مقایسه هر درجه مدول اول. مدول مقایسه یک عدد طبیعی

مقایسه درجه اول با یک مجهول به شکل زیر است:

f(ایکس) 0 (Mod متر); f(ایکس) = اوه + a n. (1)

حل مقایسهبه معنای یافتن تمام مقادیر x که آن را برآورده می کند. دو مقایسه که مقادیر یکسان x را برآورده می کنند نامیده می شوند معادل.

اگر مقایسه (1) برخی را راضی کند ایکس = ایکس 1، سپس (با توجه به 49) همه اعداد قابل مقایسه با ایکس 1، مدول متر: x x 1 (Mod متر). کل این دسته از اعداد به حساب می آیند یک راه حل. با این توافق می توان نتیجه زیر را گرفت.

66.S هم ترازی (1) به تعداد باقیمانده راه حل خواهد داشت سیستم کاملاو را راضی می کند.

مثال. مقایسه

6ایکس– 4 0 (Mod 8)

از بین اعداد 0، 1،2، 3، 4، 5، 6، 7 از سیستم کامل باقیمانده مدول 8، دو عدد برآورده می شوند: ایکس= 2 و ایکس= 6. بنابراین، این مقایسه دو راه حل دارد:

ایکس 2 (mod 8), ایکس 6 (Mod 8).

مقایسه درجه اول با انتقال عبارت آزاد (با علامت مخالف) به سمت راست را می توان به صورت تقلیل داد.

تبر ب(Mod متر). (2)

مقایسه ای را در نظر بگیرید که شرایط را برآورده کند ( آ, متر) = 1.

با توجه به 66 مقایسه ما به همان اندازه راه حل دارد که بقایای سیستم کامل که آن را برآورده می کند وجود دارد. اما کی ایکساز طریق سیستم کامل مدول باقیمانده اجرا می شود تی،سپس اوهاز طریق سیستم کامل کسر (از 60) اجرا می شود. بنابراین، برای یک و تنها یک ارزش ایکس،برگرفته از سیستم کامل، اوهقابل مقایسه خواهد بود ببنابراین،

67. برای (a, m) = 1 تبر مقایسه ب(Mod متر)یک راه حل دارد

بگذار حالا ( آ, متر) = د> 1. سپس برای مقایسه (2) برای داشتن راه حل، لازم است (از 55) که بتقسیم شده است د،در غیر این صورت مقایسه (2) برای هر عدد صحیح x غیرممکن است . با فرض بنابراین بچندگانه د،بگذاریم آ = آ 1 د, ب = ب 1 د, متر = متر 1 دسپس مقایسه (2) معادل این خواهد بود (کاهش د): آ 1 ایکس ب 1 (Mod متر), که در آن قبلا ( آ 1 , متر 1) = 1, و بنابراین یک مدول راه حل خواهد داشت متریکی . اجازه دهید ایکس 1 کوچکترین باقیمانده غیرمنفی این محلول مدول m 1 است , سپس تمام اعداد x , تشکیل این محلول را می توان در فرم یافت

ایکس ایکس 1 (Mod متر 1). (3)

ماژول، اعداد (3) نه یک راه حل، بلکه بیشتر، دقیقاً به همان تعداد راه حل تشکیل می دهند که اعداد (3) در سری 0، 1، 2 وجود دارد. ...، م 1 مدول باقیمانده حداقل غیرمنفی متراما اعداد زیر در اینجا قرار می گیرند (3):

ایکس 1 , ایکس 1 + متر 1 , ایکس 1 + 2متر 1 , ..., ایکس 1 + (د – 1) متر 1 ,

آن ها جمع داعداد (3)؛ از این رو مقایسه (2) دارد دراه حل ها

قضیه را می گیریم:

68. اجازه دهید (a, m) = d. مقایسه تبر b (مد م) غیر ممکن است اگر b بر d بخش پذیر نباشد. وقتی b مضرب d باشد، مقایسه d راه حل دارد..

69. روش حل مقایسه درجه اول بر اساس تئوری کسرهای ادامه دار:

گسترش نسبت به کسر ادامه دار m:a,

و با در نظر گرفتن دو همگرای آخر:

با توجه به خواص کسرهای ادامه دار (بر اساس 30 ) ما داریم

بنابراین مقایسه راه حل دارد

برای جستجو، که برای محاسبه کافی است P n- 1 طبق روش مشخص شده در 30.

مثال. بیایید مقایسه را حل کنیم

111ایکس= 75 (mod 321). (چهار)

در اینجا (111، 321) = 3، و 75 مضرب 3 است. بنابراین، مقایسه سه راه حل دارد.

با تقسیم هر دو قسمت مقایسه و مدول بر 3، مقایسه را بدست می آوریم

37ایکس= 25 (mod 107)، (5)

که ابتدا باید تصمیم بگیریم ما داریم

q
پ 3

بنابراین، در این مورد n = 4, P n - 1 = 26, ب= 25، و ما جواب مقایسه (5) را در فرم داریم

ایکس–26 ∙ 25 99 (mod 107).

از این رو، راه حل های مقایسه (4) به صورت زیر ارائه می شود:

ایکس 99; 99 + 107; 99 + 2 ∙ 107 (mod 321)،

ایکسº99; 206; 313 (Mod 321).

محاسبه مدول عنصر معکوس یک داده شده است

70.اگر اعداد صحیح آو n coprime، سپس یک عدد وجود دارد آ'، مقایسه راضی کننده است a ∙ a′ ≡ 1 (Mod n). عدد آ'تماس گرفت معکوس ضربی یک مدول nو از علامت گذاری برای آن استفاده می شود آ- 1 (Mod n).

محاسبه مدول های متقابل را می توان با حل مقایسه درجه اول با یک مجهول انجام داد که در آن ایکسشماره پذیرفته شده آ'.

برای یافتن راه حل مقایسه

تبر≡ 1(Mod متر),

جایی که ( صبح)= 1,

می توان از الگوریتم اقلیدس (69) یا قضیه فرما- اویلر استفاده کرد که بیان می کند اگر ( صبح) = 1، سپس

آ φ( متر) ≡ 1 (Mod متر).

ایکس ≡ آ φ( متر)–1 (Mod متر).

گروه ها و ویژگی های آنها

گروه‌ها یکی از طبقات طبقه‌بندی هستند که در طبقه‌بندی ساختارهای ریاضی با ویژگی‌های مشخصه مشترک استفاده می‌شوند. گروه ها دو جزء دارند: بسیاری از (جی) و عملیات() در این مجموعه تعریف شده است.

مفاهیم مجموعه، عنصر و عضویت مفاهیم اساسی تعریف نشده ریاضیات مدرن هستند. هر مجموعه ای با عناصر موجود در آن تعریف می شود (که به نوبه خود می توانند مجموعه نیز باشند). بنابراین، اگر بتوانیم بگوییم که به این مجموعه تعلق دارد یا خیر، می گوییم یک مجموعه تعریف یا داده می شود.

برای دو ست الف، بسوابق ب آ, ب آ, ب∩ آ, ب آ, ب \ آ, آ × ببه ترتیب به این معناست که بزیر مجموعه ای از مجموعه است آ(یعنی هر عنصری از بنیز موجود است در آبه عنوان مثال، مجموعه اعداد طبیعی در مجموعه اعداد واقعی موجود است. علاوه بر این، همیشه آ آ), بزیر مجموعه مناسبی از مجموعه است آ(آنها ب آو ب ≠ آ)، تقاطع بسیاری بو آ(یعنی تمام عناصری که به طور همزمان و در داخل قرار دارند آ، و در ببه عنوان مثال، محل تلاقی اعداد صحیح و اعداد حقیقی مثبت مجموعه اعداد طبیعی است)، اتحاد مجموعه ها بو آ(یعنی مجموعه ای متشکل از عناصری که در هر دو قرار دارند آ، یا در ب)، تفاوت مجموعه بو آ(یعنی مجموعه عناصری که در آن قرار دارند ب، اما دروغ نگویید آ) حاصل ضرب دکارتی مجموعه ها آو ب(یعنی مجموعه ای از جفت فرم ( آ, ب)، جایی که آ آ, ب ب). از طریق | آ| کاردینالیته مجموعه همیشه نشان داده می شود آ، یعنی تعداد عناصر در مجموعه آ.

عملیات قاعده ای است که طبق آن هر دو عنصر از یک مجموعه جی(آو ب) با عنصر سوم از G مرتبط است: a ب.

بسیاری از عناصر جیبا عملیاتی به نام گروهدر صورت احراز شرایط زیر

مدول مقایسه اعداد

پروژه تهیه شده توسط: ایرینا زوتیکوا

MAOU "Liceum №6"

کلاس: 10 "a"

مشاور علمی: ژلتوا اولگا نیکولایونا

تامبوف

2016

• مسئله
• هدف پروژه
• فرضیه
• اهداف پروژه و برنامه ریزی برای دستیابی به آنها
• مقایسه ها و ویژگی های آنها
• نمونه هایی از وظایف و راه حل های آنها
• سایت ها و ادبیات مورد استفاده

مسئله:

اکثر دانش آموزان به ندرت از مقایسه مدول اعداد برای حل تکالیف غیر استاندارد و المپیاد استفاده می کنند.

هدف پروژه:

نشان دهید که چگونه با مقایسه مدول اعداد می توانید تکالیف غیر استاندارد و المپیادی را حل کنید.

فرضیه:

مطالعه عمیق تر مبحث "مقایسه مدول اعداد" به دانش آموزان کمک می کند تا برخی از وظایف غیر استاندارد و المپیادی را حل کنند.

اهداف پروژه و برنامه ریزی برای دستیابی به آنها:

1. مبحث "مقایسه مدول اعداد" را به تفصیل مطالعه کنید.

2. چندین کار غیر استاندارد و المپیادی را با استفاده از مقایسه مدول اعداد حل کنید.

3. ایجاد یادداشت برای دانش آموزان با موضوع "مقایسه اعداد مدول".

4. یک درس با موضوع "مقایسه مدول اعداد" در کلاس 10 "الف" برگزار کنید.

5. تکلیف کلاس را با موضوع "مقایسه مدول" ارائه دهید.

6. زمان اتمام کار قبل و بعد از مطالعه مبحث "مقایسه مدول" را با هم مقایسه کنید.

7. نتیجه گیری کنید.

قبل از شروع به مطالعه مبحث "مقایسه مدول اعداد" به طور مفصل، تصمیم گرفتم نحوه ارائه آن را در کتاب های درسی مختلف مقایسه کنم.

• جبر و شروع تحلیل ریاضی. سطح عمیق. درجه 10 (Yu.M. Kolyagin و دیگران)
• ریاضیات: جبر، توابع، تجزیه و تحلیل داده ها. درجه 7 (L.G. Peterson و دیگران)
• جبر و شروع تحلیل ریاضی. سطح پروفایل درجه 10 (E.P. Nelin و دیگران)
• جبر و شروع تحلیل ریاضی. سطح پروفایل درجه 10 (G.K. Muravin و دیگران)

همانطور که متوجه شدم، در برخی از کتاب های درسی، با وجود سطح عمیق، حتی به این موضوع پرداخته نشده است. و قابل فهم ترین و در دسترس ترین موضوع در کتاب درسی توسط L.G. Peterson (فصل: مقدمه ای بر نظریه بخش پذیری) ارائه شده است، بنابراین بیایید سعی کنیم "مدول مقایسه اعداد" را بر اساس نظریه این کتاب درسی درک کنیم.

مقایسه ها و ویژگی های آنها

تعریف: اگر دو عدد صحیح a و b هنگام تقسیم بر مقداری m (m>0) باقیمانده یکسانی داشته باشند، آنگاه می گویند کهa و b مدول m متجانس هستند، و بنویس:

قضیه: اگر و فقط اگر تفاوت بین a و b بر m بخش پذیر باشد.

خواص:

1. بازتابی بودن مقایسه هاهر عدد a قابل مقایسه با خودش مدول m است (m>0؛ a,m اعداد صحیح هستند).
2. تقارن مقایسه هااگر عدد a با عدد b مدول m مطابقت داشته باشد، عدد b با عدد a مدول m مطابقت دارد (m>0؛ a,b,m اعداد صحیح هستند).
3. گذرا بودن مقایسه هااگر عدد a با b مدول m، و b با c مدول m همگن باشد، a با c مدول m همگن است (m>0؛ a،b،c،m اعداد صحیح هستند).
4. اگر عدد a با عدد b مدول m مطابقت داشته باشد، عدد a است n قابل مقایسه با عدد b n مدول m(m>0؛ a,b,m اعداد صحیح هستند؛ n یک عدد طبیعی است).

نمونه هایی از وظایف و راه حل های آنها.

1-آخرین رقم عدد 3 را پیدا کنید 999 .

راه حل:

زیرا آخرین رقم عدد باقیمانده تقسیم بر 10 است، پس

3 999 = 3 3 * 3 996 = 3 3 * (3 4 ) 249 = 7*81 249 7 (mod 10)

(زیرا 34=81 1(mod 10);81 n 1 (mod10) (بر اساس دارایی))

جواب: 7.

2. ثابت کنید که 2 4n -1 بدون باقیمانده بر 15 بخش پذیر است. (Phystech2012)

راه حل:

زیرا 16 1 (Mod 15)، سپس

16n-1 0 (mod 15) (توسط دارایی)؛ 16n= (2 4) n

2 4n -1 0 (Mod 15)

3. ثابت کنید که 12 2n+1 +11n+2 بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است.

راه حل:

12 2n+1 =12*144n 12*11n (Mod 133) (توسط دارایی)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

شماره (11n *133) بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است بنابراین (12 2n+1 +11n+2 ) بدون باقی مانده بر 133 بخش پذیر است.

4. باقیمانده تقسیم بر 15 عدد 2 را بیابید 2015 .

راه حل:

از 16 1 (mod 15)، پس

2 2015 8 (Mod 15)

جواب: 8.

5. باقیمانده تقسیم بر 17 عدد 2 را بیابید 2015 . (Phystech 2015)

راه حل:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

از 16 -1 (Mod 17)، پس

2 2015-8 (Mod 15)

8 9 (Mod 17)

جواب: 9.

6- ثابت کنید که عدد 11 است 100 -1 بدون باقیمانده بر 100 بخش پذیر است. (Phystech 2015)

راه حل:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (بر اساس دارایی)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (بر اساس دارایی)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (بر اساس دارایی)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (Mod 100) (توسط دارایی)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (توسط دارایی)

41*21 3 =41*21*441

441 41 (mod 100) (بر اساس دارایی)

21*41 2 =21*1681

1681 -19 (mod 100) (بر اساس دارایی)

21*(-19)=-399

399 1 (mod 100) (بر اساس دارایی)

بنابراین 11 100 1 (Mod 100)

11 100 -1 0 (mod 100) (بر اساس دارایی)

7. سه عدد آورده شده است: 1771,1935,2222. عددی را بیابید که با تقسیم بر آن باقیمانده سه عدد داده شده برابر شود. (HSE2016)

راه حل:

بگذارید عدد مجهول برابر با a باشد، پس

2222 1935 (mod a); 1935 1771 (mod a); 2222 1771 (mod a)

2222-1935 0 (moda) (مالکیت); 1935-17710 (moda) (بر اساس دارایی)؛ 2222-17710 (moda) (بر اساس دارایی)

287 0 (mod a); 164 0 (mod a); 451 0 (mod a)

287-164 0 (moda) (بر اساس دارایی)؛ 451-2870 (moda) (بر اساس دارایی)

123 0 (mod a); 164 0 (mod a)

164-123 0 (mod a) (خاصیت)

41

المپیاد HSE 2016

مقایسه با یک ناشناخته ایکسفرم را دارد

جایی که . اگر یک آ n قابل تقسیم بر نیست متر، سپس نامیده می شود درجهمقایسه ها

تصمیممقایسه هر عدد صحیحی است ایکس 0 , برای کدام

اگر یک ایکس 0 مقایسه را برآورده می کند، سپس با توجه به ویژگی 9 مقایسه، این مقایسه تمام اعداد صحیح قابل مقایسه با ایکس 0 مدول متر. بنابراین، تمام راه حل های مقایسه متعلق به یک کلاس از باقی مانده های مدول تی، ما به عنوان یک راه حل در نظر خواهیم گرفت. بنابراین، یک مقایسه به تعداد عناصر موجود در سیستم کامل باقیمانده‌ها راه‌حل دارد که آن را برآورده می‌کند.

مقایسه هایی که مجموعه راه حل های آنها یکسان است نامیده می شوند معادل.

2.2.1 مقایسه درجه اول

مقایسه درجه اول با مجهول ایکسفرم را دارد

(2.2)

قضیه 2.4. برای اینکه یک مقایسه حداقل یک راه حل داشته باشد، کافی و لازم است که عدد ب تقسیم بر GCD( آ, متر).

اثباتابتدا ضرورت را اثبات می کنیم. اجازه دهید د = GCD( آ, متر) و ایکس 0 - راه حل مقایسه سپس ، یعنی تفاوت اوه 0 − ب تقسیم بر تیبنابراین یک عدد صحیح وجود دارد q, چی اوه 0 − ب = qm. از اینجا ب= آه 0 − qm. و از د, به عنوان یک مقسوم علیه مشترک، اعداد را تقسیم می کند آو تی،سپس minuend و subtrahend بر تقسیم می شوند د, و از این رو ب تقسیم بر د.

حالا بیایید کفایت را ثابت کنیم. اجازه دهید د- بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد آو تی،و ب تقسیم بر د. سپس، با تعریف تقسیم پذیری، اعداد صحیح وجود دارد آ 1 , ب 1 ، تی 1 , چی .

با استفاده از الگوریتم اقلیدس توسعه یافته، یک نمایش خطی از عدد 1 = gcd( آ 1 , متر 1 ):

برای برخی ایکس 0 , y 0 . هر دو قسمت آخرین تساوی را در ضرب می کنیم ب 1 د:

یا، که همان است،

,

یعنی، و راه حل مقایسه است. □

مثال 2.10. مقایسه 9 ایکس= 6 (mod 12) راه حل دارد زیرا gcd(9, 12) = 3 و 6 بر 3 بخش پذیر است. □

مثال 2.11. مقایسه 6 برابر= 9 (mod 12) هیچ راه حلی ندارد زیرا gcd(6, 12) = 6 و 9 بر 6 بخش پذیر نیست. □

قضیه 2.5. اجازه دهید همخوانی (2.2) قابل تصمیم گیری باشد و د = GCD( آ, متر). سپس مجموعه راه حل های مقایسه (2.2) شامل د کلاس های باقیمانده مدولو تی،یعنی اگر ایکس 0 یکی از راه حل ها است، سپس همه راه حل های دیگر هستند

اثباتاجازه دهید ایکس 0 راه حل مقایسه (2.2) است، یعنی. و , . بنابراین چنین وجود دارد q، چی اوه 0 − ب = qm. جایگزین کردن اکنون به آخرین برابری به جای ایکس 0 یک راه حل دلخواه از فرم، که در آن، عبارت را به دست می آوریم

, بخشپذیر بر متر. □

مثال 2.12. مقایسه 9 ایکس=6 (mod 12) دقیقاً سه راه حل دارد زیرا gcd(9, 12)=3. این راه حل ها عبارتند از: ایکس 0 \u003d 2، x 0 + 4 \u003d 6، ایکس 0 + 2∙4=10.□

مثال 2.13. مقایسه 11 ایکس=2 (mod 15) راه حل منحصر به فردی دارد ایکس 0 = 7 چون gcd(11,15)=1.□

اجازه دهید نحوه حل مقایسه درجه اول را نشان دهیم. بدون از دست دادن کلیت، فرض می کنیم که GCD( آ, t) = 1. سپس حل همخوانی (2.2) را می توان برای مثال با استفاده از الگوریتم اقلیدسی جستجو کرد. در واقع، با استفاده از الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته، عدد 1 را به صورت ترکیبی خطی از اعداد نشان می دهیم. آو تی:

دو طرف این معادله را در ضرب کنید ب, ما گرفتیم: ب = abq + mrb, جایی که abq - ب = - mrb, به این معنا که آ ∙ (bq) = ب(Mod متر) و bqراه حل مقایسه (2.2) است.

راه دیگر حل، استفاده از قضیه اویلر است. مجدداً، فرض می کنیم که GCD(a ت)= 1. قضیه اویلر را اعمال می کنیم: . هر دو طرف مقایسه را در ضرب کنید ب: . بازنویسی آخرین عبارت به عنوان ، ما گرفتیم چیزی راه حلمقایسه (2.2).

اجازه دهید اکنون GCD( آ, متر) = د>1. سپس آ = آتید, متر = مترتید, جایی که gcd( آ 1 , متر 1) = 1. علاوه بر این، لازم است ب = ب 1 د, برای اینکه مقایسه قابل حل باشد اگر یک ایکس 0 - راه حل مقایسه آ 1 ایکس = ب 1 (Mod متر 1)، و تنها، زیرا GCD( آ 1 , متر 1) = 1، سپس ایکس 0 تصمیم گیری و مقایسه خواهد بود آ 1 xd = دسی بی 1 (Mod متر 1), یعنی مقایسه اصلی (2.2). باقی مانده د- 1 راه حل با قضیه 2.5 یافت می شود.

تعریف 1. اگر دو عدد 1) آو بهنگام تقسیم بر پهمان باقی مانده را بدهید r، سپس چنین اعدادی را مساوی یا مساوی می نامند قابل مقایسه در مدول پ.

بیانیه 1. اجازه دهید پتعدادی عدد مثبت سپس هر عددی آهمیشه و علاوه بر این، به روشی منحصر به فرد می توان در فرم نمایش داد

اما این اعداد را می توان با پرسیدن به دست آورد rبرابر با 0، 1، 2، ...، پ-1. در نتیجه sp+r=aتمام مقادیر صحیح ممکن را می گیرد.

اجازه دهید نشان دهیم که این نمایش منحصر به فرد است. بیایید وانمود کنیم که پرا می توان به دو صورت نشان داد a=sp+rو a=s 1 پ+rیکی . سپس

(2)

زیرا r 1 یکی از اعداد 0،1، ... را می گیرد، پ−1، سپس مقدار مطلق r 1 −rکمتر پ. اما از (2) نتیجه می شود که r 1 −rچندگانه پ. در نتیجه r 1 =rو س 1 =س.

عدد rتماس گرفت منهایشماره آمدول پ(به عبارت دیگر عدد rبه باقی مانده تقسیم یک عدد می گویند آبر روی پ).

بیانیه 2. اگر دو عدد آو بمدول قابل مقایسه پ، سپس a-bتقسیم بر پ.

واقعا اگر دو عدد آو بمدول قابل مقایسه پ، پس از تقسیم بر پهمان باقی مانده را داشته باشد پ. سپس

تقسیم بر پ، زیرا سمت راست معادله (3) تقسیم بر پ.

بیانیه 3. اگر اختلاف دو عدد بر آن بخش پذیر باشد پ، پس این اعداد مدول قابل مقایسه هستند پ.

اثبات با نشان دادن rو r 1 باقی مانده از تقسیم آو ببر روی پ. سپس

مثال‌های 25≡39 (mod 7)، -18≡14 (mod 4).

از مثال اول برمی‌آید که 25 وقتی بر 7 تقسیم می‌شود همان باقیمانده 39 را به دست می‌دهد. در واقع، 25=3 7+4 (باقیمانده 4). 39=3 7+4 (باقيمانده 4). هنگام در نظر گرفتن مثال دوم، به خاطر داشته باشید که باقیمانده باید باشد عدد غیر منفی، کمتر از مدول (یعنی 4). سپس می توانیم بنویسیم: −18=−5 4+2 (باقیمانده 2)، 14=3 4+2 (باقی مانده 2). بنابراین، 18- وقتی بر 4 تقسیم می شود، 2 باقی می ماند و 14 وقتی بر 4 تقسیم می شود، باقیمانده 2 باقی می ماند.

ویژگی های مقایسه مدولو

ویژگی 1. برای هرکس آو پهمیشه

مقایسه همیشه لازم نیست

جایی که λ بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد است مترو پ.

اثبات اجازه دهید λ بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد مترو پ. سپس

زیرا m(a-b)تقسیم بر ک، سپس

در نتیجه

و متریکی از مقسوم علیه اعداد است پ، سپس

جایی که h=pqs.

توجه داشته باشید که می‌توانیم اجازه مقایسه در ماژول‌های منفی را بدهیم. مقایسه a≡bمد ( پ) به این معنی است که در این صورت تفاوت a-bتقسیم بر پ. تمام ویژگی های مقایسه ها برای ماژول های منفی معتبر باقی می مانند.

پروژه ریاضی با موضوع

"مقایسه های ماژول"

زریپووا آیسیلو

منطقه سووتسکی شهر کازان

MBOU "دبیرستان شماره 166"، کلاس 7a

مشاور علمی: Antonova N.A.

فهرست مطالب

مقدمه ________________________________________________________________3

مقایسه چیست ________________________________________________4

1. مفهوم مقایسه مدول ________________________________4

   تاریخچه پیدایش مفهوم مقایسه مدول _____4

   مقایسه خواص ________________________________________________4

کاربرد مقایسه در حل مسئله _________________________6

1. ساده‌ترین کاربرد مقایسه‌های مدول، تعیین بخش‌پذیری اعداد _____________________6 است

   یک کار برای مقایسه _________________________________8

   اعمال مقایسه مدول در فعالیت حرفه ای _________________________________________9

نتیجه گیری _________________________________________________10

فهرست مراجع _________________________________11

مقدمه.

تحقیق و توسعه: مقایسه مدولو.

مشکل: بسیاری از دانش آموزان در آماده سازی برای المپیاد با وظایفی روبرو هستند که راه حل آن بر اساس دانش باقی مانده از تقسیم اعداد صحیح بر یک عدد طبیعی است. ما علاقه مند به چنین وظایف و روش های ممکنتصمیمات آنها به نظر می رسد که آنها را می توان با استفاده از مقایسه مدول حل کرد.

هدف: برای روشن شدن ماهیت مقایسه‌های مدول، روش‌های اصلی کار با مقایسه‌های مدول.

وظایف: پیدا کردن مطالب نظری در مورد این موضوع، در نظر گرفتن مسائلی که با استفاده از مقایسه مدول حل می شوند، رایج ترین روش ها برای حل چنین مسائلی را نشان می دهند، نتیجه گیری می کنند.

موضوع مطالعه: نظریه اعداد.

موضوع تحقیق: مدول تئوری مقایسه.

این کار متعلق به تحقیقات نظری است و می تواند در آمادگی برای المپیادها در ریاضیات استفاده شود. در محتوای آن، مفاهیم اساسی مقایسه های مدول و ویژگی های اصلی آنها آشکار شده است، نمونه هایی از حل مسائل در این موضوع آورده شده است.

من . مقایسه چیه

1. مفهوم مقایسه مدولو.

اعداد و اگر بر اعداد بخش پذیر باشند قابل مقایسه هستند، به عبارت دیگر، a و b وقتی بر تقسیم شوند باقیمانده یکسانی دارند..

تعیین

مثال ها:

12 و 32 مدول 5 قابل مقایسه هستند، زیرا 12، وقتی بر 5 تقسیم می شود، باقیمانده 2 دارد و 32، وقتی بر 2 تقسیم می شود، باقیمانده 2 دارد. نوشته شده است.12 ;

101 و 17 مدول 21 متجانس هستند.

1. تاریخچه مفهوم مقایسه مدولو.

تا حد زیادی، نظریه تقسیم پذیری توسط اویلر ایجاد شد. تعریف مقایسه در کتاب C.F. Gauss "تحقیقات حسابی" تدوین شده است. این اثر، نوشته شده در لاتین، در سال 1797 شروع به چاپ کرد، اما این کتاب تنها در سال 1801 منتشر شد، زیرا فرآیند چاپ در آن زمان بسیار پر زحمت و طولانی بود. بخش اول کتاب گاوس «درباره مقایسه اعداد» نام دارد. این گاوس بود که نمادگرایی مقایسه‌های مدول را که در ریاضیات تثبیت شد، پیشنهاد کرد.

1. مقایسه خواص

اگر یک

اثبات:

1. اگر دومی را به معادله اول اضافه کنیم به دست می آید

مجموع دو عدد صحیح است، بنابراین یک عدد صحیح است.

اگر دومی را از معادله اول کم کنیم به دست می آید

تفاوت دو عدد صحیح است، بنابراین یک عدد صحیح است.

این عبارت را در نظر بگیرید:

تفاوت بین محصولات اعداد صحیح است، بنابراین یک عدد صحیح است.

این نتیجه سومین ویژگی مقایسه است.

Q.E.D.

5) اگر یک.

اثبات: بیایید مجموع این دو عبارت را پیدا کنیم:

مجموع دو عدد صحیح است، بنابراین یک عدد صحیح است، از این رو .

Q.E.D.

6) اگر یک عدد صحیح است، پس

اثبات: کجاپ- یک عدد صحیح، این تساوی را در ضرب کنید، بدست می آوریم: . از آنجا که حاصلضرب اعداد صحیح است، که باید ثابت شود.

7) اگر یک

اثبات: استدلال مشابه برهان مال ۶ است.

8) اگر یک - پس اعداد نسبتا اول

اثبات: ، این عبارت را بر تقسیم می کنیم، به دست می آوریم: - اعداد همزمان اول، به این معنی که بر یک عدد صحیح بخش پذیر است، یعنی. =. و این بدان معناست که آنچه لازمه اثبات بود.

II . کاربرد مقایسه در حل مسئله.

2.1. ساده‌ترین کاربرد مقایسه‌های مدول، تعیین بخش‌پذیری اعداد است.

مثال. باقی مانده تقسیم 2 را بیابید 2009 در 7.

راه حل: قدرت های 2 را در نظر بگیرید:

اگر مقایسه را به توان 668 برسانیم و در آن ضرب کنیم، به دست می آید: .

پاسخ: 4.

مثال. ثابت کنید 7+7 2 +7 3 +…+7 4 n برای هر کدام بر 100 بخش پذیر استnاز مجموعه ای از اعداد صحیح

راه حل: مقایسه را در نظر بگیرید

و غیره. چرخه ای باقیمانده ها با قوانین ضرب اعداد در یک ستون توضیح داده می شود. با اضافه کردن چهار مقایسه اول، دریافت می کنیم:

پس این مجموع بدون باقی مانده بر 100 بخش پذیر است. به همین ترتیب، با جمع کردن مقایسه‌های زیر در مورد چهار، به این نتیجه می‌رسیم که هر یک از این مجموع بدون باقیمانده بر 100 بخش‌پذیر است. پس مجموع کل 4nشرایط بدون باقیمانده بر 100 بخش پذیر است. Q.E.D.

مثال. تعیین کنید با چه ارزشیnعبارت بدون باقیمانده بر 19 بخش پذیر است.

راه حل: .

این مقایسه را در 20 ضرب کنید.

پس بیایید مقایسه ها را اضافه کنیم. . بنابراین، سمت راست مقایسه برای هر طبیعی همیشه بر 19 بخش پذیر استn، به این معنی که عبارت اصلی با طبیعی بر 19 بخش پذیر استn.

پاسخ n هر عدد طبیعی است

مثال. عدد با چه رقمی به پایان می رسد.

راه حل. برای حل این مشکل، تنها رقم آخر را دنبال می کنیم. قدرت های عدد 14 را در نظر بگیرید:

می توان دید که برای یک توان فرد، مقدار درجه به 4 ختم می شود، و برای یک توان زوج، به 6 ختم می شود. سپس به 6 ختم می شود، یعنی. یک عدد زوج است بنابراین در 6 تمام می شود.

جواب 6.

2.2. یک کار برای مقایسه

مقاله N. Vilenkin "مقایسه و کلاس های باقی مانده" مشکلی را ارائه می دهد که فیزیکدان مشهور انگلیسی دیراک در سال های دانشجویی خود آن را حل کرد.

همچنین یک راه حل مختصر برای این مشکل با استفاده از مقایسه مدولو وجود دارد. اما ما با تعدادی از وظایف مشابه روبرو شدیم. مثلا.

یکی از رهگذران در نزدیکی درختی که میمون در آن نشسته بود، یک دسته سیب پیدا کرد. پس از شمارش آنها متوجه شد که اگر 1 سیب به یک میمون داده شود، تعداد سیب های باقیمانده تقسیم می شود. n بدون هیچ ردی. با دادن سیب اضافی به میمون، 1/ n سیب های باقی مانده و سمت چپ. بعداً رهگذر بعدی به توده نزدیک شد، سپس رهگذر بعدی و غیره. هر رهگذر بعدی، با شمارش سیب ها، متوجه شد که تعداد آنها، وقتی بر تقسیم می شود n باقی مانده را 1 می دهد و با دادن یک سیب اضافی به میمون، 1 / ​​را گرفت. n سیب های باقی مانده و حرکت کرد. بعد از رفتن آخرین n رهگذر، تعداد سیب های باقی مانده در توده بر بخش پذیر است n بدون هیچ ردی. ابتدا چند سیب در توده بود؟

پس از انجام همان استدلال دیراک، یک فرمول کلی برای حل یک کلاس از مسائل مشابه به دست آوردیم:n- عدد طبیعی.

2.3. استفاده از مقایسه های مدول در فعالیت های حرفه ای

تئوری مقایسه در تئوری کد نویسی استفاده می شود، بنابراین تمامی افرادی که حرفه ای مرتبط با کامپیوتر را انتخاب کرده اند به مطالعه و احتمالاً مقایسه در فعالیت های حرفه ای خود خواهند پرداخت. به عنوان مثال، برای توسعه الگوریتم های رمزگذاری کلید عمومی، تعدادی از مفاهیم تئوری اعداد، از جمله مقایسه مدول، استفاده می شود.

نتیجه.

این مقاله مفاهیم اساسی و ویژگی‌های مقایسه‌های مدول را تشریح می‌کند؛ مثال‌ها استفاده از مقایسه‌های مدول را نشان می‌دهند. این مطالب را می توان در آمادگی برای المپیادهای ریاضی و آزمون یکپارچه دولتی استفاده کرد.

فهرست منابع بالا اجازه می دهد تا در صورت لزوم، برخی از جنبه های پیچیده تر نظریه مقایسه مدول و کاربردهای آن را در نظر بگیریم.

فهرست ادبیات استفاده شده

آلفوتوا N.B. جبر و نظریه اعداد./N.B.Alfutova، A.V.Ustinov. M.: MTSNMO، 2002، 466 ص.

بوخشتاب ع.ع. نظریه اعداد / ع.الف.بوخشتاب. مسکو: آموزش و پرورش، 1960.

Vilenkin N. مقایسه ها و کلاس های باقی مانده./N.Vilenkin.//Kvant. – 1978.- 10.

فدورووا N.E. مطالعه جبر و تحلیل ریاضی. پایه 10.http:// www. prosv. en/ کتاب های الکترونیکی/ فدورووا_ جبر_10 kl/1/ xht

en. ویکیپدیا. org/ ویکی/Modulo_comparison.