Интеграл с бесконечным верхним пределом. Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования

Рассмотрим два вида несобственных интервалов:

• 1. Несобственные интегралы I-го рода с бесконечными пределами интегрирования;
• 2. Несобственные интегралы II-го рода от функций с бесконечными разрывами.

Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами интегрирования

Определение: Интегралы вида: называются несобственными интегралами I-го рода с бесконечными пределами, которые определяются с помощью пределов:

Определение Несобственные интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы, с помощью которых эти интегралы определяются.

Несобственные интегралы называются расходящимися, если эти пределы не существуют или бесконечные.

Действительно, пусть функция f(x) определена и непрерывна при любом значении x=в из полубесконечного отрезка функций имеем:

Он сходится к 1. Тогда согласно теореме 1 несобственный интеграл от меньшей функции: также сходится и его значение меньше 1.

Теорема 2. Если для знакоположительных функций, для которых выполняется неравенство 0?g(x)?f(x), при любых х? а, несобственный интеграл от меньшей функции расходится, то расходится и несобственный интеграл от большей функции.

Пример. Исследовать сходимость интеграла:

Решение. Сравним подинтегральную функцию с функцией. Для знакоположительных на интервале }