Математическая модель равновесия леона вальраса. Модель общего равновесия леона вальраса

Впервые теоретическая модель общего экономического равновесия в условиях классического рынка была разработана швейцарским экономистом Л. Вальрасом (1834 – 1910) как теория общего конкурентного равновесия. Предложенная модель по форме является макроэкономической, однако по содержанию основана на микроэкономических показателях, характеризующих поведение на рынках отдельных производителей и потребителей товаров. Модель Вальраса основана на использовании равновесных цен, которые обеспечивают равенство спроса и предложения по каждому товару. Рациональный элемент модели Л. Вальраса – постановка экстремальной задачи для народного хозяйства в целом и подход к ценам как к составному элементу нахождения общего оптимума (равновесия).

В рыночной экономике цены предопределяют объем выпускаемой продукции, а объем выпуска в значительной степени определяет цены. Цены потребительских товаров и услуг зависят от цен на ресурсы. А цены ресурсов – от цен экономических благ, на которые существует платежеспособный спрос. Взаимосвязь в экономике оказывается замкнутой, напоминающей круг, выйти из которого можно лишь решая определенную систему уравнений.

Л. Вальрас, анализируя равновесную систему экономики, пытался описать общее экономическое равновесие с помощью системы уравнений. Он показал, что число уравнений равно числу неизвестных. Это означает, во-первых, принципиальную возможность решения системы уравнений, то есть достижения общего равновесия; во-вторых, с математической точки зрения единственность такого решения. Подставив в полученную в результате решения производственную функцию конкретные значения цен, на основе ее математического анализа можно получить количества обмениваемых экономических благ.

Система уравнений, полученная Л. Вальрасом, называется системой уравнений общего равновесия. Анализ решения системы уравнений привел Л. Вальраса к правильному выводу о том, что система общего равновесия является устойчивой и, будучи выведенной из этого состояния, стремится к нему вновь через механизм относительных цен.

Следует признать, что модель Л. Вальраса в определенном отношении идеализировала экономическую действительность. В ней предусматривалось, что потребители знают свои функции спроса и предложения, технические коэффициенты, ограничения и многие другие данные, вошедшие в модель. К тому же модель общего равновесия исходит из совершенной конкуренции, предполагающей идеальную мобильность всех ресурсов, полную информированность участников, абсолютизирует состояние равновесия, тогда как в реальной действительности гораздо чаще встречаются диспропорции, сбои, дисбалансы, недостатки. Рыночная экономика статична, не всегда учитывает научно-технический прогресс, факторы неопределенности, институциональные условия развития.

Л. Вальрас сначала разработал модель, а потом пошел от нее к реальной экономической действительности, а не наоборот. Однако эту модель можно видоизменять, усложнять и упрощать путем включения новых переменных. Последние могут задаваться как эндогенно, так и экзогенно, отражать как экономические процессы и явления, так и эволюцию институциональных условий функционирования рыночной экономики.

В основе теории общего экономического равновесия (по Вальрасу) лежат следующие идеи и положения:

– всякое рыночное хозяйство стремится к равновесию в виде тенденции, что является отличительной чертой многих закономерных экономических процессов;

– существует принцип взаимозависимости основных элементов рыночной экономики, обеспечивающий единство системы и воздействующий на реализацию стремления к равновесию;

– исходным пунктом анализа равновесия является анализ обмена продуктами между производителями и потребителями, когда обмен осуществляется на основе взаимовыгодности и эквивалентности.

Равновесие в экономике не сводится к рыночному равновесию индивидуальных товаропроизводителей. Но равновесие может быть достигнуто только через рыночный механизм, через обмен. Основным инструментом в этом механизме служит цена. Выравнивание (установление равновесия) спроса и предложения товаров (по Вальрасу) происходит посредством «нащупывания», поиска взаимоприемлемых цен, выступающих в виде цен равновесия.

Важно подчеркнуть, что Л. Вальрас охарактеризовал для теоретической экономической науки путь, по которому, как справедливо заметил Й. Шумпетер, она идет и сегодня.

Глава лозаннской школы (математической школы) В Парето (1848 – 1923) считал, что экономическая теория должна изучать механизм, устанавливающий равновесие между потребностями людей и ограниченными средствами их удовлетворения, для чего необходимо широкое применение математического метода анализа. Он стремился теоретически обосновать модель взаимозависимости всех экономических факторов, включая и цену. В. Парето пытался усовершенствовать теорию общего экономического равновесия Л. Вальраса.

В отличие от последнего, он рассматривал ряд состояний равновесия во времени, а также допускал варьирование коэффициентов производственной функции в зависимости от размера выпуска продукции. В. Парето считал принципиально возможным обеспечение модели, описывающей основные связи в экономике, статистическим материалом, хотя и не разрабатывал приемы его агрегирования. В. Парето стремился очистить теорию равновесия от психологизма и устранить гедонистическое объяснение (гедонизм – этическая позиция, утверждающая наслаждение как высшее благо и сводящая к нему все многообразие моральных требований) мотивов экономического поведения, столь характерное для теории предельной полезности. Для этого им был введен новый инструмент исследования экономического поведения – кривые безразличия, заимствованные у Ф. Эджуорта.

Итальянский экономист В. Парето сформулировал принцип оптимальности, который гласит, что максимальное благосостояние, или общая полезность, достигается при условии, когда стремление к благополучию отдельных лиц не ведет к снижению уровня жизни любого члена общества. По его мнению, этот принцип может быть реализован в условиях неограниченной конкуренции.

В экономической теории имелось немало попыток усовершенствования исходной модели Л. Вальраса, нап­равленных, в первую очередь, на преодоление ее меха­нистичности и предельной упрощенности. Одной из наи­более разработанных является модель Хикса – Аллена, в которой система, описывающая состояние общего равно­весия, содержит три группы уравнений. В первой отра­жен процесс достижения максимума полезности для каждого потребителя при ограничении величины его дохода; во второй – получение максимума прибыли для каждого предпринимателя при ограничении характера и размера выпускаемой им продукции; в третьей – приводятся уравнения, описывающие условия равенства спроса и предложения по всей рассматриваемой номен­клатуре товаров и образования прибыли как разности между продажной и покупной ценами. Таким образом, система общего равновесия основана на достижении согласован­ности частных оптимумов прибыли для всех предпри­нимателей с частными оптимумами полезности для всех потребителей.

Неоклассическая концепция общего экономического равнове­сия (Л. Вальрас, А. Маршалл, Дж. Б. Кларк, В. Парето и др.) представляет собой модель функционирования частнокапиталистической экономи­ки в условиях идеальной свободы конкуренции, абсолютной эластичности цен, полной рациональности в поведении фирм, стремящихся максимизировать прибыль при минимальных издержках производства, и отсутствия резких динамических изменений, связанных с техническим прогрессом и государственным вмешательством. Эту теорию называют микроэкономиче­ской – хотя речь идет об общем равновесии, – поскольку к анализу последнего она приходит с точки зрения поведения отдельных экономических единиц. Ее теоретический фунда­мент образуют теории предельной полезности, предель­ной производительности и основанная на ней теория вменения. Сущность этой концепции сводится к тому, что в условиях рыночной стихии цены устанавливаются на таком уровне, когда, с одной стороны, они выражают существующие предпочтения потребителей и относительную полезность товаров, с другой – являются отражением минимальных издержек на производство продукции. Этот минимум издержек достигается при таком сочетании факторов производства, когда их предельные продукты пропорциональны их ценам. Если цены на факторы производства (рабочая сила и капитал) свободно меняются в соответствии с изменения­ми их относительного предложения, то в народнохозяйственном масштабе, согласно модели, будут достигнуты не только минимум затрат, но и наиболее полное и эффективное использование наличных ресурсов. Таким образом, в центре внимания модели общего экономического равновесия находятся цена и рынок. Эта модель использовалась для адаптации механизма свободной кон­куренции к рыночной стихии.

(nxm) элементов, в то время как у В. Леонтьева - квадратную матрицу (пхп) элементов. Кроме того, в модели Леонтьева структурирован валовой выпуск (он подразделяется на промежуточный и конечный продукт), показаны источники производства добавленной стоимости , имеется, раздел баланса с характеристиками использования элементов конечного продукта и раздел перераспределения доходов . Но все же самая существенная идея модели затраты - выпуск уже содержалась в выводах Вальраса.  

Сравнивая число неизвестных (2т + 2п - 1) и число уравнений, находим, что они не совпадают и система в экономическом смысле неравновесна. Вальрас выходит из положения, исключив одно уравнение из модели. В результате получается равенство числа уравнений и числа неизвестных. Система уравнений получает экономический смысл равновесной. Это, конечно, не означает, что она будет обязательно решена, ведь необходимо еще доказать существование, единственность и положительность решения. С практической точки зрения также вряд ли возможно решение системы уравнений, в которой фигурировали бы десятки миллионов наименований продукции с конкретными показателями осуществленных затрат на их производство. Поэтому смысл модели Вальраса именно теоретический - она показывает рынок в идеале.  

Для понимания того, что такое идеальное макроэкономическое равновесие рыночного типа, Вальрас и Парето внесли самые весомые идеи. Модель Вальраса послужила отправным пунктом новых горизонтов анализа равновесия.  

Достаточно содержательной является модифицированная модель Вальраса, понимаемая как синтез моделей поведения фирм, потребителей и общего экономического равновесия . Новая модель предполагает следующие условия  

Выводы из модели Вальраса  

Модель Вальраса - упрощенная, условная картина национального хозяйства. Она не рассматривает, как устанавливается равновесие в развитии, динамике. В ней не учитываются многие факторы, действующие на практике, например, психологические мотивы, ожидания. В модели рассматриваются сложившиеся рынки, устоявшаяся и соответствующая потребностям рынка инфраструктура.  

РАЗДЕЛ 2. Модель Вальраса  

Раздел 2. Модель Вальраса 221  

Раздел 2. Модель Вальраса 223  

Раздел 2. Модель Вальраса 225  

Таким образом, в случае, когда кривая спроса имеет отрицательный, а кривая предложения - положительный наклон, модели Вальраса и Маршалла приводят к одному и тому же устойчивому положению равновесия. Однако всегда ли кривые спроса и предложения имеют такой вид Вспомним рис. 6а из раздела 2 лекции 1, где изображена так называемая "загибающаяся" кривая предложения труда . В верхней своей части эта кривая имеет отрицательный наклон. Отрицательным наклоном могут характеризоваться также кривые предложения на валютном рынке (этот вопрос будет рассмотрен в следующих выпусках нашего издания). Рассмотрим теперь рынок с отрицательно наклоненной кривой предложения , чтобы посмотреть, к одинаковым ли выводам относительно условий устойчивости равновесия приведут нас модели Вальраса и Маршалла в этом случае.  

Таким образом, модели Вальраса и Маршалла приводят, хотя бы с теоретической точки зрения , к различным условиям устойчивости равновесия . Причиной этих различий являются различные исходные представления о функционировании рыночного механизма , лежащие в основе рассматриваемых нами моделей. Можно ли сказать, что модель Вальраса правильно описывает действие рыночного механизма , а модель Маршалла - неправильно (или наоборот) Наверное, нет. В самом деле, процесс установления равновесия в коротком периоде лучше описывается с помощью модели Вальраса, когда, например, избыточный спрос ведет к повышению цены до равновесного значения.  

В теории, созданной им и К. Эрроу в 50-е годы, был описан набор условий, гарантирующих существование общего равновесия и при менее строгих, чем в модели Вальраса, предположениях (теорема Эрроу-Дебре). Но его исследования не ограничились только лишь вопросом существования равновесия . Он проанализировал и его нормативные характеристики и единственность. К. Эрроу и Ж. Дебре сформулировали условия, при которых действие ценового механизма в сочетании с желаниями потребителей ведет к эффективному использованию ресурсов. Развивая теорию общего равновесия, Дебре создал новые методы экономического анализа , которые используют сейчас многие экономисты.  

В чисто теоретическом плане новая классика представляет собой модифицированный вариант модели Вальраса. Модификация, о  

В модели Вальраса вся информация заключена в ценах, причем в ценах равновесия . Отклонения в системе от равновесия могут быть лишь следствием различного рода несовершенств (от неполноты информации до негибкости цен и задержек в реакции людей на внешние возмущения)4.  

Рассмотрим теперь, чем отличается утверждение "о роли двойственных оценок у в рамках модели Вальраса-Вальда от аналогичных, но неверных утверждений в рамках модели оптимального планирования (3.П).  

Построенная на основе этой теоретической концепции модель Вальраса есть модель общего экономического равновесия , своего рода одномоментный снимок национального хозяйства в чистом виде. Что касается состояния равновесия , то оно, по Вальра-су, предполагает наличие трех условий  

Короче говоря, он разработал новаторскую модель с использованием примитивного математического аппарата . Курно (ournot), лучший математик, чем Вальрас, и человек, оказавший на него большое влияние, уклонился от решения этой проблемы из-за ее чрезвычайной трудности. Несмотря на то, что модель Вальраса постоянно пересматривалась и совершенствовалась, ее общая концепция по сей день остается неизменной. В своей Истории экономического анализа (1954) Шумпетер (S humpeter) писал Вальрас, по моему мнению, был величайшим из всех экономистов.  

Полученный фон Нейманом результат позволяет осознать важ-и.1 и аспект равновесия, который не был выявлен в модели Вальраса, i именно равновесие - это максимум выпуска в денежном выраже-MIII и минимум доходов факторов. Этот вывод представляет собой и.фажеиное другим языком утверждение Смита о равенстве стоимо-i и произведенной продукции и суммы доходов в экономике.  

Ланге и Лернер предложили некоторую модель, олисывающу децентрализованную экономику, которая состоит из государстве ных предприятий, потребителей и управляющего органа - Цен рального комитета по планированию. Последний фактически BJ полняет роль аукциониста из модели Вальраса, рассчитывают, оптимальные цены, прежде всего цены производственных факт ров, для некоторой умозрительной экономики, и задает их эко мическим субъектам. Менеджеры государственных предприяти самостоятельно принимают решения , ориентируясь на параметр чески заданные цены. При этом они руководствуются двумя прав  

Очевидно, что модель Вальраса не может быть использована дли объяснения тех механизмов, которые воспринимаются как наруше-, ние макроэкономических пропорций. Как утверждают новые классики , из микроэкономического равновесия невозможно вывести макроэкономического неравновесия.  

Кейнсианцы справедливо отметили, что новые классики р к суждали в рамках модели Вальраса, которая исключает какие-лжк неценовые сигналы, что плохо согласуется с реальным поведение людей. Если же признать, что даже в условиях гибкости цен люди ри агируют не только на ценовые сигналы, то общая картина экономм ки существенно отличается как от вальрасианской, так и от той, которая нарисована новыми классиками.  

В экономической науке существует множество моделей макроэкономического равновесия, отражающих взгляды разных направлений экономической мысли на эту проблему:

• - Ф. Кенэ модель простого воспроизводства на примере экономики Франции XVIII столетия;
• - К. Маркс схемы простого и расширенного капиталистического общественного воспроизводства;
• - Л. Вальрас модель общего экономического равновесия в условиях действия закона свободной конкуренции;
• - В. Леонтьев модель «затраты выпуск»;
• - Дж. Кейнс модель краткосрочного экономического равновесия.

Рассмотрим подробнее модель общего экономического равновесия Л. Вальраса.

По мнению некоторых исследователей в области истории экономической мысли, Л.Вальрас (1834--1910) является величайшим экономистом девятнадцатого столетия. Такое признание он заслужил за разработку системы общего рыночного равновесия, которая получила название замкнутой модели экономического равновесия, изложенной в его основной работе “Элементы чистой политической экономии” (1874).

Общее равновесие предполагает установление равновесия в обмене и производстве. Равновесие в обмене означает, что эффективный (фактический) спрос на производительные услуги (продукты) равен эффективному предложению производительных услуг (продуктов). Равновесие в производстве означает, что цена каждого продукта равна издержкам на его изготовление, включающим в себя и нормальную прибыль как вознаграждение за капитал.

Подобное состояние равновесия в производстве и обмене представляет собой случай идеальный, а не реальный. Никогда не бывает такого, чтобы продажная цена продукта абсолютно точно равнялась издержкам на производство этого блага, так же как не имеет места точное соответствие эффективного спроса эффективному предложению. Но такое состояние можно назвать нормальным в том смысле, что экономика, действующая в условиях абсолютно свободной конкуренции, стремится к нему. В такой ситуации, если цена продукта превышает издержки его изготовления, предприниматели получают сверхприбыль и начинают расширять производство. Если же цена продукта ниже издержек его изготовления, предприниматели несут убытки и начинают сокращать выпуск. В результате изменяются цены конечных благ и устанавливается общее равновесие. Агапова И. История экономической мысли. - М., 2008. - С. 126

Рассмотрим в целях простоты модель бартерной экономики, в которой отсутствует производство.

В этой экономике имеется n благ, причем n-e благо выступает в качестве счетной единицы , или денег. Цена каждого блага выражается в этой счетной единице.

Пусть Pi/Pn - цена i-го блага, отнесенная к цене n-го блага (относительная цена).

Предположим, что Pn =1, тогда цена i-го блага будет равна Pi.

В начале обмена каждый хозяйствующий субъект имеет определенный запас (надел) различных благ в том числе денег. Общая полезность этого запаса зависит от предельной полезности каждого блага в распоряжении индивида. Цель индивида состоит в максимизации своей полезности. Этого он может добиться, обменивая принадлежащие ему блага с меньшей предельной полезностью на блага, принадлежащие другим индивидам и представляющие для него большую полезность. Естественно, что при этом предельная полезность каждого блага взвешивается с учетом его относительной цены (второй закон Госсена), а также относительных цен других благ. Следовательно, спрос на i-е благо так же как и предложение этого блага есть функции относительных цен всех благ:

Di = Di(P1,..., Pn-1);

Si = Si(P1,..., Pn-1).

Общее экономическое равновесие означает, что спрос и предложение на каждом рынке равны, т. е. количество блага, выставленное на продажу, равно количеству блага, которое желают приобрести покупатели. Равенство этих количеств обеспечивается благодаря относительной цене блага. Равновесная цена устанавливается в модели Вальраса в ходе так называемого процесса «нащупывания» .

На рынке действует особое лицо - аукционщик, - которое наблюдает за ходом дел в экономике и выкрикивает относительные цены на блага. Потом участники обмена сообщают аукционщику, какое количество того или иного блага они хотели бы продать или купить при данных ценах. Если при этом спрос не равен предложению (имеется избыток спроса (Di > Si) или избыток предложения (Di < Si), аукционщик назначает новые цены. Причем здесь действует следующее правило: если был избыток спроса, - цена повышается, если избыток предложения, - цена понижается. Обмен состоится только тогда, когда набор относительных цен, объявленный аукционщиком, окажется равновесным.

Математически, чтобы найти этот набор, состоящий из n-1 цены, необходимо решить n-1 уравнение (цена n-го блага - денег - задана):

Di(P1,..., Pn-1) = Si(P1,..., Pn-1); i = 1,.. n-1.

Количество уравнений здесь равно количеству неизвестных, а потому данная система будет иметь единственное решение, т. е. равновесный набор относительных цен существует и он единствен. Отсюда мы можем вывести так называемый закон Вальраса:

который гласит, что ценность совокупного спроса равна ценности совокупного предложения. Гальперин В. М. Макроэкономика. - СПб., 2005. - С. 124 Иными словами, сумма избыточного спроса и предложения на всех рынках должна всегда равняться нулю. Следовательно, если n-1 находится в равновесии (т. е. ни на одном из них нет ни избыточного спроса, ни избыточного предложения), то n-й рынок также должен быть в равновесии.

Таким образом, закон Вальраса отнюдь не предполагает, что экономика всегда находится в равновесии, т. е. на всех рынках отсутствует избыток спроса или предложения. Просто на уровне всего народного хозяйства все эти избытки в ценностном выражении «взаимопогашаются».

Как видно из модели общего равновесия, деньги играют в ней пассивную роль счетной единицы (меры ценности), в которой выражается ценность остальных благ. Здесь необходимо различать относительные и абсолютные цены. Относительная цена есть цена одного блага, отнесенная к цене другого блага. Абсолютная цена есть цена денег (Pn), или общий уровень цен. Хозяйствующих субъектов интересуют только относительные цены. Абсолютная цена зависит от количества денег в обращении. Изменение денежной массы приводит к пропорциональному изменению абсолютного уровня цен. Так, если количество денег утроилось, то и абсолютные цены должны утроиться: цена каждого блага утраивается, и относительные цены остаются неизменными. Как следствие, изменение денежной массы не влечет за собой изменения реальных величин (спрашиваемых и предлагаемых количеств благ). Тарасевич Л.С., Гребенников П.И., Леусский А.И. Макроэкономика. - М., 2006. - С. 47.

Кроме того, ввиду действий аукционщика, в вальрасовской модели общего равновесия покупки и продажи оказываются абсолютно синхронизированными во времени. Поэтому у хозяйствующих субъектов не возникают стимулов к использованию денег в качестве средства обмена и средства сохранения ценности. Тем самым, с помощью модели Л. Вальраса невозможно объяснить существование денег в рыночной экономике.

Модель Вальраса, хотя и является логически завершенной, носит чересчур абстрактный характер, так как исключает многие важные элементы реальной экономической жизни.

Кроме отсутствия накопления, к числу чрезмерных упрощений следует отнести:

• - статичность модели (предполагается неизменность запаса и номенклатуры продуктов, а также неизменность способов производства и потребительских предпочтений),
• - предположение о существовании совершенной конкуренции и идеальной информированности субъектов производства.

Иными словами, проблемы экономического роста, нововведений, изменения потребительских вкусов, экономических циклов остались за пределами модели Вальраса. Заслуга Вальраса скорее в постановке проблемы, чем в ее решении. Она дала толчок экономической мысли к поиску моделей динамического равновесия и экономического роста. Развитие идей Вальраса мы находим в работах американского экономиста В. Леонтьева, чья алгебраическая теория анализа модели "затраты - выпуск" в сороковые годы двадцатого века дала возможность численного решения больших систем уравнений, получивших название "балансовых". Однако первым экономистом, который исследовал вопросы динамического развития в рамках неоклассической теории явился Й.Шумпетер.

Тем не менее, модель Леона Вальраса стала базовой для всей теории экономического равновесия в неоклассической школе. Даже те, кто станет в последующем критиковать неоклассическую теорию, использовали модели, базирующиеся на модели Л. Вальраса, внося в нее необходимые изменения.

«Полное экономическое равновесие - структурный оптимум хозяйственной системы, к которому общество стремится, но никогда его полностью не достигает в связи с постоянным изменением самого оптимума, идеала пропорциональности». Самуэльсон П. Экономика. - М., 2005. - С. 159.

Принципиальная возможность достижения общего равновесия в условиях совершенной конкуренции в математической форме впервые была доказана Л. Вальрасом. Выражая модель ОЭР системой уравнений, он доказал, что в экономической системе, состоящей из n взаимосвязанных рынков, на n-м рынке всегда будет равновесие, если достигнуто равновесие на (n-1)-м рынке. Следует отметить, что модель Л. Вальраса подвергалась критическому анализу со стороны многих авторов.

Существует два основных подхода к анализу установления равновесной цены: Л. Вальраса и А. Маршалла. Основным в подходе А.Маршалла считается разность цен P1 и P2 (рис. 6). А. Маршалл считал, что продавцы прежде всего реагируют на разность цены спроса и цены предложения. Чем выше этот разрыв, тем выгоднее это для производителя, тем можно больше найти стимулов для изменения предложения. Изменение объема предложения снижает эту разницу и тем самым способствует достижению равновесной цены.

По мнению Л.Вальраса, в условиях недостатка товара, т.е. дефицита, активно действуют покупатели, а в условиях излишка товаров - продавцы. В отличие от него А. Маршалл, считал, что важную роль в формировании рыночной конъюнктуры играют производители. Цена равновесия обычно ниже максимально предполагаемой покупателями цены на величину излишка потребителя, который составляет излишек прежде всего для состоятельных потребителей, которые могли бы приобрести товар выше равновесной цены PE вплоть до самой максимальной Pmax, но приобретают товар именно по рыночной цене.

Рис. 6.

Таким образом, из вышесказанного выше следует, что если цена на рынке не равна равновесной, то действия покупателей и продавцов двигают ее в направлении к равновесной. Если же объем предложения не равен равновесному то, ориентируясь на цену спроса, продавцы увеличивают или уменьшают объемы предложения до равновесного уровня, при котором устанавливается и равновесная цена. Современная экономическая теория оперирует функциями спроса и предложения Л. Вальраса и графиками этих функций А. Маршалла, но это не сказывается на результатах анализа взаимодействия спроса и предложения.

Так как, по мнению, Л. Вальраса инструментом построения равновесия на рынке являются цены, то построенная им модель характеризует ситуацию, складывающуюся на рынке в краткосрочном периоде. Рыночные процессы в долгосрочном периоде, когда можно изменить объемы выпуска и продаж за счет увеличения или уменьшения количества используемых факторов лучше описывает модель Маршалла.

Рынок автоматически, с поддержкой механизма «невидимой руки», содействует формированию равновесных цен. Превышение цены спроса над ценой предложения приводит к перераспределению ресурсов в пользу предприятий, выпускающие продукцию с высоким платежеспособным спросом. Относительно высокие цены свидетельствуют об относительной редкости благ, побуждая к увеличению объема их производства и тем самым к лучшему удовлетворению потребностей. Так как равновесная цена существенно превышает издержки у тех отраслей, затраты которых ниже средних, то она содействует перераспределению ресурсов от неэффективных производителей к эффективным. Тем самым повышается эффективность функционирования национальной экономики в целом.

Первым экономистом, построившим математическую модель с помощью системы уравнений для доказательства возможности существования общего равновесия, был швейцарский экономист Леон Вальрас (1834-1910). Он предположил, что народное хозяйство состоит из потребителей, использующих n взаимосвязанных благ, производство которых ведется с применением m различных факторов производства. При условиях:

Данности функций полезности каждого потребителя и его бюджета,

Равенства бюджета потребителя ценности его факторов производства,

Фиксированности объема его факторов производства (абсолютной неэластичности их предложения), можно построить функцию спроса i-го потребителя на j-е благо:

M i – бюджет i-го потребителя,

P j , r t - соответственно цены благ и факторов, j = 1,2,..n, t=1,2,...m,

F S i , t - заданный объем t-го фактора, принадлежащего i-му потребителю.

В целях упрощения предположим, что каждая фирма производит только один вид благ. При заданной технологии и известных ценах на блага и факторы производства фирма, максимизирующая прибыль, формирует функцию предложения блага и функцию спроса на факторы. Сумма предложений всех фирм, производящих одно и то же благо, образует отраслевое предложение:

Суммарный спрос этих фирм на факторы составляет отраслевой спрос на каждый из факторов:

На основе функций (6)-(8) строится микроэкономическая модель общего равновесия, состоящая из трех групп уравнений:

1.условия равновесия на рынке благ:

2.условия равновесия на рынках факторов производства:

3.бюджетные ограничения фирм на рынке совершенной конкуренции в виде равенства общей выручки общим затратам:

Система уравнений (9)-(11) содержит 2n+m неизвестных и столько же уравнений. Но независимыми являются только 2n+m-1 уравнение. Это связано с бюджетным ограничением потребителей, из-за которого суммарный избыточный спрос любого потребителя равен нулю.

Допустим, что существуют только 2 рынка благ и 1 рынок факторов. Бюджетное ограничение (уравнение) -го потребителя имеет вид:

Это равенство говорит о том, что расходы -го потребителя (левая часть) должны равняться его доходам от продажи имеющихся у него благ и факторов производства (правая часть).

В круглых скобках - избыточный спрос -го потребителя на каждом из рынков, т.е. равенство суммарного избыточного спроса нулю у любого потребителя есть лишь иная форма представления его бюджетного ограничения. Просуммируем бюджетные уравнения всех участников рыночных сделок:

Из равенства (13) следует, что если система цен P 1 , P 2 , r обеспечивает равновесие на любых двух рынках, то равновесие будет и на третьем. Этот вывод, верный для любого числа рынков, носит название закона Вальраса.

В соответствии с законом Вальраса система уравнений (9)-(11) содержит 2n+m-1 независимых уравнений. Во времена Вальраса отсутствовал математический аппарат для ее решения. Вальрас пошел по пути группировки уравнений, а движение к равновесию рассматривал как постепенный процесс - «поиск ощупью» верных пропорций обмена, особенно на стадии предварительного контракта.

Чтобы система имела решение надо добавить еще одно независимое уравнение, либо уменьшить на 1 число неизвестных. Первый вариант - макроэкономический - вводится дополнительное уравнение равновесия спроса и предложения на денежном рынке. Второй - микроэкономический цена избранного блага принимается за 1, и система относительных цен достаточна для объяснения микроэкономических явлений.

Общее равновесие в условиях чистого обмена при ограниченности ресурсов и товаров обеспечивает решение экономической проблемы - размещение ограниченного количества товаров среди потребителей. Одним из лучших способов такого размещения является ящик (коробка) Френсиса Эджуорта (англ. экономист, 1845-1926), в 1891г. написал «Математическую психологию».