Прямоугольный прямоугольник. Прямоугольник. Определение и свойства

У которого все углы прямые (равны 90 градусам)

Примечание . В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый (в силу о углов ) также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360° - прямоугольников не существует.

Свойства

Диагонали прямоугольника равны.
Прямоугольник является параллелограммом - его противоположные стороны параллельны.
Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
диагонали прямоугольника равен сумме двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
Около любого прямоугольника можно описать , причем диагональ прямоугольника равна описанной окружности.

Площадь и периметр

Величина площади прямоугольника равна произведению ширины прямоугольника на его длину (высоту).
Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.

Признаки

Параллелограмм является прямоугольником, если выполняются условия:

Если 4 угла равны 90 градусам, то это прямоугольник
Если диагонали параллелограмма равны.
Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов не противолежащих сторон.

Стороны и диагонали

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной - длину более короткой пары сторон.
Длина диагонали прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины.

География, биология, химия, алгебра, геометрия... Школьникам приходится иметь дело с множеством сведений из самых различных наук. Однако есть области знаний, в которых достаточно просто разобраться, ознакомившись с их основными законами. К ним относится и геометрия. Чтобы познать все тонкости этой науки, надо обязательно познакомиться с ее азами, аксиомами. Ведь без основ в геометрии никуда.

Определение прямоугольника

Прямоугольник - это геометрическая фигура с четырьмя прямыми углами. Определение довольно простое, но не стоит думать, что у школьника не возникнет проблем с изучением такой темы, ведь здесь есть ряд особенностей. Размеры прямоугольника зависят от длины его сторон, которые наиболее часто обозначаются латинскими буквами а и b.

Свойства прямоугольника

стороны, лежащие друга против друга, равны и параллельны;
диагонали фигуры равны;
точка пересечения диагоналей делит их пополам;
прямоугольник можно поделить на два равных

Признаки прямоугольника

Существует всего три признака, которыми обладает прямоугольник. Вот они:

параллелограмм с равными диагоналями - это прямоугольник;
параллелограмм с одним прямым углом - это прямоугольник;
четырехугольник с тремя прямыми углами - это прямоугольник.

Еще немного интересного

Итак, что такое прямоугольник, теперь понятно, но какую роль он играет в геометрических задачах и при измерениях на практике, еще предстоит разобраться. Так, в первую очередь надо сказать, что это наиболее удобная геометрическая фигура, при помощи которой можно делить площадь на участки и на открытой местности, и в помещениях. Что такое прямоугольник? Как известно, он является четырехугольником. Существует множество разновидностей последнего, среди которых можно назвать трапецию (только две стороны равны), параллелограмм (противоположные стороны параллельны), квадрат (все углы и стороны одинаковые), ромб (параллелограмм с равными сторонами) и другие. Частным же случаем прямоугольника является квадрат, у которого все углы прямые, а стороны равны.

Нельзя говорить о том, что такое прямоугольник, и не упомянуть о том, как же определить его размеры. Площадью этой принято считать произведение ее ширины на длину, а периметр же, как и у любой фигуры, равняется сумме длин всех сторон. В данном случае он также равен удвоенной сумме длины и ширины, поскольку противолежащие стороны прямоугольника равны. Теперь вы знаете, что такое прямоугольник и что с ним делать, решая задачи и постигая секреты такой загадочной и таинственной науки, как геометрия.

4. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диагональ квадрата :

5. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диаметр окружности (описанной):

6. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны противолежащей этому углу:

7. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через косинус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны у этого угла:

8. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

Угол между стороной и диагональю прямоугольника.

Формулы для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника:

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:

Угол между диагоналями прямоугольника.

Формулы для определения угла меж диагоналей прямоугольника:

1. Формула определения угла меж диагоналей прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

β = 2α

2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ.

Решение задач с четырехугольниками - один из наиболее обширных разделов геометрии, доставляющий школьникам немало трудностей. Предлагаем вам разобраться с типичными задачами, в которых требуется найти ширину прямоугольника.

Прежде всего, необходимо вспомнить, что это за фигура и какие ее основные свойства. Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны равны. Горизонтальную сторону называют шириной прямоугольника, а вертикальную - длиной.

Задача 1. Вычисляем ширину, зная периметр

Разберем этот тип задач на примере следующего задания. Дан прямоугольник, периметр которого равен 36 см, а длина - 16 см. Необходимо найти ширину. Периметр - это сумма сторон фигуры. Поскольку противоположные стороны прямоугольника равны, то формула его периметра имеет следующий вид: Р = 2(а+b), где а и b стороны прямоугольника.

Получаем:

b = Р:2 - а = 36:2-16=2 (см)

Ответ: ширина прямоугольника равна 2 см.

Задача 2. Находим ширину, зная длину и периметр

Немного усложним задание. Теперь необходимо найти ширину прямоугольника, если известно, что она в 5 раз меньше его длины, а периметр треугольника равен 120 см.

Из условия задачи:

а = 5b

Мы уже знаем, что b = Р:2 - а. Подставляем значения Р и а. Получаем:

b = 120:2 - 5b;
6b = 60;
b = 60:6
b = 10 (см).

Ответ: ширина прямоугольника равна 10 см.

Задача 3. Определяем ширину, если известна площадь

Условие задачи: огород имеет прямоугольную форму. Его площадь равна 400 000 м2, а длина 400 м. Какова ширина огорода?

Огород по условию - прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Если нам известна длина и площадь, то ширина будет равняться:

b = P:a = 400 000:400 = 1000 (м)

Ответ: ширина огорода 1000 м.

Задача 4. Как найти ширину, зная диагональ

Эта задача уже немного сложнее предыдущих. В ней, кроме свойств прямоугольника, необходимо будет вспомнить формулы прямоугольных треугольников. Допустим, что диагональ АС прямоугольника АВСД равна 54,6 см, а соотношение длина-ширина - 16:9. Необходимо найти ширину фигуры.

Треугольник АВС имеет прямой угол, а значит, является прямоугольным. Диагональ - его гипотенуза, а стороны - катеты.

Из условия:

16АВ = 9ВС, отсюда АВ = 9ВС:16

По теореме Пифагора:

АС 2 = АВ 2 +ВС 2

Подставляем цифры:

54,62 = (9ВС:16) 2 +ВС 2
2981,16 = 81ВС 2:256+ВС 2
2981,16 = 337ВС 2:256
337ВС 2 = 763176,96
ВС 2 = 2264,62
ВС = 47,59 (см)

Ответ: ширина треугольника равна 47,59 см.

Задача 5. Известны диагональ и угол

Дан прямоугольник АВСД, диагональ которого АС равна 8 см, а угол - ВАС 30 градусов. Необходимо найти ширину прямоугольника.

Решение: так как угол АВС прямой, то треугольник АВС прямоугольный, у которого АС - гипотенуза, а АВ и ВС - катеты. Известно, что катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. Получается:

ВС = АС:2 = 8:2 = 4 (см)

Ответ: ширина прямоугольника равна 4 см.

Как видите, типичные задачи по нахождению ширины прямоугольника довольно просты. Главное, знать формулы и свойства прямоугольника и прямоугольных треугольников.

Тема : Виды четырехугольников. Прямоугольник

Обеспечить усвоение учащимися знаний о различных видах четырехугольников, прямоугольника.
Развить умения классифицировать факты, делать выводы, строить прямоугольник и отличать его из ряда четырехугольников.
Воспитание мотивов учения, положительного отношения к занятиям.

Тип урока – комбинированный.

Вид урока – дидактическая игра.

Методы и приемы обучения: диалогический и эвристический методы:

организация труда в парах;
фронтальная работа;
оперативная форма проверки знаний (спецкарточки);
демонстрация наглядных пособий;
работа в бригадах.

Оборудование:

кодоскоп;
плакат с видами четырехугольников;
наглядные пособия к сказке;
сигнальные карточки;
перфокарты для каждого ученика с заготовленными таблицами;
заготовки прямоугольников;
ножницы, линейки, карандаши, чертежные треугольники;
магнитная доска;
прямоугольники с номерками;
раздаточный материал (прямоугольники красного цвета для поощрения отвечающих);
магнитофон.

Ход урока

I. Актуализация прежних знаний (5 минут)

Сегодня на уроке мы с вами совершим путешествие в удивительную страну Геометрию :

– Кто знает, что в переводе с греческого обозначает слово “геометрия”?

“Гео” – земля, “метрия” – измерение.

Наука эта появилась в Греции.

Сопровождать нас будет в нашем путешествии (учитель показывает сказочного героя) удивительный герой – волшебник.

– Всех вас он зашифровал, и вы будете путешествовать под зашифрованными номерами.

– Кто узнал его? (Старик Хоттабыч.)

– Кто написал книжку “Старик Хоттабыч”? (Лагин.)

Старик Хоттабыч очень старый волшебник и его знания устарели, поэтому он пришел к вам на урок и хочет узнать, что же сейчас изучают современные дети. Помогите волшебнику разобраться.

– Что изображено на доске? (Геометрические фигуры.)

– Определите на какие 2 группы вы могли бы разделить эти геометрические фигуры? (Треугольники и четырехугольники.)

Заполните карточку №1. Укажите номера треугольников и четырехугольников. Все дети указывают в карточке номера.

В это время 2 ученика фиксируют ответы на доске.

– Укажите во второй карточке номера треугольников по углам (тупоугольный, прямоугольный, остроугольный) и по сторонам (равносторонний и равнобедренный).

Работу выполняют по вариантам, а потом обмениваются карточками и осуществляют взаимопроверку в парах.

II. Формирование новых понятий и способов действий

(20 минут)

1) Сегодня мы с нашим героем познакомимся с видами четырёхугольников, а именно; с прямоугольником, научимся его чертить и выделять среди других фигур Т.к. треугольников и четырёхугольников в геометрии много. Вот как выглядят некоторые из них:

ВИДЫ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ

– Какие из них вы уже знаете?

Дети называют те виды, которые знают.

– Что общего у этих фигур, что их объединяет в одну группу?

(4 стороны, 4 угла, 4 вершины.)

– А чем один вид отличается от другого? (Длинами сторон и особенностями углов.)

Учитель обращает внимание детей на таблицу и говорит определения.

Квадрат

Трапеция

Параллелограмм

Неправильный четырехугольник

2) Помогите Хоттабычу из ряда четырехугольников найти похожие (1 3 5).

– Как называются углы у фигур 1, 3, 5? (Прямые.)

– А как бы вы назвали эти фигуры? (Прямоугольники.)

– Попробуйте сказать, что же такое прямоугольник?

Прямоугольник – геометрическая фигура, у которой все углы прямые и противоположные стороны равны.

– Назовите вершины у прямоугольника АВСД? (А, В, С, Д – вершины.)

– А углы? (<АВД, <ВДС, <ДСА, <САВ)

– Стороны? (АВ, ВД, СД, СА)

– Как вы думаете, прямоугольник – нужная геометрическая фигура или нет (да).

Поможет вам в этом убедиться сказка.

3) Сказка “Полезный прямоугольник”.

Прямоугольник завидовал квадрату.

– Я такой неуклюжий. если поднимусь во весь рост, то стану длинным и узким. Вот таким:

– А если я лягу на бок, то буду низким и толстым:

– А ты всегда остаешься одинаковым – и стоя, и сидя, и лежа.

– Да, с гордостью говорил квадрат. У меня все стороны равны, не то, что у некоторых, то дылда-дылдой, то блин-блином. А однажды случилось вот что:

Старик Хоттабыч заблудился в лесу. Ковра-самолета у него не было, борода намокла под дождем, и выбраться из леса он не мог. Он шел через чащу и встретился с квадратом и прямоугольником.

– Можно я заберусь на Вас и погляжу, где мой дом? – спросил он у квадрата.

Хоттабыч залез сначала на одну сторону квадрата, но ничего не увидел, потому что ему мешали верхушки деревьев. Тогда волшебник попросил квадрат перевернуться на другую сторону, но, как известно, у квадрата все стороны равны, поэтому он снова ничего не увидел.

– Гражданин Квадрат, помогите мне хотя бы перебраться через речку. Квадрат подошел к речке и попытался дотронуться до другого берега. НО...плюх!.

– Может быть, я смогу помочь Вам? – предложил скромный прямоугольник.

Он стал во весь свой рост и Хоттабыч взобрался на него и

оказался выше деревьев. Вдалеке он увидел свой дом и понял, куда надо идти. Тогда прямоугольник лег на бок и стал мостом. Хоттабыч перебрался по прямоугольнику через речку, помог ему подняться и, поблагодарив прямоугольник, отправился домой.

А квадрат, который после купания сушился на берегу, сказал

прямоугольнику:

– Вы, оказывается, полезная фигура

– Ну, что вы! – скромно улыбнулся прямоугольник.

Просто мои стороны разной длины 2 – длинные, 2 – короткие. Иногда это бывает очень удобно.

– Какие предметы прямоугольной формы вы видите у себя в классе?

4) Существует специальный чертежный треугольник, при помощи которого можно определить прямые углы в геометрической фигуре. Попробуйте самостоятельно опытным путем определить, какие из этих фигур прямоугольники.

КАРТОЧКА №3.

– Как в этом поиске вам помог чертежный треугольник?

Дети определяют у себя и называют номера фигур (2,4). Демонстрируют на доске, как им в определении помог чертежный треугольник.

5) Физминутка (песня “Дважды два четыре”).

Ваш учитель будет рад
Посмотреть на ваш
Встаньте дети возле парт
Покажите всем подряд
Руки выставьте вперед
А потом наоборот
Получился самолет
Отправляемся в полет
Неразлучные друзья / 2 раза
Квадрат, прямоугольник,
Неразлучные друзья
Геометрия и школьник

6) Начертите прямоугольник, пользуясь отрезками и чертежным треугольником:

Дети чертят у себя в тетрадях, а потом с объяснением у доски.

Чертим отрезок 4 см. Совмещаем сторону треугольника с отрезком и строим прямой угол, откладываем отрезок и т. д.

III. Формирование умения и навыков (18 минут)

1. Начертите прямоугольник, зная, что одна сторона 2 см, а другая на 4 см больше.

Анализ задачи:

– Можете ли вы сразу начертить прямоугольник? (Нет)

– Почему? (Не знаем длину второй стороны.)

– А как найти длину второй стороны? (2+4=6).

Работает бригада (4 человека).

2. У вас есть заготовки прямоугольников со сторонами 8 см и 4 см. Их нужно разрезать на 4 одинаковых треугольника, а затем из них составить квадрат. Как это сделать?

3. Старик Хоттабыч хочет убедиться, что вы были внимательными и усвоили то, о чем мы говорили. От его имени я задаю вопросы, а вы с помощью сигнальных карточек показываете ответ: Да – зеленый цвет, Нет – красный.

1) Верно ли, что если фигура имеет 4 угла, 4 стороны, 4 вершины, то ее можно назвать четырехугольником? (Да)

2) Является ли прямоугольник одним из видов четырехугольников? (Да)

3) Верно ли, что противоположные стороны прямоугольника не равны? (Нет)

4) Правильно ли, что квадрат можно назвать прямоугольником и четырехугольником? (Да)

4. Графический диктант

Отметьте точку А, от нее вниз под прямым углом проведите отрезок длиной 2 см и обозначьте его конец точкой В. От В вправо под прямым углом проведите отрезок длиной 4 см и обозначьте конец точкой С. Вверх проведите под прямым углом отрезок длиной 2 см и поставьте точку Д. Достройте самостоятельно фигуру, которой мы много внимания уделили на уроке.

– Какая это фигура? (прямоугольник)

5. Найдите на чертеже 3 четырехугольника :

6. Загадки.

Разгадав загадки, вы узнаете, что хочет сказать вам наш гость.

– О какой фигуре идет речь?

Он давно знакомый мой,
Каждый угол в нем прямой.
Все четыре стороны,
Одинаковой длины.
Вам его представить рад.
– Как зовут его? (Квадрат )

– Какая фигура может о себе так сказать?

Ты на меня, ты на него,
На всех нас посмотри.
У нас всего, у нас всего
По три стороны и три угла,
И столько же вершин,
И трижды – трудные дела,
Мы трижды совершим. (Треугольник )

IV. Итог урока.

– Какие виды четырехугольников вы знаете?

– Какая фигура называется прямоугольником?

V. Домашнее задание.

Придумайте сказку или кроссворд о геометрических фигурах.

Список литературы:

В. Волина “Праздник числа”, Москва, Дрофа 1997 г.
А.М. Пышкало “Методика обучения элементам геометрии в начальных классах”, Просвещение, 1980 г.
Журнал “Завуч”, №1, 2000, Фомин А.А. “Соблюдение педагогических требований как фактор, повышающий профессиональную компетентность современного учителя”, с. 21.
Журнал “Начальная школа”, №2, 2001 г. “Геометрия”, с.15.
Газета “Начальная школа”, №3, 1997 г. “Геометрия”, с. 4.

Прямоугольный прямоугольник. ﻿ Прямоугольник. Определение и свойства