Как находится периметр треугольника формула. Cледствия из аксиомы. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:


∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .


Вертикальные углы равны

Теорема 2.Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Теперь мы используем конгруэнцию треугольников, которые мы показали в видео 1. Вычитаем теперь уравнение 2 из уравнения. Теперь добавим два уравнения. Теперь переведем уравнение в левое верхнее и удалим вторичные вычисления. Но это еще не все. Нам нужна теорема косинуса для вывода формулы. Итак, пришло время создать какой-то порядок. Мы числиваем уравнения от 1 до 4 и продолжаем вычисление. Сначала мы используем 4 в 2. Теперь мы приводим дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю. Это соответствует биномиальной формуле.

Уравнение 2 больше не требуется, и мы можем его опустить. Вместо него уравнение ниже, которое мы, тем не менее, еще что-то преобразуем. И когда мы смотрим на счетчик и знаменатель ниже корня в правой части уравнения, биномиальная формула смеется над нами в лицо. Итак, не забудьте редьку, мы можем сделать запись в уравнении 5. Итак, теперь мы можем удалить подсчет в нижнем правом углу, и нам больше не нужно уравнение 4. И это уже не сложно. Подставим теперь уравнения 1 и 5 в уравнение (3). Над перерывом остается корень.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1.Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 - смежные, углы 1 и 3 - вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Теперь мы приводим скобку, которая находится перед корнем, к корню, а под корнем получаем квадратный знак, тогда все в порядке. Центр круга описан в этой статье. Также показан соответствующий пример. Эта статья относится к нашей категории «Математика».

До этого, однако, вы должны знать, что такое круг. Центр окружности, т.е. точка пересечения центров, принадлежит к прекрасным точкам треугольника. Эта точка эквидистантна из всех трех вершин треугольника. Ниже мы объясним, как определить точку центра периметра. Теперь мы рисуем центр справа от каждой стороны треугольника. Центральная линия является нормальной на стороне и уменьшает ее.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.


АН - перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Площадь и периметр треугольника

Центр справа с первой стороны. Центр справа со второй стороны. И теперь, что с третьей стороны. Мы начнем с простейшей концепции, а именно, чтобы узнать, что есть и как. Периметр треугольника равен сумме длины его сторон. Поэтому рассчитать это просто: вы должны знать или измерять значение каждой стороны и просто суммы.

Пример. Если нас попросили рассчитать периметр треугольника фигуры, мы просто добавим значение его сторон. Пример: если нужно вычислить площадь треугольника фигуры, вы должны умножить основание по высоте и разделить между двумя. Теперь есть случаи других треугольников, где построение высоты не так просто или лучше сказано как ясно. Давайте посмотрим на другой случай, когда необходимо нарисовать высоту в сторону продолжения одной из сторон.


Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Четырехзвенная замкнутая ломаная линия - четырехугольник

Трехзвенная замкнутая ломаная линия - треугольник

Пример: если вы столкнулись с проблемой вычисления площади треугольника, как фигура, в этих случаях необходимо нарисовать высоту, как показано на изображении, то есть от верхней вершины до продолжения визуального отображения основание треугольника. Сегодня мы увидим, что такое периметр треугольника, будь то равносторонний, равнобедренный или скалярный, которые являются тремя формами треугольника, которые существуют.

Каков периметр равностороннего треугольника

Периметр треугольника состоит из суммы каждой из трех сторон. Поскольку существует три типа треугольников, мы собираемся разделить их по частям, чтобы увидеть, что такое периметр каждого из них. Равносторонний треугольник имеет все равные части, т.е. каждая из его трех сторон имеет одинаковую длину, поэтому они образуют идеальный треугольник, как видно на рисунке.

Плоскость , как и прямая, - это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.

Примером плоскости является поверхность вашего рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно изобразить как заштрихованную
геометрическую фигуру:

Чтобы найти периметр равностороннего треугольника, нам просто нужно добавить длину каждой из его сторон, или, если угодно, мы можем умножить 1 на 3, так что формула будет выглядеть так. Скальнейский треугольник - это тот, который не имеет ни одной из трех равных сторон, поэтому он является абсолютно неравномерным треугольником.

Равнобедренный треугольник - это тот, который имеет 2 из трех равных частей и, чтобы найти его периметр, мы должны умножить одну из двух равных частей на 2 и добавить другую. Чтобы увидеть это более четко, мы оставляем вам формулу. И с этим мы знаем, как найти периметр любого треугольника.

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
2 . Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2.Окружность называется вписанной в треугольник , если она касается всех его сторон. Окружность называется описанной около треугольника , если она проходит через все его вершины. Теорема 1. Центр окружности , вписанной в треугольник , является точкой пересечения его биссектрис.12 окт. 2013 г.

Вы также можете добавить каждую сторону любого треугольника, если вам это проще, поскольку периметр - это просто контур, так как мы схватываем и растягиваем треугольник, чтобы измерить его по прямой. Как скалярный треугольник, так и равнобедренные могут стать правым треугольником, но только тогда, когда две его стороны образуют угол 90 °, поэтому формула для определения периметра правого треугольника будет такой же, как и у этих.

Вычислить периметр треугольника

Один из плоских фигур равен сумме длин его сторон. Поэтому периметр треугольника получается путем добавления его трех сторон. Согласно типу треугольника формула периметра этого отличается. Периметр равностороннего треугольника: равносторонний треугольник имеет 3 равные стороны, т.е. периметр будет в 3 раза длиннее одной стороны. Периметр равнобедренного треугольника: три стороны треугольника должны быть добавлены вместе. Когда получаются две одинаковые стороны, периметр будет в два раза больше постоянной и неровной. Периметр скальенового треугольника: в треугольнике сглаживания 3 стороны различны. Периметр правого треугольника: это сумма трех сторон. Сумма его трех сторон будет его периметром. . Периметр чрезвычайно полезен, потому что он позволяет рассчитать предел поверхности, например: если мы знаем, что периметр поля будет способствовать соответствующему выбору материала, необходимого для окружения, а также является фундаментальным материалом при проектировании безопасности соседства закрытый или дом.

Катет, лежащий против угла 30 градусов

Утверждение

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Cледствия из аксиомы

След­ствие1:

Если пря­мая пе­ре­се­ка­ет одну из па­рал­лель­ных пря­мых, то она пе­ре­се­ка­ет и дру­гую.

Периметр - простая 3 простая проблема. Периметр любой геометрической фигуры соответствует сумме длины всех ее сторон, и для этого существуют математические формулы, которые помогают нам ее найти. В случае треугольников следует отметить, что расчет варьируется в зависимости от типа треугольника и в этой статье. Как мы объясняем подробно, равно ли он равносторонний, равнобедренный или скалярный.

Рассчитать периметр равностороннего треугольника

Равносторонние треугольники - это те, у которых три стороны имеют одинаковую длину, и поэтому они также измеряют одну и ту же длину. Таким образом, чтобы получить периметр равностороннего треугольника, вы должны умножить на три значение длины его стороны.

Дано: .

До­ка­зать: .

До­ка­за­тель­ство:

Будем до­ка­зы­вать от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что с не пе­ре­се­ка­ет пря­мую b (Рис. 4).

Тогда: (по усло­вию), (по пред­по­ло­же­нию). То есть через точку М про­хо­дят две пря­мые (а и c ), па­рал­лель­ные пря­мой b . А это про­ти­во­ре­чит ак­сио­ме. Зна­чит, наше пред­по­ло­же­ние невер­ное. Тогда пря­мая c пе­ре­се­чет пря­мую b .

Вычислить периметр равнобедренного треугольника

Давайте посмотрим на пример, чтобы лучше понять. Вычислите периметр равностороннего треугольника 6 см сбоку. С другой стороны, равнобедренные треугольники - это те, в которых две из их сторон равны, а одна - другая, что будет основой. Итак, в этом случае, чтобы найти периметр треугольника, следует применить формулу, в которой говорится, что вы должны умножить на два значение стороны и добавить длину базы.

Наконец, последний треугольник - это скальне, где каждая сторона имеет другой размер. Поэтому в этом случае он должен быть ограничен добавлением значения трех длин, чтобы таким образом получить периметр. Круг фигуры расположен, собирая все его стороны. Что нам нужно знать о прямоугольнике? У него две равные две стороны. Чтобы найти его тур, соберите все его стороны. Пример: 3 см 3 см 6 см 6 см = 6 см 12 см = 18 см - окружность прямоугольника. Старшие ученики начинают облегчать свою работу с помощью формул. Что нам нужно знать о площади? Помните формулу! Чтобы найти окружность треугольника, вам сначала нужно знать, что это такое, а затем собрать его стороны. Типы треугольников по странам: поиск равносторонней треугольной окружности Что вы должны знать о равностороннем треугольнике? Поиск равнобедренного треугольника. Что вам нужно знать об равнобедренном треугольнике? Бедра имеют одинаковую длину. 2 см 5 см 5 см = 9 см - окружность равнобедренного треугольника. Нахождение равнобедренного треугольника. Поиск окружной окружности треугольника Что вам нужно знать об универсальном треугольнике? Все его стороны разные. Чтобы найти тур, соберите его стороны. 6 см 5 см 2 см = 11 см 2 см = 13 см - окружность универсального треугольника. Нахождение окружности треугольника вариаций.

  • Представьте себе муравей, идущий вокруг ограды парка.
  • Этот парк может быть в разных формах.
  • Муравей путешествует по парку снаружи.
  • Расстояние, которое проходит, называется кругом.
  • Тур - это расстояние вокруг фигуры.
Мы можем найти содержание треугольника двумя основными способами.

След­ствие 2:

Если две пря­мые па­рал­лель­ны тре­тьей пря­мой, то они па­рал­лель­ны (Рис. 5).

Дано: .

До­ка­зать: .

До­ка­за­тель­ство:

Будем до­ка­зы­вать от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что пря­мые a и b пе­ре­се­ка­ют­ся в неко­то­рой точке М (Рис. 6).

Либо добавьте треугольник к параллелограмму, и вычислите содержимое этого параллелограмма, либо используйте формулу Херона. Во-первых, давайте посмотрим, как мы подсчитали содержание треугольника, когда это был прямоугольный треугольник. Мы добавили треугольник в прямоугольник, вычислили содержимое этого прямоугольника и разделили результат на два. Графически это иллюстрируется следующим рисунком.

Но треугольник, который не является прямоугольным, не может быть легко пополнен на прямоугольнике. Но мы можем добавить его к параллелограмму. Вопрос в том, как мы вычисляем содержимое этого параллелепипеда. Мы не можем умножить две смежные стороны, как в случае прямоугольника. Однако из этого параллелограмма мы можем просто создать прямоугольник, который будет иметь тот же контент, что и параллелограмм. Верно, что следующие красные треугольники имеют одинаковый контент.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие с ак­си­о­мой: через точку М про­хо­дят две пря­мые, од­но­вре­мен­но па­рал­лель­ные тре­тьей пря­мой.

Сле­до­ва­тель­но, наше пред­по­ло­же­ние невер­но. Тогда .

Билет№7

1. У́гол - геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называетсявершиной угла) .

Это уже прямоугольник, и его содержимое равно произведению длин двух соседних сторон. Итак, что мы можем написать о содержимом этого прямоугольника? Это содержание равно.

Но треугольник, который не является прямоугольным, не может быть легко пополнен на прямоугольнике. Но мы можем добавить его к параллелограмму. Вопрос в том, как мы вычисляем содержимое этого параллелепипеда. Мы не можем умножить две смежные стороны, как в случае прямоугольника. Однако из этого параллелограмма мы можем просто создать прямоугольник, который будет иметь тот же контент, что и параллелограмм. Верно, что следующие красные треугольники имеют одинаковый контент.

Измерение углов основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус - угол, равный 1/180 части развернутого угла.


Транспортир

Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла. Для измерения углов используется транспортир (рис.1).


∠AOB = 150°

На рисунке 2 изображен угол АОВ, градусная мера которого равна 150°. Обычно говорят кратко: «Угол АОВ равен 150°» - и пишут: Z АОВ = 150°.

1/60 часть градуса называется минутой, а 1/60 часть минуты - секундой. Минуты обозначают знаком «′», а секунды - знаком «″». Например, угол в 68 градусов, 32 минуты и 27 секунд обозначается так: 68°32′27″.

Если два угла равны, то градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т. е. равные углы имеют равные градусные меры. Если же один угол меньше другого, то в нем градус (или его часть) укладывается меньшее число раз, чем в другом угле, т. е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Так как градус составляет 1/180: часть развернутого угла, то развернутый угол равен 180°. Неразвернутый угол меньше 180°, так как он меньше развернутого.


∠AOC = 40°, ∠COB= 120°, ∠AOB = 160°

На рисунке 3 изображены лучи с началом в точке О. Луч ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Мы видим, что ∠ АОС = 40°, ∠ СОВ = 120°, ∠ АОВ = 160° .

Таким образом, ∠ АОС + ∠ COB = ∠ АОВ .

Ясно, что и во всех других случаях, когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Каждый угол имеет определенную градусную меру, больше нуля. Развернутый угол равен 180 градусов.Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом,проходящим между его сторонами

2Вто­рой при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков:

Если сто­ро­на и два при­ле­жа­щих к ней угла од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­роне и двум при­ле­жа­щим к ней углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, такие тре­уголь­ни­ки равны.

Тео­ре­ма: Дано . До­ка­зать: АВС и .

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним на­ло­же­ние дан­ных в усло­вии фигур. В ре­зуль­та­те дан­но­го дей­ствия вер­ши­ны А и А 1 , , от­рез­ки АС и А 1 С 1 сов­па­да­ют. Если рас­смат­ри­вать тре­уголь­ни­ки в целом, то сов­па­дет с .

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Билет№8

Билет№9

Билет№10

1.Прямоуго́льный треуго́льник - этотреугольник , в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов). Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрииНа этом видеоуроке к изучению предлагается тема «Признаки равенства прямоугольных треугольников». В ходе урока вы сможете продолжить разговор о свойствах прямоугольного треугольника. Учитель напомнит признаки равенства обычных треугольников, а затем перейдет к признакам равенства прямоугольных треугольников, которые тесно связаны между собой.

Билет 11.

Билет 12

2 8.4. Построение треугольника по трем сторонам

Построить треугольник с данными сторонами a , b , c .

Построение. С помощью линейки проведем произвольную прямую и отметим на ней произвольную точку B . Раствором циркуля, равным a , описываем окружность с центром в точке B и радиусом a . Пусть C – точка ее пересечения с прямой. Далее описываем окружность с центром в точке B радиуса c и с центром в точке C радиуса b . Пусть A – точка пересечения построенных окружностей. Треугольник ABC – искомый.

Нужно построить треугольник по трем его сторонам при условии, что отрезок a должен принадлежать данному лучу, а один из концов отрезка c должен совпадать с точкой B . Треугольник должен быть отложен от луча в верхнюю полуплоскость.

Билет 13

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости. Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Перпендикуляр к прямой

Что такое перпендикуляр к прямой? Как построить перпендикуляр к прямой? Сколько перпендикуляров можно провести из точки к прямой? Что такое наклонная? Что называется проекцией наклонной? Об этом - ниже.

Определение.

Перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую a - это отрезок, лежащий на прямой, перпендикулярной прямой a, один конец которого - точка A, второй - точка пересечения этих двух прямых.

2. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в точке А . Получим точкуВ и точку С .

2 С центром в точке В проведем окружность произвольным радиусом. 3 Этим же раствором циркуля проведём окружность с центром в точке С . Получим точку К . 4 Из точки А , через точку К проведём луч. Он будет являться биссектрисой угла А .

Билет 14

1. Треугольник называетсяравнобедренным, если у него две стороны равны.
Эти равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона называетсяоснованием треугольника.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным , если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°.
Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называетсягипотенузой , две другие стороны называются катетами .

Треугольник называется остроугольным, если все три его угла - острые, то есть меньше 90°.

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов - тупой, то есть больше 90°.

2. 8.2. Деление отрезка пополам

Анализ. Пусть [AB ] – данный отрезок, точка O – его середина, прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку AB . Выберем произвольную точку C на прямой a , отличную от точки O . В треугольнике ACB CO – одновременно медиана и высота. Следовательно, треугольник ACB равнобедренный, и AC = BC . Отсюда возникает следующий способ построения точки O – середины отрезка AB .

Билет 15.

Билет 16.

2. Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).

Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 - внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.

Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).

Билет 17

1. Правильный (или равносторонний)треугольник - это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильноготреугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. Вравностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Билет 18

1. Прямоуго́льный треуго́льник - это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов). Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.

1. Катет- одна из двух сторон, образующих прямой угол в прямоугольном треугольнике.

Гипотенуза (греч. ὑποτείνουσα, натянутая) - самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: квадрат длиныгипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

· (Теорема Пифагора)

· Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов. То есть,

· Для медиан , и выполняется следующее соотношение:

· В частности, медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Высота прямоугольного треугольника.

Если высота проведена из вершины с прямым углом к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует, что в обозначениях, показанных на диаграмме:

· Высота есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею сегментов гипотенузы, то есть

(иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника )

· Каждый катет треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть

· В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, то есть

Кроме того высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:

Также если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то высота, опущенная на гипотенузу будет равна:

2. Построение угла, равного данному

(для демонстрации последовательно нажимайте кнопки с номерами)

Проведём произвольно луч ЕD .
С центром в точке В проведем окружность произвольным радиусом. Получим точки M и N .
Этим же раствором циркуля проведём окружность с центром в точке E . Получим точку К .
Сделаем раствор циркуля равным расстоянию между точками M и N .
Не меняя раствора циркуля проводим окружность с центром в точке К . Получим точку F .
Из точки Е через точку F проведём луч. Получим угол DEF равный углу АВС .

Билет 19

1. Отрезок прямой - часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называютсяконцами отрезка ) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки и , обозначается символом . Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают .

Свойства измерения отрезка:
1.Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.
2.Длина отрезка равняется сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей внутренней точкой.
3.Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка AB .
4.При этом, если точки A и B совпадают, будем считать, что расстояние между ними равно нулю.
5.Два отрезка называются равными, если равны их длины.

1. Угол-часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки.

Развернутый угол - это угол, стороны которого составляют прямую (рис. 1).

Градусная мера развернутого угла равна .

Что изучает геометрия?

Геометрия изучает форму предметов, определяет их размеры и взаимное расположение.

Многие предметы имеют прямоугольную форму, другие круглую, третьи - треугольную. Бывают и более сложные формы.

Если посмотреть более внимательно, то можно заметить, что тот же прямоугольник состоит из четырех отрезков, которые образуют его стороны. Т. е. можно сказать, что большинство фигур состоит из более простых фигур. Все фигуры состоят из точек. Поэтому точку можно считать простейшим элементом.

При описании фигур важно ни только указать геометрические примитивы, из которых она состоит, но и "отношения" между ними. Например, прямоугольник не просто состоит из четырех отрезков, но они должны быть соединены между собой; углы, образуемые соединенными отрезками, должны быть прямыми; кроме того отрезки должны быть попарно равны, и отрезки с одинаковой длинной располагаться на противоположных сторонах.

В то же время прямоугольники бывают разными. Один более вытянутый по одной стороне и больше похожий на брусок, у другого ширина и длина не сильно отличаются, и такой прямоугольник похож на квадрат. Ну и понятно, прямоугольники могут различаться по своим размерам. Все это говорит о том, что под термином "прямоугольник" мы понимаем множество фигур, удовлетворяющих определенным требованиям.

Геометрия - древняя наука. Она возникла около 4-5 тыс. лет назад. Людям с древних времен требовалось измерять земельные участки, расстояния, различные предметы, делать замеры при постройке зданий. Слово «геомет­рия» в переводе с греческого означает «землемерие».

Сначала в истории накапливались правила различных геометрических построений. Потом в Древней Греции появились ученые, которые привнесли в геометрию много нового. В частности начали уделять большую роль рассуждениям, на основе которых можно было открыть новые факты и закономерности. Можно сказать, что геометрия как наука сформировалась к началу нашей эры.

Практическое значение геометрии велико. Кроме того, она учит человека рассуждать, видеть мир форм в их взаимосвязи и взаимодействии.

Наука геометрия делится на два больших раздела - планиметрию и стереометрию. Планиметрия изучает фигуры на плоскости. Это прямоугольники, треугольники, окружности, трапеции, иные четырехугольники. Стереометрия изучает фигуры в трехмерном пространстве. Это шар, куб, цилиндр, пирамида и многие другие.

еометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида.Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамкахаксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался отаксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.

Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году и содержащая в своей основеинвариантность геометрических объектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сих пор.

Периметр треугольника, формула.

Треугольник это многоугольник с тремя сторонами. Стороны треугольника обозначаются малыми буквами, соответствующими обозначению противоположных вершин.Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

2. Сме́жные углы́ - это пара углов с общей вершиной и одной общей стороной. Две другие стороны составляют продолжение одна другой и образуют прямую линию. Таким образом, вместе смежные углы составляют развёрнутый угол. То есть, величина угла, являющимся смежным для угла величиной α градусов, будет (180 - α) градусов. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.


Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1.Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.


Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

3 методика:По трем данным сторонамПо двум данным сторонам прямоугольного треугольникаПо двум данным сторонам и углу между ними

Периметр – это общая длина границ двумерной формы. Если вы хотите найти периметр треугольника, то вы должны сложить длины всех его сторон; если вы не знаете длину хотя бы одной стороны треугольника, необходимо найти ее. Эта статья расскажет вам, (а) как найти периметр треугольника по трем известным сторонам; (б) как найти периметр прямоугольного треугольника, когда известны только две стороны; (в) как найти периметр любого треугольника, когда даны две стороны и угол между ними (используя теорему косинусов).

Шаги

Метод 1 из 3: По трем данным сторонам

Метод 2 из 3: По двум данным сторонам прямоугольного треугольника



Метод 3 из 3: По двум данным сторонам и углу между ними

  1. 1 Любую сторону треугольника можно найти по теореме косинусов, если вам даны две стороны и угол между ними. Эта теорема применяется к любым треугольникам и является очень полезной формулой. Теорема косинусов: c2 = a2 + b2 - 2abcos(C), где a, b, c – стороны треугольника, А, B, С – углы, противолежащие соответствующим сторонам треугольника.
  2. 2 Нарисуйте треугольник и обозначьте стороны как a, b, c; обозначьте противолежащие соответствующим сторонам углы как A, B, C (то есть угол, противолежащий стороне «а», обозначьте как «А» и так далее).
    • Например, дан треугольник со сторонами 10 и 12 и углом между ними в 97°, то есть a = 10, b = 12, C = 97°.
  3. 3 Подставьте данные вам значения в формулу и найдите неизвестную сторону «с». Сначала возведите в квадрат длины известных сторон и сложите полученные значения. Затем найдите косинус угла С (с помощью калькулятора или онлайн-калькулятора). Умножьте длины известных сторон на косинус данного угла и на 2 (2abcos(C)). Полученное значение вычтите из суммы квадратов двух сторон (a2 + b2), и вы получите c2. Из этой величины извлеките квадратный корень, чтобы найти длину неизвестной стороны «с». В нашем примере:
    • c2 = 102 + 122 - 2 × 10 × 12 × cos(97)
    • c2 = 100 + 144 – (240 × -0,12187)
    • c2 = 244 – (-29,25)
    • c2 = 244 + 29,25
    • c2 = 273,25
    • c = 16,53
  4. 4 Сложите длины трех сторон, чтобы найти периметр. Напомним, что периметр вычисляется по формуле: P = a + b + c.
    • В нашем примере: Р = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.