Antiderivativ va noaniq integral tushunchasi. Antiderivativlar to'plami haqidagi teorema. Noaniq integralning xossalari. Integrallar jadvali.

Agar F(x) funksiya shu oraliqda uzluksiz bo‘lsa va oraliqning har bir ichki nuqtasida tenglik to‘g‘ri bo‘lsa, F(x) funksiya berilgan oraliqda f(x) funksiyasi uchun anti hosilasi deyiladi: F. '(x) = f(x)

Teorema 1. Agar F(x) funksiya oraliqda F(x) ga qarshi hosilaga ega bo‘lsa, u holda F(x)+C ko‘rinishdagi barcha funksiyalar ham xuddi shu oraliqda unga qarshi hosila bo‘ladi. Aksincha, y = f(x) funksiya uchun har qanday antihosil F(x) ni F(x) = F(x)+C shaklida ifodalash mumkin, bunda F(x) antiderivativlardan biri, C esa ixtiyoriy doimiydir.

Isbot:

Antiderivativning ta'rifi bo'yicha bizda F'(x) = f (x) mavjud. Konstantaning hosilasi nolga teng ekanligini hisobga olib, olamiz

(F(x)+C)' = F'(x)+C' = F'(x) = f(x). Demak, F(x)+C y = f(x) uchun anti hosiladir.Endi shuni ko‘rsatamizki, agar y = f(x) funksiya qaysidir oraliqda aniqlangan bo‘lsa va F(x) uning antiderivativlaridan biri bo‘lsa, u holda F (x) ni quyidagicha ifodalash mumkin

Darhaqiqat, antiderivativning ta'rifiga ko'ra, bizda mavjud

F'(x) = F(x)+C va F'(x) = f(x).

Ammo intervalda hosilalari teng bo'lgan ikkita funktsiya bir-biridan faqat doimiy had bilan farq qiladi. Demak, isbotlanishi kerak bo'lgan F(x) = F(x) + C.

Ta'rif.

y = f(x) funksiya uchun berilgan oraliqdagi barcha anti hosilalar to‘plami bu funksiyaning noaniq integrali deyiladi va ∫f(x)dx = F(x)+C deb belgilanadi.

f(x) funksiya integrand, f(x)*dx hosilasi esa integrand deyiladi.

Ko'pincha shunday deyiladi: "noaniq integralni oling" yoki "noaniq integralni hisoblang", bu bilan quyidagi ma'noni anglatadi: integratsiya uchun barcha antiderivativlar to'plamini toping,

Noaniq integralning xossalari

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx, a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

Integrallar jadvali

Noaniq integralda almashtirish va qismlar bo'yicha integrallash.

O'rnini bosuvchi integratsiya usuli yangi integratsiya o'zgaruvchisini (ya'ni, almashtirish) kiritishdir. Bunday holda, berilgan integral yangi integralga keltiriladi, u jadval shaklida yoki unga qisqartiriladi ("muvaffaqiyatli" almashtirishda). O'zgartirishlarni tanlashning umumiy usullari mavjud emas.

∫f(x)dx integralini hisoblash talab qilinsin. X =ph(t) almashtirishni amalga oshiramiz, bunda ph(t) uzluksiz hosilaga ega funktsiyadir. Keyin dx=ph "(t) dt va noaniq integralni integrallash formulasining invariantlik xususiyatidan kelib chiqib, integrallash formulasini ∫f(x)dx = ∫f(ph(t)) * ph'( ni almashtirish orqali olamiz. t)dt Bu formulani noaniq integralda almashtiriladigan formula o zgaruvchilari deb ham atashadi.Ushbu tenglikning o ng tomoni integrali topilgach, yangi integrasiya o zgaruvchisi t dan x o zgaruvchiga qayta o tish kerak.

Qismlar bo'yicha integratsiya usuli

u=u(x) va n=v(x) funksiyalar uzluksiz hosilalari bo‘lsin. Keyin d(uv)=u dv+v du.

Bu tenglikni integrasiyalash orqali biz ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu yoki

∫udv =uv - ∫vdu

Olingan formula qismlar bo'yicha integratsiya formulasi deb ataladi. Bu ∫udv integralining hisobini ∫vdu integralining hisobiga qisqartirish imkonini beradi, bu asl integraldan ancha sodda bo'lib chiqishi mumkin.

Noaniq integralni qismlar bo'yicha integrallash usuli keltirilgan. Ushbu usul bilan hisoblangan integrallarga misollar keltirilgan. Yechimlarga misollar tahlil qilinadi.

Tarkib

Shuningdek qarang: Noaniq integrallarni hisoblash usullari
Noaniq integrallar jadvali
Asosiy elementar funksiyalar va ularning xossalari

Qismlar bo'yicha integratsiya formulasi:
.

Qismlar bo'yicha integratsiya usuli ushbu formulani qo'llashdan iborat. Da amaliy qo'llash Shuni ta'kidlash kerakki, u va v integratsiya o'zgaruvchining funktsiyalari. Integratsiya o‘zgaruvchisi x deb belgilansin (integral yozuv oxiridagi d differensial belgisidan keyingi belgi). U va v funksiyalari x ning funksiyalari: u(x) va v(x) .
Keyin
, .
Va qismlar bo'yicha integratsiya formulasi quyidagi shaklni oladi:
.

Ya'ni, integral ikkita funktsiyaning mahsulotidan iborat bo'lishi kerak:
,
ulardan birini u sifatida belgilaymiz: g(x) \u003d u va integral ikkinchisi uchun hisoblanishi kerak (aniqrog'i, antiderivativ topilishi kerak):
, keyin dv = f(x) dx .

Ayrim hollarda f(x) = 1 . Ya'ni, integralda
,
g (x) = u, x = v ni qo'yishimiz mumkin.

Xulosa

Shunday qilib, ushbu usulda qismlarga integratsiya formulasini eslab qolish va ikki shaklda qo'llash kerak:
;
.

Qismlar bo'yicha integrallash orqali hisoblangan integrallar

Logarifm va teskari trigonometrik (giperbolik) funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallar

Logarifm va teskari trigonometrik yoki giperbolik funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallar ko'pincha qismlar bilan integrallanadi. Bunda logarifm yoki teskari trigonometrik (giperbolik) funksiyalar joylashgan qism u bilan, qolgan qismi dv bilan belgilanadi.

Qismlar bo'yicha integrallash usuli bilan hisoblangan bunday integrallarga misollar:
, , , , , , .

Ko‘phad va sin x, cos x yoki e x ko‘paytmasi bo‘lgan integrallar

Qismlarni integrallash formulasiga ko'ra, shaklning integrallari topiladi:
, , ,
Bu erda P(x) x dagi ko'phaddir. Integrallashda P(x) ko‘phad u bilan belgilanadi va e ax dx , cos ax dx yoki gunoh ax dx- dv orqali.

Mana shunday integrallarga misollar:
, , .

Bo'laklar bo'yicha integrallash usuli bilan integrallarni hisoblash misollari

Logarifm va teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallarga misollar

Misol

Integralni hisoblang:

Batafsil yechim

Bu erda integralda logarifm mavjud. O'zgartirishlarni amalga oshirish
u= ln x,
dv=x 2dx.
Keyin
,
.

Qolgan integralni hisoblaymiz:
.
Keyin
.
Hisob-kitoblar oxirida doimiy C ni qo'shish kerak, chunki noaniq integral barcha antiderivativlar to'plamidir. Buni oraliq hisob-kitoblarga ham qo'shish mumkin, ammo bu faqat hisob-kitoblarni chalkashtirib yuboradi.

Qisqacha yechim

Yechimni qisqaroq versiyada taqdim etish mumkin. Buning uchun u va v bilan almashtirishlarni bajarish shart emas, lekin siz omillarni guruhlashingiz va ikkinchi shaklda qismlarga integratsiya formulasini qo'llashingiz mumkin.

.

Boshqa misollar

Ko'phad va sin x, cos x yoki ex ko'paytmasini o'z ichiga olgan integrallarga misollar

Misol

Integralni hisoblang:
.

Differensial belgisi ostida ko'rsatkichni kiritamiz:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Biz qismlarga birlashamiz.
.
Shuningdek, biz qismlarga integratsiyalashuv usulidan foydalanamiz.
.
.
.
Nihoyat bizda bor.

U(x) va V(x) differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin. Keyin d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x) . Shuning uchun U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x) . Oxirgi tenglikning ikkala qismining integralini hisoblab, ∫ d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C ekanligini hisobga olib, munosabatni olamiz.

Bu qismlarga integratsiya formulasi deb ataladi. Chap tarafdagi antiderivativlar to'plami o'ng tomonda olingan antiderivativlar to'plamiga to'g'ri keladi, degan ma'noda tushuniladi.

Qismlar bo'yicha integratsiya usulini qo'llash

Muayyan miqdorlarni topishning o'ziga xos xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, qismlar bo'yicha integratsiya formulasi ko'pincha quyidagi masalalarda qo'llaniladi:

1. Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi. Matematik kutilma va dispersiyani topish formulasi uzluksizdir tasodifiy o'zgaruvchi ikkita omilni o'z ichiga oladi: x ning ko'phadli funktsiyasi va f(x) taqsimot zichligi.
2. Furye seriyasining kengayishi. Kengaytirilganda f(x) funksiya va trigonometrik funktsiya cos(x) yoki sin(x) ko'paytmasini integrallash orqali topiladigan koeffitsientlarni aniqlash kerak.

Qismlar bo'yicha odatiy kengaytmalar

Qismlar bo'yicha integratsiya formulasidan foydalanganda, formulaning o'ng tomonida olingan integralni topish osonroq bo'lishi uchun siz U va dV ni yaxshi tanlashingiz kerak. Birinchi misolda U=e x , dV=xdx ni keltiramiz. Keyin dU=e x dx , va ∫ x 2 e x dx integralini asl integralidan oddiyroq deb hisoblash mumkin emas.
Ba'zan bir necha marta integrallash formulasini qo'llash kerak bo'ladi, masalan, ∫ x 2 sin(x)dx integralini hisoblashda.

∫ e ax cos(bx)dx va ∫ e ax sin(bx)dx integrallari deyiladi. tsiklik va ikki marta integrallash formulasi yordamida hisoblanadi.

№1 misol. ∫ xe x dx ni hisoblang.
U=x, dV=e x dx bo'lsin. Keyin dU=dx , V=e x . Shuning uchun ∫ xe x dx=xe x -∫ e x dx=xe x -e x +C .

№2 misol. ∫ xcos(x)dx ni hisoblang.
U=x , dV=cos(x)dx ni o'rnatamiz. Keyin dU=dx , V=sin(x) va ∫ xcos(x)dx=xsin(x) - ∫ sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

№3 misol. ∫ (3x+4)cos(x)dx
Qaror:

Javob: (3x+4)sin(x)+3cos(x)+C

Qismlar bo'yicha integrallash usuli mavjud noaniq integralni soddalashtirish yoki uni jadval qiymatiga kamaytirish zarur bo'lganda qo'llaniladi. Ko'pincha u ko'rsatkichli, logarifmik, to'g'ridan-to'g'ri va teskari trigonometrik formulalar va ularning integratsiyadagi kombinatsiyalarida qo'llaniladi.

Ushbu usuldan foydalanish uchun zarur bo'lgan asosiy formula quyidagicha ko'rinadi:

∫ f (x) d x = ∫ u (x) d (v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x))

Bu shuni anglatadiki, biz birinchi navbatda integral ostidagi ifodani u (x) funksiya va v (x) funktsiyaning differentsial mahsuloti sifatida tasvirlashimiz kerak. Shundan so'ng, biz v (x) funktsiyasining qiymatini qandaydir usul bilan hisoblaymiz (ko'pincha to'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli qo'llaniladi) va natijada olingan ifodalar ko'rsatilgan formulaga almashtirilib, asl integralni u (x) farqiga kamaytiradi. ) v (x) - ∫ v (x) d(u(x)) . Olingan integralni har qanday integrasiya usuli yordamida ham olish mumkin.

Logarifm funktsiyasining antiderivativlari to'plamini topish kerak bo'lgan masalani ko'rib chiqing.

1-misol

Noaniq integral ∫ ln (x) d x ni hisoblang.

Qaror

Biz qismlar bo'yicha integratsiya usulidan foydalanamiz. Buning uchun ln (x) ni u (x) ning funksiyasi sifatida, qolgan qismini esa d (v (x)) sifatida olamiz. Natijada, ln (x) d x = u (x) d (v (x)) ni olamiz, bu erda u (x) = ln (x) , d (v (x)) = d x.

u(x) funksiyaning differensiali d(u(x)) - u"(x)dx = dxx va v(x) funksiyani v(x) = ∫ d(v(x)) shaklida ifodalash mumkin. = ∫ dx = x

Muhim: v (x) funksiyani hisoblashda C doimiysi 0 ga teng deb hisoblanadi.

Olingan narsalarni integratsiya formulasiga qismlarga almashtiramiz:

∫ ln (x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = ln (x) x - ∫ x d x x = ln (x) x - ∫ d x \u003d ln (x) x - x + C 1 \u003d \u003d x (ln (x) - 1) + C

bu erda C \u003d - C 1

Javob:∫ ln (x) d x = x (ln (x) - 1) + C .

Ushbu usulni qo'llashda eng qiyin narsa integral ostidagi asl ifodaning qaysi qismini u (x) va qaysi - d (v (x)) sifatida qabul qilishni tanlashdir.

Keling, bir nechta standart holatlarni ko'rib chiqaylik.

Agar ∫ P n (x) e a x d x, ∫ P n (x) sin (a x) d x yoki ∫ P n (x) cos (a x) d x ko‘rinishdagi integrallarga ega bo‘lsak, bu yerda a koeffitsient va P n (x) ) n darajali ko‘phad bo‘lsa, u (x) funksiya sifatida P n (x) ni olish kerak.

2-misol

f (x) = (x + 1) sin (2 x) funktsiyaning anti hosilalari to'plamini toping.

Qaror

Noaniq integral ∫ (x + 1) sin (2 x) d x ni qismlarga bo'lib olishimiz mumkin. Biz x + 1 ni u (x) va sin (2 x) d x ni d (v (x)) deb olamiz, ya'ni d (u (x)) = d (x + 1) = d x .

To'g'ridan-to'g'ri integratsiyadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

v (x) = ∫ sin (2 x) d x = - 1 2 cos (2 x)

Integratsiya formulasini qismlarga almashtiring:

∫ (x + 1) sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = (x + 1) - 1 2 cos (2 x ) - ∫ - 1 2 cos (2 x) d x = = - 1 2 (x + 1) cos (2 x) + 1 2 ∫ cos (2 x) d (x) = = - 1 2 (x + 1) cos ( 2 x) + 1 4 sin (2 x) + C

Javob:∫ (x + 1) sin (2 x) d x = - 1 2 (x + 1) cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) + C .

3-misol

Noaniq integral ∫ (x 2 + 2 x) e x d x ni hisoblang.

Qaror

Ikkinchi tartibli x 2 + 2 x ko'phadni u (x) va d (v (x)) - e x d x sifatida olamiz.

∫ x 2 + 2 x e x d x = u (x) = x 2 + 2 x , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = (2 x + 2) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = (x 2 + 2 x) e x - ∫ (2 x + 2) e x d x

Biz qilgan ishimizga yana qismlar bo'yicha integratsiya usulini qo'llashimiz kerak:

∫ (2 x + 2) e x d x = (x 2 + 2 x) e x - ∫ 2 x + 2 e x d x = = u (x) = (2 x + 2) , d (v (x)) = e x d x d (u () x)) = 2 d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = (x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ v (x) d (u (x)) = = ( x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ 2 e x d x = = (x 2 + 2 x - 2 x - 2) e x + 2 ∫ e x d x = (x 2 - 2) e x + 2 e x + C = x 2 e x + C

Javob:∫ (x 2 + 2 x) e x d x = x 2 e x + C .

4-misol

∫ x 3 cos 1 3 x d x integralini hisoblang.

Qaror

Qismlar bo'yicha integrallash usuliga ko'ra u (x) = x 3 va d (v (x)) = cos 1 3 x d x ni olamiz.

Bunda d (u (x)) = 3 x 2 d x va v (x) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x.

Endi olingan iboralarni formulaga almashtiramiz:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u)) = = x 3 3 sin 1 3 x - ∫ 3 x 2 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x

Bizda noaniq integral bor, uni yana qismlarga bo'lish kerak:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x = = u (x) = x 2, d (v (x)) = sin 1 3 x d x d (u (x) )) = 2 x d x , v (x) = ∫ sin 1 3 x d x = - 3 cos 1 3 x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 - 3 x 2 cos 1 3 x - ∫ - 3 cos 1 3 x 2 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x

Biz yana qisman integratsiyani amalga oshiramiz:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x = = u (x) = x, d (v (x)) = cos 1 3 x d x d (u (x)) = d x , v (x) = ∫ cos 1 3 x - ∫ 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 - 162 x sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x + 162 ∫ sin 1 3 x d x = = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 486 cos 1 3 x + C = = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C

Javob:∫ x 3 cos 1 3 x d x = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C.

Agar ∫ P n (x) ln (a x) d x , ∫ P n (x) a r c sin (a x) d x, ∫ P n (x) a r c cos (a x) d x , ∫ P n (x) ko‘rinishdagi integrallarga ega bo‘lsak. ) a r c t g (a x) d x , ∫ P n (x) a r c c t g (a x) d x

u holda a r c t g (a x) , a r c c t g (x) , ln (a x), a r c sin (a x) , a r cos (a x) funksiyalarini u (x) sifatida qabul qilishimiz kerak.

5-misol

(x + 1) ln (2 x) funksiyaning anti hosilalari to'plamini hisoblang.

Qaror

ln (2 x) ni u (x) va (x + 1) d x ni d (v (x)) sifatida qabul qilamiz. Biz olamiz:

d (u (x)) = (ln (2 x)) "d x = 1 2 x (2 x) " d x = d x x v (x) = ∫ (x + 1) d x = x 2 2 + x

Ushbu iboralarni formulaga almashtiring:

∫ (x + 1) ln (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 + x ln 2 x - ∫ x 2 2 + x d x x = = x 2 2 + x ln (2 x) - ∫ x 2 + 1 d x = x 2 2 + x ln 2 x - 1 2 ∫ x d x - ∫ d x = = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C

Javob:∫ (x + 1) ln (2 x) d x = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C .

6-misol

Noaniq integral ∫ x · a r c sin (2 x) d x ni hisoblang.

Qaror

Biz u (x) uchun qaysi qismni va d (v (x)) uchun qaysi qismni olishni hal qilamiz. Yuqoridagi qoidaga ko'ra, birinchi funktsiya sifatida siz r c sin (2 x) va d (v (x)) = x d x ni olishingiz kerak. Biz olamiz:

d (u (x)) = (a r c sin (2 x) "d x = 2 x" d x 1 - (2 x) 2 = 2 d x 1 - (2 x) 2 , v (x) = ∫ x d x = x 2 2

Formuladagi qiymatlarni almashtiring:

∫ x a r c sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 2 - 2 d x 1 - (2 x) 2 = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Natijada biz quyidagi tenglikka erishdik:

∫ x a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Endi olingan ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 integralini hisoblaymiz:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = ∫ x 2 d x 4 1 4 - x 2 = 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 = - 1 2 ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 - 1 4 1 4 - x 2 d x = - 1 2 1 4 - x 2 d x + 1 8 ∫ d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin (2x)

Bu erda siz qismlar bo'yicha integratsiya usulini qo'llashingiz va quyidagilarni olishingiz mumkin:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin (2 x) = = u (x) = 1 4 - x 2 , d (v (x)) = d x d (u (x)) = 1 4 - x 2 "d x 2 1 4 - x 2 = - x d x 1 4 - x 2 , v (x) = ∫ d x = x = = - 1 2 u (x) v ( x) - ∫ v (x) d (u (x)) + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

Endi bizning tengligimiz quyidagicha ko'rinadi:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

O'ngdagi integral chapdagiga o'xshashligini ko'ramiz. Biz uni boshqa qismga o'tkazamiz va olamiz:

2 ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) + C 1 ⇒ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 4 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 8 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2

Bu erda C 2 = C 1 2

Keling, asl o'zgaruvchilarga qaytaylik:

∫ x a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = = x 2 2 a r c sin (2 x) - - 1 8 x 1 - 4 x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 = = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C

bu erda C \u003d - C 2

Javob:∫ x a r c sin (2 x) d x = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C.

Masalada ∫ e a x sin (b x) d x yoki ∫ e a x cos (b x) d x ko‘rinishdagi integralga ega bo‘lsak, u holda istalgan funksiyani u (x) sifatida tanlash mumkin.

7-misol

Noaniq integral ∫ e x · sin (2 x) d x ni hisoblang.

Qaror

∫ e x sin (2 x) d x = u (x) = sin (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = 2 cos (2 x) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = sin (2 x) e x - ∫ e x 2 cos 2 x d x = = sin (2 x) e x - 2 ∫ e x cos (2 x) d x = u (x) = cos (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = - 2 sin (2 x) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - ∫ (e x (- 2 sin (2 x) d x)) = = sin (2 x) e x = 2 cos (2 x ) e x - 4 ∫ e x sin (2 x) d x

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - 4 ∫ e x sin (2 x) d x

Biz chap va o'ng tomonda bir xil integrallarni ko'ramiz, ya'ni biz o'xshash atamalarni keltira olamiz:

5 ∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x ⇒ ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

Javob: ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

Yechishning bu usuli standart bo'lib, o'ng tomonda ko'pincha asl integral bilan bir xil bo'lgan integral olinadi.

Biz eng tipik vazifalarni ko'rib chiqdik, unda siz d (v (x)) uchun ifodaning qaysi qismini va u (x) uchun qaysi qismini olish kerakligini aniq belgilashingiz mumkin. Boshqa hollarda, bu mustaqil ravishda belgilanishi kerak.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Qismlar bo'yicha integratsiya. Yechim misollari

Yana bir bor salom. Bugun darsda biz qismlar bo'yicha integratsiyani o'rganamiz. Qismlar bo'yicha integrallash usuli integral hisobning asoslaridan biridir. Sinov, imtihonda talabaga deyarli har doim quyidagi turdagi integrallarni echish taklif etiladi: eng oddiy integral (maqolaga qarang) yoki o'zgaruvchini o'zgartirish uchun integral (maqolaga qarang) yoki faqat integral qismlar bo'yicha integratsiya usuli.

Har doimgidek, qo'lda bo'lishi kerak: Integrallar jadvali va Hosiliy jadval. Agar sizda hali ham ular yo'q bo'lsa, iltimos, mening saytimning omboriga tashrif buyuring: Matematik formulalar va jadvallar. Men takrorlashdan charchamayman - hamma narsani chop etish yaxshiroqdir. Men barcha materiallarni izchil, sodda va tushunarli tarzda taqdim etishga harakat qilaman, qismlarga integratsiya qilishda alohida qiyinchiliklar yo'q.

Qismlar bo'yicha integratsiya qanday muammoni hal qiladi? Qismlar bo'yicha integratsiya usuli juda muhim muammoni hal qiladi, bu sizga jadvalda bo'lmagan ba'zi funktsiyalarni birlashtirishga imkon beradi, ish funktsiyalari va ba'zi hollarda - va xususiy. Esda tutganimizdek, qulay formula yo'q: . Ammo bu bor: shaxsan qismlar bo'yicha integratsiya qilish formulasi. Bilaman, bilaman, siz yagonasiz - u bilan biz butun darsni ishlaymiz (bu allaqachon osonroq).

Va darhol studiyadagi ro'yxat. Quyidagi turdagi integrallar qismlar tomonidan olinadi:

1) , , - logarifm, logarifmni ba'zi ko'phadga ko'paytirish.

2) ,koʻrsatkichli funksiya baʼzi koʻphadga koʻpaytiriladi. Bu, shuningdek, ko'paytmali funktsiya kabi integrallarni ham o'z ichiga oladi - ko'rsatkichga ko'paytiriladi, lekin amalda bu 97 foizni tashkil qiladi, integral ostida chiroyli "e" harfi ko'rinadi. ... maqola lirik bir narsa bo'lib chiqadi, ha ... bahor keldi.

3) , , trigonometrik funksiyalar ba'zi ko'phadga ko'paytiriladi.

4) , - teskari trigonometrik funktsiyalar ("arklar"), "arklar", ba'zi polinomga ko'paytiriladi.

Shuningdek, ba'zi kasrlar qismlarga bo'linadi, biz tegishli misollarni ham batafsil ko'rib chiqamiz.

Logarifmlarning integrallari

1-misol

Klassik. Vaqti-vaqti bilan bu integralni jadvallarda topish mumkin, ammo tayyor javobdan foydalanish istalmagan, chunki o'qituvchi bahorda beriberi bilan kasallangan va u ko'p ta'na qiladi. Chunki ko'rib chiqilayotgan integral hech qanday jadval shaklida emas - u qismlarga bo'linadi. Biz qaror qilamiz:

Biz oraliq tushuntirishlar uchun yechimni to'xtatamiz.

Qismlar bo'yicha integratsiya uchun formuladan foydalanamiz:

Formula chapdan o'ngga qo'llaniladi

Biz chap tomonga qaraymiz:. Shubhasiz, bizning misolimizda (va biz ko'rib chiqadigan barcha boshqa misollarda) biror narsa bilan, nimanidir esa bilan belgilash kerak.

Ko'rib chiqilayotgan turdagi integrallarda biz doimo logarifmni belgilaymiz.

Texnik jihatdan, yechimning dizayni quyidagicha amalga oshiriladi, biz ustunga yozamiz:

Ya'ni, biz logarifmni belgilagan edik va - qolgan qismi integral.

Keyingi qadam: differentsialni toping:

Differensial hosila bilan deyarli bir xil, biz uni qanday topishni oldingi darslarda muhokama qilgan edik.

Endi biz funktsiyani topamiz. Funktsiyani topish uchun integratsiya qilish kerak o'ng tomon past tenglik:

Endi biz yechimimizni ochamiz va formulaning o'ng tomonini quramiz: .
Aytgancha, bu erda kichik eslatmalar bilan yakuniy yechimning namunasi:

Mahsulotdagi yagona lahza, men darhol qayta tartibladim va logarifmdan oldin multiplikatorni yozish odat tusiga kirganligi sababli.

Ko'rib turganingizdek, qismlarga integratsiya formulasini qo'llash bizning yechimimizni ikkita oddiy integralga qisqartirdi.

E'tibor bering, ba'zi hollarda keyin darhol formulani qo'llashda, soddalashtirish majburiy ravishda qolgan integral ostida amalga oshiriladi - ko'rib chiqilayotgan misolda biz integratsiyani "x" ga kamaytirdik.

Keling, tekshiramiz. Buning uchun siz javobning hosilasini olishingiz kerak:

Asl integral olinadi, ya'ni integral to'g'ri echilgan.

Tekshiruv davomida biz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalandik: . Va bu tasodif emas.

Qismlar formulasi bo'yicha integratsiya va formula Bu bir-biriga qarama-qarshi bo'lgan ikkita qoidadir.

2-misol

Noaniq integralni toping.

Integratsiya logarifm va ko'phadning ko'paytmasidir.
Biz qaror qilamiz.

Yana bir bor qoidani qo'llash tartibini batafsil tasvirlab beraman, in boshqa misollar ixchamroq tuziladi va agar siz uni o'zingiz hal qilishda qiyinchiliklarga duch kelsangiz, darsning dastlabki ikkita misoliga qaytishingiz kerak.

Yuqorida aytib o'tilganidek, logarifmni belgilash kerak (uning bir darajada bo'lishi muhim emas). belgilaymiz qolgan qismi integral.

Biz ustunga yozamiz:

Avval biz differentsialni topamiz:

Bu yerda kompleks funksiyani differentsiallash qoidasidan foydalanamiz . Mavzuning birinchi darsida bu bejiz emas Noaniq integral. Yechim misollari Men integrallarni o'zlashtirish uchun hosilalarga "qo'lingizni olish" kerakligiga e'tibor qaratdim. Derivativlar bir necha marta duch kelishlari kerak.

Endi biz funktsiyani topamiz, buning uchun biz birlashamiz o'ng tomon past tenglik:

Integratsiya uchun biz eng oddiy jadval formulasini qo'lladik

Endi siz formulani qo'llashga tayyormiz . Biz uni "yulduzcha" bilan ochamiz va o'ng tomonga qarab yechimni "loyihalaymiz":

Integral ostida, bizda yana logarifm bo'yicha polinom bor! Shuning uchun yechim yana uzilib, qismlar bo'yicha integrallash qoidasi ikkinchi marta qo'llaniladi. Shuni unutmangki, shunga o'xshash vaziyatlarda logarifm doimo belgilanadi.

Shu nuqtada siz eng oddiy integral va hosilalarni og'zaki ravishda topsangiz yaxshi bo'lardi.

(1) Belgilarda adashmang! Ko'pincha bu erda minus yo'qoladi, shuningdek minus amal qilishiga e'tibor bering hammaga qavs , va bu qavslar to'g'ri ochilishi kerak.

(2) Qavslarni kengaytiring. Biz oxirgi integralni soddalashtiramiz.

(3) Biz oxirgi integralni olamiz.

(4) Javobni “tarash”.

Qismlar bo'yicha integratsiya qoidasini ikki marta (hatto uch marta) qo'llash zarurati kam uchraydi.

Va endi mustaqil yechim uchun bir nechta misol:

3-misol

Noaniq integralni toping.

Bu misol o'zgaruvchan usulini o'zgartirish (yoki differensial belgi ostida yig'ish) bilan hal qilinadi! Va nima uchun emas - siz uni qismlarga bo'lishga harakat qilishingiz mumkin, siz kulgili narsani olasiz.

4-misol

Noaniq integralni toping.

Ammo bu integral qismlar (va'da qilingan kasr) bilan integrallanadi.

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misollar, dars oxiridagi echimlar va javoblar.

Bu 3,4-misollarda ko'rinadi integral funktsiyalar shunga o'xshash, ammo yechim usullari boshqacha! Bu integrallarni o'zlashtirishdagi asosiy qiyinchilik - agar siz integralni echishning noto'g'ri usulini tanlasangiz, u bilan haqiqiy boshqotirma kabi soatlab skripka qilishingiz mumkin. Shuning uchun, turli integrallarni qanchalik ko'p yechsangiz, shuncha yaxshi, test va imtihon shunchalik oson bo'ladi. Bundan tashqari, ikkinchi yilda ham bo'ladi differensial tenglamalar, va integral va hosilalarni echish tajribasi bo'lmasa, u erda hech narsa qilish mumkin emas.

Logarifmlar bo'yicha, ehtimol ko'proq. Aperatif uchun men texnologiya talabalari ayol ko'kraklarini logarifmlar =) deb ataganini ham eslayman. Aytgancha, asosiyning grafikasini yoddan bilish foydalidir elementar funktsiyalar: sinus, kosinus, yoy tangensi, koʻrsatkichli, uchinchi, toʻrtinchi darajali koʻphadlar va boshqalar. Yo'q, albatta, globusdagi prezervativ
Men tortmayman, lekin endi siz bo'limdan ko'p narsalarni eslaysiz Grafiklar va funksiyalar =).

Ko'rsatkichning ko'paytmali integrallari

Umumiy qoida:

5-misol

Noaniq integralni toping.

Tanish algoritmdan foydalanib, biz qismlarga birlashamiz:

Agar sizda integral bilan bog'liq qiyinchiliklar bo'lsa, maqolaga qaytishingiz kerak Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli.

Boshqa yagona narsa javobni "tarash":

Ammo agar sizning hisoblash texnikangiz unchalik yaxshi bo'lmasa, javob sifatida eng foydali variantni qoldiring. yoki hatto

Ya'ni oxirgi integral olinganda misol yechilgan hisoblanadi. Bu xato bo'lmaydi, o'qituvchi javobni soddalashtirishni so'rashi mumkin bo'lgan boshqa masala.

6-misol

Noaniq integralni toping.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Bu integral qismlar bo'yicha ikki marta integrallanadi. Belgilarga alohida e'tibor berilishi kerak - ularda chalkashib ketish oson, biz buni ham eslaymiz - murakkab funktsiya.

Ko'rgazma ishtirokchisi haqida ko'p gapirish mumkin emas. Men shuni qo'shishim mumkinki, ko'rsatkich va natural logarifm o'zaro teskari funktsiyalardir, bu men oliy matematikaning qiziqarli grafiklari mavzusida =) To'xta, to'xta, xavotir olma, o'qituvchi hushyor.

Trigonometrik funktsiyalarning ko'phadga ko'paytiriladigan integrallari

Umumiy qoida: har doim polinomni bildiradi

7-misol

Noaniq integralni toping.

Qismlar bo'yicha integratsiya:

Hmmm... va sharhlash uchun hech narsa yo'q.

8-misol

Noaniq integralni toping

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol

9-misol

Noaniq integralni toping

Kasr bilan yana bir misol. Oldingi ikkita misolda bo'lgani kabi, ko'phad bilan belgilanadi.

Qismlar bo'yicha integratsiya:

Agar sizda integralni topishda qiyinchiliklar yoki tushunmovchiliklar bo'lsa, men darsga borishni tavsiya qilaman Trigonometrik funksiyalarning integrallari.

10-misol

Noaniq integralni toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol.

Maslahat: qismlar bo'yicha integratsiyani qo'llashdan oldin, ikkita trigonometrik funktsiyaning mahsulotini bitta funktsiyaga aylantiradigan ba'zi trigonometrik formulalarni qo'llashingiz kerak. Formuladan qismlar bo'yicha integratsiya usulini qo'llash jarayonida ham foydalanish mumkin, chunki bu har kim uchun qulayroqdir.

Bu, ehtimol, bu paragrafda. Negadir fizika-matematika kafedrasi madhiyasidan “Va to‘lqindan keyin sinus grafik to‘lqin abscissa o‘qi bo‘ylab harakat qiladi” degan satrni esladim.

Teskari trigonometrik funksiyalarning integrallari.
Teskari trigonometrik funksiyalarning integrallari polinomga ko‘paytiriladi

Umumiy qoida: har doim teskari trigonometrik funktsiyani anglatadi.

Teskari trigonometrik funksiyalarga arksinus, arkkosinus, arktangens va arkkotangens kiradi. Qisqalik uchun men ularni "arklar" deb atayman.