فرمول سرعت حرکت یک نقطه در امتداد دایره. من
در میان انواع مختلف حرکت منحنی، مورد توجه خاصی است حرکت یکنواخت یک جسم در دایره. این ساده ترین شکل حرکت منحنی است. در عین حال، هر حرکت منحنی خطی پیچیده یک جسم در یک بخش به اندازه کافی کوچک از مسیر آن را می توان تقریباً به عنوان حرکت یکنواخت در طول یک دایره در نظر گرفت.
چنین حرکتی توسط نقاط چرخان چرخان، روتورهای توربین، ماهواره های مصنوعی که در مدارها می چرخند و غیره انجام می شود. با حرکت یکنواخت در یک دایره، مقدار عددی سرعت ثابت می ماند. با این حال، جهت سرعت در طول چنین حرکتی دائما در حال تغییر است.
سرعت بدن در هر نقطه از مسیر منحنی به صورت مماس بر مسیر حرکت در این نقطه هدایت می شود. این را می توان با مشاهده کار یک سنگ تراش دیسکی شکل مشاهده کرد: با فشار دادن انتهای یک میله فولادی به یک سنگ در حال چرخش، می توانید ذرات داغ را مشاهده کنید که از سنگ جدا می شوند. این ذرات با همان سرعتی که در لحظه جدا شدن از سنگ داشتند پرواز می کنند. جهت جرقه ها همیشه با مماس بر دایره در نقطه ای که میله با سنگ برخورد می کند منطبق است. اسپری‌هایی که از چرخ‌های ماشین لغزنده نیز به صورت مماس روی دایره حرکت می‌کنند.
بنابراین، سرعت لحظه ای بدن در نقاط مختلف مسیر منحنی جهات مختلفی دارد، در حالی که مدول سرعت می تواند در همه جا یکسان باشد یا از نقطه ای به نقطه دیگر تغییر کند. اما حتی اگر مدول سرعت تغییر نکند، باز هم نمی توان آن را ثابت در نظر گرفت. به هر حال سرعت یک کمیت برداری است و برای کمیت های برداری مدول و جهت به یک اندازه مهم هستند. بنابراین حرکت منحنی همیشه شتاب می گیرد، حتی اگر مدول سرعت ثابت باشد.
حرکت منحنی می تواند مدول سرعت و جهت آن را تغییر دهد. حرکت منحنی که در آن مدول سرعت ثابت می ماند، نامیده می شود حرکت منحنی یکنواخت. شتاب در طول چنین حرکتی تنها با تغییر جهت بردار سرعت همراه است.
هم مدول و هم جهت شتاب باید به شکل مسیر منحنی بستگی داشته باشد. با این حال، لازم نیست هر یک از اشکال بی شمار آن را در نظر بگیریم. با نمایش هر بخش به عنوان یک دایره جداگانه با شعاع معین، مشکل یافتن شتاب در یک حرکت یکنواخت منحنی به یافتن شتاب در یک حرکت یکنواخت جسم به دور یک دایره کاهش می یابد.
حرکت یکنواخت در یک دایره با یک دوره و فرکانس گردش مشخص می شود.
مدت زمانی که یک بدن طول می کشد تا یک انقلاب انجام دهد نامیده می شود دوره گردش.
با حرکت یکنواخت در یک دایره، دوره چرخش با تقسیم مسافت طی شده، یعنی محیط دایره بر سرعت حرکت تعیین می شود:
متقابل یک دوره نامیده می شود فرکانس گردش، که با حرف مشخص می شود ν . تعداد دور در واحد زمان ν تماس گرفت فرکانس گردش:
به دلیل تغییر مداوم جهت سرعت، جسمی که در یک دایره حرکت می کند دارای شتابی است که سرعت تغییر در جهت آن را مشخص می کند، مقدار عددی سرعت در این حالت تغییر نمی کند.
با حرکت یکنواخت یک جسم در امتداد یک دایره، شتاب در هر نقطه از آن همیشه عمود بر سرعت حرکت در امتداد شعاع دایره به مرکز آن است و نامیده می شود. شتاب گریز از مرکز.
برای یافتن مقدار آن، نسبت تغییر بردار سرعت را به بازه زمانی که این تغییر طی آن رخ داده است، در نظر بگیرید. از آنجایی که زاویه بسیار کوچک است، داریم
در این درس، حرکت منحنی، یعنی حرکت یکنواخت یک جسم در یک دایره را در نظر خواهیم گرفت. ما یاد خواهیم گرفت که سرعت خطی چیست، شتاب مرکزگرا هنگامی که یک جسم در یک دایره حرکت می کند. ما همچنین کمیت هایی را معرفی می کنیم که حرکت دورانی را مشخص می کنند (دوره چرخش، فرکانس چرخش، سرعت زاویه ای)، و این کمیت ها را با یکدیگر مرتبط می کنیم.
با حرکت یکنواخت در یک دایره درک می شود که بدن برای هر دوره زمانی یکسان در همان زاویه می چرخد (شکل 6 را ببینید).
برنج. 6. حرکت دایره ای یکنواخت
یعنی ماژول سرعت لحظه ای تغییر نمی کند:
این سرعت نامیده می شود خطی.
اگرچه مدول سرعت تغییر نمی کند، اما جهت سرعت به طور مداوم تغییر می کند. بردارهای سرعت را در نقاط در نظر بگیرید آو ب(شکل 7 را ببینید). آنها در جهت های مختلف هدایت می شوند، بنابراین آنها برابر نیستند. اگر از سرعت در نقطه کم شود بسرعت نقطه آ، یک بردار می گیریم.
برنج. 7. بردارهای سرعت
نسبت تغییر سرعت () به زمانی که در طی آن این تغییر رخ داده است () شتاب است.
بنابراین، هر حرکت منحنی شتاب می گیرد.
اگر مثلث سرعت به دست آمده در شکل 7 را در نظر بگیریم، با آرایش بسیار نزدیک نقاط آو بنسبت به یکدیگر، زاویه (α) بین بردارهای سرعت نزدیک به صفر خواهد بود:
همچنین مشخص است که این مثلث متساوی الساقین است، بنابراین مدول های سرعت برابر هستند (حرکت یکنواخت):
بنابراین، هر دو زاویه در قاعده این مثلث به طور نامحدود نزدیک به:
این بدان معنی است که شتابی که در امتداد بردار هدایت می شود در واقع عمود بر مماس است. مشخص است که یک خط در یک دایره عمود بر مماس یک شعاع است، بنابراین شتاب در امتداد شعاع به سمت مرکز دایره هدایت می شود. این شتاب مرکز محور نامیده می شود.
شکل 8 مثلث سرعت ها را که قبلاً بحث شد و یک مثلث متساوی الساقین (دو ضلع شعاع یک دایره) را نشان می دهد. این مثلث ها مشابه هستند، زیرا دارای زوایای مساوی هستند که توسط خطوط متقابل عمود بر هم تشکیل شده اند (شعاع، مانند بردار، عمود بر مماس است).
برنج. 8. تصویری برای استخراج فرمول شتاب مرکزگرا
بخش خط ABحرکت () است. ما حرکت دایره ای یکنواخت را در نظر می گیریم، بنابراین:
عبارت بدست آمده را جایگزین می کنیم ABبه فرمول تشابه مثلث:
مفاهیم "سرعت خطی"، "شتاب"، "مختصات" برای توصیف حرکت در طول یک مسیر منحنی کافی نیست. بنابراین، لازم است کمیت های مشخص کننده حرکت چرخشی معرفی شوند.
1. دوره چرخش (تی ) زمان یک انقلاب کامل نامیده می شود. در واحد SI در ثانیه اندازه گیری می شود.
نمونه هایی از دوره ها: زمین در 24 ساعت () و به دور خورشید - در 1 سال () به دور محور خود می چرخد.
فرمول محاسبه دوره:
زمان کل چرخش کجاست - تعداد انقلاب ها
2. فرکانس چرخش (n ) - تعداد دورهایی که بدن در واحد زمان انجام می دهد. در واحدهای SI در ثانیه های متقابل اندازه گیری می شود.
فرمول یافتن فرکانس:
زمان کل چرخش کجاست - تعداد انقلاب ها
فرکانس و دوره با هم نسبت عکس دارند:
3. سرعت زاویهای () نسبت تغییر زاویه چرخش بدن به زمانی که در طی آن این چرخش اتفاق افتاده نامیده می شود. در واحدهای SI بر حسب رادیان تقسیم بر ثانیه اندازه گیری می شود.
فرمول برای یافتن سرعت زاویه ای:
تغییر زاویه کجاست زمانی است که نوبت انجام شد.
حرکت چرخشی حول یک محور ثابت یکی دیگر از موارد خاص حرکت یک جسم صلب است.
حرکت چرخشی یک جسم صلب حول یک محور ثابت
حرکت آن نامیده می شود که در آن تمام نقاط بدن دایره هایی را توصیف می کنند که مراکز آنها روی یک خط مستقیم قرار دارند که به آن محور چرخش می گویند، در حالی که صفحاتی که این دایره ها به آنها تعلق دارند عمود هستند. محورهای چرخش
(شکل 2.4).
در فناوری، این نوع حرکت بسیار رایج است: به عنوان مثال، چرخش شفت موتورها و ژنراتورها، توربین ها و پروانه های هواپیما.
سرعت زاویهای
. هر نقطه از جسمی که حول محوری می چرخد که از یک نقطه می گذرد O، به صورت دایره ای حرکت می کند و نقاط مختلف مسیرهای مختلفی را در زمان طی می کنند. بنابراین، بنابراین، مدول سرعت نقطه ولیبیشتر از نقطه AT (شکل 2.5). اما شعاع دایره ها در زمان با همان زاویه می چرخند. زاویه - زاویه بین محور اوهو بردار شعاع، که موقعیت نقطه A را تعیین می کند (شکل 2.5 را ببینید).
اجازه دهید بدن به طور یکنواخت بچرخد، یعنی در هر بازه زمانی مساوی در زوایای یکسان بچرخد. سرعت چرخش جسم به زاویه چرخش بردار شعاع بستگی دارد که موقعیت یکی از نقاط جسم صلب را برای یک دوره زمانی معین تعیین می کند. مشخص می شود سرعت زاویهای
.
به عنوان مثال، اگر یک جسم در هر ثانیه یک زاویه بچرخد، و دیگری با یک زاویه، می گوییم که جسم اول 2 برابر سریعتر از بدن دوم می چرخد.
سرعت زاویه ای بدن با چرخش یکنواخت
مقداری برابر با نسبت زاویه چرخش جسم به فاصله زمانی که این چرخش در آن رخ داده است نامیده می شود.
سرعت زاویه ای را با حرف یونانی نشان خواهیم داد ω
(امگا). سپس طبق تعریف
سرعت زاویه ای بر حسب رادیان بر ثانیه (rad/s) بیان می شود.
برای مثال، سرعت زاویهای چرخش زمین به دور محور آن 0.0000727 راد بر ثانیه و سرعت چرخش چرخ سنگ‌زنی حدود 140 راد بر ثانیه است.
سرعت زاویه ای را می توان بر حسب بیان کرد سرعت چرخشی
، یعنی تعداد دورهای کامل در 1 ثانیه. اگر بدن (حرف یونانی "nu") در 1 ثانیه بچرخد، زمان یک دور برابر با ثانیه است. این زمان نامیده می شود دوره چرخش
و با حرف مشخص می شود تی. بنابراین، رابطه بین فرکانس و دوره چرخش را می توان به صورت زیر نشان داد:
چرخش کامل بدن با زاویه مطابقت دارد. بنابراین طبق فرمول (2.1)
اگر با چرخش یکنواخت، سرعت زاویه ای و در لحظه ابتدایی زمان زاویه چرخش مشخص باشد، زاویه چرخش جسم در طول زمان تیمطابق رابطه (2.1) برابر است با:
اگر، پس، یا 
.
اگر زاویه بین بردار شعاع که موقعیت یکی از نقاط جسم صلب را تعیین می کند، سرعت زاویه ای مقادیر مثبت می گیرد و محور. اوهافزایش می یابد و زمانی که کاهش می یابد منفی است.
بنابراین، ما می توانیم موقعیت نقاط یک جسم در حال چرخش را در هر زمان توصیف کنیم.
رابطه بین سرعت های خطی و زاویه ای.
سرعت حرکت یک نقطه در یک دایره اغلب نامیده می شود سرعت خطی
برای تأکید بر تفاوت آن با سرعت زاویه ای.
قبلاً متذکر شدیم که وقتی یک جسم صلب می‌چرخد، نقاط مختلف آن دارای سرعت‌های خطی نابرابر هستند، اما سرعت زاویهای برای همه نقاط یکسان است.
بین سرعت خطی هر نقطه از جسم در حال چرخش و سرعت زاویه ای آن ارتباط وجود دارد. بیایید آن را نصب کنیم. نقطه ای روی دایره با شعاع آرزیرا یک انقلاب راه را خواهد پوشاند. از آنجایی که زمان یک چرخش بدن دوره است تی، سپس ماژول سرعت خطی نقطه را می توان به صورت زیر یافت:
حرکت دایره ای حالت خاصی از حرکت منحنی است. سرعت بدن در هر نقطه از مسیر منحنی به صورت مماس بر آن هدایت می شود (شکل 2.1). در این حالت، سرعت به عنوان یک بردار می تواند هم در مقدار مطلق (مقدار) و هم در جهت تغییر کند. اگر ماژول سرعت 
بدون تغییر باقی می ماند، سپس از آن صحبت می شود حرکت منحنی یکنواخت
بگذارید جسم به صورت دایره ای با سرعت ثابت از نقطه 1 به نقطه 2 حرکت کند.
در این حالت، بدن مسیری برابر با طول قوس ℓ 12 بین نقاط 1 و 2 در زمان t را می‌پوشاند. در همان زمان t، شعاع بردار R که از مرکز دایره 0 به نقطه کشیده شده است، در زاویه Δφ می چرخد.
بردار سرعت در نقطه 2 با بردار سرعت در نقطه 1 متفاوت است جهتتوسط ΔV:
;
برای مشخص کردن تغییر بردار سرعت توسط δv، شتاب را معرفی می کنیم:
(2.4)
بردار 
در هر نقطه از مسیر در امتداد شعاع Rk هدایت می شود مرکزدایره عمود بر بردار سرعت V 2 . بنابراین، شتاب 
، که تغییر سرعت را در طول حرکت منحنی مشخص می کند 
در جهت، نامیده می شود مرکزگرا یا عادی. بنابراین، حرکت یک نقطه در امتداد یک دایره با سرعت مدول ثابت است شتاب گرفت.
اگر سرعت 
نه تنها در جهت، بلکه در مقدار مطلق (مقدار)، سپس علاوه بر شتاب عادی نیز تغییر می کند 
همچنین معرفی کنید مماس (مماسی)شتاب 
، که تغییر سرعت را در قدر مشخص می کند:
یا 
وکتور جهت دار 
به طور مماس در هر نقطه از مسیر (یعنی منطبق با جهت بردار 
). زاویه بین بردارها 
و 
برابر 90 0 است.
شتاب کل نقطه ای که در امتداد یک مسیر منحنی حرکت می کند به عنوان مجموع برداری تعریف می شود (شکل 2.1.).
.
مدول برداری 
.
سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای
هنگام جابجایی یک نقطه مادی اطراف محیطشعاع-بردار R که از مرکز دایره O به نقطه کشیده شده است، در زاویه Δφ می چرخد (شکل 2.1). برای توصیف چرخش، مفاهیم سرعت زاویه ای ω و شتاب زاویه ای ε معرفی شده اند.
زاویه φ را می توان بر حسب رادیان اندازه گیری کرد. 1 رادبرابر با زاویه ای است که روی قوس ℓ برابر با شعاع R دایره است، یعنی.
یا ℓ
12
=
آرφ
(2.5.)
ما معادله (2.5.) را متمایز می کنیم.
(2.6.)
مقدار dℓ/dt=V inst. مقدار ω \u003d dφ / dt نامیده می شود سرعت زاویهای(بر حسب راد/ثانیه اندازه گیری می شود). رابطه بین سرعت های خطی و زاویه ای را بدست می آوریم:
کمیت ω بردار است. جهت برداری 
مشخص قاعده پیچ (گیملت).: منطبق بر جهت حرکت پیچ، جهت گیری در امتداد محور چرخش نقطه یا بدنه و چرخش در جهت چرخش بدنه (شکل 2.2)، یعنی. 
.
شتاب زاویه ای
به نام مشتق کمی بردار سرعت زاویه ای (شتاب لحظه ای زاویه ای)
,
(2.8.)
بردار 
با محور چرخش منطبق است و در همان جهت بردار هدایت می شود 
، اگر چرخش شتاب داشته باشد و در جهت مخالف اگر چرخش کند باشد.
سرعتnبدن در واحد زمان نامیده می شودسرعت .
زمان T یک چرخش کامل بدن نامیده می شوددوره چرخش . که در آنآرزاویه Δφ=2π رادیان را توصیف می کند
با توجه به آنچه گفته شد
,
(2.9)
معادله (2.8) را می توان به صورت زیر نوشت:
(2.10)
سپس جزء مماسی شتاب
و =R(2.11)
شتاب نرمال a n را می توان به صورت زیر بیان کرد:
از نظر (2.7) و (2.9)
(2.12)
سپس شتاب کامل
برای حرکت چرخشی با شتاب زاویه ای ثابت ، معادله سینماتیک را می توان با قیاس با معادله (2.1) - (2.3) برای حرکت انتقالی نوشت:
,
.
هنگام توصیف حرکت یک نقطه در امتداد یک دایره، حرکت یک نقطه را با یک زاویه مشخص می کنیم Δφ ، که بردار شعاع نقطه در زمان را توصیف می کند Δt. جابجایی زاویه ای در بازه زمانی بینهایت کوچک dtنشان داده شده است dφ.
جابجایی زاویه ای یک کمیت برداری است. جهت بردار (یا ) بر اساس قاعده گیملت تعیین می شود: اگر گیره (پیچ با نخ سمت راست) را در جهت حرکت نقطه بچرخانید، گیره در جهت زاویه ای حرکت می کند. بردار جابجایی روی انجیر 14 نقطه M در جهت عقربه های ساعت حرکت می کند، اگر به صفحه حرکت از پایین نگاه کنید. اگر گیملت را در این جهت بچرخانید، بردار به سمت بالا هدایت می شود.
بنابراین، جهت بردار جابجایی زاویه ای با انتخاب جهت مثبت چرخش تعیین می شود. جهت مثبت چرخش توسط قانون گیملت با نخ های سمت راست تعیین می شود. با این حال، با همان موفقیت می‌توان با نخ سمت چپ یک گیملت گرفت. در این حالت جهت بردار جابجایی زاویه ای مخالف خواهد بود.
هنگام در نظر گرفتن مقادیری مانند سرعت، شتاب، بردار جابجایی، مسئله انتخاب جهت آنها مطرح نشد: به روشی طبیعی از ماهیت خود کمیت ها تعیین شد. چنین بردارهایی قطبی نامیده می شوند. بردارهای مشابه بردار جابجایی زاویه ای نامیده می شوند محوری،یا شبه بردارها. جهت بردار محوری با انتخاب جهت مثبت چرخش تعیین می شود. علاوه بر این، بردار محوری نقطه کاربرد ندارد. بردارهای قطبیکه تا اینجا در نظر گرفتیم، برای یک نقطه متحرک اعمال می شود. برای یک بردار محوری، فقط می توانید جهت (محور، محور - عرض) را مشخص کنید که در امتداد آن هدایت می شود. محوری که بردار جابجایی زاویه ای در امتداد آن قرار دارد بر صفحه چرخش عمود است. معمولاً بردار جابجایی زاویهای بر روی محوری که از مرکز دایره عبور می‌کند (شکل 14) نشان داده می‌شود، اگرچه می‌توان آن را در هر جایی ترسیم کرد، از جمله در محوری که از نقطه مورد نظر عبور می‌کند.
در سیستم SI، زاویه ها بر حسب رادیان اندازه گیری می شوند. رادیان زاویه ای است که طول قوس آن برابر با شعاع دایره است. بنابراین، زاویه کل (360 0) 2π رادیان است.
حرکت یک نقطه به دور یک دایره
سرعت زاویهاییک کمیت برداری است که از نظر عددی برابر با زاویه چرخش در واحد زمان است. سرعت زاویه ای را معمولا با حرف یونانی ω نشان می دهند. طبق تعریف، سرعت زاویه ای مشتق یک زاویه نسبت به زمان است:
. (19)
جهت بردار سرعت زاویه ای با جهت بردار جابجایی زاویه ای منطبق است (شکل 14). بردار سرعت زاویه ای، مانند بردار جابجایی زاویه ای، یک بردار محوری است.
واحد سرعت زاویه ای راد بر ثانیه است.
چرخش با سرعت زاویه ای ثابت یکنواخت نامیده می شود، در حالی که ω = φ/t.
چرخش یکنواخت را می توان با دوره چرخش T مشخص کرد، که به عنوان زمانی درک می شود که در طی آن بدن یک دور می چرخد، یعنی در یک زاویه 2π می چرخد. از آنجایی که فاصله زمانی Δt = Т مربوط به زاویه چرخش Δφ = 2π است، پس
(20)
تعداد دور در واحد زمان ν به وضوح برابر است با:
(21)
مقدار ν بر حسب هرتز (Hz) اندازه گیری می شود. یک هرتز یک دور در ثانیه یا 2π راد بر ثانیه است.
مفاهیم دوره چرخش و تعداد دور در واحد زمان را می توان برای چرخش غیر یکنواخت نیز حفظ کرد، با درک مقدار لحظه ای T زمانی که در طی آن بدن اگر به طور یکنواخت با مقدار لحظه ای معین بچرخد یک دور کامل می کند. سرعت زاویه ای، و با ν، درک تعداد دورهایی که یک جسم در هر واحد زمان در شرایط مشابه انجام می دهد.
اگر سرعت زاویه ای با زمان تغییر کند، چرخش غیر یکنواخت نامیده می شود. در این صورت وارد کنید شتاب زاویه ایهمانطور که شتاب خطی برای حرکت مستقیم معرفی شد. شتاب زاویه ای تغییر در سرعت زاویه ای در واحد زمان است که به عنوان مشتق سرعت زاویه ای نسبت به زمان یا مشتق دوم جابجایی زاویه ای نسبت به زمان محاسبه می شود:
(22)
درست مانند سرعت زاویه ای، شتاب زاویه ای یک کمیت برداری است. بردار شتاب زاویه ای یک بردار محوری است، در مورد چرخش شتاب دار در همان جهت بردار سرعت زاویه ای هدایت می شود (شکل 14). در مورد چرخش آهسته، بردار شتاب زاویه ای مخالف بردار سرعت زاویه ای است.
در مورد حرکت چرخشی متغیر یکنواخت، روابطی مشابه فرمول های (10) و (11) که حرکت مستطیل متغیر یکنواخت را توصیف می کنند، رخ می دهد:
ω = ω 0 ± εt،
.