Nuqtaning aylana bo‘ylab harakat tezligi formulasi. I
Orasida har xil turlari egri chiziqli harakat alohida qiziqish uyg'otadi jismning aylana bo'ylab bir tekis harakatlanishi. Bu egri chiziqli harakatning eng oddiy shakli. Shu bilan birga, tananing traektoriyasining etarlicha kichik qismida har qanday murakkab egri chiziqli harakati, taxminan, aylana bo'ylab bir tekis harakat sifatida qaralishi mumkin.
Bunday harakat aylanuvchi g'ildiraklar, turbina rotorlari, orbitalarda aylanadigan sun'iy yo'ldoshlar va boshqalar nuqtalari orqali amalga oshiriladi. Doira bo'ylab bir xil harakat bilan tezlikning son qiymati doimiy bo'lib qoladi. Biroq, bunday harakat paytida tezlikning yo'nalishi doimo o'zgarib turadi.
Egri chiziqli traektoriyaning istalgan nuqtasida jismning tezligi bu nuqtada traektoriyaga tangensial yo'naltiriladi. Buni disk shaklidagi maydalagichning ishini kuzatish orqali ko'rish mumkin: po'lat tayoqning uchini aylanuvchi toshga bosib, toshdan issiq zarralarni ko'rishingiz mumkin. Bu zarralar toshdan ajralish paytidagi tezlikda uchadi. Uchqunlarning yo'nalishi har doim tayoqning toshga tegishi nuqtasida aylanaga tegish bilan mos keladi. Sirpanib ketayotgan mashinaning g‘ildiraklaridan chiqadigan purkagichlar ham aylanaga tangensial harakat qiladi.
Shunday qilib, jismning egri chiziqli traektoriyaning turli nuqtalarida bir lahzalik tezligi turli yo'nalishlarga ega, tezlik moduli esa hamma joyda bir xil bo'lishi yoki nuqtadan nuqtaga o'zgarishi mumkin. Ammo tezlik moduli o'zgarmasa ham, uni doimiy deb hisoblash mumkin emas. Axir, tezlik vektor kattalikdir va vektor kattaliklar uchun modul va yo'nalish bir xil darajada muhimdir. Shunung uchun egri chiziqli harakat doimo tezlashadi, tezlik moduli doimiy bo'lsa ham.
Egri chiziqli harakat tezlik modulini va uning yo'nalishini o'zgartirishi mumkin. Tezlik moduli doimiy bo'lib qoladigan egri chiziqli harakat deyiladi bir xil egri chiziqli harakat. Bunday harakat paytida tezlashuv faqat tezlik vektori yo'nalishining o'zgarishi bilan bog'liq.
Tezlanishning moduli ham, yo‘nalishi ham egri traektoriya shakliga bog‘liq bo‘lishi kerak. Biroq, uning har bir ko'p sonli shakllarini ko'rib chiqish shart emas. Har bir kesimni ma'lum radiusli alohida aylana sifatida ifodalagan holda, egri chiziqli bir tekis harakatda tezlanishni topish muammosi tananing aylana bo'ylab bir tekis harakatida tezlanishni topishga qisqartiriladi.
Doiradagi bir tekis harakat aylanish davri va chastotasi bilan tavsiflanadi.
Tananing bitta inqilob qilish vaqti deyiladi aylanish davri.
Doira bo'ylab bir tekis harakatlanganda, aylanish davri bosib o'tgan masofani, ya'ni aylananing aylanasini harakat tezligiga bo'lish yo'li bilan aniqlanadi:
Davrning o'zaro kelishi deyiladi aylanish chastotasi, harfi bilan belgilanadi ν . Vaqt birligidagi aylanishlar soni ν chaqirdi aylanish chastotasi:
Tezlik yo'nalishining uzluksiz o'zgarishi tufayli aylana bo'ylab harakatlanayotgan jism o'z yo'nalishidagi o'zgarish tezligini tavsiflovchi tezlanishga ega, bu holda tezlikning son qiymati o'zgarmaydi.
Jism aylana bo'ylab bir tekis harakatlansa, uning istalgan nuqtasidagi tezlanish doimo aylananing radiusi bo'ylab uning markaziga bo'lgan harakat tezligiga perpendikulyar yo'naltiriladi va deyiladi. markazlashtirilgan tezlashuv.
Uning qiymatini topish uchun tezlik vektoridagi o'zgarishning ushbu o'zgarish sodir bo'lgan vaqt oralig'iga nisbatini ko'rib chiqing. Burchak juda kichik bo'lgani uchun bizda bor
Ushbu darsda biz egri chiziqli harakatni, ya'ni jismning aylana bo'ylab bir tekis harakatini ko'rib chiqamiz. Biz chiziqli tezlik nima ekanligini, tana aylana bo'ylab harakatlanayotganda markazlashtirilgan tezlanishni bilib olamiz. Aylanma harakatni tavsiflovchi kattaliklarni ham kiritamiz (aylanish davri, aylanish chastotasi, burchak tezligi) va bu miqdorlarni bir-biri bilan bog'laymiz.
Aylana bo'ylab bir tekis harakat deganda, tananing har qanday bir xil vaqt oralig'ida bir xil burchak ostida aylanishi tushuniladi (6-rasmga qarang).
Guruch. 6. Bir tekis aylanma harakat
Ya'ni, oniy tezlik moduli o'zgarmaydi:
Bu tezlik deyiladi chiziqli.
Tezlik moduli o'zgarmasa ham, tezlik yo'nalishi doimiy ravishda o'zgarib turadi. Nuqtalardagi tezlik vektorlarini ko'rib chiqing A va B(7-rasmga qarang). Ular turli yo'nalishlarga yo'naltirilgan, shuning uchun ular teng emas. Nuqtadagi tezlikdan ayirilsa B nuqta tezligi A, biz vektor olamiz.
Guruch. 7. Tezlik vektorlari
Tezlik o'zgarishining () bu o'zgarish sodir bo'lgan vaqtga nisbati () tezlanishdir.
Shuning uchun har qanday egri chiziqli harakat tezlashadi.
Agar biz 7-rasmda olingan tezlik uchburchagini ko'rib chiqsak, u holda nuqtalarning juda yaqin joylashuvi bilan A va B bir-biriga nisbatan tezlik vektorlari orasidagi burchak (a) nolga yaqin bo'ladi:
Bundan tashqari, bu uchburchak teng yon tomonli ekanligi ma'lum, shuning uchun tezliklar modullari teng (bir tekis harakat):
Shuning uchun, bu uchburchakning poydevoridagi ikkala burchak ham cheksiz yaqin:
Bu vektor bo'ylab yo'naltirilgan tezlanish aslida tangensga perpendikulyar ekanligini anglatadi. Ma'lumki, aylanada tangensga perpendikulyar chiziq radius, shuning uchun tezlanish radius bo'ylab aylananing markaziga yo'naltirilgan. Bu tezlanish markazga intiluvchi deyiladi.
8-rasmda yuqorida muhokama qilingan tezliklar uchburchagi va teng yonli uchburchak (ikki tomoni aylananing radiusi) ko'rsatilgan. Bu uchburchaklar o'xshashdir, chunki ular o'zaro perpendikulyar chiziqlardan hosil bo'lgan teng burchaklarga ega (radius, vektor kabi, tangensga perpendikulyar).
Guruch. 8. Markazga yo'naltirilgan tezlanish formulasini chiqarish uchun rasm
Chiziq segmenti AB bu harakat(). Biz bir xil aylanma harakatni ko'rib chiqamiz, shuning uchun:
Olingan ifodani ga almashtiramiz AB uchburchakning o'xshashlik formulasiga:
"Chiziqli tezlik", "tezlanish", "koordinata" tushunchalari egri traektoriya bo'ylab harakatni tavsiflash uchun etarli emas. Shuning uchun aylanish harakatini tavsiflovchi miqdorlarni kiritish kerak.
1. aylanish davri (T ) bitta to'liq inqilob vaqti deb ataladi. U soniyalarda SI birliklarida o'lchanadi.
Davrlarga misollar: Yer o'z o'qi atrofida 24 soatda (), Quyosh atrofida esa 1 yilda () aylanadi.
Davrni hisoblash formulasi:
umumiy aylanish vaqti qayerda; - aylanishlar soni.
2. Aylanish chastotasi (n ) - tananing vaqt birligida amalga oshiradigan aylanishlar soni. U o'zaro soniyalarda SI birliklarida o'lchanadi.
Chastotani topish formulasi:
umumiy aylanish vaqti qayerda; - aylanishlar soni
Chastota va davr teskari proportsionaldir:
3. burchak tezligi () jismning burilish burchagi o'zgarishining bu burilish sodir bo'lgan vaqtga nisbati deyiladi. U soniyalarga bo'lingan radianlarda SI birliklarida o'lchanadi.
Burchak tezligini topish formulasi:
burchakning o'zgarishi qayerda; navbat sodir bo'lishi uchun zarur bo'lgan vaqt.
aylanish harakati sobit o'q atrofida - qattiq jismning harakatining yana bir alohida holati.
Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati
uning harakati deyiladi, bunda tananing barcha nuqtalari markazlari bir to'g'ri chiziqda joylashgan aylanalarni tasvirlaydi, bu aylanish o'qi deb ataladi, bu doiralar tegishli bo'lgan tekisliklar esa perpendikulyardir. aylanish o'qlari
(2.4-rasm).
Texnologiyada bunday harakat turi juda keng tarqalgan: masalan, dvigatellar va generatorlar, turbinalar va samolyot pervanellarining vallari aylanishi.
Burchak tezligi
. Bir nuqtadan o'tadigan o'q atrofida aylanadigan tananing har bir nuqtasi O, aylana bo'ylab harakatlanadi va turli nuqtalar vaqt ichida turli yo'llarni bosib o'tadi. Demak, , demak, nuqta tezligi moduli LEKIN nuqtadan ko'proq DA (2.5-rasm). Ammo aylanalarning radiuslari vaqt o'tishi bilan bir xil burchak ostida aylanadi. Burchak - eksa orasidagi burchak OH va radius vektori , A nuqtaning o'rnini aniqlaydi (2.5-rasmga qarang).
Tana bir xilda aylansin, ya'ni har qanday teng vaqt oralig'ida bir xil burchaklar bo'ylab aylansin. Tananing aylanish tezligi ma'lum vaqt oralig'ida qattiq jismning nuqtalaridan birining o'rnini aniqlaydigan radius vektorining burilish burchagiga bog'liq; xarakterlanadi burchak tezligi
.
Misol uchun, agar bir jism har soniyada burchak bilan, ikkinchisi esa burchak bilan aylansa, birinchi jism ikkinchisiga qaraganda 2 marta tezroq aylanadi deb aytamiz.
Bir tekis aylanish bilan tananing burchak tezligi
tananing burilish burchagining bu aylanish sodir bo'lgan vaqt oralig'iga nisbatiga teng qiymat deb ataladi.
Biz burchak tezligini yunoncha harf bilan belgilaymiz ω
(omega). Keyin ta'rif bo'yicha
Burchak tezligi sekundiga radyanlarda (rad/s) ifodalanadi.
Masalan, Yerning o'z o'qi atrofida aylanish burchak tezligi 0,0000727 rad/s, silliqlash g'ildiraginiki esa taxminan 140 rad/s 1 ga teng.
Burchak tezligini quyidagicha ifodalash mumkin aylanish tezligi
, ya'ni 1 soniyada to'liq aylanishlar soni. Agar tana (yunoncha "nu" harfi) 1 soniyada aylanishlarni amalga oshirsa, u holda bir aylanish vaqti soniyalarga teng bo'ladi. Bu vaqt deyiladi aylanish davri
va harf bilan belgilanadi T. Shunday qilib, chastota va aylanish davri o'rtasidagi bog'liqlik quyidagicha ifodalanishi mumkin:
Tananing to'liq aylanishi burchakka to'g'ri keladi. Shuning uchun (2.1) formulaga muvofiq
Agar bir xil aylanishda burchak tezligi ma'lum bo'lsa va vaqtning dastlabki momentida aylanish burchagi , u holda vaqt davomida tananing burilish burchagi. t(2.1) tenglamaga muvofiq:
Agar , keyin yoki 
.
Qattiq jismning nuqtalaridan birining o'rnini belgilovchi radius vektori bilan o'q o'rtasidagi burchak bo'lsa, burchak tezligi ijobiy qiymatlarni oladi. OH ortadi, kamayganda esa salbiy.
Shunday qilib, biz istalgan vaqtda aylanuvchi jism nuqtalarining holatini tasvirlashimiz mumkin.
Chiziqli va burchak tezligi o'rtasidagi bog'liqlik.
Aylana bo'ylab harakatlanadigan nuqtaning tezligi ko'pincha deyiladi chiziqli tezlik
uning burchak tezligidan farqini ta'kidlash.
Qattiq jism aylanayotganda uning turli nuqtalari teng bo'lmagan chiziqli tezliklarga ega ekanligini, lekin barcha nuqtalar uchun burchak tezligi bir xil ekanligini allaqachon qayd etgan edik.
Aylanadigan jismning istalgan nuqtasining chiziqli tezligi bilan uning burchak tezligi o'rtasida bog'liqlik mavjud. Keling, uni o'rnatamiz. Radiusli aylanadagi nuqta R, bir inqilob uchun yo'lni qoplaydi. Tananing bir inqilob vaqtidan boshlab davr hisoblanadi T, u holda nuqtaning chiziqli tezligi modulini quyidagicha topish mumkin:
Aylana harakati egri chiziqli harakatning alohida holatidir. Egri chiziqli traektoriyaning istalgan nuqtasida tananing tezligi unga tangensial yo'naltiriladi (2.1-rasm). Bunday holda, vektor sifatida tezlik ham mutlaq qiymat (qiymat), ham yo'nalish bo'yicha o'zgarishi mumkin. Tezlik moduli bo'lsa 
o'zgarishsiz qoladi, keyin bir kishi gapiradi bir xil egri chiziqli harakat.
Tana 1 nuqtadan 2 nuqtagacha doimiy tezlikda aylana bo'ylab harakatlansin.
Bunday holda, tana t vaqtida 1 va 2 nuqtalar orasidagi yoy uzunligi ℓ 12 ga teng yo'lni bosib o'tadi. Aylana markazidan 0 nuqtaga chizilgan R radius-vektori bir vaqtning o'zida t vaqtida Dph burchagi bo'ylab aylanadi.
2-nuqtadagi tezlik vektori 1-nuqtadagi tezlik vektoridan farq qiladi yo'nalishi DV tomonidan:
;
Tezlik vektorining o'zgarishini dv bilan tavsiflash uchun biz tezlanishni kiritamiz:
(2.4)
Vektor 
traektoriyaning istalgan nuqtasida Rk radiusi bo'ylab yo'naltiriladi markaz tezlik vektoriga perpendikulyar aylana V 2 . Shuning uchun tezlashuv 
, bu egri chiziqli harakat paytida tezlikning o'zgarishini tavsiflaydi 
yo'nalishda, chaqiriladi markazlashtiruvchi yoki normal. Shunday qilib, nuqtaning doimiy modul tezligi bo'lgan doira bo'ylab harakati tezlashtirilgan.
Tezlik bo'lsa 
nafaqat yo'nalishda, balki mutlaq qiymatda (qiymatda) ham o'zgaradi, keyin normal tezlashuvga qo'shimcha ravishda 
ham tanishtirish tangens (tangensial) tezlashuv 
, bu tezlikning kattalikdagi o'zgarishini tavsiflaydi:
yoki 
Yo'naltirilgan vektor 
traektoriyaning istalgan nuqtasida tangensial (ya'ni vektor yo'nalishiga to'g'ri keladi). 
). Vektorlar orasidagi burchak 
va 
90 0 ga teng.
Egri chiziq bo'ylab harakatlanuvchi nuqtaning umumiy tezlanishi vektor yig'indisi sifatida aniqlanadi (2.1-rasm).
.
Vektor moduli 
.
Burchak tezligi va burchak tezlanishi
Haydash paytida moddiy nuqta aylana bo'ylab aylana markazidan nuqtaga chizilgan R radius-vektori Dph burchak orqali aylanadi (2.1-rasm). Aylanishni xarakterlash uchun burchak tezligi ō va burchak tezlanishi e tushunchalari kiritiladi.
ph burchagini radianlarda o'lchash mumkin. 1 rad aylana radiusi R ga teng ℓ yoyi ustida joylashgan burchakka teng, ya'ni.
yoki ℓ
12
=
Rφ
(2.5.)
(2.5.) tenglamani ajratamiz.
(2.6.)
Qiymat dℓ/dt=V inst. ō \u003d dph / dt qiymati deyiladi burchak tezligi(rad/s bilan o'lchanadi). Chiziqli va burchakli tezliklar o'rtasidagi munosabatni olamiz:
ō miqdori vektor. vektor yo'nalishi 
belgilangan vint (gimlet) qoidasi: u vintning harakat yo'nalishiga to'g'ri keladi, nuqta yoki tananing aylanish o'qi bo'ylab yo'naltirilgan va tananing aylanish yo'nalishi bo'yicha aylanadi (2.2-rasm), ya'ni. 
.
burchak tezlanishi
burchak tezligining vektor miqdori hosilasi deb ataladi (lahzali burchak tezlanishi)
,
(2.8.)
Vektor 
aylanish o'qiga to'g'ri keladi va vektor bilan bir xil yo'nalishda yo'naltiriladi 
, agar aylanish tezlashtirilgan bo'lsa va teskari yo'nalishda, agar aylanish sekin bo'lsa.
Tezliknvaqt birligidagi tana deyiladitezlik .
Tananing bir marta to'liq aylanishining T vaqti deyiladiaylanish davri . QayerdaRburchak Dph=2p radianlarni tavsiflaydi
Shu bilan birga
,
(2.9)
(2.8) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
(2.10)
Keyin tezlanishning tangensial komponenti
va =R(2.11)
Oddiy tezlanish a n ni quyidagicha ifodalash mumkin:
(2.7) va (2.9) ni hisobga olgan holda
(2.12)
Keyin to'liq tezlashtirish
Doimiy burchak tezlanishi bo'lgan aylanish harakati uchun kinematik tenglamani (2.1) - (2.3) tenglamaga o'xshashlik orqali tarjima harakati uchun yozish mumkin:
,
.
Nuqtaning aylana bo‘ylab harakatini tavsiflaganda, nuqtaning harakatini burchak bilan tavsiflaymiz Δφ , bu nuqtaning vaqtdagi radius vektorini tavsiflaydi Dt. Cheksiz kichik vaqt oralig'ida burchak almashinuvi dt belgilangan dph.
Burchakli siljish vektor kattalikdir. Vektorning (yoki ) yo'nalishi gimlet qoidasiga ko'ra aniqlanadi: agar siz gimletni (o'ng ip bilan vintni) nuqta harakati yo'nalishi bo'yicha aylantirsangiz, gimlet burchak yo'nalishi bo'yicha harakatlanadi. siljish vektori. Shaklda. 14 nuqta M soat yo'nalishi bo'yicha harakatlanadi, agar siz harakat tekisligiga pastdan qarasangiz. Agar siz gimletni shu yo'nalishda aylantirsangiz, u holda vektor yuqoriga yo'naltiriladi.
Shunday qilib, burchakli siljish vektorining yo'nalishi musbat aylanish yo'nalishini tanlash bilan aniqlanadi. Ijobiy aylanish yo'nalishi o'ng qo'l iplari bilan gimlet qoidasi bilan belgilanadi. Biroq, xuddi shu muvaffaqiyat bilan chap ipli gimletni olish mumkin edi. Bunday holda, burchak siljishi vektorining yo'nalishi qarama-qarshi bo'ladi.
Tezlik, tezlanish, siljish vektori kabi miqdorlarni ko'rib chiqishda ularning yo'nalishini tanlash masalasi tug'ilmadi: bu miqdorlarning o'z tabiatidan tabiiy ravishda aniqlandi. Bunday vektorlar qutbli deb ataladi. Burchakli siljish vektoriga o'xshash vektorlar deyiladi eksenel, yoki psevdovektorlar. Eksenel vektorning yo'nalishi ijobiy aylanish yo'nalishini tanlash bilan aniqlanadi. Bundan tashqari, eksenel vektorning qo'llash nuqtasi yo'q. Polar vektorlar, biz hozirgacha ko'rib chiqdik, harakatlanuvchi nuqtaga nisbatan qo'llaniladi. Eksenel vektor uchun siz faqat u yo'naltirilgan yo'nalishni (o'q, eksa - lat.) belgilashingiz mumkin. Burchak siljishi vektori yo'naltirilgan o'q aylanish tekisligiga perpendikulyar. Odatda, burchakli siljish vektori aylananing markazidan o'tuvchi o'qda tasvirlangan (14-rasm), garchi uni istalgan joyda, shu jumladan ko'rib chiqilayotgan nuqtadan o'tadigan o'qda chizish mumkin.
SI tizimida burchaklar radyanlarda o'lchanadi. Radian - yoy uzunligi aylana radiusiga teng bo'lgan burchak. Shunday qilib, umumiy burchak (360 0) 2p radianga teng.
Nuqtani aylana bo‘ylab harakatlantirish
Burchak tezligi sonli vektor kattalikdir burchakka teng vaqt birligi uchun aylanish. Burchak tezligi odatda yunoncha ō harfi bilan belgilanadi. Ta'rifga ko'ra, burchak tezligi burchakning vaqtga nisbatan hosilasidir:
. (19)
Burchak tezligi vektorining yo'nalishi burchak siljishi vektorining yo'nalishiga to'g'ri keladi (14-rasm). Burchak tezligi vektori, burchak siljishi vektori kabi, eksenel vektordir.
Burchak tezligining birligi rad/s.
Doimiy burchak tezligi bilan aylanish bir xil deb ataladi, ō = ph/t.
Yagona aylanish T inqilob davri bilan tavsiflanishi mumkin, bu tananing bir inqilobni amalga oshiradigan vaqti, ya'ni 2p burchak ostida aylanadi. Dt = T vaqt oralig'i aylanish burchagi Dph = 2p ga to'g'ri kelganligi sababli, u holda
(20)
Vaqt birligidagi aylanishlar soni n aniq:
(21)
n qiymati gerts (Hz) da o'lchanadi. Bir gerts soniyada bir aylanish yoki 2p rad/s.
Inqilob davri va vaqt birligidagi aylanishlar soni haqidagi tushunchalar bir xil bo'lmagan aylanish uchun ham saqlanishi mumkin, bu T oniy qiymati bilan, agar tananing ma'lum bir lahzali qiymat bilan bir xil aylansa, bir inqilobni bajarish vaqtini tushunish mumkin. burchak tezligini va n ga ko'ra, jismning o'xshash sharoitlarda vaqt birligida qiladigan aylanish sonini tushunish.
Agar burchak tezligi vaqt o'tishi bilan o'zgarsa, u holda aylanish bir xil bo'lmagan deb ataladi. Bunday holda, kiriting burchak tezlanishi xuddi to'g'ri chiziqli harakat uchun chiziqli tezlanish kiritilgani kabi. Burchak tezlanishi - vaqt birligidagi burchak tezligining o'zgarishi, burchak tezligining vaqtga nisbatan hosilasi yoki burchak siljishining vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasi sifatida hisoblanadi:
(22)
Burchak tezligi kabi, burchak tezlashuvi vektor miqdordir. Burchak tezlanish vektori eksenel vektor bo'lib, tezlashtirilgan aylanishda u burchak tezligi vektori bilan bir yo'nalishda yo'naltiriladi (14-rasm); sekin aylanish holatida burchak tezlanish vektori burchak tezligi vektoriga qarama-qarshi yo'naltiriladi.
Bir tekis o'zgaruvchan aylanish harakatida bir xil o'zgaruvchan to'g'ri chiziqli harakatni tavsiflovchi (10) va (11) formulalarga o'xshash munosabatlar sodir bo'ladi:
ō = ō 0 ± et,
.