یک پنج ضلعی با اضلاع مساوی بکشید. پنج ضلعی طلایی؛ ساخت اقلیدس

مثبت پنج ضلعیچند ضلعی است که هر پنج ضلع و هر پنج زاویه آن با هم برابرند. توصیف یک دایره در اطراف آن آسان است. راست پنج ضلعیو این دایره کمک خواهد کرد.

دستورالعمل

1. اول از همه، شما باید یک دایره با قطب نما بسازید. بگذارید مرکز دایره با نقطه O منطبق باشد. محورهای تقارن را عمود بر یکدیگر رسم کنید. در نقطه تقاطع یکی از این محورها با دایره، یک نقطه V قرار دهید. این نقطه بالای آینده خواهد بود. پنج ضلعیآ. نقطه D را در نقطه تقاطع یک محور دیگر با دایره قرار دهید.

2. در قسمت OD، وسط را پیدا کرده و نقطه A را در آن علامت بزنید، بعداً باید یک دایره با قطب نما در مرکز این نقطه بکشید. علاوه بر این، باید از نقطه V یعنی با شعاع CV عبور کند. نقطه تلاقی محور تقارن و این دایره را به صورت B تعیین کنید.

3. بعدا با کمک قطب نمادایره ای به همان شعاع رسم کنید، سوزن را در نقطه V قرار دهید. محل تلاقی این دایره با دایره اصلی را به عنوان نقطه F تعیین کنید. این نقطه تبدیل به راس دوم درست آینده می شود. پنج ضلعیآ.

4. اکنون باید همان دایره را از نقطه E رسم کرد، اما مرکز آن در F است. محل تلاقی دایره ای که با دایره اصلی ترسیم شده است را به عنوان نقطه G تعیین کنید. این نقطه نیز یکی دیگر از رئوس خواهد شد. پنج ضلعیآ. به طور مشابه، شما باید یک دایره دیگر بسازید. مرکز آن در G است. بگذارید با دایره اصلی H قطع شود. این آخرین راس یک چندضلعی واقعی است.

5. شما باید پنج رأس داشته باشید. ترکیب آنها در طول خط آسان است. در نتیجه تمام این عملیات، یک علامت مثبت در یک دایره دریافت خواهید کرد. پنج ضلعی .

ساختن مثبت پنج ضلعی هابا پشتیبانی از قطب نما و مستقیم مجاز است. درست است، فرآیند نسبتا طولانی است، با این حال، ساخت هر چندضلعی مثبت با تعداد فرد اضلاع است. نوین برنامه های کامپیوتریمجاز به انجام این کار در چند ثانیه است.

شما نیاز خواهید داشت

- یک کامپیوتر با نرم افزار اتوکد.

دستورالعمل

1. منوی بالایی را در برنامه اتوکد و در آن تب "Basic" را پیدا کنید. با دکمه سمت چپ ماوس روی آن کلیک کنید. پانل Draw ظاهر می شود. پدیدار خواهد شد انواع متفاوتخطوط چند خط بسته را انتخاب کنید. این یک چند ضلعی است، فقط برای وارد کردن پارامترها باقی می ماند. اتوکد. به شما اجازه می دهد تا انواع چند ضلعی های منظم را ترسیم کنید. تعداد اضلاع می تواند تا 1024 باشد. همچنین می توانید بسته به نسخه، با تایپ "_polygon" یا "multi-angle" از خط فرمان استفاده کنید.

2. صرف نظر از اینکه از خط فرمان یا منوهای زمینه استفاده می کنید، پنجره ای را روی صفحه مشاهده خواهید کرد که در آن از شما خواسته می شود تعداد اضلاع را وارد کنید. عدد "5" را در آنجا وارد کرده و Enter را فشار دهید. از شما خواسته می شود که مرکز پنج ضلعی را تعیین کنید. مختصات را در کادر ظاهر شده وارد کنید. نشان دادن آنها به عنوان (0,0) مجاز است، اما ممکن است داده های دیگری وجود داشته باشد.

3. روش ساخت و ساز مورد نیاز را انتخاب کنید. . اتوکد سه گزینه را ارائه می دهد. یک پنج ضلعی را می توان در اطراف یک دایره توصیف کرد یا در آن حک کرد، اما همچنین مجاز است که آن را با توجه به اندازه ضلع مشخص ساخته شود. گزینه مورد نظر را انتخاب کرده و اینتر را فشار دهید. در صورت لزوم شعاع دایره را تنظیم کرده و همچنین اینتر را فشار دهید.

4. یک پنج ضلعی در یک ضلع معین ابتدا به همان شکل درست ساخته می شود. Draw، یک چند خط بسته را انتخاب کنید و تعداد اضلاع را وارد کنید. برای باز کردن منوی زمینه، راست کلیک کنید. دستور "لبه" یا "سمت" را فشار دهید. در خط فرمان مختصات نقاط اولیه و انتهایی یکی از اضلاع پنج ضلعی را تایپ کنید. بعداً این پنج ضلعی روی صفحه ظاهر می شود.

5. تمام عملیات را می توان با پشتیبانی از خط فرمان انجام داد. بگویید، برای ساختن یک پنج ضلعی در امتداد ضلع در نسخه روسی برنامه، حرف "c" را وارد کنید. در نسخه انگلیسی "_e" خواهد بود. برای ساختن یک پنج ضلعی محاطی یا محاط شده، بعداً تعداد اضلاع حرف "o" یا "c" (یا "_s" یا "_i" انگلیسی) را وارد کنید.

ویدیو های مرتبط

توصیه مفید
با چنین روش ساده ای می توان نه تنها یک پنج ضلعی ساخت. برای ساخت مثلث، باید پایه های قطب نما را به فاصله ای برابر با شعاع دایره باز کنید. پس از آن، سوزن را در هر نقطه قرار دهید. یک دایره کمکی نازک بکشید. دو نقطه تلاقی دایره ها و همچنین نقطه ای که پایه قطب نما قرار داشت، سه رأس یک مثلث مثبت را تشکیل می دهند.

ساخت یک پنج ضلعی منظم که در یک دایره حک شده است. یک چندضلعی منتظم که تعداد اضلاع آن حاصل ضرب اعداد طبیعی k و m است که m>2 در نظر گرفته می شود. چگونه یک m-gon معمولی بسازیم؟ گاوس همچنین امکان ساخت یک 257 گان معمولی را با استفاده از قطب نما و راست نشان داد.

این دایره است که به ساخت یک پنج ضلعی کمک می کند. اول از همه، شما باید یک دایره با قطب نما بکشید. به طور مشابه، شما باید یک دایره دیگر بسازید. مرکز آن در G است. بگذارید با دایره اصلی H قطع شود. این آخرین راس یک چند ضلعی منتظم است.

درست است، روند بسیار طولانی است، همانطور که در واقع ساخت هر چند ضلعی منظم با تعداد اضلاع فرد است. این یک چند ضلعی است، فقط برای وارد کردن پارامترها باقی می ماند. تعداد اضلاع می تواند تا 1024 باشد. همچنین می توانید بسته به نسخه، با تایپ "_polygon" یا "multi-angle" از خط فرمان استفاده کنید.

تقسیم یک دایره به قطعات مساوی و نوشتن چند ضلعی های منظم.

عدد "5" را در آنجا وارد کرده و Enter را فشار دهید. از شما خواسته می شود که مرکز پنج ضلعی را تعیین کنید. شما می توانید آنها را به عنوان (0،0) نشان دهید، اما ممکن است هر داده دیگری وجود داشته باشد. یک پنج ضلعی را می توان دور یک دایره محصور کرد یا در آن حک کرد، اما می توان آن را با توجه به اندازه ضلع مشخصی نیز ساخت. یک پنج ضلعی در یک سمت معین ابتدا دقیقاً به همین شکل ساخته می شود. Draw، یک چند خط بسته را انتخاب کنید و تعداد اضلاع را وارد کنید.

در خط فرمان مختصات نقطه شروع و پایان یکی از اضلاع پنج ضلعی را تایپ کنید. پس از آن، پنتاگون روی صفحه ظاهر می شود. به این روش ساده می توانید نه تنها یک پنج ضلعی بسازید. برای ساخت مثلث، باید پایه های قطب نما را با فاصله ای برابر با شعاع دایره باز کنید.

دو نقطه تلاقی دایره ها و همچنین نقطه ای که پایه قطب نما قرار داشت، سه رأس یک مثلث منظم را تشکیل می دهند. معلوم شد که چندین گزینه مختلف برای ساختن یک پنج ضلعی منظم وجود دارد که توسط ریاضیدانان معروف توسعه یافته است. هشت ضلعی یک شکل هندسی با هشت گوشه است. هشت ضلعی منتظم هشت ضلعی است که در آن همه اضلاع (و زوایا) برابر هستند. این مقاله به شما می گوید که چگونه یک هشت ضلعی درست کنید.

دایره، کمان و چند ضلعی.

طول ضلع هشت ضلعی را تعیین کنید (زوایای یک هشت ضلعی منظم مشخص است). روی یک ورق کاغذ، از یک خط کش برای کشیدن یک خط مستقیم از طول انتخاب شده استفاده کنید. این اولین ضلع هشت ضلعی است (آن را طوری بکشید که فضایی برای کشیدن اضلاع دیگر باقی بماند). با استفاده از نقاله، زاویه 135 درجه (از ابتدا یا انتهای ضلع اول) را مشخص کنید. یک خط سوم از طول انتخاب شده را با زاویه 135 درجه نسبت به خط دوم رسم کنید. ادامه دهید تا زمانی که یک هشت ضلعی منظم داشته باشید.

بنابراین، هرچه دایره بزرگتر باشد، شکل بزرگتر است (و بالعکس). یک دایره بزرگ دوم بکشید، سوزن قطب نما را در مرکز دایره اول قرار دهید. سوزن قطب نما را در نقطه مقابل نقطه تلاقی دایره داخلی (کوچک) و قطر آن قرار دهید. در وسط دایره یک "چشم" دریافت خواهید کرد. دو کمان که از دایره داخلی عبور می کنند بکشید.

ساخت چند ضلعی های منظم در یک ضلع معین

دایره ها، خطوط و کمان ها را پاک کنید و فقط هشت ضلعی باقی بماند. بنابراین، شما به آن یک شکل هشت ضلعی خواهید داد. از خط کش استفاده کنید تا مطمئن شوید که همه ضلع ها برابر هستند (چون یک هشت ضلعی منظم می سازید). گوشه ها را خم نکنید تا در تماس با یکدیگر باشند. در این حالت، نه یک هشت ضلعی، بلکه یک مربع کوچک دریافت خواهید کرد. غالباً وقتی می گویند "هشت ضلعی" به معنای یک هشت ضلعی منظم است.

ببینید "پنتاگون منظم" در سایر لغت نامه ها چیست:

بنابراین، با ایجاد یک شکل با هشت ضلع با طول های مختلف، یک هشت ضلعی نامنظم به دست خواهید آورد. چند ضلعی با اضلاع متقاطع وجود دارد. به عنوان مثال، یک ستاره پنج پر یک چند ضلعی با اضلاع متقاطع است. چند ضلعی های منظم در زمان های قدیم نماد زیبایی و کمال به حساب می آمدند. مشکل عملی ساخت چنین چندضلعی ها با قطب نما و خط مستقیم سابقه ای طولانی دارد.

تنها در سال 1796 بود که K. F. Gauss عدم امکان اساسی این ساخت و ساز را تنها با استفاده از یک قطب نما و خط مستقیم ثابت کرد. در این بخش، پیشنهاد می کنیم خودتان به دنبال راه هایی برای ساختن چندضلعی های منتظم در یک دایره معین یا داشتن یک ضلع معین باشید. روش‌های ساخت تقریبی در مواردی که ساخت دقیق با قطب‌نما و خط‌کش امکان‌پذیر نیست، اهمیت عملی کمتری ندارند.

یک پنج ضلعی منتظم چند ضلعی است که در آن هر پنج ضلع و هر پنج زاویه با هم برابر باشند. توصیف یک دایره در اطراف آن آسان است. حالا روی دایره ای به شعاع AO از هر نقطه ای به ترتیب 11 کمان را کنار می گذاریم که هر کدام برابر با کمان AB است. رئوس یک دوازده ضلعی منظم را بدست می آوریم. ساخت یک پنج ضلعی منظم با توجه به طرف آن. نقطه 1 را روی دایره علامت گذاری می کنیم و آن را به عنوان یکی از رئوس پنج ضلعی می گیریم.

پنج ضلعی منتظم یک شکل هندسی است که از تقاطع پنج خط مستقیم که پنج زاویه یکسان ایجاد می کند، تشکیل می شود. این رقم پنتاگون نامیده می شود. کار هنرمندان ارتباط نزدیکی با پنج ضلعی دارد - نقاشی های آنها بر اساس اشکال هندسی منظم است. برای انجام این کار، باید بدانید که چگونه به سرعت یک پنج ضلعی بسازید.

چرا این رقم جالب است؟ این ساختمان به شکل یک پنج ضلعی است وزارت دفاع ایالات متحده آمریکا. این را می توان در عکس های گرفته شده از ارتفاع پرواز مشاهده کرد. در طبیعت، هیچ کریستال و سنگی وجود ندارد که شکل آن شبیه یک پنج ضلعی باشد. فقط در این شکل تعداد وجوه با تعداد قطرها منطبق است.

پارامترهای یک پنج ضلعی منظم

یک پنج ضلعی مستطیلی، مانند هر شکل در هندسه، پارامترهای خاص خود را دارد. با دانستن فرمول های لازم می توانید این پارامترها را محاسبه کنید که روند ساخت یک پنج ضلعی را تسهیل می کند. روش ها و فرمول های محاسبه:

مجموع تمام زوایای چند ضلعی ها 360 درجه است. در یک پنج ضلعی منظم، همه زوایا برابر هستند، به ترتیب، زاویه مرکزی به این صورت پیدا می شود: 360/5 \u003d 72 درجه؛
گوشه داخلی به این ترتیب پیدا می شود: 180 * (n -2) / n = 180 * (5-2) / 5 = 108 درجه. مجموع تمام زوایای داخلی: 108*5 = 540 درجه.

ضلع پنج ضلعی با استفاده از پارامترهایی که قبلاً در عبارت مشکل داده شده است پیدا می شود:

اگر دایره ای در اطراف پنج ضلعی توصیف شده باشد و شعاع آن مشخص باشد، ضلع طبق فرمول زیر پیدا می شود: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1.1756 * R.
اگر شعاع دایره محاط شده در پنج ضلعی مشخص باشد، فرمول محاسبه ضلع چندضلعی به این صورت است: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1.453*r .
با مورب شناخته شده پنج ضلعی، ضلع آن به شرح زیر محاسبه می شود: a \u003d D / 1.618.

مساحت پنج ضلعی، مانند طرف آن، به پارامترهایی که قبلاً پیدا شده است بستگی دارد:

با استفاده از شعاع شناخته شده دایره محاط شده، منطقه به شرح زیر است: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2.5 * a * r.
دایره محصور در اطراف پنج ضلعی به شما امکان می دهد منطقه را با استفاده از فرمول زیر پیدا کنید: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2.3776 * R2.
بسته به ضلع پنج ضلعی: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1.7205* a2.

ساخت پنتاگون

شما می توانید یک پنج ضلعی منظم با استفاده از یک خط کش و یک قطب نما، بر اساس یک دایره حک شده در آن یا یکی از اضلاع بسازید.

چگونه یک پنج ضلعی را بر اساس دایره محاطی ترسیم کنیم؟ برای انجام این کار، یک قطب نما و یک خط کش تهیه کنید و مراحل زیر را انجام دهید:

ابتدا باید دایره ای با مرکز O بکشید، سپس یک نقطه روی آن انتخاب کنید، A - بالای پنج ضلعی. یک خط از مرکز به بالا کشیده شده است.
سپس یک بخش عمود بر خط مستقیم OA ساخته می شود که از O - مرکز دایره نیز عبور می کند. تقاطع آن با دایره با نقطه B نشان داده می شود. قطعه O.V با نقطه C نصف می شود.
نقطه C به مرکز دایره جدیدی تبدیل می شود که از A می گذرد. نقطه D تقاطع آن با خط مستقیم OB در مرزهای شکل اول است.
پس از آن دایره سومی از D رسم می شود که مرکز آن نقطه A است که در دو نقطه با شکل اول قطع می شود، آنها باید با حروف E و F نشان داده شوند.
دایره بعدی مرکزش در نقطه E است و از A می گذرد و تقاطع آن با دایره اصلی در نقطه جدید G است.
آخرین دایره در این شکل از طریق یک نقطه A با مرکز F کشیده شده است. نقطه H در تقاطع خود با نقطه اولیه قرار دارد.
در دایره اول، پس از تمام مراحل انجام شده، پنج نقطه ظاهر شد که باید توسط بخش هایی به هم متصل شوند. بنابراین، یک پنج ضلعی منظم AE G H F به دست آمد.

چگونه یک پنج ضلعی معمولی را به روشی متفاوت بسازیم؟ با کمک یک خط کش و یک قطب نما می توان پنج ضلعی را کمی سریعتر ساخت. برای این شما نیاز دارید:

ابتدا باید از قطب نما برای رسم دایره ای استفاده کنید که مرکز آن نقطه O است.
شعاع OA ترسیم شده است - قطعه ای که روی یک دایره رسم شده است. با نقطه B نصف می شود.
یک بخش سیستم عامل عمود بر شعاع OA ترسیم شده است، نقاط B و C توسط یک خط مستقیم به هم متصل می شوند.
مرحله بعدی ترسیم طول قطعه BC با قطب نما بر روی خط قطر است. نقطه D عمود بر بخش OA به نظر می رسد. نقاط B و D به هم متصل شده و یک قطعه جدید را تشکیل می دهند.
برای به دست آوردن اندازه ضلع پنج ضلعی، باید نقاط C و D را به هم وصل کنید.
D با کمک قطب نما به یک دایره منتقل می شود و با نقطه E نشان داده می شود. با اتصال E و C می توانید ضلع اول یک پنج ضلعی منظم را بدست آورید. با پیروی از این دستورالعمل، می توانید یاد بگیرید که چگونه به سرعت یک پنج ضلعی بسازید احزاب برابر، ادامه ساخت اضلاع دیگر آن مانند اول.

در پنج ضلعی با اضلاع یکسان، مورب ها با هم برابر هستند و یک ستاره پنج پر را تشکیل می دهند که به آن پنتاگرام می گویند. نسبت طلایی نسبت اندازه قطر به ضلع پنج ضلعی است.

پنتاگون برای پر کردن کامل هواپیما مناسب نیست. استفاده از هر ماده ای در این فرم باعث ایجاد شکاف یا همپوشانی می شود. اگرچه کریستال های طبیعی به این شکل در طبیعت وجود ندارند، اما با تشکیل یخ بر روی سطح محصولات مسی صاف، مولکول هایی به شکل پنج ضلعی ظاهر می شوند که به صورت زنجیره ای به هم متصل می شوند.

ساده ترین راه برای بدست آوردن یک پنج ضلعی معمولی از یک نوار کاغذ این است که آن را گره بزنید و کمی فشار دهید. این روش برای والدین کودکان پیش دبستانی که می خواهند تشخیص اشکال هندسی را به کودکان نوپا آموزش دهند مفید است.

ویدئو

ببینید چگونه می توانید به سرعت یک پنج ضلعی بکشید.

5.3. پنج ضلعی طلایی؛ ساخت اقلیدس

یک مثال شگفت انگیز از "بخش طلایی" یک پنج ضلعی منظم - محدب و ستاره ای شکل است (شکل 5).

برای ساختن پنتاگرام باید یک پنج ضلعی معمولی بسازید.

بگذارید O مرکز دایره، A نقطه ای روی دایره و E نقطه وسط قطعه OA باشد. عمود بر شعاع OA، بازیابی شده در نقطه O، با دایره در نقطه D قطع می شود. با استفاده از قطب نما، قطعه CE = ED را روی قطر علامت بزنید. طول ضلع یک پنج ضلعی منظم که به صورت دایره ای محاط شده است DC است. بخش های DC را روی دایره کنار می گذاریم و برای رسم یک پنج ضلعی منظم پنج امتیاز می گیریم. گوشه های پنج ضلعی را از طریق یک مورب به هم وصل می کنیم و یک پنتاگرام می گیریم. تمام مورب های پنج ضلعی یکدیگر را به بخش هایی تقسیم می کنند که با نسبت طلایی به هم متصل می شوند.

هر انتهای ستاره پنج ضلعی یک مثلث طلایی است. دو طرف آن در راس زاویه 36 درجه تشکیل می دهند و پایه روی آن قرار می گیرد سمت جانبی، آن را به نسبت طلایی تقسیم می کند.

یک مکعب طلایی نیز وجود دارد - این یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل با لبه هایی با طول های 1.618، 1 و 0.618 است.

اکنون اثبات ارائه شده توسط اقلیدس در عناصر را در نظر بگیرید.

اکنون ببینیم اقلیدس چگونه از آن استفاده می کند نسبت طلاییبرای ایجاد زاویه 72 درجه - در این زاویه است که ضلع یک پنج ضلعی منظم قابل مشاهده است.

از مرکز دایره محدود شده. بیا شروع کنیم با

بخش ABE، تقسیم در وسط و

بنابراین اجازه دهید AC = AE. زوایای مساوی EBC و CEB را با a نشان دهید. از آنجایی که AC=AE، زاویه ACE نیز برابر با a است. این قضیه که مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است به شما امکان می دهد زاویه ALL را پیدا کنید: 180-2a است و زاویه EAC 3a - 180 است. اما زاویه ABC 180-a است. با جمع بندی زوایای مثلث ABC به دست می آوریم

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

از آنجا 5a=360، پس a=72.

بنابراین، هر یک از زوایای قاعده مثلث BEC دو برابر زاویه بالا، برابر با 36 درجه است. بنابراین، برای ساختن یک پنج ضلعی منتظم، فقط لازم است هر دایره‌ای را با مرکز نقطه E رسم کنیم که EC را در نقطه X و ضلع EB را در نقطه Y قطع می‌کند. دایره؛ با دور زدن کل دایره، می توانید تمام اضلاع دیگر را پیدا کنید.

اکنون ثابت می کنیم که AC=AE. فرض کنید راس C توسط یک پاره خط مستقیم به نقطه میانی N قطعه BE متصل شده است. توجه داشته باشید که چون CB = CE، پس زاویه CNE یک زاویه قائمه است. طبق قضیه فیثاغورث:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

از این رو داریم (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

پس AC = ja = jAB = AE که قرار بود ثابت شود

5.4 مارپیچ ارشمیدس.

با جدا کردن متوالی مربع ها از مستطیل های طلایی تا بی نهایت، هر بار که نقاط مقابل را با یک چهارم دایره به هم وصل می کنیم، منحنی نسبتاً ظریفی به دست می آوریم. اولین توجه توسط دانشمند یونان باستان ارشمیدس که نام او را دارد به او جلب کرد. او آن را مطالعه کرد و معادله این مارپیچ را استنباط کرد.

در حال حاضر، مارپیچ ارشمیدس به طور گسترده ای در فناوری استفاده می شود.

6. اعداد فیبوناچی.

نام لئوناردو ریاضیدان ایتالیایی اهل پیزا که بیشتر با نام مستعار فیبوناچی شناخته می شود (فیبوناچی مخفف filius Bonacci، یعنی پسر بوناچی است)، به طور غیر مستقیم با نسبت طلایی مرتبط است.

در سال 1202 م او کتاب «لیبر آباکی» یعنی «کتاب چرتکه» را نوشت. "Liber abacci" اثری حجیم است که تقریباً تمام دانش حسابی و جبری آن زمان را در بر می گیرد و در توسعه ریاضیات در اروپای غربی طی چند قرن آینده نقش بسزایی داشته است. به ویژه از این کتاب بود که اروپاییان با اعداد هندو ("عربی") آشنا شدند.

مطالب گزارش شده در کتاب در مورد تعداد زیادی از مشکلات که بخش قابل توجهی از این رساله را تشکیل می دهد توضیح داده شده است.

یکی از این مشکلات را در نظر بگیرید:

از یک جفت در یک سال چند جفت خرگوش متولد می شود؟

شخصی یک جفت خرگوش را در جایی قرار داد که از هر طرف با دیوار محصور شده بود تا بفهمد در این سال چند جفت خرگوش به دنیا می آید، اگر ماهیت خرگوش ها به گونه ای باشد که در یک ماه یک جفت خرگوش به دنیا بیاید. خرگوش ها دیگری را تولید مثل می کنند و خرگوش ها از ماه دوم پس از تولد خود زایش می دهند.

ماه ها	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
جفت خرگوش	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

حالا بیایید از خرگوش به اعداد برویم و دنباله عددی زیر را در نظر بگیریم:

u 1 , u 2 … u n

که در آن هر جمله برابر است با مجموع دو جمله قبلی، یعنی. برای هر n>2

u n \u003d u n -1 + u n -2.

این دنباله به طور مجانبی (که بیشتر و آهسته تر نزدیک می شود) به یک رابطه ثابت تمایل دارد. با این حال، این نسبت غیرمنطقی است، یعنی عددی با یک دنباله بی نهایت و غیرقابل پیش بینی از ارقام اعشاری در قسمت کسری است. نمی توان آن را دقیقا بیان کرد.

اگر هر یک از اعضای دنباله فیبوناچی بر یکی قبل از آن تقسیم شود (مثلاً 13:8)، نتیجه مقداری خواهد بود که حول مقدار غیرمنطقی 1.61803398875 ... نوسان می کند و یا از آن فراتر می رود یا هر بار به آن نمی رسد.

رفتار مجانبی دنباله، نوسانات نسبت آن را کاهش داد عدد گنگاگر رابطه چند جمله اول دنباله را نشان دهید، Ф می تواند قابل درک تر شود. این مثال رابطه جمله دوم با اول، سوم با دوم، چهارم به سوم و غیره را نشان می دهد:

1:1 = 1.0000، که 0.6180 کمتر از فی است

2:1 = 2.0000، که 0.3820 فیل بیشتر است

3:2 = 1.5000، که 0.1180 کمتر از فی است

5:3 = 1.6667، که 0.0486 فیل بیشتر است

8:5 = 1.6000، که 0.0180 کمتر از فی است

همانطور که در امتداد دنباله جمع فیبوناچی حرکت می کنید، هر جمله جدید، عبارت بعدی را با تقریب بیشتر و بیشتر به F دست نیافتنی تقسیم می کند.

انسان ناخودآگاه به دنبال نسبت الهی است: برای ارضای نیاز او به راحتی لازم است.

وقتی هر عضوی از دنباله فیبوناچی را بر بعدی تقسیم می کنیم، فقط متقابل 1.618 را به دست می آوریم (1: 1.618=0.618). اما این نیز یک پدیده بسیار غیر معمول و حتی قابل توجه است. از آنجایی که نسبت اصلی یک کسر نامتناهی است، این نسبت نیز نباید پایانی داشته باشد.

با تقسیم هر عدد بر عدد بعدی بعد از آن عدد 0.382 بدست می آید

با انتخاب نسبت ها به این ترتیب، مجموعه اصلی ضرایب فیبوناچی را به دست می آوریم: 4.235، 2.618، 1.618، 0.618، 0.382، 0.236، همچنین به 0.5 اشاره می کنیم که همه آنها در طبیعت و به ویژه در تحلیل تکنیکال نقش ویژه ای دارند.

در اینجا لازم به ذکر است که فیبوناچی فقط دنباله خود را به بشر یادآوری کرد، زیرا در گذشته شناخته شده بود زمان های قدیمنسبت طلایی نامیده می شود.

نسبت طلایی، همانطور که دیدیم، در ارتباط با پنج ضلعی منتظم ایجاد می شود، بنابراین اعداد فیبوناچی در هر چیزی که با پنج ضلعی های منظم - محدب و ستاره ای - مرتبط است، نقش دارند.

سری فیبوناچی می‌توانست فقط یک حادثه ریاضی باقی بماند، اگر این واقعیت نبود که همه محققان تقسیم طلایی در دنیای گیاهی و جانوری، به جز هنر، همواره به این سری به عنوان بیان حسابی قانون تقسیم طلایی می‌رسیدند. . دانشمندان همچنان به توسعه نظریه اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی ادامه دادند. یو. ماتیاسویچ با استفاده از اعداد فیبوناچی، مسئله دهم هیلبرت (در حل معادلات دیوفانتین) را حل می کند. روش های ظریفی برای حل تعدادی از مسائل سایبرنتیک (نظریه جستجو، بازی ها، برنامه نویسی) با استفاده از اعداد فیبوناچی و بخش طلایی وجود دارد. در ایالات متحده آمریکا حتی انجمن فیبوناچی ریاضی در حال ایجاد است که از سال 1963 مجله ویژه ای را منتشر می کند.

یکی از دستاوردها در این زمینه، کشف اعداد فیبوناچی تعمیم یافته و نسبت های طلایی تعمیم یافته است. سری فیبوناچی (1، 1، 2، 3، 5، 8) و سری "دودویی" از اعداد کشف شده توسط او 1، 2، 4، 8، 16 ... (یعنی یک سری اعداد تا n ، هر کجا عدد طبیعی، کمتر از n را می توان با مجموع تعدادی از اعداد این سری نشان داد) در نگاه اول کاملاً متفاوت هستند. اما الگوریتم های ساخت آنها بسیار شبیه به یکدیگر هستند: در حالت اول، هر عدد حاصل جمع عدد قبلی با خود 2 = 1 + 1 است. 4 \u003d 2 + 2 ... ، در دوم - این مجموع دو عدد قبلی است 2 \u003d 1 + 1 ، 3 \u003d 2 + 1 ، 5 \u003d 3 + 2 .... آیا ممکن است برای پیدا کردن یک فرمول ریاضی کلی از کدام و " سری باینری، و سری فیبوناچی؟

در واقع، بیایید یک پارامتر عددی S را تنظیم کنیم، که می تواند هر مقداری را داشته باشد: 0، 1، 2، 3، 4، 5... که با مراحل S از پارامتر قبلی جدا شده است. اگر یک نهمین عضوما این سری را با S (n) نشان می دهیم، سپس فرمول کلی S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1) را به دست می آوریم.

بدیهی است که با S = 0، از این فرمول یک سری "دودویی" به دست خواهیم آورد، با S = 1 - یک سری فیبوناچی، با S = 2، 3، 4. سری جدیدی از اعداد، که اعداد S-فیبوناچی نامیده می شوند.

به طور کلی نسبت S طلاییریشه مثبت معادله طلایی مقطع S x S+1 – x S – 1 = 0 است.

به راحتی می توان نشان داد که در S = 0، تقسیم بخش به نصف به دست می آید، و در S = 1، مقطع طلایی کلاسیک آشنا به دست می آید.

نسبت اعداد S فیبوناچی همسایه با دقت مطلق ریاضی در حد با نسبت های S طلایی منطبق است! یعنی مقاطع S طلایی متغیرهای عددی اعداد S فیبوناچی هستند.

7. بخش طلایی در هنر.

7.1. بخش طلایی در نقاشی

با عطف به نمونه هایی از "بخش طلایی" در نقاشی، نمی توان توجه خود را به کار لئوناردو داوینچی متوقف کرد. هویت او یکی از رازهای تاریخ است. خود لئوناردو داوینچی می‌گفت: کسی که ریاضی‌دان نیست جرات خواندن آثار من را نداشته باشد.

شکی نیست که لئوناردو داوینچی هنرمند بزرگی بود، معاصران او قبلاً این را تشخیص داده بودند، اما شخصیت و فعالیت های او در هاله ای از ابهام باقی خواهد ماند، زیرا او نه ارائه منسجم ایده های خود، بلکه فقط طرح ها، یادداشت های دست نویس متعدد را به آیندگان واگذار کرد. که می گویند "هر دو در جهان."

پرتره مونالیزا (جیوکوندا) سالهاست که توجه محققان را به خود جلب کرده است و آنها دریافتند که ترکیب این نقاشی بر اساس مثلث های طلایی است که بخشی از یک ستاره پنج ضلعی منظم است.

همچنین نسبت مقطع طلایی در نقاشی شیشکین نمایان است. در این تابلوی معروف I. I. Shishkin، نقوش مقطع طلایی به وضوح نمایان است. درخت کاج با نور روشن (ایستاده در پیش زمینه) طول تصویر را بر اساس نسبت طلایی تقسیم می کند. در سمت راست درخت کاج تپه ای است که توسط خورشید روشن شده است. سمت راست تصویر را با توجه به نسبت طلایی به صورت افقی تقسیم می کند.

نقاشی رافائل "قتل عام بیگناهان" عنصر دیگری از نسبت طلایی را نشان می دهد - مارپیچ طلایی. در طرح مقدماتی رافائل، خطوط قرمزی از مرکز معنایی ترکیب ترسیم شده است - نقطه ای که انگشتان جنگجو دور مچ پای کودک بسته می شود - در امتداد پیکره های کودک، زن او را به خود گرفته است، جنگجو با یک برافراشته شمشیر و سپس در امتداد چهره های همان گروه در سمت راست طرح . مشخص نیست که رافائل مارپیچ طلایی را ساخته یا آن را احساس کرده است.

تی کوک هنگام تحلیل نقاشی ساندرو بوتیچلی "تولد ونوس" از بخش طلایی استفاده کرد.

7.2. اهرام بخش طلایی.

خواص پزشکی اهرام، به ویژه بخش طلایی، به طور گسترده ای شناخته شده است. طبق برخی از رایج ترین نظرات، اتاقی که چنین هرمی در آن قرار دارد بزرگتر به نظر می رسد و هوا شفاف تر است. رویاها بهتر شروع به یادآوری می کنند. همچنین شناخته شده است که نسبت طلایی در معماری و مجسمه سازی بسیار مورد استفاده قرار گرفت. نمونه ای از آن عبارت بودند از: پانتئون و پارتنون در یونان، ساختمان های معماران باژنوف و مالویچ.

8. نتیجه گیری.

باید گفت که نسبت طلایی در زندگی ما کاربرد زیادی دارد.

ثابت شده است که بدن انسان به نسبت نسبت طلایی با خط کمربند تقسیم می شود.

پوسته ناتیلوس مانند مارپیچ طلایی پیچ خورده است.

به لطف نسبت طلایی، کمربند سیارکی بین مریخ و مشتری کشف شد - به نسبت باید سیاره دیگری در آنجا وجود داشته باشد.

برانگیختگی رشته در نقطه تقسیم آن نسبت به تقسیم طلایی باعث ارتعاش رشته نمی شود، یعنی این نقطه جبران است.

در هواپیماهای دارای منابع انرژی الکترومغناطیسی، سلول های مستطیلی با نسبت مقطع طلایی ایجاد می شود.

جوکوندا بر روی مثلث های طلایی ساخته شده است، مارپیچ طلایی در نقاشی رافائل "قتل عام بی گناهان" وجود دارد.

نسبت یافت شده در نقاشی ساندرو بوتیچلی "تولد زهره"

بناهای معماری بسیاری وجود دارد که با استفاده از نسبت طلایی ساخته شده اند، از جمله پانتئون و پارتنون در آتن، ساختمان های معماران Bazhenov و Malevich.

جان کپلر، که پنج قرن پیش می‌زیست، صاحب این بیانیه است: "هندسه دو گنج بزرگ دارد. اولی قضیه فیثاغورث است، دومی تقسیم یک بخش به نسبت شدید و متوسط است."

کتابشناسی - فهرست کتب

1. دی پیدو. هندسه و هنر. - م.: میر، 1979.

2. مجله "علم و فناوری"

3. مجله «کوانتوم»، 1352، شماره 8.

4. مجله "ریاضیات در مدرسه"، 1373، شماره 2; شماره 3.

5. Kovalev F.V. بخش طلایی در نقاشی K .: مدرسه ویشا، 1989.

6. Stakhov A. کدهای نسبت طلایی.

7. Vorobyov N.N. "اعداد فیبوناچی" - M.: Nauka 1964

8. "ریاضیات - دایره المعارف برای کودکان" M .: آوانتا +، 1998

9. اطلاعات از اینترنت.

ماتریس های فیبوناچی و به اصطلاح ماتریس های طلایی، محاسبات کامپیوتری جدید، نظریه کدگذاری جدید و نظریه جدیدرمزنگاری. ماهیت علم جدید تجدید نظر در تمام ریاضیات از نقطه نظر بخش طلایی است که از فیثاغورث شروع می شود که البته نتایج ریاضی جدید و مطمئناً بسیار جالبی را در تئوری به دنبال خواهد داشت. از نظر عملی - کامپیوتری "طلایی". و چون...

این نتیجه تحت تأثیر قرار نخواهد گرفت. پایه نسبت طلایی یک تغییر ناپذیر از روابط بازگشتی 4 و 6 است. این "پایداری" بخش طلایی، یکی از اصول سازماندهی ماده زنده را نشان می دهد. همچنین، اساس نسبت طلایی حل دو دنباله بازگشتی عجیب و غریب است (شکل 4.) شکل. 4 دنباله فیبوناچی بازگشتی پس...

گوش j5 و فاصله گوش تا تاج j6 است. بنابراین، در این مجسمه یک پیشروی هندسی با مخرج j را مشاهده می کنیم: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (شکل 9). بنابراین، نسبت طلایی یکی از اصول اساسی در هنر یونان باستان است. ریتم قلب و مغز. قلب انسان به طور مساوی می تپد - حدود 60 ضربه در دقیقه در حالت استراحت. قلب مانند یک پیستون فشرده می شود ...

بدون مطالعه فن آوری این فرآیند غیرممکن است. راه های مختلفی برای انجام کار وجود دارد. نحوه ترسیم یک ستاره با خط کش به شما کمک می کند تا معروف ترین روش های این فرآیند را درک کنید.

انواع ستاره ها

گزینه های زیادی برای ظاهر چنین چهره ای به عنوان یک ستاره وجود دارد.

از زمان های قدیم، انواع پنج پر آن برای ترسیم پنتاگرام استفاده می شده است. این به دلیل خاصیت آن است که به شما امکان می دهد بدون برداشتن قلم از روی کاغذ نقاشی بکشید.

دنباله دارهای شش پر و دمی نیز وجود دارند.

ستاره دریایی به طور سنتی دارای پنج قله است. تصاویر نسخه کریسمس اغلب به همین شکل یافت می شوند.

در هر صورت، برای ترسیم یک ستاره پنج پر در مراحل، باید به کمک ابزارهای ویژه متوسل شوید، زیرا بعید است که یک تصویر دست آزاد متقارن و زیبا به نظر برسد.

اجرای نقشه

برای درک چگونگی ترسیم یک ستاره یکنواخت، باید ماهیت این شکل را درک کنید.

اساس طرح کلی آن یک خط شکسته است که انتهای آن در نقطه شروع همگرا می شود. یک پنج ضلعی منظم - یک پنج ضلعی را تشکیل می دهد.

ویژگی های متمایز چنین شکلی امکان ثبت آن در یک دایره و همچنین دایره در این چند ضلعی است.

همه ضلع های پنج ضلعی برابر هستند. با درک نحوه صحیح ترسیم یک نقاشی، می توانید ماهیت فرآیند ساخت تمام شکل ها و همچنین طرح های مختلف قطعات، مجموعه ها را درک کنید.

برای رسیدن به چنین هدفی، نحوه ترسیم ستاره با استفاده از خط کش، باید از ساده ترین فرمول های ریاضی که در هندسه اساسی هستند، آگاهی داشته باشید. همچنین باید بتوانید روی یک ماشین حساب حساب کنید. اما مهمترین چیز تفکر منطقی است.

کار دشواری نیست، اما نیاز به دقت و دقت دارد. تلاش صرف شده با یک تصویر متقارن خوب و در نتیجه زیبا از یک ستاره پنج پر پاداش خواهد گرفت.

تکنیک کلاسیک

معروف ترین راه برای کشیدن ستاره با قطب نما، خط کش و نقاله بسیار ساده است.

برای این تکنیک به چندین ابزار نیاز دارید: قطب نما یا نقاله، خط کش، مداد ساده، پاک کن و کاغذ سفید.

برای درک اینکه چگونه یک ستاره را به زیبایی ترسیم کنید، باید به صورت متوالی، مرحله به مرحله عمل کنید.

می توانید از محاسبات خاصی در کار خود استفاده کنید.

محاسبه شکل

در این مرحله از ترسیم ستاره صحیح، خطوط شکل تمام شده ظاهر می شود.

اگر همه چیز به درستی انجام شود، تصویر حاصل صاف خواهد بود. این را می توان با چرخاندن یک ورق کاغذ و ارزیابی شکل به صورت بصری بررسی کرد. در هر نوبت به همین شکل باقی خواهد ماند.

خطوط اصلی با یک خط کش و یک مداد ساده با وضوح بیشتری ترسیم می شوند. تمام خطوط کمکی حذف می شوند.

برای درک نحوه ترسیم یک ستاره در مراحل، باید تمام اقدامات را با دقت انجام دهید. در صورت بروز خطا، می توانید نقاشی را با پاک کن تصحیح کنید یا دوباره تمام دستکاری ها را انجام دهید.

ثبت کار

فرم تمام شده را می توان به روش های مختلفی تزئین کرد. نکته اصلی این است که از آزمایش نترسید. فانتزی یک تصویر اصلی و زیبا را ایجاد می کند.

شما می توانید ستاره یکنواخت کشیده شده را با یک مداد ساده تزئین کنید یا از طیف گسترده ای از رنگ ها و سایه ها استفاده کنید.

برای اینکه بفهمید چگونه ستاره مناسب را بکشید، باید در همه چیز به خطوط کامل بچسبید. بنابراین، محبوب ترین گزینه طراحی این است که هر پرتوی شکل را به دو قسمت مساوی با یک خط از بالا به مرکز تقسیم کنید.

شما نمی توانید دو طرف ستاره را با خطوط جدا کنید. مجاز است به سادگی روی هر پرتوی شکل با سایه تیره تر از یک طرف نقاشی کنید.

این گزینه همچنین پاسخ به این سوال خواهد بود که چگونه ستاره درست را رسم کنیم، زیرا تمام خطوط آن متقارن خواهند بود.

در صورت تمایل، با طراحی زیبایی شناختی شکل، می توانید یک زینت یا سایر عناصر مختلف اضافه کنید. با افزودن دایره ها به بالاها، می توانید ستاره کلانتری را دریافت کنید. با اعمال یک سایه صاف در کناره های سایه، می توانید ستاره دریایی بگیرید.

این تکنیک رایج ترین است، زیرا بدون زحمت به شما امکان می دهد تا نحوه ترسیم یک ستاره پنج پر را در مراحل مختلف درک کنید. بدون توسل به محاسبات پیچیده ریاضی، می توان یک تصویر صحیح و زیبا به دست آورد.

با در نظر گرفتن تمام روش های ترسیم ستاره با خط کش، می توانید مناسب ترین مورد را برای خود انتخاب کنید. محبوب ترین روش هندسی مرحله ای است. بسیار ساده و موثر است. با استفاده از فانتزی و تخیل، می توانید یک ترکیب اصلی از فرم صحیح و زیبا ایجاد کنید. گزینه های طراحی زیادی برای طراحی وجود دارد. اما شما همیشه می توانید داستان خود، غیر معمول ترین و به یاد ماندنی ترین داستان را داشته باشید. مهمتر از همه، از آزمایش کردن نترسید!