Funksiya grafigidagi giperbolaning formulasi. Kvadrat funksiya va uning grafigi

Ushbu maqolada biz nima haqida gaplashamiz kvadratik funktsiya, uni qanday qurishni o'rganing jadval va diskriminantning belgisiga va etakchi koeffitsientning belgisiga qarab grafik turini aniqlang.
Shunday qilib.

Shaklning funksiyasi , bu yerda title="(!LANG:a0"> называется квадратичной функцией. !}

Kvadrat funksiya tenglamasida:

a - katta koeffitsient

b - ikkinchi omil

Bilan - bepul a'zo.

Kvadrat funksiyaning grafigi kvadratik paraboladir, bu funktsiya uchun quyidagi shaklga ega:

Yashil doiralar bilan belgilangan nuqtalarga e'tibor bering - bu "tayanch nuqtalar" deb ataladi. Funktsiya uchun ushbu nuqtalarning koordinatalarini topish uchun jadval tuzamiz:

Diqqat! Agar etakchi koeffitsient kvadratik funktsiya tenglamasida bo'lsa, u holda kvadrat funktsiyaning grafigi boshqa koeffitsientlarning har qanday qiymatlari uchun funktsiya grafigi bilan bir xil shaklga ega.

Funktsiya grafigi quyidagicha ko'rinadi:

Asosiy nuqtalarning koordinatalarini topish uchun jadval tuzamiz:

E'tibor bering, funktsiya grafigi funktsiyaning x o'qiga nisbatan grafigiga simmetrikdir.

Shunday qilib, biz diqqat qildik:

Agar etakchi koeffitsient a>0 bo'lsa, u holda parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi.

Agar etakchi koeffitsient a bo'lsa<0 , то ветви параболы напрaвлены вниз .

Funktsiyani chizish uchun ikkinchi parametr - bu funktsiya nolga teng bo'lgan x qiymatlari yoki funktsiya nollari. Grafikda funksiyaning nollari funksiya grafigining OX o‘qi bilan kesishgan nuqtalari hisoblanadi.

X o'qida yotgan har qanday nuqtaning ordinatasi (y) nolga teng bo'lgani uchun, funktsiya grafigining OX o'qi bilan kesishish nuqtalarining koordinatalarini topish uchun tenglamani yechish kerak.

Kvadrat funksiya bo'lsa, .

Endi diqqat!

Kvadrat tenglamani yechish jarayonida diskriminantni topamiz: , bu kvadrat tenglamaning ildizlari sonini aniqlaydi.

Va bu erda uchta holat mumkin:

1 . Agar bo'lsa, tenglamaning yechimlari yo'q va demak, kvadratik parabolaning OX o'qi bilan kesishish nuqtalari yo'q. Agar title="(!LANG:a>0">,то график функции выглядит как-то так:!}

2 . Agar bo'lsa, tenglama bitta yechimga ega va demak, kvadrat parabola OX o'qi bilan bitta kesishish nuqtasiga ega. Agar title="(!LANG:a>0">!}

3 . Agar title="(!LANG:D>0">,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:!}

Agar title="(!LANG:a>0">,то график функции выглядит примерно так:!}

Shuning uchun, parabolaning shoxlari yo'nalishini va diskriminantning belgisini bilib, biz allaqachon umumiy ma'noda funktsiyamizning grafigi qanday ko'rinishini aniqlashimiz mumkin.

Kvadrat funksiya grafigining navbatdagi muhim parametri parabola cho'qqisining koordinatalari:

OY o'qiga parallel parabolaning tepasidan o'tadigan to'g'ri chiziq parabolaning simmetriya o'qidir.

Funktsiya grafigini tuzishda foydali bo'lgan yana bir parametr - parabolaning OY o'qi bilan kesishish nuqtasi.

OY oʻqida yotgan har qanday nuqtaning abssissasi nolga teng boʻlgani uchun parabolaning OY oʻqi bilan kesishgan nuqtasini topish uchun parabola tenglamasida x oʻrniga nolni qoʻyish kerak:.

Ya'ni, parabolaning OY o'qi bilan kesishish nuqtasi (0; c) koordinatalariga ega.

Shunday qilib, kvadrat funktsiya grafigining asosiy parametrlari rasmda ko'rsatilgan:

O'ylab ko'ring kvadratik parabolani qurishning bir necha usullari. Kvadrat funksiya qanday berilganiga qarab siz eng qulayini tanlashingiz mumkin.

1 . Funktsiya formula bilan berilgan.

O'ylab ko'ring kvadrat parabola grafigini tuzishning umumiy algoritmi funksiya grafigini tuzish misolida

1 . Parabola shoxlarining yo'nalishi.

Chunki title="(!LANG:a=2>0">,ветви параболы направлены вверх.!}

2 . Kvadrat trinomning diskriminantini toping

Sarlavha="(!LANG:D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0">!}

Kvadrat trinomialning diskriminanti noldan katta, shuning uchun parabola OX o'qi bilan ikkita kesishgan nuqtaga ega.

Ularning koordinatalarini topish uchun tenglamani yechamiz:

,

3 . Parabola cho'qqisining koordinatalari:

4 . Parabolaning OY o'qi bilan kesishish nuqtasi: (0;-5) va u parabolaning simmetriya o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Keling, ushbu nuqtalarni koordinata tekisligiga qo'yamiz va ularni silliq egri chiziq bilan bog'laymiz:

Bu usul biroz soddalashtirilishi mumkin.

1. Parabolaning uchi koordinatalarini toping.

2. Cho‘qqining o‘ng va chap tomonidagi nuqtalarning koordinatalarini toping.

Funksiya grafigini tuzish natijalaridan foydalanamiz

Parabolaning uchlari

Tepaning chap tomonida joylashgan tepaga eng yaqin nuqtalar mos ravishda -1; -2; -3 abscissalarga ega.

O'ng tomonda joylashgan tepaga eng yaqin nuqtalar mos ravishda 0; 1; 2 abscissalarga ega.

Funktsiya tenglamasiga x qiymatlarini qo'ying, ushbu nuqtalarning ordinatalarini toping va ularni jadvalga qo'ying:

Keling, ushbu nuqtalarni koordinata tekisligiga qo'yamiz va ularni silliq chiziq bilan bog'laymiz:

2 . Kvadrat funksiya tenglamasi shaklga ega - bu tenglamada - parabola cho'qqisining koordinatalari

yoki kvadratik funksiya tenglamasida, ikkinchi koeffitsient esa juft sondir.

Masalan, funksiya grafigini tuzamiz .

Endi funksiyaning grafigini ko'rib chiqamiz . Bu funktsiya tenglamasida va ikkinchi koeffitsient juft sondir.

Funktsiya tenglamasida to'liq kvadratni tanlaymiz:

Demak, parabolaning uchining koordinatalari: . Eng yuqori koeffitsient 1 ga teng, shuning uchun shablon yordamida (-2; 1) nuqtada tepasi bo'lgan parabolani quramiz:

3 . Kvadrat funksiya tenglamasi y=(x+a)(x+b) ko‘rinishga ega.

Masalan, y=(x-2)(x+1) funksiya grafigini tuzamiz.

1. Funksiya tenglamasining shakli funksiyaning nollarini – funksiya grafigining OX o‘qi bilan kesishish nuqtalarini oson topish imkonini beradi:

(x-2)(x+1)=0, demak

2. Parabola uchi koordinatalari:

3. OY o'qi bilan kesishish nuqtasi: s=ab=(-2)(1)=-2 va unga simmetrik.

Keling, ushbu nuqtalarni koordinata tekisligiga qo'yamiz va grafik tuzamiz:

Kvadrat funksiya grafigi.

Bu yerda shaklning kvadratik funksiyasining grafigi keltirilgan.

Chizma ustiga bosing.
Slayderlarni siljiting.
Giyohvandlikni o'rganing
- koeffitsient qiymatidan funksiya grafigining kengligi,
- funktsiya grafigining o'qi bo'ylab qiymatdan siljishi,

Funksiya grafigining o'qi bo'ylab qiymatdan siljishi
- koeffitsient belgisidan parabola tarmoqlarining yo'nalishlari
- parabolaning uchi koordinatalari

Funktsiyani yaratish

Sizning e'tiboringizga barcha huquqlar kompaniyaga tegishli bo'lgan onlayn funktsiya grafiklarini tuzish xizmatini taqdim etamiz Desmos. Funktsiyalarni kiritish uchun chap ustundan foydalaning. Siz qo'lda yoki oynaning pastki qismidagi virtual klaviatura yordamida kirishingiz mumkin. Diagramma oynasini kattalashtirish uchun siz chap ustunni ham, virtual klaviaturani ham yashirishingiz mumkin.

Onlayn diagrammaning afzalliklari

  • Kiritilgan funktsiyalarni vizual ko'rsatish
  • Juda murakkab grafiklarni yaratish
  • Aniq aniqlangan grafiklarni chizish (masalan, ellips x^2/9+y^2/16=1)
  • Diagrammalarni saqlash va ularga havola olish imkoniyati, bu Internetdagi hamma uchun mavjud bo'ladi
  • Masshtabni boshqarish, chiziq rangi
  • Grafiklarni nuqtalar bo'yicha chizish qobiliyati, doimiylardan foydalanish
  • Bir vaqtning o'zida bir nechta funktsiyalar grafiklarini qurish
  • Qutbli koordinatalarda chizish (r va th(\teta) dan foydalaning)

Biz bilan har xil murakkablikdagi grafiklarni onlayn tarzda qurish oson. Qurilish darhol amalga oshiriladi. Xizmat funktsiyalarning kesishish nuqtalarini topish, muammolarni hal qilish uchun rasmlar sifatida ularni Word hujjatiga keyinchalik o'tkazish uchun grafiklarni ko'rsatish, funktsiya grafiklarining xatti-harakatlarini tahlil qilish uchun talab qilinadi. Saytning ushbu sahifasida diagrammalar bilan ishlash uchun eng yaxshi brauzer bu Google Chrome. Boshqa brauzerlardan foydalanganda, to'g'ri ishlash kafolatlanmaydi.

Asosiy elementar funksiyalar, ularga xos xususiyatlar va tegishli grafiklar matematik bilimlarning asoslaridan biri bo‘lib, ahamiyati jihatidan ko‘paytirish jadvaliga o‘xshaydi. Elementar funktsiyalar barcha nazariy masalalarni o'rganish uchun asos, tayanchdir.

Quyidagi maqolada asosiy elementar funktsiyalar mavzusi bo'yicha asosiy materiallar keltirilgan. Biz atamalarni kiritamiz, ularga ta'riflar beramiz; Keling, elementar funktsiyalarning har bir turini batafsil o'rganamiz va ularning xususiyatlarini tahlil qilamiz.

Asosiy elementar funktsiyalarning quyidagi turlari ajratiladi:

Ta'rif 1

  • doimiy funktsiya (doimiy);
  • n-darajali ildiz;
  • quvvat funktsiyasi;
  • eksponensial funktsiya;
  • logarifmik funktsiya;
  • trigonometrik funktsiyalar;
  • birodarlik trigonometrik funktsiyalari.

Doimiy funktsiya quyidagi formula bilan aniqlanadi: y = C (C - qandaydir haqiqiy son) va shuningdek, nomi bor: doimiy. Bu funktsiya x mustaqil o'zgaruvchining har qanday haqiqiy qiymati y o'zgaruvchining bir xil qiymatiga - C qiymatiga mos kelishini aniqlaydi.

Konstantaning grafigi x o'qiga parallel bo'lgan va koordinatalari (0, C) bo'lgan nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziqdir. Aniqlik uchun y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (chizmada mos ravishda qora, qizil va ko'k ranglar bilan belgilangan) doimiy funktsiyalarning grafiklarini taqdim etamiz.

Ta'rif 2

Bu elementar funksiya y = x n formulasi bilan aniqlanadi (n - birdan katta natural son).

Funktsiyaning ikkita variantini ko'rib chiqaylik.

  1. n-darajali ildiz, n - juft son

Aniqlik uchun biz bunday funktsiyalarning grafiklarini ko'rsatadigan chizmani ko'rsatamiz: y = x , y = x 4 va y = x 8. Bu funksiyalar rangli kodlangan: mos ravishda qora, qizil va ko'k.

Indikatorning boshqa qiymatlari uchun teng darajali funktsiya grafiklarining o'xshash ko'rinishi.

Ta'rif 3

n-darajali funktsiya ildizining xossalari, n - juft son

  • ta'rif sohasi barcha manfiy bo'lmagan haqiqiy sonlar to'plamidir [ 0 , + ∞) ;
  • x = 0 bo'lganda, funktsiya y = x n nolga teng qiymatga ega;
  • bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (u juft ham, toq ham emas);
  • diapazon: [ 0 , + ∞);
  • bu funktsiya y = x n ildizning juft ko'rsatkichlari bilan butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi;
  • funksiya butun ta'rif sohasi bo'yicha yuqoriga yo'naltirilgan qavariqga ega;
  • hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
  • asimptotlar yo'q;
  • juft n uchun funksiya grafigi (0 ; 0) va (1 ; 1) nuqtalardan oʻtadi.
  1. n-darajali ildiz, n toq son

Bunday funktsiya butun haqiqiy sonlar to'plamida aniqlanadi. Aniqlik uchun funktsiyalar grafiklarini ko'rib chiqing y = x 3 , y = x 5 va x 9. Chizmada ular ranglar bilan ko'rsatilgan: mos ravishda egri chiziqlarning qora, qizil va ko'k ranglari.

y = x n funktsiya ildizining ko'rsatkichining boshqa g'alati qiymatlari shunga o'xshash shakldagi grafikni beradi.

Ta'rif 4

n-darajali funktsiya ildizining xossalari, n toq son

  • ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar to'plami;
  • bu funksiya g'alati;
  • qiymatlar diapazoni - barcha haqiqiy raqamlar to'plami;
  • ildizning toq darajali ko'rsatkichlari bo'lgan y = x n funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi;
  • funksiya (- ∞ ; 0 ] oraliqda botiqlikka va [ 0 , + ∞) intervalda qavariqlikka ega;
  • burilish nuqtasi koordinatalariga ega (0 ; 0);
  • asimptotlar yo'q;
  • toq n uchun funksiya grafigi (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) va (1 ; 1) nuqtalardan oʻtadi.

Quvvat funktsiyasi

Ta'rif 5

Quvvat funksiyasi y = x a formula bilan aniqlanadi.

Grafiklarning turi va funksiyaning xossalari ko'rsatkich qiymatiga bog'liq.

  • daraja funksiyasi a butun ko‘rsatkichga ega bo‘lsa, daraja funksiyasi grafigining shakli va uning xossalari ko‘rsatkichning juft yoki toq ekanligiga, shuningdek, ko‘rsatkich qanday belgiga ega bo‘lishiga bog‘liq. Keling, ushbu barcha maxsus holatlarni quyida batafsilroq ko'rib chiqaylik;
  • ko'rsatkich kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin - bunga qarab, grafiklarning turi va funksiyaning xususiyatlari ham o'zgaradi. Biz bir nechta shartlarni o'rnatish orqali maxsus holatlarni tahlil qilamiz: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
  • quvvat funksiyasi nol ko'rsatkichga ega bo'lishi mumkin, biz bu holatni quyida batafsilroq tahlil qilamiz.

Keling, quvvat funksiyasini tahlil qilaylik y = x a toq musbat son bo'lganda, masalan, a = 1 , 3 , 5 ...

Aniqlik uchun biz bunday quvvat funktsiyalarining grafiklarini ko'rsatamiz: y = x (grafikning qora rangi), y = x 3 (grafikning ko'k rangi), y = x 5 (grafikning qizil rangi), y = x 7 (yashil grafik). a = 1 bo'lganda, y = x chiziqli funktsiyani olamiz.

Ta'rif 6

Ko‘rsatkich toq musbat bo‘lganda quvvat funksiyasining xossalari

  • funksiya x ∈ (- ∞ ; + ∞) uchun ortib bormoqda;
  • funksiya x ∈ uchun qavariq (- ∞ ; 0 ] va x ∈ [ 0 ; + ∞) uchun botiq (chiziqli funksiya bundan mustasno);
  • burilish nuqtasi koordinatalariga ega (0 ; 0) (chiziqli funktsiyadan tashqari);
  • asimptotlar yo'q;
  • funksiya o‘tish nuqtalari: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Keling, quvvat funksiyasini tahlil qilaylik y = x a juft musbat son bo'lganda, masalan, a = 2 , 4 , 6 ...

Aniqlik uchun biz bunday quvvat funktsiyalarining grafiklarini ko'rsatamiz: y \u003d x 2 (grafikning qora rangi), y = x 4 (grafikning ko'k rangi), y = x 8 (grafikning qizil rangi). a = 2 bo'lganda, grafigi kvadratik parabola bo'lgan kvadrat funktsiyani olamiz.

Ta'rif 7

Ko‘rsatkich hatto musbat bo‘lganda quvvat funksiyasining xossalari:

  • aniqlash sohasi: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
  • x ∈ uchun kamayuvchi (- ∞ ; 0 ] ;
  • funksiya x ∈ (- ∞ ; + ∞) uchun botiq;
  • hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
  • asimptotlar yo'q;
  • funksiya o‘tish nuqtalari: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Quyidagi rasmda eksponensial funktsiya grafiklarining misollari ko'rsatilgan a toq manfiy son bo'lganda y = x a: y = x - 9 (diagrammaning qora rangi); y = x - 5 (grafikning ko'k rangi); y = x - 3 (diagrammaning qizil rangi); y = x - 1 (yashil grafik). Agar \u003d - 1 bo'lsa, biz teskari proportsionallikni olamiz, uning grafigi giperbola.

Ta'rif 8

Ko'rsatkich g'alati manfiy bo'lganda quvvat funksiyasi xususiyatlari:

X \u003d 0 bo'lganda, biz ikkinchi turdagi uzilishni olamiz, chunki lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Shunday qilib, x = 0 to'g'ri chiziq vertikal asimptotadir;

  • diapazon: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
  • funksiya toq, chunki y (- x) = - y (x) ;
  • funksiya x ∈ - ∞ uchun kamayib bormoqda; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
  • funksiya x ∈ (- ∞ ; 0) uchun qavariq va x ∈ (0 ; + ∞) uchun botiq;
  • hech qanday burilish nuqtalari yo'q;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 bo'lganda a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

  • funksiya o‘tish nuqtalari: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Quyidagi rasmda a juft manfiy son bo'lganda y = x a quvvat funksiyasi grafiklariga misollar ko'rsatilgan: y = x - 8 (qora rangdagi diagramma); y = x - 4 (grafikning ko'k rangi); y = x - 2 (grafikning qizil rangi).

Ta'rif 9

Ko'rsatkich hatto manfiy bo'lganda quvvat funksiyasi xususiyatlari:

  • aniqlash sohasi: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

X \u003d 0 bo'lganda, biz ikkinchi turdagi uzilishni olamiz, chunki lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Shunday qilib, x = 0 to'g'ri chiziq vertikal asimptotadir;

  • funksiya juft, chunki y (- x) = y (x) ;
  • funksiya x ∈ (- ∞ ; 0) uchun ortib bormoqda va x ∈ 0 uchun kamaymoqda; +∞ ;
  • funksiya x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) uchun botiq;
  • hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
  • gorizontal asimptota to'g'ri chiziq y = 0, chunki:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 bo'lganda a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

  • funksiya o'tish nuqtalari: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Boshidanoq quyidagi jihatga e'tibor bering: a toq maxrajli musbat kasr bo'lsa, ba'zi mualliflar bu daraja funksiyasini aniqlash sohasi sifatida - ∞ oralig'ini oladilar; + ∞ , a ko'rsatkichining kamaytirilmaydigan kasr ekanligini ko'rsatadi. Ayni paytda algebra va tahlilning boshlanishi bo'yicha ko'plab o'quv nashrlarining mualliflari kuch funktsiyalarini TA'RIQLAMAYDI, bunda ko'rsatkich argumentning manfiy qiymatlari uchun toq maxrajli kasrdir. Keyinchalik, biz aynan shunday pozitsiyaga amal qilamiz: biz to'plamni olamiz [ 0 ; +∞). Talabalar uchun tavsiya: kelishmovchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun ushbu nuqtada o'qituvchining nuqtai nazarini bilib oling.

Shunday qilib, keling, quvvat funktsiyasini ko'rib chiqaylik ko'rsatkich ratsional yoki irratsional son bo'lganda y = x a 0 bo'lganda< a < 1 .

Keling, quvvat funktsiyalarini grafiklar bilan ko'rsatamiz y = x a qachon a = 11 12 (qora rangdagi diagramma); a = 5 7 (grafikning qizil rangi); a = 1 3 (grafikning ko'k rangi); a = 2 5 (grafikning yashil rangi).

a ko'rsatkichining boshqa qiymatlari (0 bo'lsa< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Ta'rif 10

0 da quvvat funksiyasi xususiyatlari< a < 1:

  • diapazon: y ∈ [ 0 ; +∞);
  • funksiya x ∈ [ 0 uchun ortib bormoqda; +∞);
  • funksiya x ∈ (0 ; + ∞) uchun qavariqlikka ega;
  • hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
  • asimptotlar yo'q;

Keling, quvvat funksiyasini tahlil qilaylik y = x a ko'rsatkich butun son bo'lmagan ratsional yoki irratsional son bo'lganda, a > 1 bo'lsa.

Biz quvvat funktsiyasining grafiklarini tasvirlaymiz y = x a berilgan shartlar ostida shunday funksiyalar misolida: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 p (mos ravishda grafiklarning qora, qizil, ko'k, yashil ranglari).

a > 1 shartidagi a ko‘rsatkichining boshqa qiymatlari grafikning o‘xshash ko‘rinishini beradi.

Ta'rif 11

a > 1 uchun quvvat funksiyasi xususiyatlari:

  • ta'rif sohasi: x ∈ [ 0 ; +∞);
  • diapazon: y ∈ [ 0 ; +∞);
  • bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
  • funksiya x ∈ [ 0 uchun ortib bormoqda; +∞);
  • funksiya x ∈ (0 ; + ∞) uchun botiq bo'ladi (1 bo'lganda< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
  • hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
  • asimptotlar yo'q;
  • funksiya o'tish nuqtalari: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Sizning e'tiboringizni qaratamiz!a toq maxrajli manfiy kasr bo'lsa, ba'zi mualliflarning asarlarida bu holda ta'rif sohasi interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) a ko‘rsatkichi qaytarilmas kasr bo‘lishi sharti bilan. Hozirgi vaqtda algebra va tahlilning boshlanishi bo'yicha o'quv materiallari mualliflari argumentning manfiy qiymatlari uchun g'alati maxrajli kasr ko'rinishidagi ko'rsatkichli quvvat funktsiyalarini TA'NIQLAMASLAR. Bundan tashqari, biz aynan shunday ko'rinishga amal qilamiz: kasr manfiy ko'rsatkichlari bo'lgan quvvat funktsiyalari sohasi sifatida (0 ; + ∞) to'plamni olamiz. Talabalar uchun maslahat: kelishmovchilikni oldini olish uchun o'qituvchingizning nuqtai nazarini aniqlang.

Biz mavzuni davom ettiramiz va quvvat funktsiyasini tahlil qilamiz y = x a taqdim etilgan: - 1< a < 0 .

Quyida quyidagi funksiyalarning grafiklari chizilgan: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (mos ravishda qora, qizil, ko'k, yashil chiziqlar) ).

Ta'rif 12

Quvvat funksiyasi xususiyatlari - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ qachon - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

  • diapazon: y ∈ 0 ; +∞ ;
  • bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
  • hech qanday burilish nuqtalari yo'q;

Quyidagi rasmda y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (mos ravishda egri chiziqlarning qora, qizil, ko'k, yashil ranglari) quvvat funktsiyalari grafiklari ko'rsatilgan.

Ta'rif 13

a uchun quvvat funksiyasi xususiyatlari< - 1:

  • ta'rif sohasi: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ qachon a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

  • diapazon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
  • bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
  • funksiya x ∈ 0 uchun kamayib bormoqda; +∞ ;
  • funksiya x ∈ 0 uchun botiq; +∞ ;
  • hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
  • gorizontal asimptota - to'g'ri chiziq y = 0;
  • funktsiyaning o'tish nuqtasi: (1 ; 1) .

Agar \u003d 0 va x ≠ 0 bo'lsa, biz y \u003d x 0 \u003d 1 funktsiyasini olamiz, bu nuqta (0; 1) chiqarib tashlangan to'g'ri chiziqni aniqlaydi (biz 0 0 ifodasi bo'lmasligiga kelishib oldik) har qanday qiymat berilgan).

Eksponensial funktsiya shaklga ega y = a x, bu erda a > 0 va a ≠ 1 va bu funktsiyaning grafigi a asosining qiymatiga qarab boshqacha ko'rinadi. Keling, alohida holatlarni ko'rib chiqaylik.

Birinchidan, eksponensial funktsiyaning asosi noldan birgacha (0) qiymatga ega bo'lgan vaziyatni tahlil qilaylik.< a < 1) . A = 1 2 (egri chiziqning ko'k rangi) va a = 5 6 (egri chiziqning qizil rangi) uchun funktsiyalar grafiklari tasviriy misoldir.

Eksponensial funktsiyaning grafiklari bazaning boshqa qiymatlari uchun xuddi shunday shaklga ega bo'ladi, agar 0 bo'lsa.< a < 1 .

Ta'rif 14

Baza birdan kichik bo'lgan ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlari:

  • diapazon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
  • bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
  • asosi birdan kichik bo'lgan eksponensial funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayib bormoqda;
  • hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
  • gorizontal asimptota - x o'zgaruvchisi + ∞ ga moyil bo'lgan y = 0 to'g'ri chiziq;

Endi ko'rsatkichli funktsiyaning asosi birdan (a > 1) katta bo'lgan holatni ko'rib chiqing.

Ushbu maxsus holatni y = 3 2 x (egri chiziqning ko'k rangi) va y = e x (grafikning qizil rangi) ko'rsatkichli funktsiyalar grafigi bilan ko'rsatamiz.

Bazaning birdan katta bo'lgan boshqa qiymatlari eksponensial funktsiya grafigiga o'xshash ko'rinishni beradi.

Ta'rif 15

Baza birdan katta bo'lganda ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlari:

  • ta'rif sohasi haqiqiy sonlarning butun to'plamidir;
  • diapazon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
  • bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
  • asosi birdan katta bo'lgan ko'rsatkichli funksiya x ∈ - ∞ uchun ortib bormoqda; +∞ ;
  • funksiya x ∈ - ∞ uchun botiq; +∞ ;
  • hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
  • gorizontal asimptota - to'g'ri chiziq y = 0 o'zgaruvchan x bilan - ∞ ga moyil;
  • funktsiyaning o'tish nuqtasi: (0 ; 1) .

Logarifmik funktsiya y = log a (x) ko'rinishga ega, bu erda a > 0, a ≠ 1 .

Bunday funktsiya faqat argumentning ijobiy qiymatlari uchun aniqlanadi: x ∈ 0 uchun; +∞ .

Logarifmik funktsiyaning grafigi a asosining qiymatidan kelib chiqqan holda boshqa shaklga ega.

Avval 0 bo'lgan vaziyatni ko'rib chiqing< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Bazaning bittadan katta bo'lmagan boshqa qiymatlari grafikning o'xshash ko'rinishini beradi.

Ta'rif 16

Logarifmik funktsiyaning asosi birdan kichik bo'lganda xossalari:

  • ta'rif sohasi: x ∈ 0 ; +∞ . X o'ngdan nolga moyil bo'lganligi sababli, funktsiya qiymatlari + ∞ ga moyil bo'ladi;
  • diapazon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
  • logarifmik
  • funksiya x ∈ 0 uchun botiq; +∞ ;
  • hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
  • asimptotlar yo'q;

Endi logarifmik funktsiyaning asosi birdan katta bo'lgan maxsus holatni tahlil qilaylik: a > 1. . Quyidagi chizmada y = log 3 2 x va y = ln x logarifmik funksiyalarning grafiklari (mos ravishda grafiklarning ko'k va qizil ranglari) mavjud.

Birdan kattaroq bazaning boshqa qiymatlari grafikning o'xshash ko'rinishini beradi.

Ta'rif 17

Bazasi birdan katta bo'lgan logarifmik funksiyaning xossalari:

  • ta'rif sohasi: x ∈ 0 ; +∞ . X o'ngdan nolga moyil bo'lganligi sababli, funktsiyaning qiymatlari - ∞ ga intiladi;
  • diapazon: y ∈ - ∞ ; + ∞ (haqiqiy sonlarning butun to'plami);
  • bu funksiya umumiy shakl funksiyasi (toq ham, juft ham emas);
  • logarifmik funksiya x ∈ 0 uchun ortib bormoqda; +∞ ;
  • funksiya x ∈ 0 uchun qavariqlikka ega; +∞ ;
  • hech qanday burilish nuqtalari yo'q;
  • asimptotlar yo'q;
  • funktsiyaning o'tish nuqtasi: (1 ; 0) .

Trigonometrik funksiyalar sinus, kosinus, tangens va kotangensdir. Keling, ularning har birining xususiyatlarini va tegishli grafiklarni tahlil qilaylik.

Umuman olganda, barcha trigonometrik funktsiyalar davriylik xususiyati bilan tavsiflanadi, ya'ni. f (x + T) = f (x) davri qiymati bilan bir-biridan farq qiluvchi argumentning turli qiymatlari uchun funktsiyalar qiymatlari takrorlanganda (T - davr). Shunday qilib, trigonometrik funktsiyalarning xossalari ro'yxatiga "eng kichik ijobiy davr" bandi qo'shiladi. Bundan tashqari, biz tegishli funktsiya yo'qolgan argumentning bunday qiymatlarini ko'rsatamiz.

  1. Sinus funksiyasi: y = sin(x)

Ushbu funktsiyaning grafigi sinus to'lqin deb ataladi.

Ta'rif 18

Sinus funksiyasining xossalari:

  • ta'rif sohasi: haqiqiy sonlarning butun to'plami x ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • funktsiya x = p k bo'lganda yo'qoladi, bu erda k ∈ Z (Z - butun sonlar to'plami);
  • funksiya x ∈ - p 2 + 2 p · k uchun ortib bormoqda; p 2 + 2 p k, k ∈ Z va x ∈ p 2 + 2 p k uchun kamayuvchi; 3 p 2 + 2 p k, k ∈ Z;
  • sinus funksiyasi p 2 + 2 p · k nuqtalarda mahalliy maksimallarga ega; 1 va nuqtalarda mahalliy minimal - p 2 + 2 p · k ; - 1, k ∈ Z;
  • x ∈ - p + 2 p k bo'lganda sinus funksiya botiq bo'ladi; 2 p k, k ∈ Z va x ∈ 2 p k bo'lganda qavariq; p + 2 p k , k ∈ Z ;
  • asimptotlar yo'q.
  1. kosinus funktsiyasi: y=cos(x)

Ushbu funktsiyaning grafigi kosinus to'lqini deb ataladi.

Ta'rif 19

Kosinus funksiyasining xossalari:

  • ta'rif sohasi: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • eng kichik ijobiy davr: T \u003d 2 p;
  • diapazon: y ∈ - 1 ; bitta;
  • bu funksiya juft, chunki y (- x) = y (x) ;
  • funksiya x ∈ - p + 2 p · k uchun ortib bormoqda; 2 p · k, k ∈ Z va x ∈ 2 p · k uchun kamayuvchi; p + 2 p k , k ∈ Z ;
  • kosinus funksiyasi 2 p · k nuqtalarda mahalliy maksimallarga ega; 1, k ∈ Z va p + 2 p · k nuqtalarda mahalliy minimallar; - 1 , k ∈ z ;
  • x ∈ p 2 + 2 p · k bo'lganda kosinus funksiyasi konkav bo'ladi; 3 p 2 + 2 p k, k ∈ Z va x ∈ - p 2 + 2 p k bo'lganda qavariq; p 2 + 2 p · k, k ∈ Z;
  • burilish nuqtalari koordinatalariga ega p 2 + p · k ; 0 , k ∈ Z
  • asimptotlar yo'q.
  1. Tangent funktsiyasi: y = t g (x)

Bu funksiyaning grafigi deyiladi tangentoid.

Ta'rif 20

Tangens funksiyaning xossalari:

  • ta'rif sohasi: x ∈ - p 2 + p · k ; p 2 + p k , bu erda k ∈ Z (Z - butun sonlar to'plami);
  • Tangens funksiyaning aniqlanish sohasi chegarasidagi xatti-harakati lim x → p 2 + p · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → p 2 + p · k - 0 t g (x) = + ∞ . Shunday qilib, x = p 2 + p · k k ∈ Z chiziqlar vertikal asimptotadir;
  • k ∈ Z uchun x = p k bo'lganda funktsiya yo'qoladi (Z - butun sonlar to'plami);
  • diapazon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • bu funksiya toq, chunki y (- x) = - y (x) ;
  • funktsiya - p 2 + p · k da ortib bormoqda; p 2 + p k, k ∈ Z;
  • tangens funksiya x ∈ [ p · k uchun konkavdir; p 2 + p k) , k ∈ Z va x ∈ uchun qavariq (- p 2 + p k ; p k ] , k ∈ Z ;
  • burilish nuqtalari p k koordinatalariga ega; 0, k ∈ Z;
  1. Kotangent funktsiyasi: y = c t g (x)

Bu funksiyaning grafigi kotangentoid deyiladi. .

Ta'rif 21

Kotangent funksiyaning xossalari:

  • ta'rif sohasi: x ∈ (p k ; p + p k) , bu erda k ∈ Z (Z - butun sonlar to'plami);

Kotangent funksiyaning aniqlanish sohasi chegarasidagi xatti-harakati lim x → p · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → p · k - 0 t g (x) = - ∞ . Shunday qilib, x = p k k ∈ Z chiziqlar vertikal asimptotadir;

  • eng kichik ijobiy davr: T \u003d p;
  • k ∈ Z uchun x = p 2 + p k bo'lganda funktsiya yo'qoladi (Z - butun sonlar to'plami);
  • diapazon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • bu funksiya toq, chunki y (- x) = - y (x) ;
  • funksiya x ∈ p · k uchun kamayib bormoqda; p + p k , k ∈ Z ;
  • kotangent funksiya x ∈ (p k ; p 2 + p k ] , k ∈ Z va x ∈ [ - p 2 + p k ; p k ) uchun qavariq, k ∈ Z uchun botiq;
  • burilish nuqtalari koordinatalariga ega p 2 + p · k ; 0, k ∈ Z;
  • qiya va gorizontal asimptotlar mavjud emas.

Teskari trigonometrik funksiyalar arksinus, arkkosinus, arktangent va arkkotangentdir. Ko'pincha, nomida "ark" prefiksi mavjudligi sababli, teskari trigonometrik funktsiyalar yoy funktsiyalari deb ataladi. .

  1. Arksinus funksiyasi: y = a r c sin (x)

Ta'rif 22

Arksinus funksiyasining xossalari:

  • bu funksiya toq, chunki y (- x) = - y (x) ;
  • arksinus funksiyasi x ∈ 0 uchun botiq; 1 va x ∈ - 1 uchun qavariq; 0;
  • burilish nuqtalari koordinatalariga ega (0 ; 0) , u ham funktsiyaning noli;
  • asimptotlar yo'q.
  1. Arkkosin funktsiyasi: y = a r c cos (x)

Ta'rif 23

Arkkosin funktsiyasining xususiyatlari:

  • ta'rif sohasi: x ∈ - 1 ; bitta;
  • diapazon: y ∈ 0 ; p;
  • bu funksiya umumiy shaklda (juft ham, toq ham emas);
  • funksiya butun ta'rif sohasi bo'yicha kamayib bormoqda;
  • arkkosinus funksiyasi x ∈ - 1 uchun konkav; 0 va x ∈ 0 uchun qavariqlik; bitta;
  • burilish nuqtalari koordinatalariga ega 0 ; p2;
  • asimptotlar yo'q.
  1. Arktangens funksiya: y = a r c t g (x)

Ta'rif 24

Arktangent funktsiyasining xususiyatlari:

  • ta'rif sohasi: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • diapazon: y ∈ - p 2 ; p2;
  • bu funksiya toq, chunki y (- x) = - y (x) ;
  • funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib bormoqda;
  • arktangens funksiya x ∈ (- ∞ ; 0 ] uchun botiq va x ∈ [ 0 ; + ∞) uchun qavariq;
  • burilish nuqtasi koordinatalariga ega (0; 0), u ham funktsiyaning noli;
  • gorizontal asimptotlar x → - ∞ uchun y = - p 2 to'g'ri chiziqlar va x → + ∞ uchun y = p 2 (rasmdagi asimptotlar yashil chiziqlar).
  1. Ark kotangent funktsiyasi: y = a r c c t g (x)

Ta'rif 25

Ark kotangent funktsiyasi xususiyatlari:

  • ta'rif sohasi: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
  • diapazon: y ∈ (0 ; p) ;
  • bu funksiya umumiy turdagi;
  • funksiya butun ta'rif sohasi bo'yicha kamayib bormoqda;
  • yoy kotangenti funksiyasi x ∈ [ 0 uchun botiq; + ∞) va x ∈ (- ∞ ; 0 ] uchun qavariqlik;
  • burilish nuqtasi 0 koordinatalariga ega; p2;
  • gorizontal asimptotlar x → - ∞ (chizmadagi yashil chiziq) da y = p to'g'ri chiziqlar va x → + ∞ da y = 0.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

    1) Funksiya doirasi va funksiya diapazoni.

    Funktsiya doirasi - bu argumentning barcha haqiqiy qiymatlari to'plami x(o'zgaruvchan x) qaysi funktsiya uchun y = f(x) belgilangan. Funktsiya diapazoni barcha haqiqiy qiymatlar to'plamidir y funksiya qabul qiladi.

    Boshlang'ich matematikada funksiyalar faqat haqiqiy sonlar to'plamida o'rganiladi.

    2) Funktsiya nollari.

    Funksiyaning noli - bu funktsiyaning qiymati nolga teng bo'lgan argumentning qiymati.

    3) Funksiyaning belgi doimiyligi intervallari.

    Funktsiyaning doimiy belgisi intervallari - bu funktsiya qiymatlari faqat ijobiy yoki faqat salbiy bo'lgan argument qiymatlari to'plami.

    4) Funksiyaning monotonligi.

    Ortib boruvchi funktsiya (ba'zi intervalda) - bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kattaroq qiymatiga mos keladigan funktsiya.

    Kamayuvchi funktsiya (ba'zi intervalda) - bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kichikroq qiymatiga mos keladigan funktsiya.

    5) Juft (toq) funksiyalar.

    Juft funksiya deganda aniqlanish sohasi kelib chiqishiga va istalganiga nisbatan simmetrik bo‘lgan funksiya tushuniladi X ta'rif sohasidan tenglik f(-x) = f(x). Juft funksiya grafigi y o'qiga nisbatan simmetrikdir.

    Toq funksiya deganda aniqlanish sohasi boshiga va har qanday funktsiyaga nisbatan simmetrik bo'lgan funksiya tushuniladi X ta'rif sohasidan tenglik f(-x) = - f(x). Toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrikdir.

    6) Cheklangan va cheklanmagan funksiyalar.

    Agar funktsiya |f(x)| ga teng bo'lgan musbat M soni mavjud bo'lsa, chegaralangan deb ataladi x ning barcha qiymatlari uchun ≤ M. Agar bunday raqam bo'lmasa, u holda funksiya cheklanmagan.

    7) Funksiyaning davriyligi.

    Agar f(x) funksiya davriy bo'lib, agar nolga teng bo'lmagan T soni mavjud bo'lsa, unda funktsiya sohasining istalgan x uchun f(x+T) = f(x) bo'ladi. Bu eng kichik raqam funksiya davri deb ataladi. Barcha trigonometrik funktsiyalar davriydir. (Trigonometrik formulalar).

    19. Asosiy elementar funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari. Funktsiyalarning iqtisodiyotda qo'llanilishi.

Asosiy elementar funksiyalar. Ularning xossalari va grafiklari

1. Chiziqli funksiya.

Chiziqli funksiya ko'rinishdagi funksiya deyiladi, bu erda x - o'zgaruvchi, va b - haqiqiy sonlar.

Raqam a to'g'ri chiziqning qiyaligi deyiladi, u bu to'g'ri chiziqning x o'qining musbat yo'nalishiga moyillik burchagi tangensiga teng. Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir. U ikki nuqta bilan belgilanadi.

Chiziqli funksiya xossalari

1. Ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar to'plami: D (y) \u003d R

2. Qiymatlar to‘plami barcha haqiqiy sonlar to‘plamidir: E(y)=R

3. Funksiya yoki uchun nol qiymatini oladi.

4. Funksiya butun ta’rif sohasi bo‘yicha ortadi (kamayadi).

5. Chiziqli funksiya butun ta'rif sohasi bo'yicha uzluksiz, differentsiallanuvchi va .

2. Kvadrat funksiya.

X - o'zgaruvchi, a, b, c koeffitsientlari haqiqiy sonlar bo'lgan shakldagi funktsiya deyiladi. kvadratik.

Imkoniyatlar a, b, c grafikning koordinata tekisligida joylashishini aniqlang

a koeffitsienti shoxlarning yo'nalishini belgilaydi. Kvadrat funksiyaning grafigi paraboladir. Parabola tepasining koordinatalari quyidagi formulalar bilan topiladi:

Funktsiya xususiyatlari:

2. Intervallardan birining qiymatlari to'plami: yoki.

3. Funksiya qachon nol qiymatlarni oladi , bu erda diskriminant formula bilan hisoblanadi:.

4. Funktsiya aniqlanish sohasi bo'ylab uzluksiz va funksiyaning hosilasi ga teng.

Birinchidan, funksiya doirasini topishga harakat qiling:

Siz boshqardingizmi? Keling, javoblarni taqqoslaylik:

Hammasi to'g'ri? Barakalla!

Endi funksiya diapazonini topishga harakat qilaylik:

Topildimi? Taqqoslash:

Bu rozi bo'ldimi? Barakalla!

Keling, yana grafiklar bilan ishlaymiz, faqat hozir biroz qiyinroq - funksiya sohasini ham, funksiya diapazonini ham topish.

Funktsiyaning domenini va diapazonini qanday topish mumkin (Kengaytirilgan)

Mana nima bo'ldi:

Grafika bilan siz buni tushundingiz deb o'ylayman. Endi formulalarga muvofiq funktsiyaning sohasini topishga harakat qilaylik (agar buni qanday qilishni bilmasangiz, bu haqda bo'limni o'qing):

Siz boshqardingizmi? Tekshirish javoblar:

  1. , chunki ildiz ifodasi noldan katta yoki teng bo'lishi kerak.
  2. , chunki uni nolga bo'lish mumkin emas va radikal ifoda salbiy bo'lishi mumkin emas.
  3. , beri, mos ravishda, hamma uchun.
  4. chunki siz nolga bo'la olmaysiz.

Biroq, bizda hali hal qilinmagan yana bir daqiqa bor ...

Keling, ta'rifni takrorlab, unga e'tibor qarataman:

E'tibor berganmisiz? "Faqat" so'zi bizning ta'rifimizning juda muhim elementidir. Men sizga barmoqlar ustida tushuntirishga harakat qilaman.

Aytaylik, bizda to‘g‘ri chiziq bilan berilgan funksiya bor. . Qachon, biz bu qiymatni "qoida" ga almashtiramiz va uni olamiz. Bitta qiymat bitta qiymatga mos keladi. Buni tekshirish uchun biz hatto turli xil qiymatlar jadvalini tuzishimiz va berilgan funktsiyani tuzishimiz mumkin.

“Qarang! - deysiz, - "" ikki marta uchrashadi!" Demak, parabola funksiya emasdir? Yo'q, shunday!

"" ning ikki marta sodir bo'lishi parabolani noaniqlikda ayblash uchun asos emas!

Gap shundaki, hisob-kitob qilganimizda bizda bitta o'yin bor edi. Va hisob-kitob qilganda, bizda bitta o'yin bor. To'g'ri, parabola funksiyadir. Jadvalga qarang:

Tushundim? Agar yo'q bo'lsa, mana siz uchun matematikadan uzoqda bo'lgan hayotiy misol!

Aytaylik, bizda bir guruh abituriyentlar hujjat topshirayotganda uchrashishdi, ularning har biri suhbatda qayerda yashashini aytdi:

Qabul qilaman, bir shaharda bir nechta yigitlar yashashi juda real, ammo bir kishi bir vaqtning o'zida bir nechta shaharda yashashi mumkin emas. Bu, go'yo bizning "parabola" ning mantiqiy timsoli - Bir xil y ga bir necha xil x mos keladi.

Keling, bog'liqlik funktsiya emasligiga misol keltiraylik. Aytaylik, o'sha yigitlar qaysi mutaxassisliklarga hujjat topshirganliklarini aytishdi:

Bu erda bizda butunlay boshqacha vaziyat bor: bir kishi bir yoki bir nechta yo'nalishlarga osongina murojaat qilishi mumkin. Ya'ni bitta element to'plamlar yozishmalarga qo'yiladi bir nechta elementlar to'plamlar. Mos ravishda, bu funksiya emas.

Keling, bilimingizni amalda sinab ko'raylik.

Rasmlardan funksiya nima ekanligini va nima emasligini aniqlang:

Tushundim? Va mana javoblar:

  • Funktsiya - B, E.
  • Funktsiya emas - A, B, D, D.

Nega deb so'rayapsizmi? Ha, nima uchun:

Bundan tashqari barcha raqamlarda DA) va E) bittasi uchun bir nechtasi bor!

Ishonchim komilki, endi siz funktsiyani nofunksiyadan osongina ajrata olasiz, argument nima ekanligini va bog'liq o'zgaruvchi nima ekanligini ayta olasiz, shuningdek, argument doirasi va funksiya doirasini aniqlay olasiz. Keling, keyingi bo'limga o'tamiz - funktsiyani qanday aniqlash mumkin?

Funktsiyani o'rnatish usullari

Sizningcha, bu so'zlar nimani anglatadi "funktsiyani o'rnatish"? To'g'ri, bu holda biz qanday funktsiya haqida gapirayotganimizni hammaga tushuntirishni anglatadi. Bundan tashqari, hamma sizni to'g'ri tushunadigan tarzda tushuntiring va sizning tushuntirishingizga ko'ra odamlar tomonidan chizilgan funktsiyalarning grafiklari bir xil edi.

Buni qanday qilishim mumkin? Funktsiyani qanday o'rnatish kerak? Ushbu maqolada bir necha marta ishlatilgan eng oson usul - formuladan foydalanish. Biz formula yozamiz va unga qiymat qo'yish orqali biz qiymatni hisoblaymiz. Esingizda bo'lsa, formula bu qonun, qoida bo'lib, unga ko'ra X qanday Y ga aylanishi bizga va boshqa odamga ayon bo'ladi.

Odatda, ular aynan shunday qilishadi - vazifalarda biz formulalar bilan aniqlangan tayyor funktsiyalarni ko'ramiz, ammo funktsiyani o'rnatishning boshqa usullari ham bor, ular hamma unutadi va shuning uchun "funktsiyani yana qanday o'rnatish mumkin?" Degan savol tug'iladi. chalg'itadi. Keling, hamma narsani tartibda ko'rib chiqaylik va analitik usuldan boshlaylik.

Funksiyani aniqlashning analitik usuli

Analitik usul - formuladan foydalangan holda funktsiyaning vazifasi. Bu eng universal va keng qamrovli va aniq yo'ldir. Agar sizda formula bo'lsa, unda siz funktsiya haqida mutlaqo hamma narsani bilasiz - siz uning bo'yicha qiymatlar jadvalini tuzishingiz, grafik yaratishingiz, funktsiya qayerda ko'payishi va qayerda kamayishini aniqlashingiz mumkin, umuman olganda, uni o'rganing. to `liq.

Funktsiyani ko'rib chiqaylik. Buning nima ahamiyati bor?

"Bu nima degani?" - deb so'rayapsiz. Men hozir tushuntiraman.

Eslatib o'taman, yozuvda qavs ichidagi ifoda argument deb ataladi. Va bu dalil har qanday ifoda bo'lishi mumkin, oddiy bo'lishi shart emas. Shunga ko'ra, qanday argument (qavs ichidagi ifoda) bo'lishidan qat'i nazar, biz uni ifoda o'rniga yozamiz.

Bizning misolimizda u quyidagicha ko'rinadi:

Imtihonda bo'ladigan funktsiyani belgilashning analitik usuli bilan bog'liq boshqa vazifani ko'rib chiqing.

ifoda qiymatini toping, da.

Ishonchim komilki, siz avvaliga bunday iborani ko'rganingizda qo'rqdingiz, lekin unda hech qanday qo'rqinchli narsa yo'q!

Hammasi avvalgi misoldagidek: argument nima bo'lishidan qat'iy nazar (qavs ichidagi ifoda), biz uni ifoda o'rniga yozamiz. Masalan, funktsiya uchun.

Bizning misolimizda nima qilish kerak? Buning o'rniga siz yozishingiz kerak va o'rniga -:

olingan ifodani qisqartiring:

Ana xolos!

Mustaqil ish

Endi quyidagi iboralarning ma'nosini o'zingiz topishga harakat qiling:

  1. , agar
  2. , agar

Siz boshqardingizmi? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik: Biz funktsiyaning shaklga ega ekanligiga o'rganib qolganmiz

Hatto misollarimizda ham biz funktsiyani shu tarzda aniqlaymiz, lekin analitik jihatdan, masalan, funktsiyani aniq belgilash mumkin.

Ushbu funktsiyani o'zingiz yaratishga harakat qiling.

Siz boshqardingizmi?

Mana, men uni qanday qurdim.

Biz qanday tenglamaga erishdik?

To'g'ri! Chiziqli, ya'ni grafik to'g'ri chiziq bo'ladi. Bizning chiziqqa qaysi nuqtalar tegishli ekanligini aniqlash uchun jadval tuzamiz:

Aynan shu narsa haqida gapirgan edik ... Biri bir nechtasiga to'g'ri keladi.

Keling, nima bo'lganini chizishga harakat qilaylik:

Bizda funksiya bormi?

To'g'ri, yo'q! Nega? Bu savolga rasm bilan javob berishga harakat qiling. Nima oldingiz?

"Chunki bitta qiymat bir nechta qiymatlarga mos keladi!"

Bundan qanday xulosa chiqarishimiz mumkin?

To'g'ri, funktsiyani har doim ham aniq ifodalash mumkin emas va funktsiya sifatida "niqoblangan" narsa har doim ham funktsiya bo'lavermaydi!

Funksiyani aniqlashning jadval usuli

Nomidan ko'rinib turibdiki, bu usul oddiy plastinka. Ha ha. Biz allaqachon qilganimiz kabi. Masalan:

Bu erda siz darhol naqshni payqadingiz - Y X dan uch baravar katta. Va endi "yaxshi o'ylang" vazifasi: jadval ko'rinishida berilgan funktsiya funktsiyaga ekvivalent deb o'ylaysizmi?

Keling, uzoq vaqt gaplashmaylik, lekin chizamiz!

Shunday qilib. Biz ikkala usulda berilgan funktsiyani chizamiz:

Farqni ko'ryapsizmi? Bu belgilangan nuqtalar haqida emas! Yaqindan ko'rib chiqing:

Endi ko'rdingizmi? Funktsiyani jadval shaklida o'rnatganimizda, biz grafikda faqat jadvalda mavjud bo'lgan nuqtalarni aks ettiramiz va chiziq (bizning holatimizda bo'lgani kabi) faqat ular orqali o'tadi. Funksiyani analitik tarzda aniqlaganimizda, biz istalgan nuqtalarni olishimiz mumkin va bizning vazifamiz ular bilan cheklanmaydi. Mana shunday xususiyat. Eslab qoling!

Funktsiyani yaratishning grafik usuli

Funktsiyani yaratishning grafik usuli ham qulayroq emas. Biz o'z funktsiyamizni chizamiz va boshqa manfaatdor shaxs ma'lum bir x da y ga teng ekanligini topishi mumkin va hokazo. Grafik va analitik usullar eng keng tarqalgan.

Biroq, bu erda siz boshida nima haqida gaplashganimizni eslab qolishingiz kerak - koordinatalar tizimida chizilgan har bir "chiziq" funktsiya emas! Esingizdami? Har qanday holatda, men bu erda funktsiyaning ta'rifini ko'chirib olaman:

Qoida tariqasida, odamlar odatda biz tahlil qilgan funksiyani aniqlashning aynan shu uchta usulini nomlashadi - analitik (formuladan foydalangan holda), jadval va grafik, funktsiyani og'zaki tasvirlash mumkinligini butunlay unutib qo'yishadi. Bu qanday? Ha, juda oson!

Funktsiyaning og'zaki tavsifi

Funktsiyani og'zaki qanday tasvirlash mumkin? Keling, so'nggi misolimizni olaylik - . Bu funktsiyani "x ning har bir haqiqiy qiymati uning uchlik qiymatiga mos keladi" deb ta'riflash mumkin. Ana xolos. Hech narsa murakkab emas. Albatta, siz e'tiroz bildirasiz - "shunday murakkab funktsiyalar borki, ularni og'zaki ravishda belgilashning iloji yo'q!" Ha, ba'zilari bor, lekin formulalar bilan belgilashdan ko'ra og'zaki tasvirlash osonroq bo'lgan funktsiyalar mavjud. Masalan: "x ning har bir natural qiymati u tashkil etgan raqamlar orasidagi farqga to'g'ri keladi, son yozuvidagi eng katta raqam esa minuend sifatida qabul qilinadi." Endi funktsiyaning og'zaki tavsifi amalda qanday amalga oshirilishini ko'rib chiqing:

Berilgan sondagi eng katta raqam - mos ravishda - qisqartiriladi, keyin:

Funksiyalarning asosiy turlari

Endi eng qiziqarlisiga o'tamiz - biz siz ishlagan / ishlagan va maktab va institut matematikasi kurslarida ishlagan funktsiyalarning asosiy turlarini ko'rib chiqamiz, ya'ni biz ular bilan tanishamiz va ularga qisqacha tavsif bering. Har bir funktsiya haqida ko'proq ma'lumotni tegishli bo'limda o'qing.

Chiziqli funksiya

Shaklning funktsiyasi, bu erda haqiqiy sonlar.

Bu funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir, shuning uchun chiziqli funktsiyani qurish ikki nuqtaning koordinatalarini topishga qisqartiriladi.

To'g'ri chiziqning koordinata tekisligidagi holati qiyalikka bog'liq.

Funktsiya doirasi (aka argument diapazoni) - .

Qiymatlar diapazoni .

kvadratik funktsiya

Shaklning vazifasi, bu erda

Funktsiya grafigi parabola bo'lib, parabola shoxlari pastga yo'naltirilganda, yuqoriga.

Kvadrat funksiyaning ko'pgina xossalari diskriminantning qiymatiga bog'liq. Diskriminant formula bo'yicha hisoblanadi

Parabolaning qiymat va koeffitsientga nisbatan koordinata tekisligidagi holati rasmda ko'rsatilgan:

Domen

Qiymatlar diapazoni berilgan funktsiyaning ekstremumiga (parabola cho'qqisiga) va koeffitsientga (parabola shoxlarining yo'nalishi) bog'liq.

Teskari proportsionallik

Formula bilan berilgan funktsiya, bu erda

Raqam teskari proportsionallik omili deb ataladi. Qaysi qiymatga qarab, giperbolaning shoxlari turli kvadratlarda joylashgan:

Domen - .

Qiymatlar diapazoni .

XULOSA VA ASOSIY FORMULA

1. Funksiya - bu qoida bo'lib, unga ko'ra to'plamning har bir elementiga to'plamning yagona elementi beriladi.

  • - bu funktsiyani, ya'ni bir o'zgaruvchining boshqasiga bog'liqligini bildiruvchi formula;
  • - o'zgaruvchi yoki argument;
  • - qaram qiymat - argument o'zgarganda o'zgaradi, ya'ni bir qiymatning boshqasiga bog'liqligini aks ettiruvchi qandaydir o'ziga xos formula bo'yicha.

2. Yaroqli argument qiymatlari, yoki funktsiya doirasi - bu funktsiya mantiqiy bo'lishi mumkin bo'lgan narsa bilan bog'liq.

3. Funksiya qiymatlari diapazoni- bu haqiqiy qiymatlarga ega bo'lgan qiymatlarni oladi.

4. Funksiyani o‘rnatishning 4 ta usuli mavjud:

  • analitik (formulalar yordamida);
  • jadvalli;
  • grafik
  • og'zaki tavsif.

5. Funksiyalarning asosiy turlari:

  • : , bu yerda, haqiqiy sonlar;
  • : , qaerda;
  • : , qayerda.