ساخت بدیهی نظریه اعداد طبیعی. در مورد روش بدیهی ساخت یک نظریه

به عنوان یک مفهوم اساسی برای
ساخت بدیهی حساب
اعداد طبیعینسبت گرفته شده است
"فورا دنبال کنید" داده شده است
مجموعه غیر خالی N.
عنصر بلافاصله پس از
عنصر a را نشان دهید.

اصل 1. در مجموعه N وجود دارد
عنصر بلافاصله دنبال نمی شود
برای کدام عنصر از این مجموعه ما خواهیم کرد
اسمش را واحد بگذار
اصل 2. برای هر عنصر a از N
فقط یک عنصر وجود دارد a
بلافاصله پس از a.

اصل 3. برای هر عنصر a از N
حداکثر یک عنصر وجود دارد
که بلافاصله به دنبال الف.
اصل 4. هر زیر مجموعه ای از M
مجموعه N دارای ویژگی های زیر است:
1) واحد متعلق به مجموعه M است.
2) از این واقعیت که a در M موجود است نتیجه می شود که
که a" در M موجود است، پس M با آن منطبق است
بسیاری از N.

تعریف عدد طبیعی

مجموعه N که برای عناصر آن رابطه برقرار است
"فورا دنبال کنید" بدیهیات 1-4 را برآورده می کند،
مجموعه اعداد طبیعی نامیده می شود و عناصر آن اعداد طبیعی هستند.

اضافه

تعریف. جمع اعداد طبیعی نامیده می شود
عملیات جبری با خواص:
1) (Ɐa ∈ N) a + 1 = a"،
2) (Ɐa, b ∈ N) a + b"=(a+b)".
عدد a + b را مجموع اعداد a و b و اعداد a و b می گویند
مقررات.
اجازه دهید در مورد نماد زیر به توافق برسیم:
1" = 2؛ 2" = 3; 3" = 4؛ 4" = 5 و غیره

خواص اضافی

قضیه 3. جمع اعداد طبیعی وجود دارد و آن
فقط
قضیه 4. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) + c = a + (b + c)
قضیه 5. (Ɐ a, b ∈ N) a+b = b+a

ضرب

ضرب اعداد طبیعی را جبری می گویند
عملیاتی که دارای ویژگی های زیر است:
1)(Ɐ a ∈ N) a 1 =a;
2) (Ɐ a, b ∈ N) a b" = a b + a.
عدد a b را حاصل ضرب اعداد a و b و اعداد a و b می گویند
ب - ضرب کننده ها

خواص ضرب

قضیه 7. ضرب اعداد طبیعی وجود دارد و آن
فقط.
قضیه 8. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) c = ac + b c - توزیع
به سمت راست با توجه به اضافه.
قضیه 9. (Ɐ a, b, c ∈ N) a (b + c) = + a c - توزیع سمت چپ
در مورد اضافه
قضیه 10. (Ɐ a, b, c ∈ N) (a b) c = a (b c) - تداعی
ضرب.
قضیه 11. (Ɐ a, b ∈ N) a b = a b - جابجایی ضرب

سوالاتی برای خودآزمایی

1. آیا اصل 3 می تواند به صورت زیر فرموله شود: «برای هر عنصر
و از N یک عنصر منحصر به فرد وجود دارد که بلافاصله پس از آن
باید "؟
2. تعریف عدد طبیعی را ادامه دهید: «عدد طبیعی
عنصری از مجموعه نامیده می شود .... "
3. آیا درست است که هر عدد طبیعی از عدد قبلی بدست می آید؟
اضافه کردن یکی؟
4. برای یافتن چه خصوصیاتی از ضرب می توان استفاده کرد
مقادیر بیان:
الف) 5 (10 + 4)؛ ب) 125 15 6; ج) (8 379) 125؟

ادبیات

Stoilova L.P.
ریاضیات: کتاب درسی برای دانش آموزان. بالاتر Ped کتاب درسی موسسات
م.: مرکز نشر"آکادمی". 2002. - 424 ص.

چند معنایی

چند معنایی یا ابهام واژه ها از این واقعیت ناشی می شود که زبان نظامی است که در مقایسه با تنوع بی پایان واقعیت محدود است، به طوری که به قول آکادمیک وینوگرادوف، «زبان مجبور است مجموعه بی شماری از واقعیت ها را حمل کند. معانی را به یک یا آن دسته از مفاهیم اساسی تبدیل می کند." (وینوگرادوف "زبان روسی" 1947). باید بین کاربرد متفاوت کلمات در یک نوع لغوی- معنایی و تفاوت واقعی کلمه تمایز قائل شد. بنابراین، برای مثال، کلمه (das)Ol می تواند به تعدادی روغن مختلف اشاره کند، به جز گاو (که کلمه Butter برای آن وجود دارد). اما از اینجا نتیجه نمی گیرد که کلمه اول به روغن های مختلف هر بار معنای متفاوتی داشته باشد: در همه حالات معنای آن یکی است یعنی روغن (هر چیزی جز گاو). و همچنین، برای مثال، معنای کلمه جدول تیش، صرف نظر از اینکه این کلمه در این مورد خاص چه نوع جدولی را نشان می دهد. وقتی کلمه Ol به معنای روغن است، وضعیت فرق می کند. در اینجا دیگر شباهت روغن در امتداد خط روانکاری با درجات مختلف روغن به چشم نمی خورد، بلکه کیفیت ویژه روغن - قابلیت احتراق است. و در عین حال، کلمات دلالت می کنند انواع مختلفسوخت: کوهل، هولز و غیره این به ما این فرصت را می دهد که دو معنی را از کلمه Ol (یا به عبارت دیگر دو گونه لغوی- معنایی) تشخیص دهیم: 1) روغن (نه حیوان) 2) روغن.
معمولا معانی جدید با انتقال یکی از کلمات موجود به یک شی یا پدیده جدید به وجود می آیند. به این ترتیب مقادیر انتقالی شکل می گیرند. آنها یا بر اساس شباهت اشیاء، یا اتصال یک شی با شی دیگر هستند. انواع مختلفی از انتقال نام شناخته شده است. مهمترین آنها استعاره یا کنایه است.
در استعاره، انتقال بر اساس شباهت چیزها در رنگ، شکل، حرکت و غیره است. با همه تغییرات استعاری، نشانه ای از مفهوم اصلی باقی می ماند

همنام

ابهام یک کلمه آنقدر مشکل بزرگ و چندوجهی است که متنوع ترین مسائل فرهنگ شناسی به هر نحوی با آن مرتبط است. به ویژه مشکل همنامی نیز از برخی جهات با این مشکل در ارتباط است.
همنام کلماتی هستند که صداهای مشابهی دارند اما معانی متفاوتی دارند. همنام ها در برخی موارد از چندمعنی آنها ناشی می شود که روند تخریب را طی کرده است. اما همنام ها همچنین می توانند در نتیجه تصادفات صداهای تصادفی ایجاد شوند. کلیدی که در را باز می کند و کلید - فنر یا داس - مدل مو و داس - ابزار کشاورزی - این کلمات دارند. معنی متفاوتو ریشه های مختلف، اما تصادفاً در صدای آنها همزمان است.
همنام ها بین واژگانی (رجوع کنید به یک قسمت از گفتار، مثلاً کلید - برای باز کردن قفل و کلید - یک فنر. منبع) صرفی (رجوع کنید به قسمت های مختلف گفتار، مثلاً سه عدد است، سه عدد است. یک فعل در خلق و خوی امری) واژگانی- دستوری، که در نتیجه تبدیل ایجاد می شوند، زمانی که کلمه داده شده به قسمت دیگری از گفتار منتقل می شود. به عنوان مثال در eng. نگاه - نگاه و نگاه - نگاه. مخصوصاً همنام های واژگانی- دستوری زیادی در آن وجود دارد زبان انگلیسی.
هموفون ها و هموگراف ها باید از همنام ها متمایز شوند. به کلمات مختلف همفون گفته می شود که با تفاوت املای آنها در تلفظ با هم مطابقت دارند، به عنوان مثال: bow - meadow، Seite - page و Saite - string.
هوموگراف ها کلمات متفاوتی هستند که در املا منطبق می شوند، اگرچه تلفظ آنها متفاوت است (هم از نظر ترکیب صدا و هم از نظر مکان استرس در کلمه) به عنوان مثال Castle - castle.

مترادف

مترادف ها از نظر معنی مشابه هستند، اما کلماتی با صدای متفاوت که سایه هایی از یک مفهوم را بیان می کنند.
سه نوع مترادف وجود دارد:
1. مفهومی یا ایدئوگرافیک. آنها در معنای لغوی با یکدیگر تفاوت دارند. این تفاوت در درجات مختلف علامت تعیین شده (یخبندان - سرد، قوی، قدرتمند، قدرتمند)، در ماهیت نامگذاری آن (ژاکت لحافی - ژاکت لحافی - ژاکت لحافی)، در حجم مفهوم بیان شده (بنر - پرچم، گستاخ - جسور)، در درجه ارتباط ارزش های لغوی (قهوه ای - قهوه ای، سیاه - سیاه).
2. مترادف ها سبکی یا کاربردی هستند. آنها در حوزه استفاده با یکدیگر متفاوت هستند، به عنوان مثال، چشم - چشم، صورت - صورت، پیشانی - پیشانی. مترادف عاطفی - ارزشی. این مترادف ها آشکارا نگرش گوینده به شخص، شی یا پدیده تعیین شده را بیان می کنند. به عنوان مثال، یک کودک را می توان به طور جدی کودک نامید، محبت آمیز یک پسر و یک پسر کوچک، تحقیرآمیز یک پسر و یک مکنده، و همچنین با تاکید - تحقیرآمیز توله سگ، یک مکنده، یک تند و سریع.
3. متضاد - ترکیب کلماتی که در نوع خود متضاد هستند معنای لغویبه عنوان مثال: بالا - پایین، سفید - سیاه، صحبت کردن - ساکت باشید، با صدای بلند - ساکت باشید.

متضاد

سه نوع متضاد وجود دارد:
1. متضاد متضادهای تدریجی و هماهنگ، مثلاً سفید - سیاه، آرام - بلند، نزدیک - دور، مهربان - شر و غیره. این متضادها معنای مشترکی دارند که مخالفت آنها را مجاز می کند. بنابراین مفاهیم سیاه و سفید، مفاهیم رنگی مخالف را نشان می دهند.
2. متضاد متضادهای متمم و تبدیلی: جنگ - صلح، شوهر - زن، متاهل - مجرد، می تواند - نمی تواند، بسته - باز.
3. متضاد تقسیم دوگانه مفاهیم. آنها اغلب همان کلمات ریشه ای هستند: مردمی - ضد مردمی، قانونی - غیرقانونی، انسانی - غیر انسانی.
بهره نیز به اصطلاح است. متضاد درون کلمه ای، زمانی که معانی کلماتی که دارای پوسته مادی یکسانی هستند در مقابل یکدیگر قرار می گیرند. به عنوان مثال، در زبان روسی، فعل قرض دادن به کسی به معنای قرض دادن است و قرض گرفتن از کسی قبلاً به معنای قرض گرفتن از کسی است. تقابل درون واژه ای معانی را انانتیوسمی می گویند.

6. ساخت بدیهی سیستم اعداد طبیعی. یک روش بدیهی برای ساخت یک نظریه ریاضی. الزامات سیستم بدیهیات: ثبات، استقلال، کامل بودن. بدیهیات پیانو. مفهوم یک عدد طبیعی از موقعیت های بدیهی. مدل های سیستم بدیهیات Peano. جمع و ضرب اعداد طبیعی از موقعیت های بدیهی. ترتیب مجموعه اعداد طبیعی ویژگی های مجموعه اعداد طبیعی تفریق و تقسیم مجموعه اعداد طبیعی از موقعیت های بدیهی. روش استقراء ریاضی. معرفی صفر و ساخت مجموعه اعداد صحیح غیر منفی. قضیه تقسیم با باقی مانده.

مفاهیم و تعاریف اساسی

عدد -بیان یک کمیت معین است.

عدد طبیعیعنصری از یک دنباله نامحدود.

اعداد طبیعی (اعداد طبیعی) -اعدادی که به طور طبیعی در شمارش به وجود می آیند (هم به معنای شمارش و هم به معنای حسابان).

دو رویکرد برای تعریف اعداد طبیعی وجود دارد - اعداد مورد استفاده در:

شمارش (شماره گذاری) اقلام (اول، دوم، سوم، ...)؛

تعیین تعداد آیتم ها (بدون آیتم، یک مورد، دو مورد، ...).

اصل -اینها نقطه آغازین (اصول بدیهی) یک نظریه خاص است که با استنتاج، یعنی با ابزارهای کاملاً منطقی، بقیه مطالب این نظریه از آنها استخراج می شود.

به عددی که فقط دو مقسوم علیه دارد (خود عدد و یک) نامیده می شود - عدد ساده

عدد مرکبعددی است که بیش از دو مقسوم علیه دارد.

§2. بدیهیات یک عدد طبیعی

اعداد طبیعی با شمارش اجسام و اندازه گیری کمیت ها به دست می آیند. اما اگر در حین اندازه گیری اعدادی غیر از اعداد طبیعی ظاهر شوند، محاسبه فقط به اعداد طبیعی منتهی می شود. برای حفظ شمارش، به دنباله ای از اعداد نیاز دارید که با یک شروع می شود و به شما امکان می دهد از یک عدد به عدد دیگر و هر چند بار که لازم است حرکت کنید. به عبارت دیگر، ما به بخشی از سریال طبیعی نیاز داریم. بنابراین، هنگام حل مسئله اثبات سیستم اعداد طبیعی، ابتدا باید به این سؤال پاسخ داد که عدد به عنوان عنصری از سری طبیعی چیست؟ پاسخ به این در آثار دو ریاضیدان داده شد - گراسمان آلمانی و پیانو ایتالیایی.آنها بدیهیاتی را پیشنهاد کردند که در آن عدد طبیعی به عنوان عنصری از یک دنباله به طور نامحدود قابل توجیه است.

ساخت بدیهی یک سیستم اعداد طبیعی طبق قوانین فرمول بندی شده انجام می شود.

پنج اصل را می توان به عنوان یک تعریف بدیهی از مفاهیم اساسی مشاهده کرد:

1 یک عدد طبیعی است.

عدد طبیعی بعدی یک عدد طبیعی است.

1 از هیچ عدد طبیعی پیروی نمی کند.

اگر یک عدد طبیعی است آاز عدد طبیعی پیروی می کند بو برای یک عدد طبیعی با، سپس بو باهمسان؛

اگر هر گزاره ای برای 1 ثابت شود و اگر از این فرض که برای یک عدد طبیعی صادق است n، نتیجه می شود که برای موارد زیر صادق است nعدد طبیعی، پس این گزاره برای همه اعداد طبیعی صادق است.

واحداولین شماره از سری طبیعی است , و همچنین یکی از ارقام در سیستم اعداد اعشاری.

اعتقاد بر این است که تعیین واحدی از هر دسته با همان علامت (بسیار نزدیک به مدرن) برای اولین بار در بابل باستان تقریباً 2 هزار سال قبل از میلاد ظاهر شد. ه.

یونانیان باستان که فقط اعداد طبیعی را به عنوان اعداد در نظر می گرفتند، هر یک از آنها را مجموعه ای از واحدها می دانستند. به خود واحد جایگاه ویژه ای داده می شود: عدد در نظر گرفته نمی شد.

آی. نیوتن نوشت: "... منظور ما از عدد، مجموعه ای از واحدها نیست، بلکه یک نسبت انتزاعی از یک کمیت به کمیت دیگر است که به طور متعارف توسط ما به عنوان یک واحد پذیرفته شده است." بنابراین، این واحد قبلاً جایگاه شایسته خود را در بین سایر اعداد به دست آورده است.

عملیات حسابی روی اعداد دارای ویژگی های مختلفی است. آنها را می توان با کلمات توصیف کرد، به عنوان مثال: "مجموع از تغییر در مکان های اصطلاحات تغییر نمی کند." را می توان با حروف نوشت: a+b = b+a. را می توان با عبارات خاصی بیان کرد.

ما قوانین اساسی حساب را اغلب از روی عادت و بدون اینکه متوجه باشیم اعمال می کنیم:

1) قانون جابجایی (جابه‌جایی)، - خاصیت جمع و ضرب اعداد، که با هویت‌ها بیان می‌شود:

a+b = b+a a*b = b*a;

2) قانون انجمنی (تداعی) - خاصیت جمع و ضرب اعداد که با هویت ها بیان می شود:

(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);

3) قانون توزیعی (توزیع) - خاصیتی که جمع و ضرب اعداد را به هم متصل می کند و با هویت ها بیان می شود:

a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.

پس از اثبات قوانین جابجایی، انجمنی و توزیعی (با توجه به جمع) عمل ضرب، ساخت بیشتر نظریه عملیات حسابی روی اعداد طبیعی هیچ مشکل اساسی ایجاد نمی کند.

در حال حاضر، در ذهن یا روی یک تکه کاغذ، ما فقط ساده ترین محاسبات را انجام می دهیم و بیشتر و بیشتر کارهای محاسباتی پیچیده تر را به ماشین حساب ها، رایانه ها واگذار می کنیم. با این حال، عملکرد همه رایانه ها - ساده و پیچیده - بر اساس ساده ترین عملیات - جمع اعداد طبیعی است. به نظر می رسد که پیچیده ترین محاسبات را می توان به جمع کاهش داد، فقط این عملیات باید میلیون ها بار انجام شود.

روش های بدیهی در ریاضیات

یکی از دلایل اصلی توسعه منطق ریاضی، فراگیر بودن آن است روش بدیهیدر ساختن نظریه های مختلف ریاضی، اول از همه هندسه و سپس حساب، نظریه گروه و غیره. روش بدیهیرا می توان به عنوان نظریه ای تعریف کرد که بر روی یک سیستم از پیش انتخاب شده از مفاهیم و روابط تعریف نشده بین آنها ساخته شده است.

در ساخت بدیهی یک نظریه ریاضی، سیستم معینی از مفاهیم تعریف نشده و روابط بین آنها از ابتدا انتخاب شده است. این مفاهیم و روابط را پایه می نامند. در ادامه معرفی می شوند بدیهیاتآن ها مفاد اصلی نظریه مورد بررسی، بدون اثبات پذیرفته شده است. تمام مطالب بعدی نظریه به طور منطقی از بدیهیات مشتق شده است. برای اولین بار، ساخت بدیهی یک نظریه ریاضی توسط اقلیدس در ساخت هندسه انجام شد.

توافق در مورد استفاده از مواد سایت

لطفا از آثار منتشر شده در سایت فقط برای مقاصد شخصی استفاده کنید. انتشار مطالب در سایت های دیگر ممنوع است.
این اثر (و همه کارهای دیگر) برای دانلود رایگان در دسترس است. از نظر ذهنی می توانید از نویسنده آن و دست اندرکاران سایت تشکر کنید.

ارسال کار خوب خود را در پایگاه دانش ساده است. از فرم زیر استفاده کنید

دانشجویان، دانشجویان تحصیلات تکمیلی، دانشمندان جوانی که از دانش پایه در تحصیل و کار خود استفاده می کنند از شما بسیار سپاسگزار خواهند بود.

اسناد مشابه

جمع و ضرب اعداد صحیح p-adic، که به صورت اصطلاحی جمع و ضرب دنباله ها تعریف می شود. حلقه اعداد p-adic عدد صحیح، بررسی خواص تقسیم آنها. توضیح این اعداد با معرفی اشیاء ریاضی جدید.

مقاله ترم، اضافه شده در 2015/06/22


چگونه مردم شمارش را یاد گرفتند، ظهور اعداد، اعداد و سیستم های اعداد. جدول ضرب در "انگشتان": تکنیک ضرب برای اعداد 9 و 8. نمونه هایی از شمارش سریع. روش های ضرب یک عدد دو رقمی در 11، 111، 1111 و ... و یک عدد سه رقمی در 999.

مقاله ترم، اضافه شده در 10/22/2011


روشی جدید برای ضرب اعداد شباهت ماتریس اعداد تشکیل شده در حین محاسبه با مثلث نسبی است، اما همچنان وجود دارد، به خصوص هنگام ضرب اعداد سه رقمی و بالاتر. ماتریس مثلثی

مقاله، اضافه شده در 02/06/2005


چکیده، اضافه شده در 1390/01/13


توصیف تاریخچه مطالعه معنای اعداد اول در ریاضیات با توصیف نحوه یافتن آنها. سهم پیترو کاتالدی در توسعه نظریه اعداد اول. روش اراتوستن برای جمع آوری جداول اعداد اول. دوستی اعداد طبیعی

تست، اضافه شده در 2010/12/24


مجموعه اعداد حقیقی غیرمنفی به عنوان زیرمجموعه تفسیر شده از R. بخش پذیری در نیمه گروه های ضربی. ساختار GCD و LCM عددی نیمه گروه ها. بررسی نیم گروه های ضربی اعداد حقیقی غیر منفی با 0 و 1.

پایان نامه، اضافه شده در 2008/05/27


خواص اعداد حقیقی، نقش آنها در توسعه ریاضیات. تحلیل ساخت مجموعه اعداد حقیقی در بعد تاریخی. رویکردهای ساخت نظریه اعداد حقیقی بر اساس کانتور، وایرشتراس، ددکیند. تحصیل آنها در دوره مدرسه.

ارائه، اضافه شده در 10/09/2011


عناصر اولیه ریاضیات خواص اعداد طبیعی مفهوم نظریه اعداد. خواص کلی مقایسه ها و معادلات جبری. عملیات حسابی با مقایسه قوانین اساسی حساب. بررسی نتایج عملیات حسابی.

مقاله ترم، اضافه شده در 2015/05/15

GOUVPO

دانشگاه آموزشی دولتی تولا

به نام لئو تولستوی

سیستم های عددی

تولا 2008

سیستم های عددی

این کتابچه راهنمای کاربر برای دانشجویان رشته های ریاضی یک دانشگاه آموزشی در نظر گرفته شده است و مطابق با استاندارد دولتی دوره "سیستم های عددی" توسعه یافته است. مطالب نظری ارائه شده است. راه حل های وظایف معمولی تجزیه و تحلیل می شوند. تمرین هایی برای حل در کلاس های عملی داده می شود.

گردآوری شده توسط -

کاندیدای علوم فیزیک و ریاضی، دانشیار گروه جبر و هندسه، ابن سینا TSPU L. N. Tolstoy Yu. A. Ignatov

بازبین -

کاندیدای علوم فیزیک و ریاضی، استاد گروه آنالیز ریاضی، TSPU به نام L. N. Tolstoy I. V. Denisov

نسخه آموزشی

سیستم های عددی

کامپایلر

ایگناتوف یوری الکساندرویچ

© یو. ایگناتوف، 2008

سیستم های عددی

این درس به مبانی ریاضیات می پردازد. این ساختار بدیهی دقیقی از سیستم‌های اعداد پایه ارائه می‌کند: طبیعی، عدد صحیح، گویا، واقعی، پیچیده، و همچنین ربع‌ها. این بر اساس نظریه سیستم های بدیهی رسمی است که در دوره منطق ریاضی در نظر گرفته شده است.

در هر بخش فرعی، ابتدا قضایا شماره گذاری می شوند. در صورت لزوم مراجعه به قضیه از نقطه ای دیگر، از شماره گذاری گام به گام استفاده می شود: عدد نقطه قبل از عدد قضیه قرار می گیرد. به عنوان مثال، قضیه 1.2.3، قضیه 3 در بخش 1.2 است.

اعداد صحیح

نظریه بدیهی اعداد طبیعی

یک نظریه بدیهی با عناصر زیر تعریف می شود:

مجموعه ای از ثابت ها؛

مجموعه ای از نمادهای تابع برای نشان دادن عملیات.

مجموعه ای از نمادهای محمول برای نشان دادن روابط.

فهرستی از بدیهیات مربوط به عناصر فوق.

برای یک نظریه بدیهی رسمی، قواعد استنتاج نیز نشان داده شده است که با کمک آنها قضایا اثبات می شوند. در این حالت تمام عبارات به صورت فرمول هایی نوشته می شوند که معنای آنها اهمیتی ندارد و این فرمول ها طبق قوانین داده شده تبدیل می شوند. در یک نظریه بدیهی معنادار، قواعد استنتاج مشخص نشده است. اثبات ها بر اساس ساختارهای منطقی معمولی و با در نظر گرفتن معنای عبارات اثبات شده انجام می شوند.

در این دوره تئوری های معنی دار سیستم های اعداد اصلی ساخته می شود.

مهمترین شرط یک نظریه بدیهی، سازگاری آن است. اثبات سازگاری با ساختن مدلی از یک نظریه در نظریه دیگر انجام می شود. سپس سازگاری نظریه مورد بررسی به سازگاری نظریه ای که در آن مدل ساخته شده است کاهش می یابد.

برای سیستم اعداد صحیح، مدل در چارچوب سیستم اعداد طبیعی، برای اعداد گویا - در سیستم اعداد صحیح و غیره ساخته شده است. به نظر می رسد زنجیره ای از نظریه های بدیهی است که در آن هر نظریه بر نظریه قبلی تکیه می کند. اما برای اولین نظریه در این زنجیره، یعنی نظریه اعداد طبیعی، جایی برای ساخت مدل وجود ندارد. بنابراین، برای سیستمی از اعداد طبیعی، باید نظریه ای ساخت که وجود مدلی برای آن مورد تردید نباشد، اگرچه اثبات دقیق آن غیرممکن است.

تئوری باید بسیار ساده باشد. برای این منظور، ما سیستم اعداد طبیعی را تنها به عنوان ابزاری برای شمارش اجسام در نظر می گیریم. عملیات جمع، ضرب و رابطه ترتیب باید پس از ایجاد نظریه به شکل مشخص شده تعریف شوند.

برای نیازهای شمارش، سیستم اعداد طبیعی باید دنباله ای باشد که در آن اولین عنصر (یک) و برای هر عنصر عنصر بعدی بعد از آن تعریف شود. بر این اساس، نظریه زیر را به دست می آوریم.

مقدار ثابت: 1 (یک).

نماد تابع: "¢". نشان دهنده عملیات واحد "دنبال کردن" است، یعنی. آ¢ عدد زیر است آ. در همان زمان، تعداد آتماس گرفت قبلیبرای آ¢.

هیچ علامت محمول خاصی وجود ندارد. از رابطه برابری معمول و روابط نظری مجموعه استفاده می شود. بدیهیات برای آنها نشان داده نخواهد شد.

مجموعه ای که نظریه بر اساس آن ساخته شده است نشان داده می شود ن.

بدیهیات:

(N1)(" آ) آ¢ ¹ 1 (یکی از هیچ عددی پیروی نمی کند).

(N2)(" آ)("ب) (آ¢ = ب¢ ® a = b) (هر عدد حداکثر یک عدد قبل دارد).

(N3) م Í ن، 1О م, ("آ)(آÎ م ® آ¢Î م) Þ م = ن(اصول استقراء ریاضی).

بدیهیات فوق (با تغییرات جزئی) توسط ریاضیدان ایتالیایی Peano در اواخر نوزدهمقرن.

استنتاج برخی از قضایا از بدیهیات آسان است.

قضیه 1. (روش استقراء ریاضی). بگذار باشد آر(n) محمولی است که روی مجموعه تعریف شده است ن. بگذارید حقیقت داشته باشد آر(1) و (" n)(پ(n)® پ(n¢)). سپس آر(n) یک محمول عینا درست در است ن.

اثبات بگذار باشد م- مجموعه اعداد طبیعی n، برای کدام آر(n) درست است. سپس 1О مبا توجه به قضیه بعد، اگر nÎ م، سپس پ(n) طبق تعریف درست است م, پ(n¢) با فرضیه قضیه صادق است و n¢Î ماولی م. تمام مقدمات اصل استقرا برآورده می شود، بنابراین، م = ن. طبق تعریف م، این به آن معنا است آر(n) برای همه اعداد از صادق است ن. قضیه ثابت شده است.

قضیه 2.هر عددی آ 1 1 یک مقدمه دارد و فقط یک.

اثبات بگذار باشد ممجموعه اعداد طبیعی شامل 1 و تمام اعدادی است که یک قبل دارند. سپس 1О م. اگر یک آÎ م، سپس آ¢Î م، مانند آ¢ یک مورد قبلی دارد (شرط حتی در اینجا استفاده نمی شود آÎ م). بنابراین، با بدیهیات استقراء م = ن. قضیه ثابت شده است.

قضیه 3.هر عددی با عدد بعدی متفاوت است.

یک تمرین. با تعریف اعداد طبیعی 1¢ = 2، 2¢ = 3، 3¢ = 4، 4¢ = 5، 5¢ = 6، ثابت کنید که 2 ¹ 6.

جمع اعداد طبیعی

تعریف بازگشتی زیر برای جمع اعداد طبیعی ارائه شده است.

تعریف.جمع اعداد طبیعی یک عملیات باینری است که آو ببا عدد مطابقت دارد a+b، که دارای خواص:

(S1) آ + 1 = آ¢ برای هر آ;

(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ برای هر آو ب.

لازم است ثابت شود که این تعریف درست است، یعنی عملیاتی وجود دارد که ویژگی های داده شده را برآورده کند. این کار بسیار ساده به نظر می رسد: برای انجام القاء کافی است ببا احتساب آدرست شد. این نیاز به مجموعه ای از مارزش های ب، که برای آن عملیات a+bتعریف شده است و شرایط (S1) و (S2) را برآورده می کند. با انجام انتقال استقرایی، باید فرض کنیم که برای بعملیات انجام می شود و ثابت می کند که برای ب¢. اما در خاصیت (S2) که باید برای آن صادق باشد ب، قبلاً یک پیوند به وجود دارد a+b¢. از این رو، این ویژگی به طور خودکار وجود یک عملیات و برای را فرض می کند a+b¢، و از این رو همچنین برای اعداد بعدی: پس از همه، برای a+b¢ دارایی (S2) نیز باید حفظ شود. ممکن است تصور شود که این تنها با بی اهمیت جلوه دادن گام استقرایی کار را آسان تر می کند: ادعای اثبات شده به سادگی فرض استقرایی را تکرار می کند. اما مشکل اینجا در اثبات پایه استقرا است. برای ارزش ب= 1، خواص (S1) و (S2) نیز باید حفظ شوند. اما خاصیت (S2)، همانطور که نشان داده شده است، دلالت بر وجود عملیات برای همه مقادیر بعد از 1 دارد. بنابراین، تأیید پایه استقرا مستلزم اثبات نه برای وحدت، بلکه برای همه اعداد است و استقرا خود را از دست می دهد. یعنی: مبنای استقرا با ادعای در حال اثبات منطبق است.

استدلال فوق به این معنا نیست که تعاریف بازگشتی نادرست هستند یا هر بار نیاز به توجیه دقیق دارند. برای توجیه آنها باید از خصوصیات اعداد طبیعی استفاده کرد که فقط در این مرحله در حال ایجاد هستند. پس از ایجاد این موارد، اعتبار تعاریف بازگشتی را می توان اثبات کرد. در این بین وجود جمع را با استقرا بر اثبات می کنیم آ: در فرمول های (S1) و (S2) هیچ ارتباطی بین جمع برای وجود ندارد آو آ¢.

قضیه 1.جمع اعداد طبیعی همیشه امکان پذیر و منحصر به فرد است.

اثبات الف) ابتدا منحصر به فرد بودن را اثبات می کنیم. بیایید درست کنیم آ. سپس نتیجه عمل a+bیک تابع از وجود دارد ب. فرض کنید دو تابع از این قبیل وجود دارد f(ب) و g(ب) با خواص (S1) و (S2). بیایید ثابت کنیم که آنها برابر هستند.

بگذار باشد م- مجموعه ای از ارزش ها ب، برای کدام f(ب) = g(ب). بر اساس دارایی (S1)
f(1) = آ + 1 = آ¢ و g(1) = آ + 1 = آ¢ یعنی f(1) = g(1) و 1О م.

بگذار حالا بÎ م، یعنی f(ب) = g(ب). بر اساس دارایی (S2)

f(ب¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(ب)¢, g(ب¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(ب)¢ = f(ب¢),

به معنای، ب¢Î م. با اصل استقرا م = ن. منحصر به فرد بودن ثابت شده است.

ب) اکنون با استقرا در آاثبات وجود عملیات a+b. بگذار باشد ممجموعه ای از آن مقادیر است آ، که برای آن عملیات a+bبا خواص (S1) و (S2) برای همه تعریف شده است ب.

بگذار باشد آ= 1. اجازه دهید مثالی از چنین عملیاتی بیاوریم. طبق تعریف، 1 + را تنظیم می کنیم b== ب¢. اجازه دهید نشان دهیم که ویژگی های (S1) و (S2) برای این عملیات برقرار است. (S1) دارای شکل 1 + 1 = 1¢ است که با تعریف مطابقت دارد. بررسی (S2): 1 +b¢ =( ب¢)¢ =
= (1+b)¢، و (S2) راضی است. از این رو، 1О م.

بگذار حالا آÎ م. این را ثابت کنیم آ¢Î م. ما طبق تعریف فرض می کنیم
آ¢ +b = (a + b)¢. سپس

آ¢ + 1 = (a+ 1) ¢ = ( آ¢)¢,

آ¢ +b¢ = ( a + b¢)¢ = (( a + b)¢)¢ = ( آ¢ +b)¢,

و خصوصیات (S1) و (S2) باقی می مانند.

بدین ترتیب، م = ن، و جمع برای همه اعداد طبیعی تعریف شده است. قضیه ثابت شده است.

قضیه 2.جمع اعداد طبیعی انجمنی است، یعنی

(a+b) + c = a + (b+c).

اثبات بیایید درست کنیم آو بو القاء را در با. بگذار باشد م- مجموعه ای از آن اعداد با، که برابری برای آن صادق است. ما با ویژگی های (S1) و (S2) داریم:

(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = یک +(ب+ 1) Þ 1О م.

بگذار حالا باÎ م. سپس

(a+b) + ج¢ = (( a+b) + ج)¢ = ( یک +(ب + ج))¢ = یک +(ب + ج)¢ = یک +(ب + ج¢),

و ج¢Î م. بر اساس اصل موضوع (N3) م = ن. قضیه ثابت شده است.

قضیه 3.جمع اعداد طبیعی جابجایی است، یعنی

a + b = b + a. (1)

اثبات بیایید درست کنیم آو القاء را در ب.

بگذار باشد ب= 1، یعنی برای اثبات برابری لازم است

آ + 1 = 1 + آ. (2)

ما این برابری را با استقرا در اثبات می کنیم آ.

در آ= 1 برابری بی اهمیت است. بگذارید برای آن انجام شود آ، ما آن را ثابت خواهیم کرد آ¢. ما داریم

آ¢ + 1 = ( آ + 1) + 1 = (1 + آ) + 1 = (1 + آ)¢ = 1 + آ¢.

انتقال القایی کامل شده است. بر اساس اصل استقراء ریاضی، برابری (2) برای همه صادق است آ. این ادعای مبنای استقرا را ثابت می کند ب.

حال اجازه دهید فرمول (1) برای ارضا شود ب. بیایید آن را ثابت کنیم ب¢. ما داریم

آ +ب¢ = ( آ +ب)¢ = ( ب + آ)¢ = ب + آ¢ = ب + (آ + 1) = ب + (1 + آ) = (ب + 1) + آ = ب¢ + آ.

با اصل استقراء ریاضی، قضیه ثابت می شود.

قضیه 4.آ + ب ¹ ب.

اثبات به عنوان یک تمرین است.

قضیه 5.برای هر عددی آو بیکی و تنها یکی از موارد زیر رخ می دهد:

1) a = b.

2) یک عدد وجود دارد کبه طوری که a = b + k.

3) یک عدد وجود دارد لبه طوری که b = a + l.

اثبات از قضیه 4 برمی‌آید که حداکثر یکی از این موارد اتفاق می‌افتد، زیرا بدیهی است که موارد 1) و 2) و همچنین 1) و 3) نمی‌توانند همزمان اتفاق بیفتند. اگر موارد 2) و 3) به طور همزمان رخ داده اند، پس a = b + k=
= (آ + ل) + ک = آ+ (ل + ک), که باز هم با قضیه 4 تناقض دارد. اجازه دهید ثابت کنیم که حداقل یکی از این موارد همیشه اتفاق می افتد.

بگذارید یک عدد انتخاب شود آو M -بسیاری از آن ها ببرای هر کدام، داده شده است آمورد 1)، 2) یا 3) صورت می گیرد.

بگذار باشد ب= 1. اگر آ= 1، سپس مورد 1 را داریم). اگر یک آ¹ 1، سپس با قضیه 1.1.2 ما داریم

a = k" = k + 1 = 1 + ک،

یعنی مورد 2) برای ب= 1. بنابراین، 1 متعلق به م.

بگذار باشد بمتعلق است م.سپس موارد زیر امکان پذیر است:

- آ = ببه معنای، b" = b + 1 = آ+ 1، یعنی مورد 3) برای ب";

- آ = b+k،و اگر ک= 1، پس آ = b+ 1 = ب"، یعنی مورد 1) برای ب";

اگر ک 1 1، سپس k = t"و

a \u003d b + t" \u003d b + (t + 1)= ب + (1+ م) = (b+ 1)+ m = b¢ +m،

یعنی مورد 2) برای وجود دارد ب";

- ب = یک +زمین ب" =(a + l)¢ = آ + ل¢، یعنی مورد 3) برای ب".

در تمام موارد ب"متعلق است م.قضیه ثابت شده است.

یک تمرین. از تعریف مجموع ثابت کنید که 1 + 1 = 2، 1 + 2 = 3، 2 + 2 = 4، 2 + 3 = 5، 2 + 4 = 3 + 3 = 6.

ضرب اعداد طبیعی

تعریف.ضرب اعداد طبیعی را یک عمل باینری می گویند که اعداد طبیعی است آو ببا عدد مطابقت دارد اب(یا a×b) که دارای ویژگی های زیر است:

(P1) آ× 1 = آبرای هرکس آ;

(P2) ab" = ab + aبرای هرچی آو ب.

در مورد تعریف ضرب، تمامی نکاتی که در بند قبل در مورد تعریف جمع بیان شد، به قوت خود باقی است. به طور خاص، هنوز از آن مشخص نیست که مطابقت با داده ها در تعریف ویژگی وجود دارد. بنابراین، قضیه زیر، مشابه قضیه 1.2.1، از اهمیت اساسی بالایی برخوردار است.

قضیه 1.فقط یک ضرب اعداد طبیعی وجود دارد. به عبارت دیگر، ضرب همیشه امکان پذیر و منحصر به فرد است.

اثبات کاملاً شبیه به اثبات قضیه 1.2.1 است و به عنوان یک تمرین ارائه می شود.

اثبات خواص ضرب فرموله شده در قضایای زیر آسان است. اثبات هر قضیه بر اساس قضایای قبلی است.

قضیه 2.(قانون توزیع حق): ( a+b)c = ac + bc.

قضیه 3.ضرب جابجایی است: ab=ba.

قضیه 4.(قانون سمت چپ توزیع): ج(a+b)= ca + cb.

قضیه 5.ضرب تداعی است: آ(قبل از میلاد مسیح) = (اب)ج.

تعریف. semiring سیستمی است که در آن + و × عملیات دوتایی جمع و ضرب هستند که بدیهیات را برآورده می کنند:

(1) نیمه گروه جابجایی است، یعنی جمع جابجایی و تداعی است.

(2) یک نیمه گروه است، یعنی ضرب تداعی است.

(3) توزیع راست و چپ نگه دارید.

از دیدگاه جبری، سیستم اعداد طبیعی با توجه به جمع و ضرب یک semiring را تشکیل می دهد.

یک تمرین. بر اساس تعریف یک محصول، آن را ثابت کنید
2x2 = 4، 2x3 = 6.

تمرینات

اثبات هویت:

1. 1 2 + 2 2 + ... + n 2 = .

2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .

مقدار را پیدا کنید:

3. .

4. .

5. .

6. 1×1! + 2×2! +... + n×n!.

نابرابری ها را ثابت کنید:

7. n 2 < 2n для n > 4.

8. 2n < n! برای n³ 4.

9. (1 + ایکس)n³ 1 + nx، جایی که ایکس > –1.

10. در n > 1.

11. در n > 1.

12. .

13. خطای اثبات را با استقرا پیدا کنید که همه اعداد برابر هستند. ما یک ادعای معادل را ثابت می کنیم: در هر مجموعه ای از nاعداد، همه اعداد مساوی هستند. در n= 1 جمله درست است. باشد که این حقیقت داشته باشد n = ک، ما آن را ثابت خواهیم کرد n = ک+ 1. مجموعه ای از دلخواه را انتخاب کنید
(ک+ 1) اعداد. بیایید یک عدد را از آن حذف کنیم آ. ترک کرد کاعداد با فرضیه استقرایی برابر هستند. به طور خاص، دو عدد برابر هستند بو با. حالا بیایید یک عدد را از مجموعه حذف کنیم باو روشن کن آ. در مجموعه حاصل، مانند قبل، کاعداد، بنابراین آنها نیز با یکدیگر برابر هستند. به خصوص، آ = ب. به معنای، a=b=c، و همه ( ک+ 1) اعداد مساوی هستند. مرحله استقرایی تکمیل می شود و ادعا ثابت می شود.

14. اصل قوی استقراء ریاضی را ثابت کنید:

بگذار باشد آ(n) محمولی بر مجموعه اعداد طبیعی است. بگذار باشد ولی(1) درست و از حقیقت آ(ک) برای همه اعداد ک < مترحقیقت را دنبال می کند آ(متر). سپس آ(n) برای همه صادق است n.

ست های سفارش داده شده

تعاریف اصلی مربوط به رابطه سفارش را به یاد می آوریم.

تعریف.رابطه f ("بالاتر") در مجموعه متماس گرفت رابطه سفارش، یا به سادگی به ترتیباگر این رابطه متعدی و ضد متقارن باشد. سیستم الف م، fñ نامیده می شود مجموعه سفارش داده شده.

تعریف. دستور دقیق، اگر ضد انعکاس باشد و نظم سست، اگر به صورت بازتابی باشد.

تعریف.رابطه مرتبه f را رابطه می گویند نظم خطی، اگر متصل باشد، یعنی آ ¹ بÞ آ f بÚ ب f آ. نظمی که خطی نباشد نامیده می شود جزئي.

تعریف.اجازه دهید یک م ولی- زیرمجموعه م. عنصر تیمجموعه ها ولیتماس گرفت کمتریناگر از همه عناصر دیگر مجموعه کمتر باشد ولی، یعنی

("ایکسÎ ولی)(ایکس ¹ تی® ایکس f تی).

تعریف.اجازه دهید یک م، fñ یک مجموعه مرتب شده است، ولی- زیرمجموعه م. عنصر تیمجموعه ها ولیتماس گرفت حداقل، اگر در مجموعه باشد ولیهیچ عنصر کوچکتری وجود ندارد، یعنی (" ایکسÎ ولی)(ایکس ¹ تی® Ø تی f ایکس).

عناصر حداکثر و حداکثر به طور مشابه تعریف می شوند.

تمرینات

1. ثابت کنید که یک رابطه متعدی و ضد بازتابی یک رابطه ترتیبی است.

2. ثابت کنید که رابطه بخش پذیری M در مجموعه نیک رابطه سفارش جزئی است.

3. ثابت کنید که یک مجموعه حداکثر می تواند یک بزرگترین و حداکثر یک کوچکترین عنصر داشته باشد.

4. همه حداقل، حداکثر، بزرگترین و کوچکترین عناصر مجموعه (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10) را برای نسبت تقسیم پذیری پیدا کنید.

5. ثابت کنید که اگر مجموعه ای کوچکترین عنصر را داشته باشد، آنگاه تنها عنصر حداقلی است.

6. از چند طریق می توان نظم خطی را بر روی مجموعه ای از سه عنصر تعریف کرد؟ خطی و سختگیرانه؟ خطی و غیر دقیق؟

7. اجازه دهید یک م، fñ یک مجموعه مرتب شده خطی است. ثابت کنید که رابطه > با شرط تعیین می شود

آ > ب Û آ f ب & آ¹ ب

یک رابطه از نظم خطی دقیق است.

8. اجازه دهید یک م، fñ یک مجموعه مرتب شده خطی است. ثابت کنید که رابطه ³ با شرط تعریف شده است

آ ³ ب Û آ f ب Ú آ= ب

یک رابطه از نظم خطی غیر دقیق است.

تعریف.مجموعه منظم خطی á م، fñ، که در آن هر زیر مجموعه غیر خالی دارای حداقل عنصر است، فراخوانی می شود کاملا منظم. رابطه f در این مورد رابطه نامیده می شود سفارش کامل.

طبق قضیه 1.4.6، سیستم اعداد طبیعی مجموعه ای منظم است.

تعریف.اجازه دهید یک م فاصله جدا شده توسط عنصر a، مجموعه نامیده می شود R aهمه عناصر زیر آو متفاوت از آ، یعنی

R a = {ایکس Î مï آ f ایکس, ایکس¹ آ}.

به ویژه، اگر آپس حداقل عنصر است R a = Æ.

قضیه 1.(اصل القاء گذرا). اجازه دهید یک م، fñ یک مجموعه منظم است و ولی Í م. اجازه دهید برای هر عنصر آاز جانب ماز تعلق به ولیتمام عناصر فاصله R aبه دنبال آن است آÎ ولی. سپس الف = م.

اثبات

بگذار باشد ولی" = م\ولیتفاوت نظری مجموعه ها مجموعه ها است مو ولی.اگر یک ولی"= Æ، پس ولی = م،و ادعای قضیه راضی است. اگر یک ولی"¹ Æ , سپس، زیرا میک مجموعه به خوبی مرتب شده است، سپس مجموعه ولی"حاوی کوچکترین عنصر است تیدر این مورد، تمام عناصر قبلی تیو متفاوت از تی،متعلق نبودن به ولی"و بنابراین تعلق دارند ولی.بدین ترتیب، P m Í ولی.بنابراین با فرضیه قضیه تی Î ولی،و از این رو تی Ï ولی"،بر خلاف فرض

اجازه دهید یک ولی; fñ یک مجموعه سفارشی است. ما آن را فرض خواهیم کرد ولیمجموعه ای محدود است با هر عنصر آمجموعه ها ولیهر نقطه ای را مقایسه کنید تی (آ) از صفحه داده شده به طوری که اگر عنصر آبلافاصله عنصر را دنبال می کند بسپس اشاره کنید تی (آ) بالای نقطه قرار خواهد گرفت T(b)و آنها را با یک خط وصل کنید. در نتیجه، نموداری مطابق با مجموعه مرتب داده شده دریافت می کنیم.

تمرینات

9. اجازه دهید یک م، fñ یک مجموعه منظم است، ب Î ام‌اسÎ م.ثابت کن که یا سرب = R s،یا سرب Ì R s،یا R s Ì سرب.

10. اجازه دهید یک م، f 1 с و а L، f 2 с مجموعه های منظمی هستند به طوری که
م Ç L=Æ . در انبوه م È Lرابطه دودویی f را با شرایط زیر تعریف می کنیم:

1) اگر الف، بÎ م،سپس، آ f ب Û آ f1 ب;

2) اگر الف، بÎ Lسپس، آ f ب Û آ f2 ب;

3) اگر آÎ MBÎ Lسپس، آ f ب.

ثابت کنید که سیستم á مÈ L، fñ یک مجموعه خوب است.

نیم گروه های سفارش داده شده

تعریف.نیمه گروهیجبر á نامیده می شود ولی، *ñ، که در آن * یک عملیات باینری انجمنی است.

تعریف.نیمه گروه á ولی، *ñ در صورتی که ویژگی ها را برآورده کند نیمه گروه لغو نامیده می شود

آ*c = b*ج Þ a = b;ج*a = c*ب Þ a = b.

تعریف.نیمه گروهی سفارش دادسیستم á نامیده می شود ولی, +, fñ, جایی که:

1) سیستم á ولی, +ñ یک نیمه گروه است.

2) سیستم á ولی، fñ یک مجموعه مرتب شده است.

3) رابطه f نسبت به عملیات نیمه گروهی یکنواخت است، یعنی.
آ f ب Þ a+c f b+c، c+a f ج + ب.

نیم گروه مرتب شده á ولی، +، fñ نامیده می شوند گروه سفارش داده شده، اگر سیستم á ولی، +ñ یک گروه است.

مطابق با انواع روابط سفارشی، نیم گروه مرتب شده خطی، گروه مرتب شده خطی، نیمه گروه مرتب شده جزئی، نیمه گروه کاملا مرتبو غیره.

قضیه 1.در نیم گروه مرتب شده á ولینابرابری های , +, fñ را می توان اضافه کرد، یعنی، آ f قبل از میلاد مسیح f د Þ a+c f b+d.

اثبات ما داریم

آ f ب Þ a+c f ب + ج، ج f د Þ b+c f b + d

از آنجا با گذر a+c f b+d. قضیه ثابت شده است.

تمرین 1. ثابت کنید که سیستم اعداد طبیعی از نظر ضرب و بخش پذیری نیمه گروهی منظم است.

به راحتی می توان دید که سیستم á ن, +, >ñ یک نیمه گروه به شدت مرتب شده است، á ن, +, ³ñ یک نیمه گروه غیر دقیق است. می توان نمونه ای از چنین نظم دهی نیم گروه á را مثال زد ن، +ñ، که در آن ترتیب نه سخت است و نه غیر محدود.

تمرین 2. ترتیب f را در سیستم اعداد طبیعی به صورت زیر تعریف می کنیم: آ f ب Û آ ³ ب & آ¹ 1. ثابت کنید که á ن, +, fñ یک نیمه گروه مرتب است که در آن ترتیب نه سخت است و نه غیر محدود.

مثال 1بگذار باشد ولی- مجموعه اعداد طبیعی مساوی یک نیست. اجازه دهید رابطه f in را تعریف کنیم ولیبه روش زیر:

آ f ب Û ($ کÎ ن)(آ = b+k) & ب¹ 3.

ثابت کنید که سیستم á ولی, +, fñ یک نیمه گروه به طور جزئی و کاملاً منظم است.

اثبات بیایید گذر را بررسی کنیم:

آ f ب، ب f ج Þ a = b + k، b¹ 3، b = c + l، c¹ 3 a = c +(k+l)، ج¹ 3 آ f ج.

مانند آ f ب Þ آ > ب، سپس ضد انعکاس پابرجاست. از تمرین 2.1.1 نتیجه می گیرد که f یک رابطه ترتیب دقیق است. ترتیب جزئی است، زیرا عناصر 3 و 4 هیچ ارتباطی با هم ندارند.

یکنواختی رابطه f با توجه به جمع برآورده می شود. در واقع، شرایط آ f ب Þ a+c f b+cتنها زمانی می توان شکست
b+c= 3. اما مجموع می تواند برابر با 3 باشد، زیرا در ولیبدون واحد

یک گروه از دو عنصر را نمی توان به صورت خطی و دقیق مرتب کرد. در واقع، اجازه دهید 0 و 1 عناصر آن باشند (0 صفر گروه است). فرض کنید 1 > 0. سپس 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1 به دست می آوریم.

قضیه 2.هر نیمه گروه لغو سفارش خطی را می توان به صورت خطی و دقیق سفارش داد.

اثبات اجازه دهید یک ولی, +, fñ یک نیمه گروه مرتب شده است. رابطه ترتیب دقیق > در تمرین 2.1.5 تعریف شده است: آ > ب Û آ f ب & آ¹ ب. اجازه دهید نشان دهیم که شرط 3) از تعریف یک نیمه گروه مرتب برآورده می شود.

آ > ب Þ آ f ب, آ¹ بÞ a+c f b+c.

اگر یک a+c = b+cسپس، کاهش، ما می گیریم a = b، که با شرط منافات دارد
آ > ب. به معنای، a+c ¹ b+c، و a+c > b+c. قسمت دوم شرط 3) به طور مشابه تأیید می شود که قضیه را اثبات می کند.

قضیه 3.اگر یک ولی, +, fñ یک نیمه گروه به صورت خطی و کاملاً مرتب است، سپس:

1) آ + با = b + c Û a = b Û ج + الف = با + ب;

2) آ + با f b + c Û آ f ب Û با + آ f با + ب

اثبات بگذار باشد آ + با = b + c. اگر یک آ ¹ ب، سپس به دلیل اتصال آ f بیا
ب f آ. اما سپس بر این اساس آ + با f ب+ جیا ب + با f a+ c، که با شرط منافات دارد آ + با = b + c. سایر موارد نیز به همین ترتیب رسیدگی می شود.

بنابراین، هر نیمه گروهی که به صورت خطی و دقیق سفارش داده شده است، یک نیمه گروه لغو است.

تعریف.اجازه دهید یک ولی, +, fñ یک نیمه گروه مرتب شده است. عنصر آمجموعه ها ولیاگر مثبت (منفی) نامیده می شود a + a¹ آو a + a f آ(به ترتیب آ f a + a).

مثال 2ثابت کنید که عنصری از یک نیمه گروه لغو جابجایی مرتب شده بزرگتر از یک عنصر مثبت لزوماً مثبت نیست.

تصمیم گیری بیایید از مثال 1 استفاده کنیم. ما 2 + 2 f 2 داریم، بنابراین 2 یک عنصر مثبت است. 3 = 2 + 1، پس 3 f 2. در عین حال، رابطه 3 + 3 f 3 برقرار نیست، بنابراین 3 عنصر مثبتی نیست.

قضیه 4.مجموع عناصر مثبت یک نیمه گروه جابجایی با لغو مثبت است.

اثبات اگر یک a + a f آو b+b f ب، سپس توسط قضیه 1

a + a+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b) و a + b.

باید بررسی شود که ( a + b)+ (a+b)¹ a + b.ما داریم:

b+b f ب Þ a+b+b f a+b(1)

بیایید وانمود کنیم که ( a + b)+ (a+b)=a + b.با جایگزینی به (1)، به دست می آوریم

a+b+b f الف+ب+الف+ب Þ آ f a + a.

به دلیل عدم تقارن a = a + a. این برخلاف این واقعیت است که عنصر آمثبت

قضیه 5.اگر یک آیک عنصر مثبت از یک نیمه گروه به صورت خطی و دقیق است، سپس برای هر بما داریم a+b f b، b+a f ب.

اثبات ما داریم a + a f آ Þ a+ a+ b f a + b. در صورتی که این درست نیست a + b f بسپس به دلیل خطی بودن، a+b=بیا ب f a + b. اضافه کردن در سمت چپ آ، به ترتیب بدست می آوریم a+ a+ b= a + bیا a + b f a + a + b. این شرایط با ضد تقارن و سختی رابطه ترتیب در تضاد است.

قضیه 6.اجازه دهید یک ولی, +, fñ یک نیمه گروه خطی و کاملاً مرتب است، آÎ ولیو آ+ آ¹ آ. سپس عناصر:

آ، 2*آ، 3*آ, ...

هر کس متفاوت است اگر علاوه بر این، سیستم á ولی، +، fñ یک گروه است، سپس همه عناصر متمایز هستند:

0, آ،–آ، 2*آ، - 2*آ، 3*آ, –3*آ, ...

(زیر k*a، kÎ ن , آÎ آ، به معنی جمع a+…+ aحاوی کمقررات)

اثبات اگر یک آ + آ f آ، سپس آ + آ + آ f a + a، و غیره. در نتیجه، ما یک زنجیره ... f کا f… f 4 آ f3 آ f2 آ f آ. به دلیل گذر و ضد تقارن، همه عناصر موجود در آن متمایز هستند. در یک گروه، زنجیره را می توان با افزودن یک عنصر در جهت دیگر ادامه داد - آ.

نتیجه.یک نیمه گروه لغو محدود، اگر تعداد عناصر آن حداقل 2 باشد، نمی توان به صورت خطی مرتب کرد.

قضیه 7.اجازه دهید یک ولی, +, fñ یک گروه مرتب شده خطی است. سپس

آ f آ Û ب f ب

اثبات به عنوان یک تمرین است.

بنابراین، هر گروهی که به صورت خطی مرتب شده‌اند، یا به شدت مرتب شده‌اند یا به‌طور دقیق مرتب نمی‌شوند. برای نشان دادن این ترتیبات، به ترتیب از علائم > و ³ استفاده می کنیم.

تمرینات

3. ثابت کنید که مجموع عناصر مثبت یک نیم گروه به صورت خطی و قوی، مثبت است.

4. ثابت کنید که هر عنصری از یک نیمگروه به طور خطی و منظم بزرگتر از یک عنصر مثبت، خود مثبت است.

5. ثابت کنید که یک نیمه گروه مرتب به صورت خطی مرتب می شود اگر و تنها در صورتی که هر مجموعه محدودی از عناصر آن تنها یک عنصر بزرگ داشته باشد.

6. ثابت کنید که مجموعه عناصر مثبت یک گروه منظم خطی خالی نیست.

7. اجازه دهید یک ولی, +, fñ یک گروه خطی و کاملاً مرتب است. ثابت کنید که عنصر آسیستم های ولیاگر و فقط اگر مثبت است آ > 0.

8. ثابت کنید که فقط یک نظم خطی و دقیق در نیم گروه جمعی اعداد طبیعی وجود دارد که در آن مجموعه عناصر مثبت خالی نباشد.

9. ثابت کنید که نیم گروه ضربی اعداد صحیح را نمی توان به صورت خطی مرتب کرد.

انگشتر سفارش داد

تعریف.سیستم الف ولی، +، ×، fñ نامیده می شود دستور نیم بندی را داد، اگر

1) سیستم á ولی, +, ×ñ یک semiring است.

2) سیستم á ولی, +, fñ یک نیمه گروه مرتب شده با مجموعه ای غیر خالی است ولی+ عناصر مثبت؛

3) یکنواختی با توجه به ضرب در عناصر مثبت ارضا می شود، یعنی اگر باÎ ولی+ و آ f ب، سپس ac f قبل از میلاد مسیح, حدود f cb.

عنصر مثبتدستور نیم بندی را داد ولیهر عنصر مثبت نیم گروه مرتب شده á است ولی, +, fñ.

دستور semiring á ولی، +، ×، fñ نامیده می شود انگشتر سفارش داد (رشته) اگر semiring á ولی, +, ×ñ یک حلقه (به ترتیب، یک فیلد) است.

تعریف.اجازه دهید یک ولی, +, ×, fñ یک semiring مرتب شده است. ترتیب f سیستم ولیتماس گرفت ارشمیدسی،و سیستم ولی - ارشمیدس دستور داد،اگر، هر چه عناصر مثبت باشد آو بسیستم های ولی، می توانید چنین عدد طبیعی را مشخص کنید پ،چی na f ب.

مثال 1 semiring اعداد طبیعی با نسبت > (بزرگتر از) یک semiring خطی، دقیق و ارشمیدسی است.

برای یک حلقه منظم خطی á ولی, +, ×, 0, fñ system á ولی, +, 0, fñ یک گروه مرتب شده خطی است. طبق قضیه 2.2.7، این نشان می‌دهد که مرتبه f یا سخت‌گیرانه است یا غیر محدود. در انبوه ولیمی توانید (تمرینات 2.1.5. و 2.1.6) را وارد کنید نظم خطی، که اگر ترتیب f غیر دقیق باشد، سختگیرانه و اگر ترتیب f دقیق باشد غیر دقیق خواهد بود. در ارتباط با این تذکر، در یک حلقه منظم خطی ولیمعمولاً دو رابطه مرتبه باینری را در نظر می گیریم که یکی از آنها، سخت، با علامت نشان داده می شود >, و دوم، غیر دقیق، علامت ³.

برای آنچه در ادامه می آید، یادآوری این نکته مفید است که در یک حلقه مرتب شده خطی عنصر آاگر و فقط اگر مثبت است آ> 0 (تمرین 2.2.7).

قضیه 1.اجازه دهید سیستم á ولی, +, ×, 0, >ñ یک حلقه مرتب شده خطی است. سپس برای هر عنصر آاز جانب ولییا آ = 0, یا آ> 0 یا - آ > 0.

اثبات به دلیل خطی بودن و سختی بین عناصر
a + aو آیکی و تنها یکی از روابط برقرار است a + a>a, a+ a = a, a+ a < آ. در مورد اول آیک عنصر مثبت است در دوم، ما به هر دو قسمت اضافه می کنیم - آو دریافت می کنیم آ= 0. در حالت سوم به هر دو قسمت اضافه می کنیم - a - a - aو دریافت می کنیم -آ < -a-a، جایی که -آیک عنصر مثبت است

قضیه 2.مجموع و حاصلضرب عناصر مثبت یک حلقه مرتب شده به صورت خطی مثبت است.

اثبات به عنوان یک تمرین است.

قضیه 3.در یک حلقه منظم خطی، مربع هر عنصر غیر صفر مثبت است.

اثبات به عنوان یک تمرین است.

قضیه 4.در یک فیلد منظم خطی، اگر آ> 0، سپس آ –1 > 0.

اثبات به عنوان یک تمرین است.

قضیه 5. ( معیار سفارش) . حلقه a ولی, +, ×, 0ñ اگر و تنها در آن صورت می توان به صورت خطی و دقیق ترتیب داد (یعنی یک ترتیب خطی و دقیق معرفی کرد) اگر مجموعه ولییک زیر مجموعه دارد ولی+ با احراز شرایط:

1) آÎ ولی + Þ آ¹ 0 & – آÏ ولی + ;

آ¹ 0 Þ آÎ ولی + Ú – آÎ ولی + ;

2)الف، بÎ ولی + Þ a + bÎ ولی + & ابÎ ولی + .

اثبات بگذارید ابتدا á ولی, +, ×, 0, >ñ یک حلقه مرتب شده خطی است. به عنوان زیر مجموعه مورد نظر ولی+ در این مورد، به موجب قضایای 1 و 2، می توان مجموعه ای از عناصر مثبت سیستم وجود داشته باشد. ولی.

بگذار حالا ولی+ زیر مجموعه ای از حلقه á است ولی, +, ×, 0ñ ارضای شرایط قضیه. بیایید سعی کنیم یک نظم خطی > را در حلقه á معرفی کنیم ولی, +, ×, 0ñ. بیایید این رابطه را اینگونه تعریف کنیم:

آ > ب Û الف - ب Î ولی + .

به راحتی می توان بررسی کرد که رابطه معرفی شده توسط ما متصل است، ضد انعکاس، ضد متقارن، متعدی، یکنواخت تحت جمع و ضرب در هر عنصر از ولی + .

یک دسته از ولی+ با خواص ذکر شده در شرط قضیه 4 نامیده می شود قسمت مثبت حلقه á ولی, +, ×, 0ñ. در آینده، هنگام ایجاد نظم در یک حلقه، به دنبال "قسمت مثبت" در آن خواهیم بود. اگر چنین قطعه ای در حلقه وجود داشته باشد، می توان انگشتر را سفارش داد، در غیر این صورت، غیرممکن است، اگر چندین قطعه مثبت غیرهمسو وجود داشته باشد، می توان آن را به چندین روش سفارش داد.

از آنچه گفته شد چنین استنباط می شود که هنگام تعریف یک حلقه مرتب خطی به عنوان رابطه پایه، به جای رابطه باینری >، می توان رابطه یکنواختی را «قسمت مثبت» گرفت.

قضیه 6. ( معیار منحصر به فرد بودن نظم خطی) . بگذار باشد ولی+ و ولی++ قسمت های مثبت حلقه á هستند ولی, +, ×, 0ñ. سپس

ولی + = ولی ++ Û ولی + Í ولی ++ .

در ساخت بدیهی هر نظریه، قوانین خاصی رعایت می شود:

برخی از مفاهیم نظریه به عنوان انتخاب شده است پایه ای،و بدون تعریف پذیرفته می شوند و نامشخص نامیده می شوند.

بدیهیات فرمول بندی می شوند - جملاتی که در این نظریه بدون اثبات پذیرفته شده اند. آنها ویژگی های مفاهیم اساسی را آشکار می کنند.

هر یک از مفاهیم این نظریه، که در فهرست مفاهیم اساسی موجود نیست، ارائه شده است تعریفمعنای آن را با کمک مفاهیم اولیه و پیشین بیان می کند;

هر جمله از نظریه که در فهرست بدیهیات موجود نیست باید ثابت شود. این قبیل قضایا را قضایای می نامند و بر اساس بدیهیات و قضایای قبل از قضیه اثبات می کنند.

در ساختار بدیهی یک نظریه، اساساً همه گزاره ها با اثبات از بدیهیات استنتاج می شوند. بنابراین الزامات خاصی بر نظام بدیهیات تحمیل می شود. اول از همه، باید سازگار و مستقل باشد.

سیستم بدیهیات نامیده می شود استواردر صورتی که منطقاً دو جمله متقابلاً متقابل از آن استخراج نشود.

یک سیستم سازگار از بدیهیات نامیده می شود مستقلدر صورتی که هیچ یک از بدیهیات این سیستم پیامد بدیهیات دیگر این سیستم نباشد.

بدیهیات، به عنوان یک قاعده، بازتابی از فعالیت های عملی چند صد ساله مردم است و این اعتبار آنها را تعیین می کند.

به عنوان یک مفهوم اساسی در ساخت بدیهی ریاضی اعداد طبیعی، رابطه "مستقیم دنبال" گرفته می شود که در مجموعه ای غیر خالی داده می شود. ن.همچنین مفاهیم یک مجموعه، یک عنصر از یک مجموعه، و دیگر مفاهیم نظری مجموعه، و نیز قواعد منطق شناخته شده است.

عنصر بلافاصله بعد از عنصر آ،تعیین کنند آ".جوهر رابطه «مستقیم دنبال کردن» در بدیهیات زیر که توسط ریاضیدان ایتالیایی جی پیانو در سال 1891 ارائه شد آشکار می شود.

اصل 1.در انبوه نعنصری وجود دارد که بلافاصله هیچ عنصری از این مجموعه را دنبال نمی کند. واحد نامیده می شود و با علامت 1 نشان داده می شود.

اصل 2.برای هر عنصر آاز جانب نفقط یک عنصر وجود دارد آ"،بلافاصله پس از آ.

اصل 3.برای هر عنصر a از نحداکثر یک عنصر بلافاصله پس از آن وجود دارد آ.

اصل 4. (Axiom of Induction).هر زیر مجموعه ممجموعه ها نمنطبق بر N است اگر دارای ویژگی های زیر باشد: 1) 1 موجود در M; 2) از این واقعیت که هر عنصر آموجود در م،به دنبال آن و آ"موجود در م.

بدیهیات فرمول بندی شده اغلب بدیهیات Peano نامیده می شوند و بدیهیات چهارم بدیهیات استقرایی نامیده می شوند.

اجازه دهید این بدیهیات را به صورت نمادین بنویسیم.

ولی 1 )( 1  ن)( آ ن)آ"  1;

ولی 2 )( آ ن)( ب ن)آ"=ب

ولی 3 ) ( آ،ب،با ن)с = a" с = b"  آ= ب

A4) م ن 1  م (آ م آ"  م)  M=N

با استفاده از رابطه "فورا دنبال" و بدیهیات 1-4 Peano می توان تعریف زیر را از یک عدد طبیعی ارائه داد.

تعریف 1. مجموعه N. که برای عناصر آن رابطه "بلافاصله دنبال می شود" برقرار شده است، که اصول 1-4 را برآورده می کند، مجموعه اعداد طبیعی و عناصر آن نامیده می شود. اعداد طبیعی.

___________________________________________________________________

تعریف 2 . اگر یک عدد طبیعی استببلافاصله بعد از عدد a می آید، سپس عدد a بلافاصله قبل از عدد (قبلی) فراخوانی می شودب.

______________________________________________________________________________________________

قضیه 1. واحد هیچ عدد طبیعی قبلی ندارد (صدق قضیه بلافاصله از بدیهیات به دست می آید ولی 1 ).

قضیه 2.هر عدد طبیعی آ،غیر از یک دارای یک عدد قبلی b است , طوری که ب " = آ.

تعریف یک عدد طبیعی چیزی در مورد ماهیت عناصر مجموعه نمی گوید ن.بنابراین او می تواند هر چیزی باشد. مدل استاندارد سیستم بدیهیات Peano مجموعه ای از اعداد است که در روند توسعه تاریخی جامعه بوجود آمده است:

1, 2, 3, 4, 5 ,..,

هر شماره از این سری نام و نام مخصوص به خود را دارد که آن را شناخته شده در نظر می گیریم.

توجه به این نکته ضروری است که در تعریف اعداد طبیعی، هیچ یک از بدیهیات را نمی توان حذف کرد.

1 آ ب ج د

    …

ب

برنج. 16 برنج. 17

وظیفه 1.

در شکل ها، هر عنصر با یک فلش به عنصری که در پی آن قرار دارد متصل می شود.

تعیین کنید که کدام یک از مجموعه های نشان داده شده در شکل های 15 و 16 مدل های سیستم بدیهیات Peano هستند.

1. در شکل. 16 مجموعه‌ای را نشان می‌دهد که در آن بدیهیات 2 و 3 برقرار است، اما اصل موضوع 1 برقرار نیست.

اصل 4 منطقی نخواهد بود، زیرا هیچ عنصری در مجموعه وجود ندارد که بلافاصله پس از دیگری نباشد.

2. روی انجیر 17 مجموعه‌ای را نشان می‌دهد که در آن بدیهیات 1، 2، 3 برآورده می‌شوند، اما اصل 4 برآورده نمی‌شود - مجموعه نقاطی که روی پرتو قرار دارند شامل 1 است، و همراه با هر عدد حاوی عدد بلافاصله پس از آن است، اما اینطور نیست. منطبق با کل نقاط مجموعه نشان داده شده در شکل است. نتیجه گیری: هیچ یک از مجموعه های نشان داده شده در شکل. 16 و 17 را نمی توان مدل هایی از نظام بدیهیات Peano در نظر گرفت.

وظیفه 2.

اجازه دهید ثابت کنیم که هر عدد طبیعی با عدد طبیعی بلافاصله پس از آن متفاوت است، یعنی. ( ایکس )ایکس ایکس"

اثبات

ما از اصل استقرا استفاده می کنیم - ولی 4 .

بگذار باشد M=(x/x ، ایکس ایکس"}, زیرا . ایکس  م ن.

اثبات از دو بخش تشکیل شده است.

این را ثابت کنیم 1  م،آن ها 1  1" . این نتیجه از ولی 1 .

این را ثابت کنیم ایکس م=> ایکس" م.بگذار باشد  ایکس مآن ها ایکس ایکس".این را ثابت کنیم ایکس" م، یعنی ایکس"  (ایکس")". وبدیهیات ولی 3 باید ایکس" (ایکس")". در واقع، توسط ولی 3 , اگر x" = (x")" سپس x = x"، و از آنجا که با گزاره استقرایی x  م،سپس x  ایکس"،بنابراین، به یک تناقض می رسیم. به معنای، ایکس" (ایکس")" ,  ایکس" م.

در اینجا قاعده تضاد (PC) اعمال می شود، که به طور گسترده در شواهد "با تناقض" استفاده می شود.

بنابراین ما دریافتیم:

م ن (1  م (x M => x " M))  م = N، یعنی ادعای x  x" برای هر عدد طبیعی درست است.

سوالات تستی

جوهر ساخت بدیهی نظریه چیست؟

مفاهیم اولیه درس پلان سنجی مدرسه چیست. سیستم بدیهیات این دوره را به خاطر بسپارید. چه ویژگی هایی از مفاهیم در آنها توضیح داده شده است؟

بدیهیات Peano را به شکل نمادین فرموله و یادداشت کنید. "

تعریف بدیهی اعداد طبیعی را فرموله کنید.

در ادامه تعریف عدد طبیعی: «عدد طبیعی عنصری از یک مجموعه است ن,... » .

از کتاب های درسی ریاضی دبستان مثال هایی بزنید که در آنها:

الف) یک عدد جدید (برای دانش آموزان) به عنوان ادامه بخش دریافتی سری طبیعی عمل می کند.

ب) مشخص شده است که هر عدد طبیعی بلافاصله پس از یک عدد طبیعی دیگر قرار می گیرد.

تمرینات

285. عناصر یک مجموعه گروه های خط تیره (I, II, III, IIII,...) هستند. آیا این مجموعه بدیهیات Peano را برآورده می کند؟ همانطور که در اینجا تعریف شده است، رابطه "فورا دنبال کنید". همین سوالات را برای مجموعه (0، 00، 000، 0000،...) در نظر بگیرید.

برنج. 17

286. در شکل 17 الف) هر عنصر توسط یک فلش به عنصر بعدی متصل شده است. آیا می توان مجموعه را مدلی از سیستم بدیهیات پیانو در نظر گرفت؟ همان سؤالات برای مجموعه های شکل 17 ب)، ج)، د).

287. آیا مجموعه اعداد (1، 2، 3 پ، ...)،اگر رابطه زیر در آن به این صورت تعریف شود:

1 3  5 7….

2  4  6 8….

288. نمونه هایی از تکالیف کتاب های ریاضی برای پایه های ابتدایی را ذکر کنید که در آنها درستی تکالیف با بدیهیات پیانو توضیح داده شده است.