Как находится разность арифметической прогрессии. Сумма арифметической прогрессии. Основные формулы арифметической прогрессии.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Оч-ч-чень полезная формула! Позволяет быстро и легко решать самые разнообразные задания по арифметической прогрессии. Имеет смысл освоить, правда?) Вот она, эта формула:
То есть, с любым термином последовательности и разума, вы можете найти другой термин. Мы знаем, что г = 2 и а = 48 заменяются в формуле. Ответ: Первый член в последовательности. Как вы можете видеть, имея первый и последний термин, вы можете найти причину и сформировать последовательность.
Теперь, когда мы знаем причину, мы вычисляем интерполированные члены, затем записываем последовательность. В геометрической прогрессии произведение двух членов, имеющих одинаковое расстояние от концов, равно произведению концов. Кроме того, когда геометрическая прогрессия нечетна, центральный слагаемый квадрат равен произведению экстремумов.
| a n = a 1 + (n-1)d |
В чём главная суть формулы?
Эта формула позволяет найти любой ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Разумеется, надо знать ещё первый член a 1 и разность прогрессии d , ну так без этих параметров конкретную прогрессию и не запишешь.
Заучить (или зашпаргалить) эту формулу мало. Надо усвоить её суть и поприменять формулу в различных задачках. Да ещё и не забыть в нужный момент, да...) Как не забыть - я не знаю. А вот как вспомнить, при необходимости, - точно подскажу. Тем, кто урок до конца осилит.)
Чтобы вычислить быстрее, если мы знаем первый член, последний член и причину, мы заменяем данные в следующей формуле. Мы заменяем данные в формуле. Ответ: Сумма первых 10 терминов равна 255. Тогда бесконечная сумма членов будет равна. Заменим теперь в формуле бесконечной суммы.
Ответ: бесконечная сумма членов геометрической прогрессии. На графике мы увидим каждый член геометрической прогрессии с точкой. В зависимости от причины функция будет увеличивать или уменьшать оси осей и абсцисс соответственно. Краткое введение Напоминание формул арифметических и геометрических прогрессий 30 Решенные проблемы. Не будучи слишком строгим, мы можем определить числовую последовательность как набор упорядоченных чисел.
Итак, разберёмся с формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Что такое формула вообще - мы себе представляем.) Что такое арифметическая прогрессия, номер члена, разность прогресии - доступно изложено в предыдущем уроке. Загляните, кстати, если не читали. Там всё просто. Осталось разобраться, что такое n-й член.
Давайте посмотрим на характеристики, которые их определяют. В случае арифметических и геометрических последовательностей мы можем найти формулу, которую мы называем общей формулой прогрессии, которая указывает значение любого члена последовательности без необходимости писать предыдущие термины.
В этом разделе мы решаем задачи арифметических и геометрических прогрессий. Проблемы сортируются по их сложности. Прежде чем мы начнем, мы сделаем напоминание о всех формулах, которые нам понадобятся. Геометрическая последовательность, первый член которой положителен, убывает, если \\ и возрастает, если \\. Если первый член отрицателен, он увеличивается, если \\ и уменьшается, если \\.
Прогрессию в общем виде можно записать в виде ряда чисел:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 - обозначает первый член арифметической прогрессии, a 3 - третий член, a 4 - четвёртый, и так далее. Если нас интересует пятый член, скажем, мы работаем с a 5 , если сто двадцатый - с a 120 .
А как обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии, с любым номером? Очень просто! Вот так:
В арифметической прогрессии мы знаем, что шестой член равен 28, а разница состоит в том, чтобы вычислить общий член и первые 5 членов. Мы знаем шестой член и разницу. Мы хотим рассчитать общий член последовательности \\, который, как мы знаем, имеет вид.
Так как разность равна \\, то имеем. Нам нужно вычислить первый член последовательности \\. Для этого применим формулу для случая \\, поскольку мы знаем, что \\. Следовательно, общий член арифметической последовательности. Первые пять терминов. Примечание. Мы вычислили термины, применив полученную формулу, но как только мы знаем, что первый член равен 3 и что разница равна 5, мы можем легко получить слагаемые, добавив 5.
a n
Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буквой n скрываются сразу все номера членов: 1, 2, 3, 4, и так далее.
И что нам даёт такая запись? Подумаешь, вместо цифры буковку записали...
Эта запись даёт нам мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Используя обозначение a n , мы можем быстро найти любой член любой арифметической прогрессии. И ещё кучу задач по прогрессии решить. Сами дальше увидите.
В геометрической прогрессии мы знаем, что первый член равен 6, а четвертый - вычислять общий член и сумму первых 5 членов. Мы знаем первый и четвертый термины. Поскольку прогрессия геометрическая, ее общая формула имеет вид. Из этой формулы мы знаем член \\, но мы не знаем причины, \\. Чтобы вычислить его, применим формулу для случая \\, поскольку мы знаем, что \\.
Следовательно, отношение равно \\, а общий член равен. Чтобы вычислить сумму первых 5 членов, применим формулу. Нам нужно будет вычислить член \\. Найдите термины: десятый, двадцатый и тридцатый. Если последовательность арифметична, то разница между двумя последовательными членами всегда одна и та же.
В формуле n-го члена арифметической прогрессии:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1 - первый член арифметической прогрессии;
n - номер члена.
Формула связывает ключевые параметры любой прогрессии: a n ; a 1 ; d и n . Вокруг этих параметров и крутятся все задачки по прогрессии.
Применяя эту формулу, мы можем вычислить термины десятые, двадцатые и тридцатые. Найти общий член последовательности. Известно, что сумма бесконечных членов этой последовательности равна 1. Причина того, как возможно, что сумма бесконечных положительных членов не бесконечна.
Поскольку значения не совпадают, последовательность не является арифметической. Поскольку мы знаем первый термин и причину, общий термин. Таким образом, мы можем рассчитать 10-й и 100-й термины. Заметим, что члены последовательности очень малы: десятая имеет три нуля за запятой, а сотая - тридцать.
Формула n-го члена может использоваться и для записи конкретной прогрессии. Например, в задаче может быть сказано, что прогрессия задана условием:
a n = 5 + (n-1)·2.
Такая задачка может и в тупик поставить... Нет ни ряда, ни разности... Но, сравнивая условие с формулой, легко сообразить, что в этой прогрессии a 1 =5, а d=2.
А бывает ещё злее!) Если взять то же условие: a n = 5 + (n-1)·2, да раскрыть скобки и привести подобные? Получим новую формулу:
Хотя условия последовательности являются положительными, они становятся все меньше и ближе. Таким образом, добавляя их, это вряд ли увеличивает ценность, даже если мы добавим бесконечные числа. В арифметической прогрессии мы знаем, что первый член равен 1, а сумма первых 10 членов равна.
Мы знаем первый член и сумму первых десяти членов. Мы будем использовать формулы общего члена и сумму, чтобы иметь возможность вычислить разность \\. Мы напишем в формулах \\. Подставим известные данные. Мы можем заменить \\ в первой формуле. Тогда разность равна \\, а общий член равен.
a n = 3 + 2n.
Это Только не общая, а для конкретной прогрессии. Вот здесь и таится подводный камень. Некоторые думают, что первый член - это тройка. Хотя реально первый член - пятёрка... Чуть ниже мы поработаем с такой видоизменённой формулой.
В задачах на прогрессию встречается ещё одно обозначение - a n+1 . Это, как вы догадались, "эн плюс первый" член прогрессии. Смысл его прост и безобиден.) Это член прогрессии, номер которого больше номера n на единичку. Например, если в какой-нибудь задаче мы берём за a n пятый член, то a n+1 будет шестым членом. И тому подобное.
В конечной арифметической прогрессии второй член равен -23 и последнему. Если известно, что существует 12 членов, вычислим общий член. Мы знаем второй термин и двенадцатый. Поскольку это арифметика, мы знаем, что общая ее формула имеет вид. С помощью данных, которые мы знаем, мы можем построить систему уравнений для вычисления первого слагаемого и разности.
Поэтому общий термин. Примечание: мы указали значения, которые можно принять, поскольку последовательность конечна. Сумма трех последовательных членов арифметической последовательности, разность которой равна 11, равна. То есть, у нас есть уравнение первой степени.
Чаще всего обозначение a n+1 встречается в рекуррентных формулах. Не пугайтесь этого страшного слова!) Это просто способ выражения члена арифметической прогрессии через предыдущий. Допустим, нам дана арифметическая прогрессия вот в таком виде, с помощью рекуррентной формулы:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Уравнение может быть выражено через прогрессию как. То есть, как сумма первых трех членов прогрессии, общий термин которых. Таким образом, \\ - число слагаемых слева от равенства. Мы можем выразить приведенное выше уравнение как. Поэтому мы можем переписать уравнение как.
Сумма из 6 последовательных нечетных чисел равна. Нечетное число имеет вид. Внутренняя часть скобки представляет собой сумму первых 6 членов арифметической последовательности разности 2 и начиная с 1, т.е. Показать, что в любой положительной геометрической последовательности каждый член является квадратным корнем из произведения его предыдущего члена своим следующим членом.
Четвёртый - через третий, пятый - через четвёртый, и так далее. А как посчитать сразу, скажем двадцатый член, a 20 ? А никак!) Пока 19-й член не узнаем, 20-й не посчитать. В этом и есть принципиальное отличие рекуррентной формулы от формулы n-го члена. Рекуррентная работает только через предыдущий член, а формула n-го члена - через первый и позволяет сразу находить любой член по его номеру. Не просчитывая весь ряд чисел по порядочку.
Чтобы доказать это, вычислим \\ и \\ используя общий член. И мы подставляем в файл. Это будет продемонстрировано при получении того, что указанный корень - это просто термин \\.
- Мы применили свойства степеней для упрощения.
- Поскольку последовательность положительна, ее причина также положительна.
Общий термин для прогрессирования. Мы не знаем положения трех терминов, но мы знаем, что они последовательны. Поэтому, если первый из них равен \\, остальные два - \\ и \\. Тогда, используя общий термин, произведение таких членов. Таким образом, термины являются третьим, четвертым и пятым: 4, 8.
В арифметической прогрессии рекуррентную формулу легко превратить в обычную. Посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти, если надо, первый член a 1 , записать формулу в обычном виде, да и работать с ней. В ГИА подобные задания частенько встречаются.
Применение формулы n-го члена арифметической прогрессии.
Для начала рассмотрим прямое применение формулы. В конце предыдущего урока была задачка:
Мы проверяем, является ли это арифметикой, вычитая последовательные члены. Дело не в том, что различия совпадают. Это не потому, что причина не то же самое. Тогда прогрессия не является ни арифметической, ни геометрической. Мы должны будем сами определить, что такое общий термин.
Первое, что мы делаем, это посмотреть на соотношение между положением каждого термина и его значением. Поэтому мы заключаем, что общий член. Мы смотрим на соотношение между положением каждого термина и его значением. Это не арифметическая или геометрическая прогрессия.
Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.
Эту задачку можно безо всяких формул решить, просто исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять, да прибавлять... Часок-другой.)
А по формуле решение займёт меньше минуты. Можете засекать время.) Решаем.
В условиях приведены все данные для использования формулы: a 1 =3, d=1/6. Остаётся сообразить, чему равно n. Не вопрос! Нам надо найти a 121 . Вот и пишем:
Поскольку причина отрицательная, последовательность чередуется. Это означает, что каждый член имеет знак. В этой конкретной последовательности четные позиции являются отрицательными, а остальные положительны. Вычислите сумму первых трех членов геометрической последовательности разума 5, зная, что ваш продукт.
Поскольку последовательность является геометрической и мы знаем причину, общий член. Мы знаем, что произведение первых трех членов. Подставим \\, \\ и \\ из приведенного выше выражения для общего слагаемых с \\, \\ и \\ соответственно. При этом получим уравнение.
Прошу обратить внимание! Вместо индекса n появилось конкретное число: 121. Что вполне логично.) Нас интересует член арифметической прогрессии номер сто двадцать один. Вот это и будет наше n. Именно это значение n = 121 мы и подставим дальше в формулу, в скобки. Подставляем все числа в формулу и считаем:
a 121 = 3 + (121-1)·1/6 = 3+20 = 23
Это уравнение дает нам первый член. Рассмотрим последовательность, заданную повторением. Вычислите термины, которые необходимы, чтобы иметь возможность вывести свой общий термин. Применим формулу, приведенную для вычисления, по порядку, первых членов последовательности.
Которая является последовательностью нечетных чисел. Поэтому его общий термин. Не так с общим термином. Зарплата работника составляет 950 евро в месяц, а каждый год увеличивается на 50 евро. Рассчитайте, сколько денег вы заработаете в ближайшие 10 лет.
В первый год месячная заработная плата находится на втором курсе, месячная зарплата -. Поэтому мы должны умножить на 12 сумму первых 10 членов. Мы строим прогрессию, образованную этими числами. Рассмотрим последовательность нечетных чисел. В геометрической прогрессии сумма первых двух членов равна 12, а сумма первой с третьей - найти общий член и рассчитать сумму первых пяти членов.
Вот и все дела. Так же быстро можно было бы найти и пятьсот десятый член, и тысяча третий, любой. Ставим вместо n нужный номер в индексе у буквы "a" и в скобках, да и считаем.
Напомню суть: эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Решим задание похитрее. Пусть нам попалась такая задачка:
Поскольку прогрессия является арифметикой, общий термин. Мы решаем систему уравнений, получая первый член и разность. И сумма первых пяти. Поскольку отношение должно быть постоянным, мы приравниваем оба выражения и, следовательно, получаем. В квадрате стороны 2 средние точки его сторон соединяются, чтобы получить еще один вписанный квадрат. Повторите процесс последовательно с полученными квадратами.
Какая это преемственность? Мы будем использовать теорему Пифагора для вычисления сторон. Сторона начальных квадратных мер. Сторона первого квадрата измеряет. Вторая квадратная сторона измеряет. Сторона третьего квадрата измеряет. Квадратная сторона квадрата измеряется.
Найдите первый член арифметической прогрессии (a n), если a 17 =-2; d=-0,5.
Если возникли затруднения, подскажу первый шаг. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии! Да-да. Руками запишите, прямо в тетрадке:
| a n = a 1 + (n-1)d |
А теперь, глядя на буквы формулы, соображаем, какие данные у нас есть, а чего не хватает? Имеется d=-0,5, имеется семнадцатый член... Всё? Если считаете, что всё, то задачу не решите, да...
Это геометрическая последовательность, так как соотношение между последовательными членами постоянное. Вычислите число, зная, что его пять цифр помещены в арифметическую прогрессию, что сумма всех из них равна 20, а первая равна двойной. Если последовательность бесконечна, мы используем следующее представление. Выше мы имеем представление о конечной арифметической прогрессии.
Постоянная арифметическая прогрессия
В этом примере это значение равно 2, например, разница между первым и вторым членами равна 2. Арифметическая прогрессия постоянна, когда ее отношение равно нулю.
Растущая арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия возрастает, когда ее отношение больше нуля, т.е. когда следствие любого члена больше этого термина.У нас ещё имеется номер n ! В условии a 17 =-2 спрятаны два параметра. Это и значение семнадцатого члена (-2), и его номер (17). Т.е. n=17. Эта "мелочь" часто проскакивает мимо головы, а без неё, (без "мелочи", а не головы!) задачу не решить. Хотя... и без головы тоже.)
Теперь можно просто тупо подставить наши данные в формулу:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Ах да, a 17 нам известно, это -2. Ну ладно, подставим:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Получится ответ: a 1 = 6.
Такой приём - запись формулы и простая подстановка известных данных - здорово помогает в простых заданиях. Ну, надо, конечно, уметь выражать переменную из формулы, а что делать!? Без этого умения математику можно вообще не изучать...
Ещё одна популярная задачка:
Найдите разность арифметической прогрессии (a n), если a 1 =2; a 15 =12.
Что делаем? Вы удивитесь, пишем формулу!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Соображаем, что нам известно: a 1 =2; a 15 =12; и (специально выделю!) n=15. Смело подставляем в формулу:
12=2 + (15-1)d
Считаем арифметику.)
12=2 + 14d
d =10/14 = 5/7
Это правильный ответ.
Так, задачи на a n , a 1 и d порешали. Осталось научиться номер находить:
Число 99 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 =12; d=3. Найти номер этого члена.
Подставляем в формулу n-го члена известные нам величины:
a n = 12 + (n-1)·3
На первый взгляд, здесь две неизвестные величины: a n и n. Но a n - это какой-то член прогрессии с номером n ... И этот член прогрессии мы знаем! Это 99. Мы не знаем его номер n, так этот номер и требуется найти. Подставляем член прогрессии 99 в формулу:
99 = 12 + (n-1)·3
Выражаем из формулы n , считаем. Получим ответ: n=30.
А теперь задачка на ту же тему, но более творческая):
Определите, будет ли число 117 членом арифметической прогрессии (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Опять пишем формулу. Что, нет никаких параметров? Гм... А глазки нам зачем дадены?) Первый член прогрессии видим? Видим. Это -3,6. Можно смело записать: a 1 =-3,6. Разность d можно из ряда определить? Легко, если знаете, что такое разность арифметической прогрессии:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, самое простое сделали. Осталось разобраться с неизвестным номером n и непонятным числом 117. В предыдущей задачке хоть было известно, что дан именно член прогрессии. А здесь и того не знаем... Как быть!? Ну, как быть, как быть... Включить творческие способности!)
Мы предположим, что 117 - это, всё-таки, член нашей прогрессии. С неизвестным номером n . И, точно как в предыдущей задаче, попробуем найти этот номер. Т.е. пишем формулу (да-да!)) и подставляем наши числа:
117 = -3,6 + (n-1)·1,2
Опять выражаем из формулы n , считаем и получаем:
Опаньки! Номер получился дробный! Сто один с половиной. А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Какой вывод сделаем? Да! Число 117 не является членом нашей прогрессии. Оно находится где-то между сто первым и сто вторым членом. Если бы номер получился натуральным, т.е. положительным целым, то число было бы членом прогрессии с найденным номером. А в нашем случае, ответ задачи будет: нет.
Задача на основе реального варианта ГИА:
Арифметическая прогрессия задана условием:
a n = -4 + 6,8n
Найти первый и десятый члены прогрессии.
Здесь прогрессия задана не совсем привычным образом. Формула какая-то... Бывает.) Однако, эта формула (как я писал выше) - тоже формула n-го члена арифметической прогрессии! Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру.
Ищем первый член. Тот, кто думает. что первый член - минус четыре, фатально ошибается!) Потому, что формула в задаче - видоизменённая. Первый член арифметической прогрессии в ней спрятан. Ничего, сейчас отыщем.)
Так же, как и в предыдущих задачах, подставляем n=1 в данную формулу:
a 1 = -4 + 6,8·1 = 2,8
Вот! Первый член 2,8, а не -4!
Аналогично ищем десятый член:
a 10 = -4 + 6,8·10 = 64
Вот и все дела.
А теперь, тем кто дочитал до этих строк, - обещанный бонус.)
Предположим, в сложной боевой обстановке ГИА или ЕГЭ, вы подзабыли полезную формулу n-го члена арифметической прогрессии. Что-то припоминается, но неуверенно как-то... То ли n там, то ли n+1, то ли n-1... Как быть!?
Спокойствие! Эту формулку легко вывести. Не очень строго, но для уверенности и правильного решения точно хватит!) Для вывода достаточно помнить элементарный смысл арифметической прогрессии и иметь пару-тройку минут времени. Нужно просто нарисовать картинку. Для наглядности.
Рисуем числовую ось и отмечаем на ней первый. второй, третий и т.п. члены. И отмечаем разность d между членами. Вот так:
Смотрим на картинку и соображаем: чему равняется второй член? Второй одно d :
a 2 =a 1 +1 ·d
Чему равняется третий член? Третий член равняется первый член плюс два d .
a 3 =a 1 +2 ·d
Улавливаете? Я не зря некоторые слова выделяю жирным шрифтом. Ну ладно, ещё один шаг).
Чему равняется четвёртый член? Четвёртый член равняется первый член плюс три d .
a 4 =a 1 +3 ·d
Пора сообразить, что количество промежутков, т.е. d , всегда на один меньше, чем номер искомого члена n . Т.е., до номера n, количество промежутков будет n-1. Стало быть, формула будет (без вариантов!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Вообще, наглядные картинки очень помогают решать многие задачи в математике. Не пренебрегайте картинками. Но если уж картинку нарисовать затруднительно, то... только формула!) Кроме того, формула n-го члена позволяет подключить к решению весь мощный арсенал математики - уравнения, неравенства, системы и т.д. Картинку-то в уравнение не вставишь...
Задания для самостоятельного решения.
Для разминки:
1. В арифметической прогрессии (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Найти a 3 .
Подсказка: по картинке задача решается секунд за 20... По формуле - сложнее получается. Но для освоения формулы - полезнее.) В Разделе 555 эта задачка решена и по картинке, и по формуле. Почувствуйте разницу!)
А это - уже не разминка.)
2. В арифметической прогрессии (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Найти a 3 .
Что, неохота картинку рисовать?) Ещё бы! Уж лучше по формуле, да...
3. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сто двадцать пятый член этой прогрессии.
В этом задании прогрессия задана рекуррентным способом. Но считать до сто двадцать пятого члена... Не всем такой подвиг под силу.) Зато формула n-го члена по силам каждому!
4. Дана арифметическая прогрессия (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.
5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.
6. Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно -2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a 14 .
Не самая простая задачка, да...) Здесь способ "на пальцах" не прокатит. Придётся формулы писать да уравнения решать.
Ответы (в беспорядке):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Получилось? Это приятно!)
Не всё получается? Бывает. Кстати, в последнем задании есть один тонкий момент. Внимательность при чтении задачи потребуется. И логика.
Решение всех этих задач подробно разобрано в Разделе 555. И элемент фантазии для четвёртой, и тонкий момент для шестой, и общие подходы для решения всяких задач на формулу n-го члена - всё расписано. Рекомендую.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d .
Так, числовая последовательность а 1 ; а 2 ; а 3 ; а 4 ; а 5 ; … а n будет являться арифметической прогрессией, если а 2 = а 1 + d;
а 3 = а 2 + d;
Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом а n . Записывают: дана арифметическая прогрессия {a n } .
Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a 1 и разность d.
Примеры арифметической прогрессии
Пример 1. 1; 3; 5; 7; 9;… Здесь а 1 = 1; d = 2.
Пример 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;… Здесь а 1 = 8; d =-3.
Пример 3. -16; -12; -8; -4;… Здесь а 1 = -16; d = 4.
Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.
В 1 примере второй член 3 =(1+5): 2 ; т.е. а 2 = (а 1 +а 3): 2; третий член 5 =(3+7): 2;
т. е. а 3 = (а 2 +а 4): 2.
Значит, справедлива формула:
Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.
Обратимся примеру 2 . Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и седьмого членов (а 1 = 8, а 7 = -10).
По формуле (**) имеем:
Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.
Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d ; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d ; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.