط اولیه است، جواب کلی معادلات (145) را می دهد و قانون نوسانات کوچک سیستم را تعیین می کند. نوسانات از دو نوسان اصلی با فرکانس تشکیل شده اند و هارمونیک نیستند. در موارد خاص، در شرایط اولیه مناسب، سیستم می تواند یکی از نوسانات اصلی را انجام دهد (مثلاً اولین اگر ) و نوسان هارمونیک خواهد بود.

فرکانس های طبیعی و عوامل شکل به شرایط اولیه بستگی ندارند و از ویژگی های اصلی نوسانات کوچک سیستم هستند. حل مسائل خاص معمولاً به تعیین این ویژگی ها خلاصه می شود.

با مقایسه نتایج این بخش و بخش های قبل، می توان تصور کرد که مطالعه نوسانات میرایی و اجباری یک سیستم با دو درجه آزادی به چه چیزی کاهش می دهد. ما این را در نظر نخواهیم گرفت، فقط متذکر می شویم که در طول نوسانات اجباری، رزونانس چنین سیستمی می تواند دو بار رخ دهد: در و در (فرکانس نیروی مزاحم است). در نهایت متذکر می شویم که نوسانات یک سیستم با درجه آزادی s از نوسانات با فرکانس تشکیل می شود که باید از معادله درجه s با توجه به آن تعیین شود. ماشین های کامپیوترهای الکترونیکی (یا آنالوگ).

مسئله 185. بسامدها و ضرایب طبیعی شکل نوسانات کوچک یک آونگ فیزیکی دوتایی که توسط میله ها و 2 با جرم و طول l تشکیل شده است را تعیین کنید (شکل 374، a).

راه حل. ما زوایای کوچک را به عنوان مختصات تعمیم یافته انتخاب می کنیم. سپس، کجا و با دقت محاسباتی مورد نیاز، . در نهایت

در مورد خاص سیستمی با دو درجه آزادی، اشکال درجه دوم T، P و F به ترتیب برابر با

و معادلات دیفرانسیل نوسانات کوچک شکل می گیرند

ارتعاشات رایگان یک سیستم محافظه کار را در نظر بگیرید. در این مورد

و معادلات دیفرانسیل به شکل زیر است:

شرایط اولیه برای داشتن فرم:

با توجه به قطعیت مثبت شکل درجه دوم انرژی جنبشی، ضرایب اینرسی تعمیم یافته روابط را برآورده می کند.

و روابط مشابه برای ضرایب شبه الاستیک

شرایط کافی برای پایداری موقعیت تعادلی سیستم هستند.

ضرایب و با اتصال مختصات تعمیم یافته و در معادلات (4.5)، به ترتیب ضرایب جفت اینرسی و الاستیک نامیده می شوند. اگر سیستم نوسانی دارای ضریب باشد، سیستم با اتصال الاستیک و اگر سیستمی با اتصال اینرسی باشد نامیده می شود.

یک سیستم جزئی مربوط به مختصات تعمیم یافته، سیستم نوسانی شرطی با یک درجه آزادی نامیده می شود که از سیستم اصلی به دست می آید، اگر ممنوعیت تغییر همه مختصات تعمیم یافته اعمال شود، به جز . فرکانس های جزئی فرکانس های طبیعی سیستم های جزئی هستند:

از آنجایی که معادلات (4.5) فقط حاوی مختصات تعمیم یافته و مشتقات زمان دوم آنها هستند، ما به دنبال حل آنها در شکل هستیم.

که در آن مقادیر هنوز مشخص نشده است.

با جایگزینی (4.8) به (4.5) و معادل سازی ضرایب در سینوس ها، یک سیستم جبری همگن با توجه به و به دست می آوریم:

برای اینکه یک سیستم جبری همگن (4.9) جوابی غیر صفر داشته باشد، باید منحط باشد، یعنی: تعیین کننده آن باید صفر باشد:

در نتیجه، راه حل (4.7) تنها برای مقادیری که شرط (4.9) را برآورده می کنند، معنا خواهد داشت. با گسترش (4.10)، به دست می آوریم

معادله ای که به شکل (4.10)، (4.11) یا (4.12) ارائه می شود نامیده می شود. فرکانس.همانطور که از (4.12) مشاهده می شود، معادله فرکانس یک معادله دو درجه است. مقادیر یافت شده از (4.10) - (4.12) نامیده می شوند فرکانس های ویژه نوسانات سیستم.

مطالعه ریشه های معادله فرکانس به ما امکان می دهد تا نتایج زیر را بگیریم:

1) اگر موقعیت تعادل پایدار باشد، هر دو ریشه معادله فرکانس مثبت هستند.

2) اولین فرکانس طبیعی سیستم همیشه کمتر از فرکانس جزئی کوچکتر است و فرکانس دوم بزرگتر از فرکانس جزئی بزرگتر است.

برای سیستم های نوسانی با جفت الاستیک (= 0)، برابری

ما دو راه حل مستقل خاص متناظر با فرکانس ها و در فرم می نویسیم

که در آن رقم دوم در شاخص مربوط به عدد فرکانس یا عدد است زنگ های ارتعاشی

ثابت ها مستقل نیستند، زیرا سیستم (4.9) منحط است. ضرایب توسط روابط به هم مرتبط هستند

جایی که . (4.15)

جایی که . (4.16)

با در نظر گرفتن (4.15) و (4.16)، راه حل های خاص (4.14) شکل خواهند داشت.

نوساناتی که معادلات آنها شکل (4.17) دارند نامیده می شوند نوسانات عمدهآنها نوسانات هارمونیک با فرکانس و به ترتیب. ضرایب نامیده می شوند ضرایب توزیع دامنهآنها نسبت دامنه ها را در نوسانات اصلی مشخص می کنند فرمنوسانات اصلی

ضرایب توزیع دامنه ها و به تبع آن اشکال نوسانات اصلی و همچنین فرکانس های طبیعی توسط پارامترهای خود سیستم نوسانی تعیین می شود و به شرایط اولیه بستگی ندارد. بنابراین، شکل موج ها و همچنین فرکانس ها نامیده می شوند. حالت های خود ارتعاشبا نوسانات در لحن مربوطه.

جواب کلی سیستم معادلات (4.5) را می توان به صورت مجموع جواب های خاص یافت شده (4.17) نشان داد.

راه حل کلی شامل چهار ثابت نامعین است که باید از شرایط اولیه (4.6) تعیین شود.

در شرایط اولیه دلخواه، هم ثابت و هم غیر صفر هستند. این بدان معنی است که تغییر در زمان هر مختصات تعمیم یافته، مجموع نوسانات هارمونیک با فرکانس و . و این گونه نوسانات نه تنها غیر هارمونیک، بلکه در حالت کلی، و دوره ای نیستند.

اجازه دهید مورد نوسانات آزاد سیستم را در نظر بگیریم، زمانی که فرکانس های نوسان طبیعی سیستم و تفاوت کمی با یکدیگر دارند:

اجازه دهید تفاوت آرگومان های سینوس ها را در حل کلی (4.18) معادلات ارتعاشات آزاد نشان دهیم.

برای، و با افزایش زمان، این وابستگی به دلیل کوچک بودن آن بسیار کند افزایش می یابد. سپس

با در نظر گرفتن آخرین برابری، جواب کلی معادلات ارتعاشات آزاد (4.18) را می توان به صورت زیر نوشت:

در این معادلات

از آنجایی که عبارات (4.21) به و بستگی دارند، و زاویه به آرامی با زمان تغییر می کند، نوسانات در نظر گرفته شده (4.20) نوساناتی با دامنه در حال تغییر خواهند بود. دوره تغییر دامنه در این مورد بسیار بیشتر از دوره نوسان است (شکل 4.1). اگر ضرایب توزیع دامنه دارای علائم متفاوتی باشد، حداقل مربوط به حداکثر و بالعکس است. با تقویت اولین نوسان اصلی، شدت نوسان اصلی دوم کاهش می یابد و بالعکس، یعنی انرژی حرکت سیستم به طور متناوب مشخص می شود که در این یا آن پیوند این سیستم ارتعاشی متمرکز می شود. . چنین پدیده ای نامیده می شود كتك زدن.

روش دیگری برای حل مشکل ارتعاشات آزاد سیستم امکان پذیر است - یافتن چند مختصات تعمیم یافته جدید و به نام طبیعییا اصلی، که تحت هر شرایط اولیه، حرکت تک فرکانس و هارمونیک خواهد بود.

رابطه بین مختصات تعمیم یافته و انتخاب شده به صورت دلخواه و مختصات اصلی و می تواند به صورت زیر بیان شود:

ضرایب توزیع دامنه (ضرایب شکل) کجا و هستند. می توان نشان داد که انتقال از مختصات اولیه به مختصات اصلی، اشکال درجه دوم انرژی های جنبشی و پتانسیل را به شکل متعارف می آورد:

با جایگزینی عبارات (4.23) به دست آمده برای معادلات لاگرانژ نوع دوم، معادلات نوسانات کوچک سیستم را در مختصات اصلی بدست می آوریم: . عبارات انرژی جنبشی و پتانسیل یک شکل متعارف دارند: و