قضیه مکمل یک مجموعه باز بسته. ویژگی های Open Sets

برهان قضایا:

1) قضیه کانتور

فرمولاسیون: مجموعه اعداد حقیقی غیرقابل شمارش است

اثبات: اگر مجموعه تمام اعداد حقیقی قابل شمارش بودند، پس از آن زمان هر زیر مجموعه نامتناهی از یک مجموعه قابل شمارش قابل شمارش است، سپس هر یک از زیرمجموعه های آن، به ویژه، هر بخش، که با این واقعیت که هر بخش از مجموعه اعداد واقعی از مجموعه ای غیرقابل شمارش از نقاط تشکیل شده است، در تضاد است.

2) قضیه نقطه حدی

جمله بندی: اگر (.)پنقطه حد استایکس، سپس هر محله (.)پشامل بی نهایت نقاط مجموعه استایکس

اثبات:فرض کنید یک همسایگی (.)p وجود دارد که شامل تعداد محدودی نقطه در مجموعه X است.

q 1, q 2, …,q n نقاطی از مجموعه NÇX هستند

q i ¹p, i=1,2,…,n

فاصله (.)p تا تمام نقاط q i را در نظر بگیرید و حداقل را انتخاب کنید.

r=min r(p,qi)>0

اجازه دهید یک همسایگی با شعاع r در مرکز نقطه p بسازیم. Nr(p)=B(p,r). اجازه دهید یک همسایگی (.)p با شعاع q بسازیم. این محله هیچ نقطه ای از X ندارد.

طبق تعریف، (.)p نمی تواند نقطه حد X باشد. یک تضاد.

3) قضیه مجموعه باز

فرمولاسیون: بسیاریایکسباز شود اگر و فقط اگر مکمل آن بسته باشد

اثبات:

نیاز:- بسته

ما (.)xОX را انتخاب می کنیم. بنابراین، طبق تعریف، xW و x نقطه حدی از مجموعه X نیستند. بنابراین، یک همسایگی N (.)x وجود دارد به طوری که NO=، NX، و بنابراین x یک نقطه داخلی مجموعه X است. مجموعه X باز است.

کفایت:اجازه دهید مجموعه X باز باشد و x یک نقطه حد باشد، سپس هر محله (.)x حاوی نقطه‌ای از است که با خود نقطه x منطبق نیست. این بدان معنی است که x یک نقطه داخلی مجموعه X نیست و بنابراین مجموعه بسته است.

4) قضیه اتحاد و تلاقی مجموعه های باز و بسته

فرمولاسیون:

4-1. برای هر خانواده ای (جیآ) مجموعه های بازجیمجموعه ای که اتحاد همه استجیآباز خواهد شد

4-2. برای هر خانواده ای (افآ) مجموعه های بستهآر، یک دسته ازÇ همهافآبسته خواهد شد

4-3. برای هر خانواده محدود (جی 1, جی 2 ,…, G n} Ç از تمام این مجموعه های باز باز خواهد بود

4-4. برای هر خانواده محدودی از مجموعه ها (اف 1, اف 2,…, F n) اتحاد همه این مجموعه ها بسته خواهد شد

اثبات:

4-1. G= را نشان دهید و اجازه دهید (.) xО G. این به این معنی است که xОG a برای برخی از شاخص a. از آنجایی که مجموعه G a باز است، پس (.)x یک نقطه داخلی مجموعه G a است. (.)x یک نقطه داخلی مجموعه G خواهد بود و از این رو G باز است.

با اثبات قبلی، مجموعه ها باز هستند

پس باز است

4-3. اجازه دهید H=. برای هر (.)x از مجموعه H، یک همسایگی N i با شعاع r i وجود دارد به طوری که این همسایگی н به مجموعه ای G i xнH N i G i وجود دارد.

از بین همه اینها r i حداقل min r i =r را انتخاب کنید و بگذارید همسایگی N همسایگی (.)x شعاع r باشد. سپس NОG i. و از NG i، سپس NH

4.4. ()=

5) اصل ارشمیدس

فرمولاسیون: عدد واقعی هر چه باشدآ، چنین عدد طبیعی وجود داردn، چیn> آ

اثبات: اگر ادعای قضیه صدق نمی کرد، عددی وجود داشت که برای همه اعداد طبیعی n نابرابری n<=a, т.е. множество натуральных чисел N было бы ограничено сверху. Тогда, согласно тому, что всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, у множества N существовала бы конечная верхняя грань:

b=supN<+ (1)

زیرا b-1 b-1، یعنی

n+1>b، اما n+1 نیز یک عدد طبیعی است: n+1нN، بنابراین نابرابری (n+1>b) با شرط (1) در تضاد است.

6) قضیه کوشی کانتور

بیانیه: برای هر سیستمی از بخش های تو در تو، حداقل یک عدد وجود دارد که به تمام بخش های سیستم تعلق دارد، و ایکس= سوپ{ یک n}= inf{ b n}

اثبات:اگر نقاط xн, н, n=1,2,…

پس واضح است که برای همه اعداد n نابرابری است

|-x|<=b n -a n , а следовательно, в силу условия (1) для любого e>0 نابرابری

از آنجایی که e>0 یک عدد دلخواه است، فقط زمانی امکان پذیر است که e=. این بدان معنی است که یک عدد x وجود دارد که به همه بخش ها تعلق دارد

یک n<=x<=b n , n=1,2,….

از این نابرابری ها می توان دریافت که عدد x اعداد a n را از بالا و اعداد b n را از پایین محدود می کند، بنابراین، اگر a=sup(a n)، b=inf(b n)، پس به موجب تعریف کران بالا و پایین، نابرابری ها برآورده خواهد شد

یک n<=a<=x<=b<=b n , n=1,2,…

بنابراین، اعداد a،b و x متعلق به همه بخش‌ها هستند، بنابراین با هم برابر هستند و شرط x=sup(a n)=inf(b n)

7) قضیه دنباله همگرا

فرمولاسیون: بگذار (p n) دنباله ای در فضای متریک استایکس

7.1. { p n} پ، زمانی که هر محله (.)پشامل تمام اعضای دنباله استp nبه جز تعداد محدودی از اعضای دنباله

7.2. اگر یکپÎ ایکس, پ` Î ایکس` و توالیp n p, p n p"، پسپ= پ`

7.3. اگر دنبالهp nهمگرا می شود، سپس محدود می شود

مجموعه های باز و بسته

پیوست 1 . مجموعه های باز و بسته

یک دسته از مدر یک خط مستقیم نامیده می شود باز کن، اگر هر یک از نقاط آن با مقداری فاصله در این مجموعه موجود باشد. بسته شدمجموعه‌ای نامیده می‌شود که تمام نقاط حد آن را در بر می‌گیرد (یعنی به گونه‌ای که هر بازه‌ای حاوی این نقطه حداقل یک نقطه دیگر را با مجموعه قطع کند). به عنوان مثال، یک قطعه یک مجموعه بسته است، اما باز نیست، و یک بازه، برعکس، یک مجموعه باز است، اما بسته نیست. مجموعه هایی هستند که نه باز هستند و نه بسته (مثلاً یک نیم فاصله). دو مجموعه وجود دارد که هر دو بسته و باز هستند - این خالی است و همه ز(ثابت کنید که دیگران وجود ندارند). به راحتی می توان فهمید که اگر مباز کنید، سپس [` م] (یا ز \ م- علاوه بر مجموعه مقبل از ز) بسته است. در واقع، اگر [` م] بسته نیست، سپس برخی از نقاط حد خود را شامل نمی شود متر. اما بعد متر O م، و هر بازه حاوی متر، با مجموعه [` تلاقی می کند م]، یعنی نکته ای دارد که در آن نهفته نیست م، که با این واقعیت که م- باز کن. همین طور مستقیماً از تعریف نیز ثابت می شود که اگر مبسته شد، سپس [` م] باز کردن (بررسی کنید!).

اکنون قضیه مهم زیر را اثبات می کنیم.

قضیه. هر مجموعه باز مرا می توان به صورت اتحاد فواصل با انتهای گویا (یعنی با انتهای در نقاط گویا) نشان داد.

اثبات . اتحادیه را در نظر بگیرید Uتمام فواصل با انتهای منطقی که زیر مجموعه مجموعه ما هستند. اجازه دهید ثابت کنیم که این اتحادیه با کل مجموعه منطبق است. در واقع، اگر متر- یک نقطه از م، سپس یک فاصله وجود دارد ( متر 1 , متر 2) م م، حاوی متر(این از این واقعیت ناشی می شود که م- باز کن). یافتن یک نقطه منطقی در هر بازه ای ممکن است. اجازه دهید در ( متر 1 , متر) - این متر 3، در ( متر, متر 2) است متر 4 . سپس نکته مترتحت پوشش اتحادیه U، یعنی فاصله ( متر 3 , متر 4). بنابراین، ما ثابت کرده ایم که هر نکته متراز جانب متحت پوشش اتحادیه U. علاوه بر این، همانطور که از ساخت و ساز مشخص است U، هیچ نکته ای وجود ندارد م، پوشش داده نشده U. به معنای، Uو مهمخوانی داشتن.

پیامد مهم این قضیه این است که هر مجموعه باز است قابل شمارشترکیب فواصل

هیچ کجا مجموعه متراکم و مجموعه های اندازه گیری ~ صفر. مجموعه کانتور>

پیوست 2 . هیچ کجا مجموعه متراکم و مجموعه های اندازه گیری صفر. مجموعه کانتور

یک دسته از آتماس گرفت هیچ جا تنگ، اگر برای هر نقطه متفاوت است آو بیک بخش وجود دارد [ ج, د] م [ آ, ب]، با آ. به عنوان مثال، مجموعه ای از نقاط در دنباله آ n = [ 1/(n)] هیچ جا متراکم نیست، اما مجموعه اعداد گویا اینطور نیست.

قضیه بائر. یک بخش را نمی توان به عنوان یک اتحادیه قابل شمارش از مجموعه های متراکم هیچ جا نشان داد.

اثبات . فرض کنید یک دنباله وجود دارد آ کهیچ جا مجموعه های متراکم به طوری که من آ من = [آ, ب]. بیایید دنباله ای از بخش های زیر را بسازیم. بگذار باشد من 1 قسمتی است که در [ آ, ب] و متقاطع با آیکی . طبق تعریف، مجموعه ای متراکم در هیچ جا در فاصله من 1 قسمتی وجود دارد که با مجموعه تلاقی ندارد آ 2. بیایید آن را صدا کنیم من 2. بعد، در بخش من 2 بخش را به روشی مشابه بگیرید من 3، با آ 3 و غیره دنباله من کبخش های تو در تو یک نقطه مشترک دارند (این یکی از ویژگی های اصلی اعداد واقعی است). این نقطه، از نظر ساخت، در هیچ یک از مجموعه ها قرار ندارد آ ک، بنابراین این مجموعه ها کل بازه [ آ, ب].

بیایید مجموعه را صدا کنیم م داشتن اندازه گیری صفر، اگر برای هر e مثبت دنباله ای وجود داشته باشد من کفواصل با طول کل کمتر از e، پوشش م. بدیهی است که هر مجموعه قابل شمارش دارای اندازه صفر است. با این حال، مجموعه های غیرقابل شمارشی نیز وجود دارند که دارای اندازه گیری صفر هستند. اجازه دهید یکی از این قبیل، بسیار معروف، به نام Cantor را بسازیم.

برنج. یازده

بیایید یک برش بگیریم. بیایید آن را به سه قسمت مساوی تقسیم کنیم. قسمت میانی را بیرون بیاندازید (شکل 11، آ). دو بخش از طول کل وجود خواهد داشت [2/3]. با هر یک از آنها دقیقاً همان عملیات را انجام خواهیم داد (شکل 11، ب). چهار بخش از طول کل وجود خواهد داشت [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . به همین ترتیب ادامه دهید (شکل 11، که در–ه) تا بی نهایت، مجموعه ای را به دست می آوریم که دارای اندازه ای کمتر از اندازه گیری مثبت است، یعنی اندازه گیری صفر. می توان یک تناظر یک به یک بین نقاط این مجموعه و دنباله های بی نهایت صفر و یک برقرار کرد. اگر در اولین "پرتاب" نقطه ما به بخش سمت راست افتاد، 1 را در ابتدای دنباله قرار می دهیم، اگر در سمت چپ - 0 (شکل 11، آ). علاوه بر این، پس از اولین "پرتاب کردن"، یک کپی کوچک از بخش بزرگ دریافت می کنیم، که با آن همین کار را انجام می دهیم: اگر نقطه ما پس از بیرون انداختن در قسمت سمت راست قرار گرفت، 1 را قرار می دهیم، اگر در سمت چپ - 0، و غیره (یکتای متقابل را بررسی کنید)، برنج. یازده، ب, که در. از آنجایی که مجموعه دنباله های صفر و یک دارای کاردینالیته پیوستار است، مجموعه کانتور نیز کاردینالیته پیوستار را دارد. علاوه بر این، به راحتی می توان ثابت کرد که هیچ جا متراکم نیست. با این حال، این درست نیست که اندازه گیری دقیق صفر دارد (به تعریف معیار دقیق مراجعه کنید). ایده پشت اثبات این واقعیت به شرح زیر است: دنباله را بگیرید آ n، خیلی سریع به سمت صفر گرایش پیدا می کند. برای این، به عنوان مثال، دنباله آ n = [ 1/(2 2 n)]. سپس ثابت می کنیم که این دنباله نمی تواند مجموعه Cantor را پوشش دهد (آن را انجام دهید!).

پیوست 3 . وظایف

عملیات روی مجموعه ها

مجموعه ها آو بتماس گرفت برابراگر هر عنصر از مجموعه آمتعلق به مجموعه است ب، و بالعکس. تعیین: آ = ب.

یک دسته از آتماس گرفت زیرمجموعهمجموعه ها باگر هر عنصر از مجموعه آمتعلق به مجموعه است ب. تعیین: آم ب.

1. برای هر یک از دو مجموعه زیر، مشخص کنید که آیا یکی زیر مجموعه دیگری است یا خیر:

{1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {3,2,1}, {{2,1}}.

2. ثابت کنید که مجموعه آاگر و تنها در آن صورت زیرمجموعه ای از مجموعه است بزمانی که هر عنصر تعلق ندارد ب، تعلق نداشتن آ.

3. برای مجموعه های دلخواه ثابت کنید آ, بو سی

آ) آم آ; ب) اگر آم بو بم سی، سپس آم سی;

که در) آ = ب، اگر و تنها اگر آم بو بم آ.

مجموعه نامیده می شود خالیاگر حاوی هیچ عنصری نباشد. نامگذاری: ژ.

4. هر یک از مجموعه های زیر چند عنصر دارد:

W، (1)، (1،2)، (1،2،3)، ((1)،2،3)، ((1،2)،3)، (W)، ((2،1) )؟

5. یک مجموعه از سه عنصر چند زیر مجموعه دارد؟

6. آیا یک مجموعه می تواند دقیقاً a) 0 داشته باشد; ب*) 7; ج) 16 زیر مجموعه؟

اتحادیهمجموعه ها آو ب ایکس، چی ایکس O آیا ایکس O ب. تعیین: آو ب.

عبور ازمجموعه ها آو بمجموعه ای متشکل از چنین نامیده می شود ایکس، چی ایکس O آو ایکس O ب. تعیین: آدبلیو ب.

تفاوتمجموعه ها آو بمجموعه ای متشکل از چنین نامیده می شود ایکس، چی ایکس O آو ایکسپ ب. تعیین: آ \ ب.

7. مجموعه داده می شود آ = {1,3,7,137}, ب = {3,7,23}, سی = {0,1,3, 23}, دی= (0,7,23,1998). یافتن مجموعه ها:

آ) آو ب;	ب) آدبلیو ب;	که در) ( آدبلیو ب) و دی;
ز) سیز ( دیدبلیو ب);	ه) ( آو ب)Z ( سیو دی);	ه) ( آو ( بدبلیو سی)) ز دی;
ز) ( سیدبلیو آ)و (( آو ( سیدبلیو دی)) ز ب);	ح) ( آو ب) \ (سیدبلیو دی);	و) آ \ (ب \ (سی \ دی));
به) (( آ \ (بو دی)) \ سی) و ب.

8. بگذار باشد آمجموعه اعداد زوج است و بمجموعه اعدادی است که بر 3 بخش پذیر است. پیدا کنید آدبلیو ب.

9. ثابت کنید که برای هر مجموعه آ, ب, سی

آ) آو ب = بو آ, آدبلیو ب = بدبلیو آ;

ب) آو ( بو سی) = (آو ب) و سی, آز ( بدبلیو سی) = (آدبلیو ب) ز سی;

که در) آز ( بو سی) = (آدبلیو ب)و ( آدبلیو سی), آو ( بدبلیو سی) = (آو ب)Z ( آو سی);

ز) آ \ (بو سی) = (آ \ ب)Z ( آ \ سی), آ \ (بدبلیو سی) = (آ \ ب)و ( آ \ سی).

10. آیا این درست است که برای هر مجموعه ای آ, ب, سی

آ) آ W \u003d W، آ I F = آ;	ب) آو آ = آ, آدبلیو آ = آ;	که در) آدبلیو ب = آاس آم ب;
ز) ( آ \ ب) و ب = آ; 7 ه) آ \ (آ \ ب) = آدبلیو ب;	ه) آ \ (ب \ سی) = (آ \ ب)و ( آدبلیو سی);
ز) ( آ \ ب)و ( ب \ آ) = آو ب?

تنظیم نقشه ها

اگر هر عنصر ایکسمجموعه ها ایکسدقیقاً به یک عنصر نگاشت شده است f(ایکس) مجموعه ها Y، سپس می گویند که داده شده است نمایش دادن fاز بسیاری ایکسبه انبوه Y. در عین حال، اگر f(ایکس) = y، سپس عنصر yتماس گرفت مسیرعنصر ایکسزمانی که نمایش داده می شود f، و عنصر ایکستماس گرفت نمونه اولیهعنصر yزمانی که نمایش داده می شود f. تعیین: f: ایکس ® Y.

11. تمام نگاشت های ممکن را از مجموعه (7،8،9) به مجموعه (0،1) رسم کنید.

بگذار باشد f: ایکس ® Y, y O Y, آم ایکس, بم Y. پیش تصویر کامل یک عنصر y زمانی که نمایش داده می شود fمجموعه نامیده می شود ( ایکس O ایکس | f(ایکس) = y). تعیین: f - 1 (y). تصویر مجموعه آم ایکس زمانی که نمایش داده می شود fمجموعه نامیده می شود ( f(ایکس) | ایکس O آ). تعیین: f(آ). نمونه اولیه مجموعه بم Y مجموعه نامیده می شود ( ایکس O ایکس | f(ایکس) O ب). تعیین: f - 1 (ب).

12. برای نمایش f: (0،1،3،4) ® (2،5،7،18) داده شده توسط تصویر، پیدا کنید f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

a B C)

13. بگذار باشد f: ایکس ® Y, آ 1 , آ 2 م ایکس, ب 1 , ب 2 م Y. آیا این همیشه درست است

آ) f(ایکس) = Y;

ب) f - 1 (Y) = ایکس;

که در) f(آ 1 و آ 2) = f(آ 1) و f(آ 2);

ز) f(آ 1 Z آ 2) = f(آ 1) ز f(آ 2);

ه) f - 1 (ب 1 و ب 2) = f - 1 (ب 1) و f - 1 (ب 2);

ه) f - 1 (ب 1 Z ب 2) = f - 1 (ب 1) ز f - 1 (ب 2);

ز) اگر f(آ 1M f(آ 2) سپس آ 1M آ 2 ;

ح) اگر f - 1 (ب 1M f - 1 (ب 2) سپس ب 1M ب 2 ?

ترکیب بندینقشه برداری ها f: ایکس ® Yو g: Y ® زنقشه ای نامیده می شود که به یک عنصر نگاشت می شود ایکسمجموعه ها ایکسعنصر g(f(ایکس)) مجموعه ها ز. تعیین: g° f.

14. برای نگاشت دلخواه ثابت کنید f: ایکس ® Y, g: Y ® زو ساعت: ز ® دبلیوزیر انجام می شود: ساعت° ( g° f) = (ساعت° g)° f.

15. بگذار باشد f: (1،2،3،5) ® (0،1،2)، g: (0،1،2) ® (3،7،37،137)، ساعت: (3،7،37،137) ® (1،2،3،5) - نگاشت های نشان داده شده در شکل:

f: g: ساعت:

برای نمایشگرهای زیر تصاویر بکشید:

آ) g° f; ب) ساعت° g; که در) f° ساعت° g; ز) g° ساعت° f.

نمایش دادن f: ایکس ® Yتماس گرفت دوطرفهاگر برای هر کدام y O Yدقیقا یکی هست ایکس O ایکسبه طوری که f(ایکس) = y.

16. بگذار باشد f: ایکس ® Y, g: Y ® ز. آیا این درست است که اگر fو gپس دوطرفه هستند g° fبه صورت دوگانه؟

17. بگذار باشد f: (1،2،3) ® (1،2،3)، g: (1،2،3) ® (1،2،3)، نگاشت هایی هستند که در شکل نشان داده شده اند:

18. برای هر دو مجموعه زیر، بررسی کنید که آیا یک دوجکشن از اول به دوم وجود دارد (فرض کنید که صفر یک عدد طبیعی است):

الف) مجموعه اعداد طبیعی؛

ب) مجموعه اعداد طبیعی زوج؛

ج) مجموعه اعداد طبیعی بدون عدد 3.

فضای متریکمجموعه ای نامیده می شود ایکسبا داده شده متریک r: ایکس× ایکس ® ز

1) " ایکس,y O ایکس r( ایکس,y) i 0 و r ( ایکس,y) = 0 اگر و فقط اگر ایکس = y (غیر منفی بودن ); 2) " ایکس,y O ایکس r( ایکس,y) = r ( y,ایکس) (تقارن ); 3) " ایکس,y,z O ایکس r( ایکس,y) + r ( y,z) و r ( ایکس,z) (نابرابری مثلث ). 19 19. ایکس

آ) ایکس = ز، ر ( ایکس,y) = | ایکس - y| ;

ب) ایکس = ز 2، r 2 (( ایکس 1 ,y 1),(ایکس 2 ,y 2)) = C (( ایکس 1 - ایکس 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

که در) ایکس = سی[آ,بآ,ب] کارکرد،

جایی که دی

باز کن(به ترتیب، بسته) توپ شعاع rدر فضای ایکسمتمرکز بر یک نقطه ایکسمجموعه نامیده می شود U r (ایکس) = {y O ایکس:r( ایکس,y) < r) (به ترتیب، ب r (ایکس) = {y O ایکس:r( ایکس,y) Ј r}).

نقطه داخلیمجموعه ها Uم ایکس U

باز کن محلهاین نقطه

نقطه حدمجموعه ها افم ایکس اف.

بسته

20. ثابت کنیم که

21. ثابت کنیم که

ب) اتحاد را تنظیم کنید آ بسته آ

نمایش دادن f: ایکس ® Yتماس گرفت مداوم

22.

23. ثابت کنیم که

اف (ایکس) = inf y O اف r( ایکس,y

اف.

24. بگذار باشد f: ایکس ® Y– . آیا درست است که معکوس آن پیوسته است؟

نقشه برداری مداوم یک به یک f: ایکس ® Y همومورفیسم. فضاها ایکس, Yهمومورفیک.

25.

26. برای کدام زوج ها ایکس, Y f: ایکس ® Y، که به هم نمی چسبدنقاط (یعنی f(ایکس) № f(y) در ایکس № y سرمایه گذاری ها)?

27*. همومورفیسم محلی(یعنی هر نقطه ایکسهواپیما و f(ایکس) از چنبره، محله هایی وجود دارد Uو V، چی fبه صورت همومورف نقشه می کشد Uبر روی V).

فضاهای متریک و نگاشت های پیوسته

فضای متریکمجموعه ای نامیده می شود ایکسبا داده شده متریک r: ایکس× ایکس ® ز، که بدیهیات زیر را برآورده می کند:

آ) ایکس = ز، ر ( ایکس,y) = | ایکس - y| ;

ب) ایکس = ز 2، r 2 (( ایکس 1 ,y 1),(ایکس 2 ,y 2)) = C (( ایکس 1 - ایکس 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

که در) ایکس = سی[آ,ب] مجموعه پیوسته در [ آ,ب] کارکرد،

جایی که دیدایره ای با شعاع واحد است که در مرکز مبدا قرار دارد.

نقطه داخلیمجموعه ها Uم ایکسنکته ای است که در Uهمراه با چند توپ با شعاع غیر صفر.

مجموعه ای که تمام نقاط آن داخلی هستند نامیده می شود باز کن. مجموعه باز حاوی یک نقطه معین نامیده می شود محلهاین نقطه

نقطه حدمجموعه ها افم ایکسنقطه ای را چنین می گویند که در هر همسایگی که بی نهایت نقاط مجموعه وجود دارد اف.

مجموعه ای که شامل تمام نقاط حد خود باشد نامیده می شود بسته(این تعریف را با تعریف ارائه شده در پیوست 1 مقایسه کنید).

29. ثابت کنیم که

الف) یک مجموعه باز است اگر و فقط در صورتی که مکمل آن بسته باشد.

ب) یک اتحادیه محدود و یک تقاطع قابل شمارش از مجموعه های بسته بسته است.

ج) یک اتحادیه قابل شمارش و یک تقاطع متناهی از مجموعه های باز باز است.

30. ثابت کنیم که

الف) مجموعه نقاط حدی هر مجموعه یک مجموعه بسته است.

ب) اتحاد را تنظیم کنید آو مجموعه نقاط حد آن ( بسته آ) یک مجموعه بسته است.

نمایش دادن f: ایکس ® Yتماس گرفت مداوماگر پیش تصویر هر مجموعه باز باز باشد.

31. ثابت کنید که این تعریف با تعریف تداوم توابع روی خط مطابقت دارد.

32. ثابت کنیم که

الف) فاصله تا مجموعه r اف (ایکس) = inf y O اف r( ایکس,y) یک تابع پیوسته است.

ب) مجموعه صفرهای تابع نقطه الف) با بسته شدن منطبق است اف.

33. بگذار باشد f: ایکس ® Y

نقشه برداری مداوم یک به یک f: ایکس ® Yکه معکوس آن نیز پیوسته است، نامیده می شود همومورفیسم. فضاها ایکس, Y، که چنین نقشه برداری برای آنها وجود دارد، نامیده می شوند همومورفیک.

34. برای هر جفت از مجموعه‌های زیر، همومورف بودن آنها را مشخص کنید:

35. برای کدام زوج ها ایکس, Yفضاهای مشکل قبلی یک نقشه پیوسته وجود دارد f: ایکس ® Y، که به هم نمی چسبدنقاط (یعنی f(ایکس) № f(y) در ایکس № yچنین نمایشگرهایی نامیده می شوند سرمایه گذاری ها)?

36*. به یک نقشه پیوسته هواپیما-توروس فکر کنید که می تواند باشد همومورفیسم محلی(یعنی هر نقطه ایکسهواپیما و f(ایکس) از چنبره، محله هایی وجود دارد Uو V، چی fبه صورت همومورف نقشه می کشد Uبر روی V).

کامل بودن. قضیه بائر

بگذار باشد ایکسیک فضای متریک است. دنباله ایکس nعناصر آن نامیده می شود اساسی، اگر

"e > 0 $ n " ک,متر > n r( ایکس ک ,ایکس متر) < e .

37. ثابت کنید که دنباله همگرا بنیادی است. آیا برعکس آن درست است؟

فضای متریک نامیده می شود کاملاگر هر دنباله اساسی در آن همگرا شود.

38. آیا این درست است که یک فضای همومورف به یک فضای کامل کامل است؟

39. ثابت کنید که یک زیرفضای بسته از یک فضای کامل، خودش کامل است. یک زیرفضای کامل از یک فضای دلخواه در آن بسته است.

40. ثابت کنید که در یک فضای متریک کامل، دنباله ای از توپ های بسته تو در تو با شعاع های متمایل به صفر دارای یک عنصر مشترک هستند.

41. آیا در مسئله قبلی می توان شرط کامل بودن فضا یا تمایل شعاع توپ ها به صفر را حذف کرد؟

نمایش دادن fفضای متریک ایکسبه خودی خود نامیده می شود فشاری، اگر

$ ج (0 Ј ج < 1): " ایکس,y O ایکس r( f(ایکس),f(y)) < ج r( ایکس,y).

42. ثابت کنید که نقشه انقباض پیوسته است.

43. الف) ثابت کنید که نگاشت انقباض یک فضای متریک کامل در خودش دقیقاً یک نقطه ثابت دارد.

ب) نقشه روسیه در مقیاس 1:20.000.000 بر روی نقشه روسیه در مقیاس 1:5.000.000 قرار می گیرد ثابت کنید نقطه ای وجود دارد که تصاویر آن در هر دو نقشه با هم مطابقت دارند.

44*. آیا فضای متریک ناقصی وجود دارد که بیان مسئله در آن درست باشد، درست است؟

زیر مجموعه ای از فضای متریک نامیده می شود همه جا متراکماگر بسته شدن آن با کل فضا منطبق باشد. هیچ جا تنگ- اگر بسته شدن آن زیرمجموعه باز غیر خالی نداشته باشد (این تعریف را با تعریف ارائه شده در پیوست 2 مقایسه کنید).

45. الف) اجازه دهید آ, ب, a , b О زو آ < a < b < ب. ثابت کنید که مجموعه توابع پیوسته در [ آ,ب] که روی یکنواخت هستند، در فضای همه توابع پیوسته در [ آ,ب] با متریک یکنواخت.

ب) اجازه دهید آ, ب, ج، ای او زو آ < ب, ج> 0، e > 0. سپس مجموعه توابع پیوسته در [ آ,ب]، به طوری که

$ ایکسای [ آ,ب]: " y (0 < | ایکس - y| < e ) Ю

| f(ایکس) - f(y)| | ایکس - y|

Ј ج,

در فضای همه توابع پیوسته در [ آ,ب] با متریک یکنواخت.

46. (قضیه تعمیم یافته بایر .) ثابت کنید که یک فضای متریک کامل را نمی توان به عنوان اتحادی از تعداد قابل شمارش مجموعه های هیچ جا متراکم نشان داد.

47. ثابت کنید که مجموعه توابع پیوسته، غیر یکنواخت در هر بازه غیر خالی و هیچ کجای توابع قابل تمایز تعریف شده در بازه، همه جا در فضای همه توابع پیوسته روشن با متریک یکنواخت متراکم است.

48*. بگذار باشد fیک تابع قابل تمایز در بخش است. ثابت کنید که مشتق آن بر روی مجموعه ای از نقاط متراکم در همه جا پیوسته است. این تعریف لبگصفر را اندازه می گیرد اگر تعداد قابل شمارش بازه ها با یک متناهی جایگزین شود، آنگاه به تعریف می رسیم اردنیصفر را اندازه می گیرد

اثبات 1) اجازه دهید ایکساتحاد تعداد محدودی از مجموعه های بسته است. اگر یک آ- هر نقطه حد از مجموعه ایکس، پس باید یک نقطه حد حداقل یکی از مجموعه های اتحادیه نیز باشد. در واقع، اگر آیک نقطه حدی است نه ... و نه، پس این بدان معناست که با تعریف یک نقطه حدی، همسایگی وجود دارد که در آن یک نقطه از مجموعه وجود ندارد، محله ای وجود دارد که در آن یک نقطه از مجموعه وجود ندارد. مجموعه ...، محله ای است که در آن نقطه تنظیم وجود ندارد. اجازه دهید تقاطع محله ها , , ..., . واضح است که یک همسایگی از نقطه a (چرا؟) وجود دارد که در آن یک نقطه واحد نه ... و نه وجود دارد، و در نتیجه، یک نقطه اتحاد X از مجموعه های اصلی وجود ندارد، i.e. نقطه a نقطه حدی از مجموعه X نیست که با این فرض در تضاد است. بنابراین، نقطه a نقطه حد است، برای مثال، مجموعه . از آنجایی که بسته است، پس، و، بنابراین، i.e. X یک مجموعه بسته است.

2) اگر نقطه a یک نقطه حدی از تقاطع هر خانواده از مجموعه های بسته باشد، آنگاه نقطه حدی هر یک از این مجموعه ها است (چرا؟). از آنجایی که هر یک از مجموعه ها بسته است، به آن و در نتیجه به محل تلاقی این مجموعه ها تعلق می گیرد، از اینجا نتیجه می گیریم که تقاطع نیز مجموعه ای بسته است.

توجه داشته باشید که اتحاد یک خانواده نامتناهی از مجموعه های بسته ممکن است یک مجموعه بسته نباشد.

در واقع، بسیاری (x)، جایی که xیک عدد گویا است، به عنوان یک مجموعه متناهی بسته است، و مجموعه تمام اعداد گویا Q، جایی که Q نیستیک مجموعه بسته است

اگر یک همسایگی O(a) از این نقطه وجود داشته باشد که شامل نقاط دیگری از X غیر از نقطه a نباشد، نقطه ای جدا شده از مجموعه X نامیده می شود.

بنابراین تمام نقاط مجموعه {0, 1, 2} نقاط جدا شده از این مجموعه هستند (اثبات کنید!).

نقطه a را نقطه مرزی مجموعه X می نامند که هر یک از همسایگی های آن دارای هر دو نقطه متعلق به مجموعه X و نقاط غیر متعلق به آن باشد. مجموعه تمام نقاط مرزی مجموعه X را مرز آن می نامند و با نشان داده می شوند.

توجه داشته باشید که یک نقطه مرزی یک مجموعه X می تواند یک نقطه ایزوله از این مجموعه باشد اگر برخی از همسایگان آن فقط یک نقطه a از این مجموعه X را داشته باشد، یا یک نقطه حدی اگر در هر همسایگی این نقطه نقاطی از مجموعه وجود داشته باشد. X غیر از a.

بنابراین، نقاط مرزی بخش انتهای آن (اثبات کن!) که نقاط حد آن نیز هستند. مرز خط , آن ها مرز متعلق به خود مجموعه است. برای مجموعه (0، 1)، نقاط مرزی نقاط 0 و 1 خواهند بود، اما در اینجا مرز ، یعنی مرز به خود مجموعه تعلق ندارد.

به معنای ، نقاط مرزی هم می توانند متعلق به مجموعه باشند و هم به آن تعلق نداشته باشند . می توان ثابت کرد که یک مجموعه بسته است اگر و فقط در صورتی که دارای مرز باشد.

به هر مجموعه بسته محدود، مجموعه فشرده (یا مجموعه فشرده) می گویند.به عنوان مثال، برش – فشرده - جمع و جوریک دسته از. هر مجموعه محدودی نیز فشرده است.. مجموعه های فشرده نقش مهمی در حساب دیفرانسیل و انتگرال و سایر علوم دارند.

سوالات و وظایف برای خودآزمایی.

1. همسایگی یک نقطه را تعریف کنید. نمونه هایی از محله ها را ذکر کنید.

2. ثابت کنید که هر همسایگی O(a) نقطه a حاوی یک همسایگی متقارن است و بالعکس. مثال های خاص بزنید.

3. یک نقطه داخلی یک مجموعه و یک مجموعه باز را تعریف کنید. نمونه هایی از مجموعه های باز را ذکر کنید.

4. ثابت کنید که بازه (a, b) یک مجموعه باز است.

5. ثابت کنید که اتحاد هر خانواده از مجموعه های باز یک مجموعه باز است. مثال بزن.

6. ثابت کنید که محل تقاطع تعداد محدودی از مجموعه های باز یک مجموعه باز است. مثال بزن.

7. آیا تقاطع یک خانواده نامتناهی از مجموعه های باز می تواند باز باشد؟ مثال بزن.

8. نقطه حد یک مجموعه چیست؟

9. آیا نقطه حد یک مجموعه همیشه متعلق به مجموعه است؟ مثال بزن.

10. ثابت کنید که مجموعه (0، 1، 3) هیچ نقطه حدی ندارد. آیا نقاط داخلی دارد؟

11. ثابت کنید که هر نقطه از پاره نقطه حدی از این مجموعه است.

12. ثابت کنید که نقاط a و b فاصله (a, b) نقاط حدی این مجموعه هستند.

13. ثابت کنید که در هر محله سوراخ شده از نقطه حد آمجموعه X شامل بی نهایت نقاط مختلف این مجموعه است.

14. مجموعه بسته را تعریف کنید. مثال بزن.

15. آیا می توان ست باز را بست؟

16- مجموعه های کران باز و نامحدود را مثال بزنید.

17. آیا می توان مجموعه نامحدود را بست؟ مثال بزن.

18. ثابت کنید که اتحاد دو مجموعه بسته یک مجموعه بسته است. مثال بزن.

19. ثابت کنید که محل تلاقی هر خانواده از مجموعه های بسته یک مجموعه بسته است.

20- از اتحاد یک خانواده نامتناهی از مجموعه های بسته که مجموعه بسته نیست مثال بزنید.

21. تعریف نقطه مرزی یک مجموعه را بیان کنید. آیا نقطه مرزی یک مجموعه همیشه متعلق به این مجموعه است؟

22. ثابت کنید که مجموعه ای بسته است اگر و فقط در صورتی که دارای مرز باشد.

23. به چه مجموعه ای فشرده می گویند؟ نمونه هایی از مجموعه های فشرده و غیر فشرده را ذکر کنید.

توابع چندین متغیر

هنگام مطالعه بسیاری از پدیده ها، باید با توابع دو یا چند متغیر مستقل مواجه شد.

مثال ها.

1) مساحت مستطیل با اضلاع x و y: S=xy.

2) حجم مکعب با یال های x,y,z: V=xyz.

3) طبق قانون اهم، ولتاژ U در مدار الکتریکی به مقاومت R مدار و قدرت جریان I با وابستگی U=RI مربوط می شود. اگر U و R را به عنوان داده در نظر بگیریم، I به عنوان تابعی از U و R تعریف می شود: I= .

عناصر فضای حسابی R n مجموعه های مرتبی از n عدد واقعی هستند (х 1 ,х 2 ,…,х n). این مجموعه های مرتب شده، نقاطی در فضای n بعدی یا بردارهای n بعدی نامیده می شوند.

x \u003d (x 1، x 2، ...، x n)، y \u003d (y 1، y 2، ...، y n). x 1، x 2،…، x n – مختصات نقطه.

تعریف. فاصله بین نقاط x \u003d (x 1, x 2, ..., x n) و y \u003d (y 1, y 2, ..., y n):

d(x,y)= (1)

ویژگی های فاصله:

1) d(x,y)³0، علاوه بر این، d(x,y)=0 Û x=y، i.e. x i \u003d y i "i \u003d 1،2، ...، n.

2) d(x,y)=d(y,x) یک خاصیت تقارن است.

3) d(x,y)£d(x,z)+d(z,y) "x,y,zнR n نابرابری مثلث است ( £ + ).

فرض کنید a(а 1 ,а 2 ,…,а n) یک نقطه دلخواه در فضای R n باشد و بگذارید R>0 مقداری باشد. مجموعه تمام نقاط x(x 1, x 2,…, x n):

В(a,R)=(xОR n: d(x,a)

(a,R)=(xОR n: d(x,a)£R) یک توپ (کره) بسته با مرکز a و شعاع R است.

S(a,R)=(xнR n: d(x,a)=R) یک کره در R n است.

بنابراین، معادله کره در Rn به صورت زیر است:

=R(2)

تعریف. بگذارید اعداد a 1 ,…,a n و b 1 ,…,b n وجود داشته باشند به طوری که a 1

تماس گرفت موازی باز - R.

مجموعه تمام نقاط M(х 1 ,х 2 ,…,х n)нR n که برای آنها

تماس گرفت متوازی الاضلاع بسته -.

نقطه С( ,…, ) – مرکز متوازی الاضلاع.

یک کره باز با هر شعاع R>0 که مرکز آن در نقطه M 0 ( ,…, ) باشد را می توان به صورت محلهاین نقطه (به طور مشابه، یک متوازی الاضلاع باز در مرکز نقطه M 0 (،…،) می تواند به عنوان یک همسایگی در نظر گرفته شود).

تعریف. اجازه دهید Е مجموعه ای از نقاط از R n باشد. مجموعه E نامیده می شود محدوداگر یک عدد R>0 وجود داشته باشد به طوری که تمام نقاط مجموعه E در داخل کره شعاع R در مرکز نقطه O(0,…,0) قرار گیرند.

قضیه. اجازه دهید مجموعه E(M)ÌR n باشد. بگذار باشد

(x 1 ) - مجموعه ای که توسط اولین مختصات نقاط МОЕ تشکیل می شود.

…………………………………………………………………………..

(x n ) - مجموعه ای که توسط مختصات n ام نقاط МОЕ تشکیل می شود.

برای اینکه مجموعه E(M) محدود شود، لازم و کافی است که مجموعه های (x 1)،...، (x n) در یک زمان محدود شوند.

اثبات. نیاز. اجازه دهید E(M) محدود شود. بنابراین، یک عدد R>0 وجود دارد که d(M,O)
0 £ êx 1 ê £
و این به این معنی است که مجموعه های (x 1)،...، (x n) محدود هستند.

کفایت. اجازه دهید مجموعه های (x 1)،...، (x n) محدود شوند. بنابراین $C>0: êx 1 ê
یعنی d(M,O)
تعریف.مجموعه نامیده می شود باز کن، در صورتی که هر نقطه از این مجموعه همراه با همسایگی آن در آن گنجانده شود.

ویژگی های مجموعه های باز

1) مجموعه های R n و Æ باز هستند.

2) اتحاد هر سیستم از مجموعه های باز باز است (نمایش).

3) تقاطع یک سیستم محدود از مجموعه های باز باز است (نمایش).

نقطه M 0 OЕ نامیده می شود نقطه تراکماز مجموعه EÌR n اگر هر یک از همسایگی های آن حداقل یک نقطه از مجموعه E را داشته باشد که با M 0 متفاوت باشد.

تعریف.مجموعه FÌR n نامیده می شود بسته، اگر مکمل آن در R n باز باشد (یعنی اگر R n \F باز باشد).

نقاط تراکم یک مجموعه باز که به آن تعلق ندارد نامیده می شود نقاط مرزیاین مجموعه نقاط مرزی تشکیل می شود مرزمجموعه ها

یک مجموعه باز با مرز خاص خود نامیده می شود بسته.

حال اجازه دهید برخی از خواص ویژه مجموعه های بسته و باز را ثابت کنیم.
قضیه 1. مجموع تعداد محدود یا قابل شمارش مجموعه های باز یک مجموعه باز است. حاصل ضرب تعداد محدودی از مجموعه های باز یک مجموعه باز است،

مجموع تعداد محدود یا قابل شمارش مجموعه های باز را در نظر بگیرید:
اگر، P به حداقل یکی از Let Since یک مجموعه باز تعلق دارد، آنگاه مقداری -همسایگی P نیز متعلق به همان -همسایگی P نیز به مجموع g تعلق دارد، از این رو نتیجه می شود که g یک مجموعه باز است. اکنون محصول نهایی را در نظر بگیرید
و فرض کنید P متعلق به g باشد. اجازه دهید همانطور که در بالا ذکر شد ثابت کنیم که برخی از همسایگی P به g تعلق دارد. از آنجایی که P متعلق به g است، پس P متعلق به همه است. از آنجایی که مجموعه های باز هستند، پس برای هر یک مقداری همسایگی نقطه متعلق به وجود دارد. اگر عدد برابر با کوچکترین عددی که محدود است گرفته شود، همسایگی نقطه P متعلق به همه و در نتیجه به g خواهد بود. توجه داشته باشید که نمی توان ادعا کرد که حاصل ضرب تعداد قابل شمارش مجموعه های باز یک مجموعه باز است.
قضیه 2. مجموعه CF باز و مجموعه CO بسته است.
اجازه دهید ادعای اول را ثابت کنیم. فرض کنید P متعلق به CF باشد. لازم است ثابت شود که برخی از محله های P متعلق به CF است. این نتیجه از این واقعیت است که اگر نقاط F در هر همسایگی P وجود داشته باشد، نقطه P که به شرط تعلق ندارد، نقطه حد F خواهد بود و به دلیل بسته بودن آن، باید متعلق باشد، که منجر به یک تناقض
قضیه 3. حاصل ضرب تعداد محدود یا قابل شمارش مجموعه های بسته یک مجموعه بسته است. مجموع تعداد محدودی از مجموعه های بسته یک مجموعه بسته است.
اجازه دهید برای مثال ثابت کنیم که مجموعه
بسته با عبور از مجموعه های اضافی، می توانیم بنویسیم
با قضیه، مجموعه های باز، و با قضیه 1، مجموعه نیز باز است، و بنابراین مجموعه مکمل g بسته می شود. توجه داشته باشید که مجموع تعداد قابل شمارش مجموعه های بسته نیز ممکن است یک مجموعه غیر بسته باشد.

قضیه 4. یک مجموعه یک مجموعه باز و یک مجموعه بسته است.
بررسی برابری های زیر آسان است:
از آنها، به موجب قضایای قبلی، قضیه 4 به دست می آید.
اگر هر نقطه g حداقل در یکی از مجموعه‌های سیستم M گنجانده شود، می‌گوییم که مجموعه g توسط سیستم M از چند مجموعه پوشیده می‌شود.
قضیه 5 (بورل). اگر یک مجموعه محدود بسته F توسط یک سیستم نامتناهی از مجموعه های باز O پوشیده شده باشد، از این سیستم نامتناهی می توان تعداد محدودی از مجموعه های باز را استخراج کرد که F را نیز پوشش می دهند.
ما این قضیه را از روی عکس ثابت می کنیم. اجازه دهید فرض کنیم که هیچ تعداد محدودی از مجموعه های باز از سیستم a را پوشش نمی دهد و این را به یک تناقض کاهش می دهیم. از آنجایی که F یک مجموعه محدود است، پس همه نقاط F به یک بازه دو بعدی محدود تعلق دارند. اجازه دهید این فاصله بسته را به چهار قسمت مساوی تقسیم کنیم و فواصل را به نصف تقسیم کنیم. هر یک از چهار بازه به دست آمده بسته گرفته می شود. آن نقاط F که روی یکی از این چهار بازه بسته قرار می گیرند، به موجب قضیه 2، یک مجموعه بسته را نشان می دهند، و حداقل یکی از این مجموعه های بسته را نمی توان با تعداد محدودی از مجموعه های باز از سیستم a پوشش داد. یکی از چهار بازه بسته فوق را که در آن این شرایط اتفاق می افتد، در نظر می گیریم. دوباره این فاصله را به چهار قسمت مساوی تقسیم می کنیم و به همان روش بالا استدلال می کنیم. بنابراین، سیستمی از فواصل تو در تو را به دست می آوریم که هر یک از آنها چهارمین قسمت قبلی است و شرایط زیر رخ می دهد: مجموعه نقاط F متعلق به هر k را نمی توان با تعداد محدودی از مجموعه های باز پوشاند. از سیستم الف. با افزایش بی نهایت در k، شکاف ها به طور نامحدود تا نقطه ای P که متعلق به همه شکاف ها است، کوچک می شوند. از آنجایی که برای هر k مجموعه ای از نقاط غیرقابل شمارش را شامل می شود، نقطه P یک نقطه حدی برای F است و بنابراین به F تعلق دارد، زیرا F یک مجموعه بسته است. بنابراین نقطه P توسط مجموعه ای باز متعلق به سیستم a پوشانده می شود. مقداری از همسایگی نقطه P نیز به مجموعه باز O تعلق دارد. برای مقادیر به اندازه کافی بزرگ از k، فواصل D در داخل همسایگی بالا نقطه P قرار می گیرند. بنابراین، این فاصله ها به طور کامل تنها با یک پوشیده می شوند. مجموعه باز O از سیستم a، و این با این واقعیت که نقاط متعلق به هر k را نمی توان با تعداد محدودی از مجموعه های باز متعلق به a پوشاند، در تضاد است. بنابراین قضیه ثابت می شود.

قضیه 6. یک مجموعه باز را می توان به صورت مجموع تعداد قابل شمارش شکاف های نیمه باز به صورت جفت بدون نقاط مشترک نشان داد.
به یاد بیاورید که یک شکاف نیمه باز در صفحه یک شکاف محدود است که توسط نابرابری های شکل تعریف می شود.
بیایید روی صفحه یک شبکه مربع با اضلاع موازی با محورها و با طول ضلع برابر با یک قرار دهیم. مجموعه این مربع ها یک مجموعه قابل شمارش است. ما از میان این مربع‌ها آن مربع‌هایی را انتخاب می‌کنیم که همه نقاط آنها به یک مجموعه باز داده شده O تعلق دارند. تعداد این مربع‌ها ممکن است محدود یا قابل شمارش باشد یا اصلاً چنین مربع‌هایی وجود نداشته باشد. هر یک از مربع های باقیمانده شبکه را به چهار مربع یکسان تقسیم می کنیم و از مربع های تازه به دست آمده مجدداً مربع هایی را انتخاب می کنیم که تمام نقاط آنها متعلق به O است. مجدداً هر یک از مربع های باقی مانده را به چهار قسمت مساوی تقسیم می کنیم و مربع هایی را انتخاب می کنیم که همه نقاط آنها باشند. به O تعلق دارد و غیره. اجازه دهید نشان دهیم که هر نقطه P از مجموعه O در یکی از مربع های انتخاب شده قرار می گیرد که همه نقاط آن متعلق به O هستند. در واقع، d یک فاصله مثبت از P تا مرز O باشد. وقتی به مربع هایی رسیدیم که قطر آنها کمتر از . نقاط مشترک، و قضیه ثابت می شود. تعداد مربع های انتخاب شده لزوماً قابل شمارش خواهد بود، زیرا مجموع متناهی شکاف های نیمه باز آشکارا مجموعه ای باز نیست. با نشان دادن مربع های نیمه باز که در نتیجه ساخت فوق به دست آوردیم، می توانیم بنویسیم