Найти угол треугольника если известны две стороны. Как найти длину третьей стороны треугольника

Треугольник - самая простая геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех вершин. Благодаря своей простоте треугольник с античных времен используется для проведения различных измерений, а сегодня фигура может пригодиться для решения практических и бытовых задач.

Особенности треугольника

Фигура издревле используется для вычислений, к примеру, землемеры и астрономы оперируют свойствами треугольников для вычисления площадей и расстояний. Через площадь этой фигуры легко выразить площадь любого n-угольника, и это свойство было использовано античными учеными для выведения формул площадей многоугольников. Постоянная работа с треугольниками, в особенности с прямоугольным треугольником, стала основной для целого раздела математики - тригонометрии.

Геометрия треугольника

Свойства геометрической фигуры изучались с древних времен: самая ранняя информация о треугольнике была найдена в египетских папирусах 4000-летней давности. Затем фигуру изучали в Древней Греции и наибольший вклад в геометрию треугольника внесли Евклид, Пифагор и Герон. Изучение треугольника никогда не прекращалось, и в 18-м веке Леонард Эйлер ввел понятие ортоцентра фигуры и окружности Эйлера. На рубеже 19 и 20 веков, когда казалось, что о треугольнике известно абсолютно все, Фрэнк Морли сформулировал теорему о трисектрисах угла, а Вацлав Серпинский предложил треугольник-фрактал.

Существует несколько видов плоских треугольников, знакомых нам со школьного курса геометрии:

остроугольный - все углы фигуры острые;
тупоугольный - у фигуры есть один тупой угол (больше 90 градусов);
прямоугольный - фигура содержит один прямой угол, равный 90 градусов;
равнобедренный - треугольник с двумя равными сторонами;
равносторонний - треугольник со всеми равными сторонами.
В реальной жизни встречаются все виды треугольников, и в некоторых случаях нам может потребоваться вычислить площадь геометрической фигуры.

Площадь треугольника

Площадь - это оценка того, какую часть плоскости ограничивает фигура. Площадь треугольника можно найти шестью способами, оперируя сторонами, высотой, величинами углов, радиусом вписанной или описанной окружности, а также используя формулу Герона или вычисляя двойной интеграл по линиям, ограничивающим плоскость. Самая простая формула для вычисления площади треугольника выглядит как:

где a - сторона треугольника, h - его высота.

Однако на практике нам не всегда удобно находить высоту геометрической фигуры. Алгоритм нашего калькулятора позволяет вычислять площадь, зная:

три стороны;
две стороны и угол между ними;
одну сторону и два угла.

Для определения площади через три стороны мы используем формулу Герона:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

где p - полупериметр треугольника.

Вычисление площади по двум сторонам и углу производятся по классической формуле:

S = a × b × sin(alfa),

где alfa - угол между сторонами a и b.

Для определения площади через одну сторону и два угла мы используем соотношение, что:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Используя простую пропорцию, мы определяем длину второй стороны, после чего рассчитываем площадь по формуле S = a × b × sin(alfa). Данный алгоритм полностью автоматизирован и вам необходимо только внести заданные переменные и получить результат. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из жизни

Тротуарная плитка

Допустим, вы хотите замостить пол треугольной плиткой, и чтобы определить количество необходимого материала, вам следует узнать площадь одной плитки и площадь пола. Пусть нужно обработать 6 квадратных метров поверхности, используя плитку, размеры которой составляют a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см. Очевидно, что для вычисления площади треугольника калькулятор использует формулу Герона и выдаст результат:

Таким образом, площадь одного элемента плитки составит 0,021 квадратный метр, и вам понадобится 6/0,021 = 285 треугольников для благоустройства пола. Числа 20, 21 и 29 составляют пифагорову тройку - числа, которые удовлетворяют теореме Пифагора. И верно, наш калькулятор также рассчитал все углы треугольника, и угол гамма составляет именно 90 градусов.

Школьная задача

В школьной задаче необходимо отыскать площадь треугольника, зная, что сторона a = 5 см, а углы альфа и бета раны 30 и 50 градусов соответственно. Для решения этой задачи вручную мы вначале нашли бы значение стороны b, используя пропорцию соотношения сторон и синусов противолежащих углов, после чего определили площадь с использованием простой формулы S = a × b × sin(alfa). Давайте сэкономим время, введем данные в форму калькулятора и получим мгновенный ответ

При использовании калькулятора важно корректно указать углы и стороны, иначе результат будет неверным.

Заключение

Треугольник - уникальная фигура, которая встречается как в реальной жизни, так и в абстрактных расчетах. Используйте наш онлайн-калькулятор для определения площади треугольников любых видов.

Следующий уникальный калькулятор служит для перевода экзотических единиц длины в…

Следующий онлайн калькулятор о фунтах. Ранее он был очень популярен,…

Следующий онлайн калькулятор может вычислить уровень жидкости в цилиндрической таре…

Следующий онлайн калькулятор переводит температуры между разными шкалами. Помните калькулятор…

Следующий калькулятор интересен тем, что он переводит древние российские денежные…

Следующий калькулятор будет очень полезен тем, кто решил купить или…

Следующий калькулятор работает очень просто, вам нужно ввести всего одно…

Следующий онлайн калькулятор считает рост человека благодаря русской системе мер…

Следующий онлайн калькулятор может вычислить габариты экрана телевизоров, компьютеров, проекторов,…

Перед вами 2 калькулятора: один поможет вам подобрать формат снимков…

Следующие 2 калькуляторы переводят заданное число плиток в квадратные метры…

Перед вами 2 онлайн-калькулятора. Они переводят меры площади из метрической…

Следующий необычный калькулятор переводит меры длины из русской системы в…

Перед вами 2 калькулятора, которые предназначены для перевода мер длины…

Следующий простенький калькулятор переводит введенную вами toC из кельвинов в…

Следующий калькулятор предназначен для перевода кг в фунты. Также есть…

В задачах по геометрии для разных классов целью или промежуточным действием является нахождение угла треугольника. Разберем, как это делается в разных видах треугольников.

Универсальные формулы, чтобы узнать угол треугольника

Формулы, приведенные ниже, подойдут для любого типа треугольников.

∠А = 180°-(∠В+∠С) (т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°).
∠А = 180°-∠OAB (т.к. ∠OAB внешний).

Узнать угол в равнобедренном треугольнике

Равнобедренный треугольник можно опознать по двум равным боковым сторонам или по двум равным углам.

∠B = 180°-2 ∠A.
∠А =∠С (т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны).
Если ∠А=60°, то все углы равны 60°, а треугольник ABC — равносторонний.

Узнать угол в прямоугольном треугольнике

Углы в прямоугольном треугольнике можно найти либо одним из способов, представленных в пункте 1, либо при помощи тригонометрических функций — синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Тригонометрические функции

Если вам даны две стороны, найти угол можно по следующему алгоритму:

Смотрим, какими являются данные стороны по отношению к прямому углу (катет, гипотенуза) и углу, который нужно найти (прилежащий/противолежащий катет).
Находим тригонометрическую функцию, которая подходит нам.
Находим, чему она равна, подставив значения данных сторон.
Вычисляем угол при помощи обратной функции (арксинус, арккосинус и т.д.).

Теоремы синуса и косинуса

Сами теоремы вы видите на картинке ниже. С помощью них можно узнать косинус или синус интересующего вас угла, и через него вычислить значение.