مستطیل مستطیلی. مستطیل. تعریف و خواص

همه زوایا قائمه هستند (برابر 90 درجه)

توجه داشته باشید. در هندسه اقلیدسی برای اینکه یک چهار ضلعی مستطیل باشد کافی است حداقل سه گوشه آن قائم باشد. چهارم (به دلیل زاویه) نیز برابر با 90 درجه خواهد بود. در هندسه نااقلیدسی که مجموع زوایای یک چهارضلعی برابر با 360 درجه نیست، مستطیلی وجود ندارد.

خواص

• قطرهای یک مستطیل برابر است.
• مستطیل متوازی الاضلاع است - اضلاع مقابل آن موازی هستند.
• اضلاع یک مستطیل نیز ارتفاع آن است.
• قطر یک مستطیل برابر است با مجموع دو ضلع غیرمقابل آن (طبق قضیه فیثاغورث).
• حدود هر مستطیلی را می توان محدود کرد و قطر مستطیل برابر با دایره محصور است.

مساحت و محیط

• مساحت یک مستطیل برابر است با حاصلضرب عرض مستطیل و طول آن (ارتفاع).
• محیط یک مستطیل برابر است با دو برابر مجموع طول های عرض و طول آن.

نشانه ها

متوازی الاضلاع یک مستطیل است اگر شرایط زیر وجود داشته باشد:

• اگر 4 زاویه 90 درجه باشد، مستطیل است
• اگر قطرهای متوازی الاضلاع برابر باشند.
• اگر مربع مورب متوازی الاضلاع برابر با مجموع مربعات اضلاع غیر مخالف باشد.

اضلاع و مورب

• طول مستطیل به اندازه طول جفت اضلاع بلندتر آن و عرض طول جفت ضلع کوتاهتر است.
• طول قطر مستطیل با قضیه فیثاغورث محاسبه می شود و برابر است با ریشه دوماز مجموع مربع های طول و عرض.

جغرافیا، زیست‌شناسی، شیمی، جبر، هندسه... دانش‌آموزان باید با اطلاعات زیادی از علوم مختلف سر و کار داشته باشند. با این حال، زمینه‌هایی از دانش وجود دارد که درک آن، با آشنایی با قوانین اساسی آنها، بسیار آسان است. هندسه یکی از آنهاست. برای دانستن تمام ظرایف این علم، حتماً باید با مبانی آن یعنی بدیهیات آن آشنا شوید. به هر حال، بدون پایه در هندسه، هیچ جا.

تعریف مستطیل

مستطیل یک شکل هندسی با چهار زاویه قائمه است. تعریف بسیار ساده است، اما نباید فکر کنید که دانش آموز برای مطالعه چنین موضوعی مشکلی نخواهد داشت، زیرا یک سری ویژگی در اینجا وجود دارد. ابعاد یک مستطیل به طول اضلاع آن بستگی دارد که اغلب با حروف لاتین a و b نشان داده می شود.

ویژگی های مستطیل

• اضلاع روبروی هم مساوی و موازی هستند.
• قطرهای شکل برابر است.
• نقطه تقاطع مورب ها آنها را به دو نیم می کند.
• یک مستطیل را می توان به دو قسمت مساوی تقسیم کرد

ویژگی های مستطیل

یک مستطیل فقط سه ویژگی دارد. اینجا اند:

• متوازی الاضلاع با قطرهای مساوی یک مستطیل است.
• متوازی الاضلاع با یک زاویه قائمه مستطیل است.
• یک چهار ضلعی با سه زاویه قائمه مستطیل است.

کمی جالب تر

بنابراین، اکنون مشخص است که مستطیل چیست، اما نقش آن در مسائل هندسی و اندازه‌گیری‌های عملی هنوز مشخص نشده است. بنابراین، اول از همه، باید گفت که این راحت ترین شکل هندسی است که با آن می توانید منطقه را هم در مناطق باز و هم در داخل خانه به بخش هایی تقسیم کنید. مستطیل چیست؟ همانطور که می دانید چهار ضلعی است. انواع زیادی از دومی وجود دارد که از میان آنها می توان ذوزنقه (فقط دو ضلع برابر است)، متوازی الاضلاع (اضلاع مقابل موازی هستند)، مربع (همه زوایا و اضلاع یکسان هستند)، لوزی (متوازی الاضلاع با یکدیگر) نام برد. احزاب برابر) و دیگران. حالت خاص مستطیل مربعی است که در آن تمام زوایای آن قائم و اضلاع آن برابر است.

بدون ذکر چگونگی تعیین ابعاد آن نمی توان در مورد چیستی مستطیل صحبت کرد. این مساحت حاصل ضرب عرض و طول آن در نظر گرفته می شود و محیط آن مانند هر شکلی برابر است با مجموع طول تمام اضلاع. در این حالت نیز برابر است با دو برابر مجموع طول و عرض، زیرا اضلاع مقابل مستطیل برابر است. اکنون می دانید که مستطیل چیست و با آن چه باید کرد، مشکلات را حل کرد و اسرار علم اسرارآمیز و اسرارآمیزی مانند هندسه را درک کرد.

4. فرمول شعاع یک دایره که در مورد یک مستطیل از طریق قطر مربع توضیح داده شده است:

5. فرمول شعاع یک دایره، که در نزدیکی یک مستطیل از طریق قطر یک دایره (محدود شده) توضیح داده شده است:

6. فرمول شعاع دایره، که در نزدیکی یک مستطیل از طریق سینوس زاویه ای که در مجاورت قطر قرار دارد، و طول ضلع مقابل این زاویه توضیح داده شده است:

7. فرمول شعاع دایره که در مورد یک مستطیل بر حسب کسینوس زاویه ای که مجاور آن قطر است و طول ضلع در این زاویه توضیح داده شده است:

8. فرمول شعاع یک دایره که در نزدیکی یک مستطیل از طریق سینوس یک زاویه حاد بین قطرها و مساحت مستطیل توضیح داده شده است:

زاویه بین ضلع و مورب مستطیل.

فرمول های تعیین زاویه بین ضلع و مورب مستطیل:

1. فرمول تعیین زاویه بین ضلع و مورب مستطیل از طریق مورب و ضلع:

2. فرمول تعیین زاویه بین ضلع و مورب مستطیل از طریق زاویه بین قطرها:

زاویه بین قطرهای مستطیل.

فرمول های تعیین زاویه بین قطرهای یک مستطیل:

1. فرمول تعیین زاویه بین قطرهای یک مستطیل از طریق زاویه بین ضلع و مورب:

β = 2α

2. فرمول تعیین زاویه بین قطرهای یک مستطیل از طریق مساحت و قطر.

حل مسائل با چهار ضلعی یکی از گسترده‌ترین بخش‌های هندسه است که برای دانش‌آموزان مشکلات زیادی ایجاد می‌کند. ما از شما دعوت می کنیم تا با مشکلات معمولی که در آنها باید عرض یک مستطیل را پیدا کنید مقابله کنید.

اول از همه، لازم است به یاد داشته باشید که چه نوع شکلی است و ویژگی های اصلی آن چیست. مستطیل چهار ضلعی است که تمام زوایای آن قائم و اضلاع مقابل آن برابرند. ضلع افقی را عرض مستطیل و ضلع عمودی را طول می گویند.

وظیفه 1. با دانستن محیط، عرض را محاسبه کنید

بیایید این نوع وظایف را با استفاده از مثال کار زیر تحلیل کنیم. یک مستطیل داده می شود که محیط آن 36 سانتی متر و طول آن 16 سانتی متر است، باید عرض را پیدا کنید. محیط مجموع اضلاع شکل است. از آنجایی که اضلاع مقابل مستطیل برابر است، فرمول محیط آن به شرح زیر است: P \u003d 2 (a + b)، که در آن a و b اضلاع مستطیل هستند.

ما گرفتیم:

• b \u003d P: 2 - a \u003d 36: 2-16 \u003d 2 (سانتی متر)

پاسخ: عرض مستطیل 2 سانتی متر است.

وظیفه 2. با دانستن طول و محیط، عرض را بیابید

بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. حالا باید عرض مستطیل را پیدا کنید، اگر معلوم شود که 5 برابر کمتر از طول آن است و محیط مثلث 120 سانتی متر است.

از بیان مسئله:

• a = 5b

ما قبلاً می دانیم که b = P:2 - a. مقادیر P و a را جایگزین کنید. ما گرفتیم:

• b = 120:2 - 5b;
• 6b = 60;
• b = 60:6
• b = 10 (سانتی متر).

پاسخ: عرض مستطیل 10 سانتی متر است.

وظیفه 3. اگر مساحت مشخص است، عرض را تعیین کنید

وضعیت مشکل: باغ مستطیل شکل است. مساحت آن 400000 متر مربع و طول آن 400 متر است عرض باغ چقدر است؟

باغ مستطیل است. مساحت یک مستطیل برابر است با حاصل ضرب اضلاع آن. اگر طول و مساحت را بدانیم، عرض برابر با:

• b = P:a = 400000:400 = 1000 (m)

پاسخ: عرض باغ 1000 متر است.

وظیفه 4. چگونه می توان عرض را با دانستن قطر پیدا کرد

این کار در حال حاضر کمی دشوارتر از موارد قبلی است. در آن، علاوه بر خواص مستطیل، یادآوری فرمول ها نیز ضروری خواهد بود مثلث های قائم الزاویه. فرض کنید قطر AC مستطیل ABCD 54.6 سانتی متر و نسبت طول به عرض 16:9 است. عرض شکل را پیدا کنید.

مثلث ABC دارای زاویه قائمه است، یعنی قائم الزاویه است. مورب هیپوتنوز آن است و طرفین پاهای آن است.

از شرط:

• 16AB = 9BC، از این رو AB = 9BC:16

طبق قضیه فیثاغورث:

• AC 2 \u003d AB 2 + BC 2

بیایید اعداد را وصل کنیم:

• 54.62 = (9 قبل از میلاد: 16) 2 + 2 قبل از میلاد
• 2981.16 = 81Sun 2:256+Sun 2
• 2981.16 = 337BC 2:256
• 337 قبل از میلاد 2 = 763176.96
• قبل از میلاد 2 = 2264.62
• قبل از میلاد = 47.59 (سانتی متر)

پاسخ: عرض مثلث 47.59 سانتی متر است.

مسئله 5. مورب و زاویه مشخص است

یک مستطیل ABCD که قطر آن AC 8 سانتی متر و زاویه BAC آن 30 درجه است. عرض مستطیل را پیدا کنید.

راه حل: از آنجایی که زاویه ABC یک مثلث قائم الزاویه است، پس مثلث ABC قائم الزاویه است که در آن AC - هیپوتنوز و AB و BC پا هستند. مشخص است که پایی که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد برابر با نیمی از هیپوتونوس است. معلوم می شود:

• BC = AC: 2 = 8: 2 = 4 (سانتی متر)

پاسخ: عرض مستطیل 4 سانتی متر است.

همانطور که می بینید، کارهای معمولی برای یافتن عرض یک مستطیل بسیار ساده هستند. نکته اصلی این است که فرمول ها و خواص یک مستطیل و مثلث قائم الزاویه را بدانید.

موضوع: انواع چهارضلعی. مستطیل

1. اطمینان حاصل کنید که دانش آموزان دانش در مورد انواع مختلفچهار ضلعی، مستطیل.
2. مهارت های طبقه بندی حقایق، نتیجه گیری، ساختن یک مستطیل و تمایز آن از یک سری چهار ضلعی را توسعه دهید.
3. آموزش انگیزه های یادگیری، نگرش مثبت نسبت به کلاس ها.

نوع درس - ترکیبی.

نوع درس - بازی آموزشی.

روش ها و فنون تدریس: روش های گفتگوی و اکتشافی:

• سازماندهی کار به صورت جفت؛
• کار جلو؛
• فرم عملیاتی آزمون دانش (کارت های ویژه)؛
• نمایش وسایل کمک بصری؛
• به صورت تیمی کار کنند

تجهیزات:

• کودوسکوپ;
• پوستری با نمای چهار ضلعی;
• کمک های بصری برای افسانه؛
• کارت های سیگنال؛
• کارت های پانچ شده برای هر دانش آموز با جداول آماده.
• قسمت های خالی مستطیل؛
• قیچی، خط کش، مداد، مثلث طراحی؛
• تخته مغناطیسی؛
• مستطیل با اعداد؛
• جزوه (مستطیل های قرمز برای تشویق پاسخ دهندگان)؛
• دستگاه ضبط

در طول کلاس ها

I. به فعلیت رساندن دانش قبلی (5 دقیقه)

امروز در درس ما سفری به کشوری شگفت انگیز خواهیم داشت هندسه:

- چه کسی می داند کلمه "هندسه" در یونانی به چه معناست؟

"Geo" - زمین، "metria" - اندازه گیری.

این علم در یونان به وجود آمد.

ما در سفر همراه خواهیم بود (معلم یک قهرمان افسانه ای را نشان می دهد) یک قهرمان شگفت انگیز - یک جادوگر.

او همه شما را رمزگذاری کرد و شما با شماره های رمزگذاری شده سفر خواهید کرد.

- چه کسی او را شناخت؟ (پیرمرد هاتابیچ.)

- کتاب «پیرمرد هوتابیچ» را چه کسی نوشته است؟ (لاگین.)

پیرمرد Hottabych یک جادوگر بسیار پیر است و دانش او قدیمی شده است، بنابراین او به درس شما آمد و می خواهد بداند که بچه های مدرن اکنون در حال مطالعه چه چیزی هستند. به جادوگر کمک کنید تا آن را بفهمد.

- چه چیزی روی تخته است؟ (اشکال هندسی.)

- می توانید این اشکال هندسی را به چه دو گروه تقسیم کنید؟ (مثلث و چهار ضلعی.)

کارت شماره 1 را پر کنید. تعداد مثلث ها و چهار ضلعی ها را مشخص کنید. همه بچه ها اعداد را روی کارت نشان می دهند.

در این زمان 2 دانش آموز پاسخ ها را روی تخته ثبت می کنند.

- در کارت دوم تعداد مثلث ها را در گوشه ها (مبهم، قائم الزاویه، حاد) و در اضلاع (متساوی الاضلاع و متساوی الساقین) مشخص کنید.

کار بر اساس گزینه ها انجام می شود و سپس کارت ها رد و بدل می شوند و چک های متقابل به صورت جفت انجام می شود.

II. شکل گیری مفاهیم و روش های جدید عمل

(20 دقیقه)

1) امروز با قهرمان خود با انواع چهارگوش آشنا می شویم، یعنی؛ با یک مستطیل، یاد می گیریم که چگونه آن را بکشیم و آن را از سایر اشکال تشخیص دهیم. در هندسه مثلث ها و چهارضلعی های زیادی وجود دارد. در اینجا برخی از آنها به نظر می رسد:

انواع چهار گوش

کدام یک از آنها را قبلاً می شناسید؟

بچه ها آن گونه هایی را که می شناسند نام می برند.

- این چهره ها چه چیزی مشترک دارند، چه چیزی آنها را در یک گروه متحد می کند؟

(4 ضلع، 4 گوشه، 4 راس.)

- یک گونه چه تفاوتی با گونه دیگر دارد؟ (طول اضلاع و ویژگی های زاویه ها.)

معلم توجه بچه ها را به میز جلب می کند و تعاریف می گوید.

1. مربع
مستطیلی که همه اضلاع آن برابر است.
2. ذوزنقه
- یک چهار ضلعی که در آن فقط 2 ضلع مقابل موازی هستند (ترجمه "جدول").
3. متوازی الاضلاع
چهارضلعی که اضلاع مقابل آن موازی و مساوی باشند. متوازی الاضلاع با همه اضلاع برابر.
4. چهارضلعی نامنظم
شکلی که اضلاع آن نه مساوی است و نه موازی.

2) به Hottabych کمک کنید موارد مشابه را از ردیف چهار گوش پیدا کند (1 3 5).

- نام گوشه های شکل های 1، 3، 5 چیست؟ (مستقیم.)

نام این چهره ها را چگونه می گذارید؟ (مستطیل ها.)

- سعی کنید بگویید مستطیل چیست؟

مستطیل یک شکل هندسی است که در آن همه زوایای آن قائم و اضلاع مقابل برابر هستند.

رئوس مستطیل ABCD چیست؟ (A، B، C، D رئوس هستند.)

در مورد گوشه ها چطور؟ (<АВД, <ВДС, <ДСА, <САВ)

- طرفین؟ (AB، VD، SD، SA)

- به نظر شما مستطیل شکل هندسی مورد نظر است یا خیر (بله).

یک افسانه به شما کمک می کند تا از این موضوع مطمئن شوید.

3) افسانه "مستطیل مفید".

مستطیل به مربع حسادت می کرد.

- من خیلی دست و پا چلفتی هستم. اگر به تمام قد برسم، دراز و باریک می شوم. مثل این:

- و اگر به پهلو بخوابم کوتاه و چاق می شوم:

- و شما همیشه یکسان می مانید - ایستاده، نشسته و دراز کشیده.

- بله میدان با افتخار گفت. من همه اضلاع مساوی هستند، نه مانند برخی، سپس یک دم بلند، سپس یک پنکیک پنکیک. و یک روز این اتفاق افتاد:

پیرمرد Hottabych در جنگل گم شد. او فرش پرنده نداشت، ریشش زیر باران خیس شد و نتوانست از جنگل بیرون بیاید. او از میان انبوهی گذشت و با یک مربع و یک مستطیل روبرو شد.

- آیا می توانم از بالای شما بالا بروم و ببینم خانه من کجاست؟ از میدان پرسید.

هاتابیچ ابتدا از یک طرف میدان بالا رفت، اما چیزی ندید، زیرا بالای درختان با او تداخل داشتند. سپس جادوگر از مربع خواست که به طرف دیگر بچرخد، اما، همانطور که می دانید، تمام اضلاع مربع برابر است، بنابراین او دوباره چیزی ندید.

- میدان شهروند، کمکم کن حداقل از رودخانه عبور کنم. میدان به رودخانه نزدیک شد و سعی کرد ساحل دیگر را لمس کند. اما ... تپش!.

"شاید بتوانم بهت کمک کنم؟" یک مستطیل متوسط ​​را پیشنهاد کرد.

تمام قدش ایستاد و هوتابیچ روی او رفت و

بالاتر از درختان بود از دور خانه اش را دید و می دانست کجا باید برود. سپس مستطیل به پهلو دراز کشید و تبدیل به یک پل شد. هاتابیچ از رودخانه در امتداد مستطیل گذشت، به او کمک کرد تا بلند شود و پس از تشکر از مستطیل، به خانه رفت.

و میدان که پس از غسل در ساحل خشک شد گفت

مستطیل:

- به نظر می رسد شما شخصیت مفیدی هستید

-خب تو چی هستی! مستطیل متواضعانه لبخند زد.

فقط دو طرف من با طول های مختلف 2 - بلند، 2 - کوتاه. گاهی اوقات این بسیار راحت است.

چه نوع اشیاء مستطیلی را در کلاس خود می بینید؟

4) یک مثلث طراحی مخصوص وجود دارد که با آن می توانید زوایای قائمه را در یک شکل هندسی تعیین کنید. خودتان آن را به صورت تجربی امتحان کنید تا مشخص کنید کدام یک از این اشکال مستطیل هستند.

کارت شماره 3.

– مثلث طراحی چه کمکی به شما در این جستجو کرد؟

بچه ها اعداد شکل های (2.4) را تعیین و فراخوانی می کنند. آنها روی تخته نشان می دهند که چگونه مثلث ترسیم به آنها در تعیین کمک کرده است.

5) فیزمنتکا(آهنگ "دو بار دو چهار").

معلم شما خوشحال خواهد شد
به خودت نگاه کن
کودکان را نزدیک میزها بایستید
به همه نشان دهید
دستان خود را جلو بیاورید
و سپس برعکس
هواپیما معلوم شد
بیا پرواز کنیم
دوستان جدا نشدنی / 2 بار
مربع، مستطیل،
دوستان جدا نشدنی
هندسه و پسر مدرسه ای

6) یک مستطیل با استفاده از پاره خط و یک مثلث رسم کنید:

بچه‌ها در دفترچه‌هایشان نقاشی می‌کشند، و سپس با توضیح روی تخته سیاه.

یک پاره 4 سانتی متری می کشیم ضلع مثلث را با قطعه ترکیب می کنیم و زاویه قائمه می سازیم، قطعه را کنار می گذاریم و ....

III. شکل گیری مهارت ها و توانایی ها (18 دقیقه)

1. یک مستطیل بکشید و بدانید که یک ضلع آن 2 سانتی متر و دیگری 4 سانتی متر بلندتر است.

تجزیه و تحلیل وظایف:

آیا می توانید بلافاصله یک مستطیل بکشید؟ (نه)

- چرا؟ (طول ضلع دوم را نمی دانیم.)

چگونه طول طرف دیگر را پیدا می کنید؟ (2+4=6).

یک تیم (4 نفر) مشغول به کار هستند.

2. مستطیل های خالی با اضلاع 8 سانتی متر و 4 سانتی متر دارید که باید آنها را به 4 مثلث یکسان برش دهید و سپس از آنها یک مربع درست کنید. چگونه انجامش بدهیم؟

3. پیرمرد Hottabych می‌خواهد مطمئن شود که شما حواس‌تان به این موضوع بود و آنچه را که در مورد آن صحبت کردیم یاد گرفتید. من از طرف او سوالاتی می پرسم و شما از کارت های سیگنال برای نشان دادن پاسخ استفاده می کنید: بله - سبز، نه - قرمز.

1) آیا درست است که اگر شکلی 4 گوشه، 4 ضلع، 4 رأس داشته باشد، می توان آن را چهار ضلعی نامید؟ (آره)

2) آیا مستطیل یکی از انواع چهارضلعی است؟ (آره)

3) آیا این درست است که اضلاع مقابل یک مستطیل با هم برابر نیستند؟ (نه)

4) آیا درست است که یک مربع را مستطیل و چهار ضلعی نامید؟ (آره)

4. دیکته گرافیکی

نقطه A را علامت گذاری کنید، از آن به پایین با زاویه قائم، یک پاره به طول 2 سانتی متر بکشید و انتهای آن را با نقطه B مشخص کنید و از B به سمت راست، یک قطعه به طول 4 سانتی متر با زاویه قائم رسم کنید و انتهای آن را با نقطه C مشخص کنید. قطعه ای به طول 2 سانتی متر با زاویه قائمه رسم کنید و نقطه D را قرار دهید. شکل را خودتان کامل کنید که در درس به آن توجه زیادی کردیم.

- این رقم چیست؟ (مستطیل)

5. 3 چهار گوش را در نقاشی پیدا کنید:

6. معماها.

پس از حل معماها، متوجه خواهید شد که مهمان ما چه چیزی می خواهد به شما بگوید.

- در مورد چه رقمی صحبت می کنیم؟

او برای مدت طولانی دوست من است
هر گوشه درست است.
هر چهار طرف
طول مساوی.
خوشحالم که به شما تقدیم می کنم.
- اسمش چیه؟ ( مربع)

چه شخصیتی می تواند در مورد خودش چنین بگوید؟

تو روی من، تو روی او
به همه ما نگاه کن
ما همه چیز داریم، همه چیز داریم
سه ضلع و سه گوشه
و قله های بسیار
و سه بار - چیزهای دشوار،
ما آن را سه بار انجام خواهیم داد. ( مثلث)

IV. خلاصه درس.

چه نوع چهارضلعی را می شناسید؟

به چه شکلی مستطیل می گویند؟

V. تکالیف.

یک افسانه یا جدول کلمات متقاطع در مورد اشکال هندسی ایجاد کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب:

1. V. Volina "جشن اعداد"، مسکو، Bustard 1997
2. صبح. پیشکالو "روش های آموزش عناصر هندسه در پایه های ابتدایی"، روشنگری، 1359.
3. مجله «رئیس آموزش و پرورش»، شماره 1، 1379، فومین ع. "رعایت الزامات آموزشی به عنوان عاملی که صلاحیت حرفه ای معلم مدرن را افزایش می دهد"، ص. 21.
4. مجله «دبستان»، شماره 2، 1380 «هندسه»، ص15.
5. روزنامه «دبستان»، شماره 3، 1376 «هندسه»، ص. چهار