قضیه شلوار فیثاغورثی در همه جهات برابر است. گنج هندسه

معمار رومی ویتروویوس قضیه فیثاغورث را «از اکتشافات متعددی که به توسعه زندگی بشر خدمات داده است» متمایز کرد و خواستار آن شد که با آن با بیشترین احترام رفتار شود. در قرن اول قبل از میلاد بود. ه. در آغاز قرن 16-17، ستاره شناس مشهور آلمانی، یوهانس کپلر، آن را یکی از گنجینه های هندسه، قابل مقایسه با یک پیمانه طلا نامید. بعید است که در تمام ریاضیات، گزاره ای سنگین تر و قابل توجه تر وجود داشته باشد، زیرا از نظر تعداد کاربردهای علمی و عملی، قضیه فیثاغورث برابری ندارد.

قضیه فیثاغورث برای حالت مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین.

علم و زندگی // تصاویر

تصویری از قضیه فیثاغورث از رساله در مورد قطب اندازه گیری (چین، قرن سوم قبل از میلاد) و اثبات بازسازی شده بر اساس آن.

علم و زندگی // تصاویر

اس. پرکینز. فیثاغورث

نقاشی برای اثبات احتمالی فیثاغورث.

«موزاییک فیثاغورث» و تقسیم النیریزی سه مربع در اثبات قضیه فیثاغورث.

پی دی هوخ. معشوقه و خدمتکار در حیاط. حدود 1660.

I. Ohtervelt. نوازندگان سرگردان درب خانه ای ثروتمند. 1665.

شلوار فیثاغورثی

قضیه فیثاغورث شاید قابل تشخیص ترین و بدون شک معروف ترین قضیه در تاریخ ریاضیات باشد. در هندسه به معنای واقعی کلمه در هر مرحله استفاده می شود. با وجود سادگی فرمول، این قضیه به هیچ وجه واضح نیست: نگاه کردن به راست گوشهبا طرفین a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

ارقام نشان داده شده در شکل 1 و 2، شبیه ساده ترین زینت مربع و آنها است قسمت های مساوی- یک الگوی هندسی که از زمان های بسیار قدیم شناخته شده است. آنها می توانند به طور کامل هواپیما را بپوشانند. یک ریاضیدان چنین پوششی از هواپیما با چند ضلعی را پارکت یا کاشی کاری می نامد. چرا فیثاغورث اینجاست؟ به نظر می رسد که او اولین کسی بود که مشکل پارکت های معمولی را حل کرد و مطالعه کاشی کاری سطوح مختلف را آغاز کرد. بنابراین، فیثاغورث نشان داد که صفحه اطراف یک نقطه را می توان بدون شکاف تنها با چندضلعی های منتظم مساوی پوشاند. سه نوع: شش مثلث، چهار مربع و سه شش ضلعی.

4000 سال بعد

تاریخچه قضیه فیثاغورث به دوران باستان باز می گردد. ذکر آن در متون میخی بابلی در زمان شاه حمورابی (قرن هجدهم پیش از میلاد) یعنی 1200 سال قبل از تولد فیثاغورث آمده است. این قضیه به عنوان یک قانون آماده در بسیاری از مسائل به کار رفته است که ساده ترین آنها یافتن قطر مربع در امتداد ضلع آن است. این امکان وجود دارد که رابطه a 2 + b 2 = c 2 برای یک مثلث قائم الزاویه دلخواه توسط بابلی ها صرفاً با "تعمیم" برابری a 2 + a 2 = c 2 به دست آمده باشد. اما این برای آنها قابل توجیه است - برای هندسه عملی پیشینیان، که به اندازه گیری ها و محاسبات کاهش یافته بود، نیازی به توجیه دقیق نبود.

اکنون، تقریباً 4000 سال بعد، ما با یک قضیه رکوردشکنی از نظر تعداد اثبات های ممکن روبرو هستیم. به هر حال، جمع آوری آنها یک سنت طولانی است. اوج علاقه به قضیه فیثاغورث در نیمه دوم قرن نوزدهم - اوایل قرن بیستم رخ داد. و اگر مجموعه های اول شامل بیش از دو یا سه دوجین مدرک نبود، پس به اواخر نوزدهمقرن، تعداد آنها به 100 نفر رسید و پس از نیم قرن دیگر از 360 گذشت و اینها فقط آنهایی هستند که از منابع مختلف جمع آوری شده اند. چه کسی راه حل این کار بی عمر را بر عهده نگرفت - از دانشمندان برجسته و رواج دهندگان علم گرفته تا نمایندگان کنگره و دانش آموزان مدرسه. و آنچه قابل توجه است، در اصالت و سادگی راه حل، سایر آماتورها دست کمی از حرفه ای ها نداشتند!

قدیمی ترین اثبات قضیه فیثاغورث که به دست ما رسیده است حدود 2300 سال قدمت دارد. یکی از آنها - بدیهیات دقیق - متعلق به اقلیدس ریاضیدان یونان باستان است که در قرن های 4-3 قبل از میلاد می زیست. ه. در کتاب اول عناصر، قضیه فیثاغورث به عنوان گزاره 47 ذکر شده است. بصری ترین و زیباترین شواهد بر روی طراحی مجدد "شلوار فیثاغورث" ساخته شده است. آنها مانند یک پازل مبتکرانه با برش مربع به نظر می رسند. اما ارقام را به درستی حرکت دهید - و آنها راز قضیه معروف را برای شما آشکار خواهند کرد.

در اینجا یک اثبات زیبا بر اساس نقاشی از یک رساله چینی باستان به دست آمده است (شکل 3) و ارتباط آن با مشکل دو برابر شدن مساحت یک مربع بلافاصله روشن می شود.

گویدو هفت ساله، قهرمان چشم روشن داستان کوتاه «ارشمیدس کوچک» نوشته آلدوس هاکسلی نویسنده انگلیسی، سعی کرد برای دوست کوچکترش توضیح دهد. جالب است که راوی که این تصویر را مشاهده کرده است، به سادگی و قانع‌کننده بودن شواهد توجه کرده و بنابراین آن را به خود فیثاغورث نسبت داده است. ولی شخصیت اصلیداستان خارق العاده اوگنی ولتیستوف "الکترونیک - پسری از چمدان" 25 اثبات قضیه فیثاغورث را می دانست، از جمله مواردی که اقلیدس ارائه کرده است. درست است، او به اشتباه آن را ساده ترین نامید، اگرچه در واقع در نسخه مدرن آغازها یک و نیم صفحه را اشغال می کند!

اولین ریاضیدان

فیثاغورث ساموسی (570-495 قبل از میلاد) که نامش از دیرباز با یک قضیه قابل توجه پیوند ناگسستنی داشته است، به یک معنا می توان اولین ریاضیدان نامید. از اوست که ریاضیات به عنوان یک علم دقیق آغاز می شود، جایی که هر دانش جدید نتیجه بازنمایی بصری و قوانین آموخته شده از تجربه نیست، بلکه نتیجه استدلال و نتیجه گیری منطقی است. این تنها راهی است که می توان یک بار و برای همیشه حقیقت هر گزاره ریاضی را ثابت کرد. قبل از فیثاغورث، روش قیاسی تنها توسط فیلسوف و دانشمند یونان باستان تالس از میلتوس، که در اواخر قرن 7-6 قبل از میلاد می زیست، استفاده می شد. ه. او ایده اثبات را بیان کرد، اما آن را به طور غیر سیستماتیک، انتخابی، به عنوان یک قاعده، برای گزاره های هندسی آشکار مانند "قطر دایره را نصف می کند" به کار برد. فیثاغورث بسیار فراتر رفت. اعتقاد بر این است که او اولین تعاریف، بدیهیات و روش های اثبات را معرفی کرد و همچنین اولین دوره در هندسه را که توسط یونانیان باستان با نام "سنت فیثاغورث" شناخته می شد، ایجاد کرد. و او در ریشه های نظریه اعداد و کلیشه سنجی ایستاد.

یکی دیگر از شایستگی های مهم فیثاغورث، تأسیس مکتب باشکوهی از ریاضیدانان است که برای بیش از یک قرن تعیین کننده توسعه این علم در یونان باستان. اصطلاح "ریاضیات" به خودی خود با نام او (از کلمه یونانی μαθημα - آموزش، علم) مرتبط است، که چهار رشته مرتبط ایجاد شده توسط فیثاغورث و پیروان او - فیثاغورثی ها - یک سیستم دانش را متحد کرد: هندسه، حساب، نجوم و هارمونیک. .

جدا کردن دستاوردهای فیثاغورث از دستاوردهای شاگردانش غیرممکن است: آنها به پیروی از رسم، ایده ها و اکتشافات خود را به معلم خود نسبت دادند. فیثاغورثیان اولیه هیچ نوشته ای از خود برجای نگذاشتند، آنها تمام اطلاعات را به صورت شفاهی به یکدیگر منتقل می کردند. بنابراین، 2500 سال بعد، مورخان چاره ای جز بازسازی دانش از دست رفته بر اساس رونویسی های نویسندگان دیگر ندارند. اجازه دهید به یونانیان اعتبار بدهیم: اگرچه آنها نام فیثاغورث را با افسانه های بسیاری احاطه کردند، اما چیزی را به او نسبت ندادند که او نتواند کشف کند یا نظریه ای بسازد. و قضیه ای که نام او را یدک می کشد نیز از این قاعده مستثنی نیست.

چنین اثبات ساده ای

معلوم نیست که فیثاغورث خود نسبت بین طول اضلاع در یک مثلث قائم الزاویه را کشف کرده است یا این دانش را به عاریت گرفته است. نویسندگان باستان ادعا می کردند که خود او، و دوست داشت این افسانه را بازگو کند که چگونه فیثاغورث به افتخار کشف خود، یک گاو نر را قربانی کرد. مورخان مدرن مایلند بر این باورند که او با آشنایی با ریاضیات بابلی ها این قضیه را آموخته است. ما همچنین نمی دانیم فیثاغورث این قضیه را به چه شکلی صورت بندی کرده است: از نظر حسابی، همانطور که امروزه مرسوم است، مربع فرض برابر است با مجموع مربعات پاها، یا از نظر هندسی، در روح باستان، مربع ساخته شده است. در فرضیه مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های ساخته شده روی اسکیت های او.

اعتقاد بر این است که این فیثاغورث بود که اولین اثبات قضیه ای را که نام او را یدک می کشد ارائه کرد. البته زنده نماند. طبق یک نسخه، فیثاغورث می توانست از آموزه تناسبات که در مکتب خود توسعه داده شده است استفاده کند. بر اساس آن، به ویژه، نظریه شباهت، که استدلال بر آن استوار است. بیایید در یک مثلث قائم الزاویه با پاهای a و b یک ارتفاع به سمت فرض c رسم کنیم. ما سه مثلث مشابه، از جمله مثلث اصلی، دریافت می کنیم. اضلاع مربوطه آنها متناسب هستند، a: c = m: a و b: c = n: b، از این رو a 2 = c · m و b 2 = c · n. سپس a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (شکل 4).

این فقط یک بازسازی است که توسط یکی از مورخان علم پیشنهاد شده است، اما اثبات آن، می بینید، کاملاً ساده است: فقط چند خط طول می کشد، هیچ چیزی نیاز به تکمیل، ترسیم مجدد، محاسبه ندارد... جای تعجب نیست که بیش از یک بار دوباره کشف شد. مثلاً در «عمل هندسه» نوشته لئوناردو پیزا (1220) آمده است و هنوز هم در کتابهای درسی آمده است.

چنین اثباتی با عقاید فیثاغورثی ها در مورد قیاس پذیری در تضاد نیست: در ابتدا آنها معتقد بودند که نسبت طول هر دو بخش و در نتیجه مساحت ارقام مستطیل را می توان با استفاده از اعداد طبیعی بیان کرد. آنها هیچ اعداد دیگری را در نظر نگرفتند، حتی کسرها را مجاز نکردند و نسبت‌های 1: 2، 2: 3 و غیره را جایگزین آنها کردند. میدان و ضلع آن تمام تلاش‌ها برای نمایش عددی طول این مورب - برای یک مربع واحد برابر با √2 است - به چیزی منتهی نشد. ثابت شد که این مشکل غیر قابل حل است. در چنین موردی، ریاضیدانان یک روش اثبات شده دارند - اثبات با تناقض. ضمناً به فیثاغورث نیز نسبت داده می شود.

وجود رابطه ای که با اعداد طبیعی بیان نمی شود به بسیاری از ایده های فیثاغورثی ها پایان می دهد. مشخص شد که اعدادی که آنها می‌دانستند برای حل مسائل حتی ساده کافی نبودند و از تمام هندسه چیزی نمی‌گفتند! این کشف نقطه عطفی در توسعه ریاضیات یونان، مسئله اصلی آن بود. ابتدا به توسعه دکترین مقادیر غیرقابل قیاس - غیرعقلانی و سپس به گسترش مفهوم عدد منجر شد. به عبارت دیگر، تاریخ چند صد ساله مطالعه مجموعه اعداد حقیقی از او آغاز شد.

موزاییک فیثاغورث

اگر هواپیما را با مربع هایی با دو اندازه مختلف بپوشانید و هر مربع کوچک را با چهار مربع بزرگ احاطه کنید، یک پارکت موزاییک فیثاغورثی به دست می آورید. چنین الگویی برای مدت طولانی کف های سنگی را تزئین کرده است، که یادآور شواهد باستانی قضیه فیثاغورث (از این رو نام آن است). با اعمال یک شبکه مربعی بر روی پارکت به روش های مختلف می توان پارتیشن هایی از مربع های ساخته شده در اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را بدست آورد که توسط ریاضیدانان مختلف پیشنهاد شده است. به عنوان مثال، اگر شبکه را طوری مرتب کنید که تمام گره های آن با رئوس بالای سمت راست مربع های کوچک منطبق باشد، قطعاتی از نقاشی برای اثبات ریاضیدان ایرانی قرون وسطی آن نایریزی ظاهر می شود که او در نظرات اقلیدس قرار داده است. "اصول". به راحتی می توان دید که مجموع مساحت مربع های بزرگ و کوچک، عناصر اولیه پارکت، برابر است با مساحت یک مربع از شبکه که روی آن قرار گرفته است. و این بدان معنی است که پارتیشن مشخص شده واقعاً برای گذاشتن پارکت مناسب است: با اتصال چند ضلعی های حاصل به مربع ، همانطور که در شکل نشان داده شده است ، می توانید کل صفحه را بدون شکاف و همپوشانی با آنها پر کنید.

پروفسور ارجمند ریاضیات در دانشگاه وارویک، یکی از محبوب‌کننده‌های مشهور علم، ایان استوارت، به نقش اعداد در تاریخ بشریت و اهمیت مطالعه آنها در زمان ما اختصاص دارد.

هیپوتنوز فیثاغورثی

مثلث های فیثاغورثی دارای زاویه قائمه و اضلاع صحیح هستند. در ساده ترین آنها، طولانی ترین ضلع دارای طول 5، بقیه 3 و 4 هستند. در کل 5 چند وجهی منظم وجود دارد. معادله درجه پنجم را نمی توان با ریشه های درجه پنجم - یا هر ریشه دیگری حل کرد. شبکه‌ها در صفحه و فضای سه‌بعدی تقارن دورانی پنج لوبی ندارند؛ بنابراین چنین تقارن‌هایی در کریستال‌ها نیز وجود ندارند. با این حال، آنها می توانند در شبکه هایی در فضای چهار بعدی و در ساختارهای جالبی که به عنوان شبه بلور شناخته می شوند، باشند.

هیپوتنوز کوچکترین سه گانه فیثاغورثی

قضیه فیثاغورث بیان می کند که طولانی ترین ضلع یک مثلث قائم الزاویه (هیپوتنوس بدنام) با دو ضلع دیگر این مثلث به روشی بسیار ساده و زیبا همبستگی دارد: مربع فرضیه برابر با مجموع مربع های دیگری است. دو طرف.

به طور سنتی، ما این قضیه را به نام فیثاغورث می نامیم، اما در واقع تاریخچه آن نسبتا مبهم است. لوح های گلی نشان می دهد که بابلیان باستان قضیه فیثاغورث را خیلی قبل از خود فیثاغورث می دانستند. شکوه کاشف توسط فرقه ریاضی فیثاغورثی ها به او رسید، که حامیان آن معتقد بودند که جهان بر اساس الگوهای عددی است. نویسندگان باستان انواع مختلفی از قضایای ریاضی را به فیثاغورثیان - و از این رو به فیثاغورث - نسبت می دادند، اما در واقع ما نمی دانیم که خود فیثاغورث به چه نوع ریاضیاتی مشغول بوده است. ما حتی نمی دانیم که آیا فیثاغورثی ها می توانند قضیه فیثاغورث را اثبات کنند یا اینکه آنها به سادگی معتقد بودند که این قضیه درست است. یا، به احتمال زیاد، آنها داده های قانع کننده ای در مورد حقیقت آن داشتند، که با این وجود برای آنچه ما امروز اثبات می کنیم کافی نبود.

شواهد فیثاغورث

اولین اثبات شناخته شده قضیه فیثاغورث در عناصر اقلیدس یافت می شود. این یک اثبات نسبتاً پیچیده با استفاده از نقاشی است که دانش آموزان مدرسه ویکتوریا بلافاصله آن را به عنوان "شلوار فیثاغورث" تشخیص می دهند. این نقاشی واقعاً شبیه زیرشلواری است که روی طناب خشک می شود. به معنای واقعی کلمه صدها دلیل دیگر شناخته شده است که اکثر آنها این ادعا را آشکارتر می کنند.

// برنج. 33. شلوار فیثاغورثی

یکی از ساده ترین اثبات ها نوعی پازل ریاضی است. هر مثلث قائم الزاویه ای را بردارید، چهار کپی از آن بسازید و آنها را داخل مربع جمع کنید. با یک تخمگذار، مربعی را روی هیپوتانوس می بینیم. با دیگری - مربع در دو طرف دیگر مثلث. واضح است که مساحت ها در هر دو مورد برابر است.

// برنج. 34. سمت چپ: مربع روی هیپوتانوس (به اضافه چهار مثلث). راست: مجموع مربع های دو ضلع دیگر (به علاوه همان چهار مثلث). حالا مثلث ها را حذف کنید

کالبد شکافی Perigal یکی دیگر از شواهد پازل است.

// برنج. 35. تشریح پریگال

همچنین یک اثبات قضیه با استفاده از انباشته شدن مربع ها در صفحه وجود دارد. شاید فیثاغورثی ها یا اسلاف ناشناخته آنها این قضیه را اینگونه کشف کردند. اگر به نحوه همپوشانی مربع مایل با دو مربع دیگر نگاه کنید، می توانید ببینید که چگونه مربع بزرگ را تکه تکه کنید و سپس آنها را به دو مربع کوچکتر در کنار هم قرار دهید. شما همچنین می توانید مثلث های قائم الزاویه را ببینید که اضلاع آنها ابعاد سه مربع درگیر را نشان می دهد.

// برنج. 36. اثبات با سنگفرش

شواهد جالبی با استفاده از آن وجود دارد مثلث های مشابهدر مثلثات حداقل پنجاه دلیل مختلف شناخته شده است.

سه قلوهای فیثاغورثی

در نظریه اعداد، قضیه فیثاغورث سرچشمه ایده ای پربار شد: یافتن راه حل های اعداد صحیح برای معادلات جبری. سه گانه فیثاغورثی مجموعه ای از اعداد صحیح a، b و c است به طوری که

از نظر هندسی، چنین سه گانه ای مثلث قائم الزاویه با اضلاع صحیح را تعریف می کند.

کوچکترین هیپوتنوز سه گانه فیثاغورثی 5 است.

دو ضلع دیگر این مثلث 3 و 4 هستند. در اینجا

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

هیپوتانوس بعدی 10 است زیرا

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

با این حال، این اساساً همان مثلث با اضلاع دوتایی است. هیپوتانوس بزرگ و واقعا متفاوت بعدی 13 است که برای آن

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

اقلیدس می دانست که وجود دارد عدد بی نهایتانواع مختلفی از سه گانه های فیثاغورثی، و فرمولی برای یافتن همه آنها ارائه کرد. بعدها، دیوفانتوس اسکندریه دستور العمل ساده ای را ارائه کرد که اساساً همان اقلیدسی بود.

هر دو عدد طبیعی را بگیرید و محاسبه کنید:

محصول دوگانه آنها؛

تفاوت مربع آنها؛

مجموع مربع های آنها

سه عدد به دست آمده اضلاع مثلث فیثاغورث خواهند بود.

برای مثال اعداد 2 و 1 را در نظر بگیرید.

محصول دوگانه: 2 × 2 × 1 = 4;

تفاوت مربع ها: 22 - 12 = 3;

مجموع مربع ها: 22 + 12 = 5،

و به مثلث معروف 3-4-5 رسیدیم. اگر به جای آن اعداد 3 و 2 را بگیریم، به دست می آید:

محصول دوگانه: 2 × 3 × 2 = 12;

تفاوت مربع ها: 32 - 22 = 5;

مجموع مربع ها: 32 + 22 = 13،

و مثلث معروف بعدی 5 - 12 - 13 را می گیریم.

محصول دوگانه: 2 × 42 × 23 = 1932;

اختلاف مربع ها: 422 - 232 = 1235;

مجموع مربع ها: 422 + 232 = 2293،

هیچ کس تا به حال نام مثلث 1235-1932-2293 را نشنیده است.

اما این اعداد نیز کار می کنند:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

ویژگی دیگری در قانون دیوفانتین وجود دارد که قبلاً به آن اشاره شده است: با دریافت سه عدد می توانیم یک عدد دلخواه دیگر را بگیریم و همه آنها را در آن ضرب کنیم. بنابراین، یک مثلث 3-4-5 را می توان با ضرب همه اضلاع در 2 به مثلث 6-8-10 یا با ضرب همه چیز در 5 به مثلث 15-20-25 تبدیل کرد.

اگر به زبان جبر برویم، قاعده به شکل زیر در می آید: اجازه دهید u، v و k - اعداد صحیح. سپس یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع

2kuv و k (u2 - v2) دارای هیپوتنوز است

راه های دیگری برای ارائه ایده اصلی وجود دارد، اما همه آنها به روشی که در بالا توضیح داده شد خلاصه می شود. این روش به شما امکان می دهد تمام سه گانه های فیثاغورثی را بدست آورید.

چند وجهی منظم

دقیقاً پنج چند وجهی منظم وجود دارد. چند وجهی منظم (یا چند وجهی) یک شکل سه بعدی با تعداد محدودی از وجوه صاف است. وجوه در خطوطی به نام لبه ها با یکدیگر همگرا می شوند. یال ها در نقاطی به نام راس به هم می رسند.

نقطه اوج "آغاز" اقلیدسی اثبات این است که تنها پنج چند وجهی منتظم می تواند وجود داشته باشد، یعنی چند وجهی که در آن هر صورت یک چندضلعی منتظم است. اضلاع مساوی، زوایای مساوی)، همه وجوه یکسان هستند و همه رئوس با تعداد مساوی از وجه هایی با فاصله مساوی احاطه شده اند. در اینجا پنج چند وجهی منظم وجود دارد:

چهار وجهی با چهار وجه مثلثی، چهار راس و شش لبه.

مکعب، یا شش وجهی، با 6 وجه مربع، 8 رأس و 12 لبه.

هشت وجهی با 8 وجه مثلثی، 6 رأس و 12 لبه.

دوازده وجهی با 12 وجه پنج ضلعی، 20 راس و 30 لبه.

ایکوساهدر با 20 وجه مثلثی، 12 رأس و 30 لبه.

// برنج. 37. پنج چند وجهی منظم

چندوجهی منظم نیز در طبیعت یافت می شود. در سال 1904، ارنست هکل نقاشی‌هایی از موجودات کوچکی را منتشر کرد که به نام رادیولاریان شناخته می‌شوند. بسیاری از آنها به شکل همان پنج چند وجهی منظم هستند. شاید، با این حال، او کمی طبیعت را تصحیح کرد، و نقاشی ها به طور کامل شکل موجودات زنده خاص را منعکس نمی کنند. سه ساختار اول نیز در کریستال ها مشاهده می شود. دوازده وجهی و ایکو وجهی را در کریستالها نخواهید یافت، گرچه گاهی اوقات دوازده وجهی نامنظم و ایکو وجهی در آنجا دیده می شود. دوازده‌وجهی‌های واقعی می‌توانند به صورت شبه بلورهایی ظاهر شوند که از هر نظر شبیه کریستال‌ها هستند، با این تفاوت که اتم‌های آن‌ها یک شبکه تناوبی تشکیل نمی‌دهند.

// برنج. 38. نقاشی های هکل: رادیولارها به شکل چند وجهی منظم

// برنج. 39. تحولات چندوجهی منظم

ساختن مدل‌های چند وجهی معمولی از کاغذ می‌تواند با برش دادن مجموعه‌ای از چهره‌های به هم پیوسته در ابتدا جالب باشد - این حرکت چند وجهی نامیده می‌شود. اسکن در امتداد لبه ها تا می شود و لبه های مربوطه به هم چسبانده می شوند. اضافه کردن یک ناحیه اضافی برای چسب به یکی از لبه های هر جفت، همانطور که در شکل نشان داده شده است مفید است. 39. اگر چنین پلتفرمی وجود ندارد، می توانید از نوار چسب استفاده کنید.

معادله درجه پنجم

هیچ فرمول جبری برای حل معادلات درجه 5 وجود ندارد.

به طور کلی معادله درجه پنجم به صورت زیر است:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

مشکل پیدا کردن فرمولی برای حل چنین معادله ای است (می تواند تا پنج راه حل داشته باشد). تجربه در برخورد با معادلات درجه دوم و مکعب و همچنین معادلات درجه چهار نشان می دهد که چنین فرمولی باید برای معادلات درجه پنج نیز وجود داشته باشد و در تئوری ریشه های درجه پنجم، سوم و دوم باید وجود داشته باشد. در آن ظاهر شود. باز هم، می توان با خیال راحت فرض کرد که چنین فرمولی، در صورت وجود، بسیار بسیار پیچیده خواهد بود.

این فرض در نهایت نادرست بود. در واقع، چنین فرمولی وجود ندارد. حداقل هیچ فرمولی متشکل از ضرایب a، b، c، d، e و f وجود ندارد که با استفاده از جمع، تفریق، ضرب و تقسیم و ریشه گرفتن تشکیل شده باشد. بنابراین، چیز بسیار خاصی در مورد عدد 5 وجود دارد. دلایل این رفتار غیرعادی این پنج نفر بسیار عمیق است و کشف آنها زمان زیادی را صرف کرد.

اولین نشانه یک مشکل این بود که ریاضیدانان هر چقدر هم برای یافتن چنین فرمولی تلاش می کردند، هر چقدر هم که باهوش بودند، همیشه شکست می خوردند. برای مدتی، همه معتقد بودند که دلایل آن در پیچیدگی باورنکردنی فرمول نهفته است. اعتقاد بر این بود که هیچ کس به سادگی نمی تواند این جبر را به درستی درک کند. با این حال، با گذشت زمان، برخی از ریاضیدانان شروع به تردید در مورد وجود چنین فرمولی کردند و در سال 1823 نیلز هندریک آبل توانست خلاف آن را ثابت کند. چنین فرمولی وجود ندارد. اندکی پس از آن، Évariste Galois راهی برای تعیین اینکه آیا معادله ای با یک درجه یا دیگری - 5، 6، 7، معمولاً هر کدام - با استفاده از این نوع فرمول قابل حل است پیدا کرد.

نتیجه گیری از همه اینها ساده است: عدد 5 خاص است. می توانید معادلات جبری (با استفاده از ریشه ها) را حل کنید درجه نهمبرای معانی مختلفن) برای درجات 1، 2، 3 و 4، اما نه برای درجه 5. اینجاست که الگوی آشکار به پایان می رسد.

هیچ کس تعجب نمی کند که معادلات قدرت های بزرگتر از 5 حتی بدتر عمل کنند. به طور خاص، همان دشواری با آنها مرتبط است: هیچ فرمول کلی برای حل آنها وجود ندارد. این بدان معنا نیست که معادلات هیچ راه حلی ندارند. همچنین به این معنی نیست که یافتن مقادیر عددی بسیار دقیق برای این راه حل ها غیرممکن است. همه چیز در مورد محدودیت های ابزارهای جبر سنتی است. این یادآور عدم امکان سه برش زاویه با خط کش و قطب نما است. پاسخی وجود دارد، اما روش های ذکر شده کافی نیستند و به شما اجازه نمی دهند که آن را تعیین کنید.

محدودیت کریستالوگرافی

بلورهای دو و سه بعدی تقارن دورانی 5 پرتو ندارند.

اتم های یک کریستال یک شبکه تشکیل می دهند، یعنی ساختاری که به طور متناوب در چندین جهت مستقل تکرار می شود. به عنوان مثال، الگوی روی کاغذ دیواری در طول رول تکرار می شود. علاوه بر این، معمولاً در جهت افقی، گاهی اوقات با جابجایی از یک تکه کاغذ دیواری به قطعه دیگر تکرار می شود. در اصل، کاغذ دیواری یک کریستال دو بعدی است.

17 نوع الگوی کاغذ دیواری در هواپیما وجود دارد (به فصل 17 مراجعه کنید). آنها در انواع تقارن، یعنی در روش های جابجایی سفت و سخت الگو به طوری که دقیقاً روی خود در موقعیت اصلی خود قرار می گیرند، متفاوت هستند. انواع تقارن به ویژه شامل انواع مختلفی از تقارن چرخشی است، که در آن الگو باید از طریق یک زاویه خاص در اطراف یک نقطه خاص - مرکز تقارن چرخانده شود.

ترتیب تقارن چرخش به این صورت است که چند بار می توانید بدنه را در یک دایره کامل بچرخانید تا تمام جزئیات تصویر به موقعیت اصلی خود بازگردند. به عنوان مثال، یک چرخش 90 درجه، تقارن دورانی مرتبه 4 است*. فهرست انواع احتمالی تقارن چرخشی در شبکه کریستالی دوباره به غیرعادی بودن عدد 5 اشاره می کند: وجود ندارد. انواعی با تقارن چرخشی مرتبه 2، 3، 4 و 6 وجود دارد، اما هیچ الگوی کاغذ دیواری دارای تقارن چرخشی مرتبه 5 نیست. همچنین هیچ تقارن چرخشی به ترتیب بزرگتر از 6 در کریستال ها وجود ندارد، اما اولین نقض دنباله همچنان در عدد 5 رخ می دهد.

در مورد سیستم های کریستالوگرافی در فضای سه بعدی نیز همین اتفاق می افتد. در اینجا شبکه خود را در سه جهت مستقل تکرار می کند. 219 وجود دارد انواع مختلفتقارن، یا 230، اگر انعکاس آینه ای الگو را به عنوان نسخه جداگانه ای از آن در نظر بگیریم - علاوه بر این، در این مورد هیچ تقارن آینه ای وجود ندارد. مجدداً تقارن های چرخشی مرتبه های 2، 3، 4 و 6 مشاهده می شود، اما نه 5. این واقعیت را محدودیت کریستالوگرافی می نامند.

در فضای چهاربعدی شبکه هایی با تقارن مرتبه 5 وجود دارد. به طور کلی، برای شبکه هایی با ابعاد به اندازه کافی بالا، هر ترتیب از پیش تعیین شده تقارن چرخشی امکان پذیر است.

// برنج. 40. شبکه کریستالی نمک خوراکی. توپ های تیره نشان دهنده اتم های سدیم و توپ های روشن نشان دهنده اتم های کلر هستند.

شبه بلورها

در حالی که تقارن دورانی مرتبه 5 در شبکه های 2 بعدی و 3 بعدی امکان پذیر نیست، می تواند در ساختارهای کمی کمتر منظم به نام شبه بلورها وجود داشته باشد. راجر پنروز با استفاده از طرح‌های کپلر، سیستم‌های مسطح با نوع کلی‌تری از تقارن پنج‌گانه را کشف کرد. به آنها شبه بلور می گویند.

شبه بلورها در طبیعت وجود دارند. در سال 1984، دانیل شختمن کشف کرد که آلیاژی از آلومینیوم و منگنز می تواند شبه بلورها را تشکیل دهد. در ابتدا، بلورشناسان پیام او را با شک و تردید پذیرفتند، اما بعداً این کشف تأیید شد و در سال 2011 شختمن جایزه نوبل شیمی را دریافت کرد. در سال 2009، تیمی از دانشمندان به رهبری لوکا بیندی شبه بلورهایی را در یک ماده معدنی از ارتفاعات کوریاک روسیه کشف کردند - ترکیبی از آلومینیوم، مس و آهن. امروزه این ماده معدنی ایکوساهدریت نامیده می شود. دانشمندان با اندازه‌گیری محتوای ایزوتوپ‌های مختلف اکسیژن در این کانی با طیف‌سنج جرمی نشان دادند که این ماده معدنی از زمین منشاء نمی‌گیرد. حدود 4.5 میلیارد سال پیش، در زمانی که منظومه شمسیدر دوران طفولیت خود بود و بیشتر زمان خود را در کمربند سیارکی در حال چرخش به دور خورشید می گذراند تا اینکه برخی اختلالات مدار آن را تغییر داد و در نهایت آن را به زمین آورد.

// برنج. 41. سمت چپ: یکی از دو شبکه شبه بلوری با تقارن دقیق پنج برابری. سمت راست: مدل اتمی شبه کریستال آلومینیوم-پالادیوم-منگنز ایکوسادرال

شرح ارائه در اسلایدهای جداگانه:

1 اسلاید

توضیحات اسلاید:

پروژه دانش آموزی مدرسه متوسطه MBOU Bondarskaya با موضوع: "فیثاغورث و قضیه او" تهیه شده توسط: اکتوف کنستانتین، دانش آموز کلاس 7 A رئیس: دولوتووا نادژدا ایوانونا، معلم ریاضیات 2015

2 اسلاید

توضیحات اسلاید:

3 اسلاید

توضیحات اسلاید:

حاشیه نویسی. هندسه علم بسیار جالبی است. این شامل قضایای بسیاری است که مشابه یکدیگر نیستند، اما گاهی بسیار ضروری هستند. من به قضیه فیثاغورث بسیار علاقه مند شدم. متاسفانه یکی از مهمترین جملاتی که ما فقط در کلاس هشتم پاس می کنیم. تصمیم گرفتم حجاب رازداری را بردارم و قضیه فیثاغورث را بررسی کنم.

4 اسلاید

توضیحات اسلاید:

5 اسلاید

توضیحات اسلاید:

6 اسلاید

توضیحات اسلاید:

وظایف مطالعه زندگی نامه فیثاغورث. تاریخچه پیدایش و اثبات قضیه را کاوش کنید. نحوه استفاده از قضیه در هنر را بیابید. مسائل تاریخی را پیدا کنید که در آنها از قضیه فیثاغورث استفاده شده است. برای آشنایی با نگرش کودکان زمان های مختلف به این قضیه. یک پروژه ایجاد کنید.

7 اسلاید

توضیحات اسلاید:

پیشرفت تحقیق بیوگرافی فیثاغورث. دستورات و کلمات قصار فیثاغورث. قضیه فیثاغورس. تاریخچه قضیه. چرا "شلوار فیثاغورثی در همه جهات برابر است"؟ اثبات های مختلف قضیه فیثاغورث توسط دانشمندان دیگر. کاربرد قضیه فیثاغورث. مصاحبه. نتیجه.

8 اسلاید

توضیحات اسلاید:

فیثاغورث - او کیست؟ فیثاغورث ساموسی (580 - 500 قبل از میلاد) ریاضیدان یونان باستان و فیلسوف ایده آلیست. در جزیره ساموس به دنیا آمد. تحصیلات خوبی دریافت کرد. طبق افسانه ها، فیثاغورث برای آشنایی با خرد دانشمندان شرقی به مصر رفت و 22 سال در آنجا زندگی کرد. وی با تسلط بر تمام علوم مصریان از جمله ریاضیات به بابل رفت و 12 سال در آنجا زندگی کرد و با دانش علمی کاهنان بابلی آشنا شد. روایات سفر فیثاغورث به هند را نسبت می دهند. این بسیار محتمل است، زیرا ایونیا و هند در آن زمان روابط تجاری داشتند. فیثاغورث با بازگشت به میهن خود (حدود 530 قبل از میلاد) تلاش کرد مکتب فلسفی خود را سازمان دهد. با این حال، به دلایل نامعلوم، او به زودی ساموس را ترک می کند و در کروتون (یک مستعمره یونانی در شمال ایتالیا) ساکن می شود. فیثاغورث در اینجا موفق به سازماندهی مدرسه خود شد که تقریباً سی سال کار کرد. مکتب فیثاغورث یا همان طور که به آن اتحادیه فیثاغورث نیز گفته می شود، در عین حال یک مکتب فلسفی، یک حزب سیاسی و یک برادر دینی بود. وضعیت اتحادیه فیثاغورث بسیار شدید بود. فیثاغورث در دیدگاه های فلسفی خود یک ایده آلیست و مدافع منافع اشراف برده دار بود. شاید این دلیل خروج او از ساموس بود، زیرا طرفداران دیدگاه های دموکراتیک نفوذ بسیار زیادی در ایونیا داشتند. در مسائل عمومی، فیثاغورثی ها به «دستور» حکومت اشراف را درک کردند. آنها دموکراسی یونان باستان را محکوم کردند. فلسفه فیثاغورث تلاشی بدوی برای توجیه سلطه اشراف برده دار بود. در پایان قرن پنجم قبل از میلاد مسیح ه. موجی از جنبش دموکراتیک یونان و مستعمرات آن را فرا گرفت. دموکراسی در کروتون پیروز شد. فیثاغورث با شاگردانش کروتون را ترک می کند و به تارنتوم و سپس متاپونت می رود. ورود فیثاغورثی ها به متاپونت همزمان با وقوع یک قیام مردمی در آنجا بود. در یکی از زد و خوردهای شبانه، فیثاغورث تقریباً نود ساله درگذشت. مدرسه او از کار افتاده است. شاگردان فیثاغورث که از آزار و شکنجه گریخته بودند، در سراسر یونان و مستعمرات آن ساکن شدند. آنها برای امرار معاش، مدارسی را تشکیل دادند که در آن عمدتاً حساب و هندسه تدریس می کردند. اطلاعات مربوط به دستاوردهای آنها در نوشته های دانشمندان بعدی - افلاطون، ارسطو و غیره موجود است.

9 اسلاید

توضیحات اسلاید:

دستورات و قصارهای فیثاغورث اندیشه بیش از هر چیز بین مردم روی زمین است. روی پیمانه غلات ننشینید (یعنی بیکار زندگی نکنید). هنگام خروج به عقب نگاه نکنید (یعنی قبل از مرگ به زندگی نچسبید). از راه شکسته نروید (یعنی از عقاید جمعیت پیروی نکنید، بلکه از عقاید معدودی که می فهمند). پرستوها را در خانه قرار ندهید (یعنی از مهمانانی که پرحرف هستند و در زبان محدود نیستند پذیرایی نکنید). با کسى که بار را بر دوش مى گيرد، با کسى که بار مى اندازد نباش (يعنى مردم را نه به بطالت، بلکه به فضيلت، به کار تشويق کن). در میدان زندگی، مانند بذر افشان با گامهای یکنواخت و استوار قدم بردارید. وطن واقعی جایی است که اخلاق نیک وجود داشته باشد. عضو یک جامعه دانش‌آموز نباشید: عاقل‌ترین‌ها که جامعه را تشکیل می‌دهند، عوام می‌شوند. به اعداد مقدس، وزن و اندازه، به عنوان فرزند برابری برازنده احترام بگذارید. خواسته هایتان را بسنجید، افکارتان را بسنجید، کلماتتان را شماره گذاری کنید. از هیچ چیز شگفت زده نشوید: حیرت خدایان را پدید آورده است.

10 اسلاید

توضیحات اسلاید:

بیان قضیه. در مثلث قائم الزاویه، مجذور طول هیپوتونوس برابر است با مجموع مجذورات طول پاها.

11 اسلاید

توضیحات اسلاید:

اثبات قضیه. در حال حاضر 367 اثبات این قضیه در ادبیات علمی ثبت شده است. احتمالاً قضیه فیثاغورث تنها قضیه‌ای است که چنین تعداد قابل توجهی از برهان دارد. البته همه آنها را می توان به تعداد کمی کلاس تقسیم کرد. معروف ترین آنها: اثبات به روش مساحت، اثبات بدیهی و عجیب و غریب.

12 اسلاید

توضیحات اسلاید:

قضیه فیثاغورث اثبات یک مثلث قائم الزاویه با پاهای a، b و هپوتنوس c داده شده است. بیایید ثابت کنیم که c² = a² + b² بیایید مثلث را به مربعی با ضلع a + b کامل کنیم. مساحت S این مربع (a + b)² است. از طرف دیگر، مربع از چهار مثلث قائم الزاویه مساوی تشکیل شده است که هر S برابر با ½ a b و مربعی با ضلع c است. S = 4 ½ a b + c² = 2 a b + c² بنابراین، (a + b)² = 2 a b + c²، از آنجا c² = a² + b² c c c c c a b

13 اسلاید

توضیحات اسلاید:

تاریخچه قضیه فیثاغورث تاریخچه قضیه فیثاغورث جالب است. اگرچه این قضیه با نام فیثاغورث همراه است، اما مدت ها قبل از او شناخته شده بود. در متون بابلی این قضیه 1200 سال قبل از فیثاغورث اتفاق می افتد. ممکن است که در آن زمان هنوز شواهد آن را نمی دانستند و خود رابطه بین هیپوتنوز و پاها به طور تجربی بر اساس اندازه گیری ها ایجاد شد. ظاهراً فیثاغورث دلیلی بر این رابطه پیدا کرد. افسانه ای باستانی به یادگار مانده است که فیثاغورث به افتخار کشف خود، یک گاو نر را قربانی خدایان کرد و بر اساس شواهد دیگر، حتی صد گاو نر را قربانی کرد. در طول قرون بعدی، شواهد مختلف دیگری از قضیه فیثاغورث پیدا شد. در حال حاضر، بیش از صد مورد از آنها وجود دارد، اما مشهورترین قضیه ساخت مربع با استفاده از یک مثلث قائم الزاویه معین است.

14 اسلاید

توضیحات اسلاید:

قضیه در چین باستان "اگر یک زاویه قائمه به اجزای تشکیل دهنده آن تجزیه شود، خطی که انتهای اضلاع آن را به هم متصل می کند، زمانی که پایه 3 و ارتفاع آن 4 باشد، 5 خواهد بود."

15 اسلاید

توضیحات اسلاید:

قضیه در مصر باستانکانتور (بزرگترین مورخ آلمانی ریاضیات) معتقد است که برابری 3 ² + 4 ² = 5² قبلاً در حدود 2300 قبل از میلاد برای مصریان شناخته شده بود. ه.، در زمان شاه آمنهات (طبق پاپیروس 6619 موزه برلین). به گفته کانتور، هارپدوناپت‌ها یا «طناب‌ها» با استفاده از مثلث‌های قائم‌الزاویه با ضلع‌های ۳، ۴ و ۵، زوایای قائمه می‌ساختند.

16 اسلاید

توضیحات اسلاید:

درباره قضیه در بابل: شایستگی اولین ریاضیدانان یونانی، مانند تالس، فیثاغورث و فیثاغورثی ها، کشف ریاضیات نیست، بلکه نظام مندسازی و اثبات آن است. در دست آنها، دستور العمل های محاسباتی مبتنی بر ایده های مبهم به یک علم دقیق تبدیل شده است.

17 اسلاید

توضیحات اسلاید:

چرا "شلوار فیثاغورثی در همه جهات برابر است"؟ برای دو هزار سال، رایج ترین اثبات قضیه فیثاغورث، اثبات اقلیدس بود. در کتاب معروف او «آغاز» آمده است. اقلیدس ارتفاع CH را از راس زاویه قائم به هیپوتنوس پایین آورد و ثابت کرد که ادامه آن مربع تکمیل شده روی هیپوتنوس را به دو مستطیل تقسیم می کند که مساحت آنها برابر است با مساحت مربع های مربوطه ساخته شده روی پاها. رسم مورد استفاده در اثبات این قضیه را به شوخی «شلوار فیثاغورثی» می نامند. برای مدت طولانی او را یکی از نمادهای علوم ریاضی می دانستند.

18 اسلاید

توضیحات اسلاید:

نگرش کودکان دوران باستان به اثبات قضیه فیثاغورث توسط دانش آموزان قرون وسطی بسیار دشوار تلقی می شد. دانش‌آموزان ضعیفی که قضایا را بدون درک به خاطر می‌سپردند و به همین دلیل «خر» نامیده می‌شدند، نتوانستند بر قضیه فیثاغورث، که مانند پلی غیرقابل عبور برایشان خدمت می‌کرد، غلبه کنند. به دلیل نقاشی های همراه با قضیه فیثاغورث، دانش آموزان آن را نیز نامیدند. اسیاب بادی"، شعرهایی مانند "شلوار فیثاغورثی از هر طرف برابر است" سروده است، کاریکاتور کشیده است.

19 اسلاید

توضیحات اسلاید:

اثبات قضیه ساده ترین اثبات قضیه در مورد مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین به دست می آید. در واقع، کافی است به کاشی کاری مثلث های قائم الزاویه متساوی الساقین نگاه کنیم تا ببینیم قضیه درست است. به عنوان مثال، برای مثلث ABC: مربع ساخته شده بر روی فرضیه AC شامل 4 مثلث اولیه و مربع های ساخته شده روی پاها شامل دو مثلث است.

20 اسلاید

توضیحات اسلاید:

«صندلی عروس» در شکل، مربع های ساخته شده روی پاها به صورت پلکانی در کنار هم قرار گرفته اند. این رقم، که در شواهد مربوط به قرن نهم پس از میلاد به دست آمده است، هندوها «صندلی عروس» می گفتند.

21 اسلاید

توضیحات اسلاید:

کاربرد قضیه فیثاغورث در حال حاضر، به طور کلی پذیرفته شده است که موفقیت در توسعه بسیاری از حوزه های علم و فناوری به توسعه حوزه های مختلف ریاضی بستگی دارد. یک شرط مهم برای افزایش راندمان تولید، معرفی گسترده روش های ریاضی در فناوری و اقتصاد ملی است که مستلزم ایجاد روش های جدید، روش های موثرتحقیقات کمی و کیفی، که به ما امکان می دهد مشکلاتی را که با تمرین مطرح می شود حل کنیم.

22 اسلاید

توضیحات اسلاید:

کاربرد قضیه در ساخت و ساز در ساختمان های سبک گوتیک و رومانسک، قسمت های بالایی پنجره ها توسط دنده های سنگی تقسیم می شود که نه تنها نقش زینت را ایفا می کند، بلکه به استحکام پنجره ها نیز کمک می کند.

23 اسلاید

توضیحات اسلاید:

24 اسلاید

توضیحات اسلاید:

کارهای تاریخی برای تعمیر دکل، باید 4 کابل نصب کنید. یک سر هر کابل باید در ارتفاع 12 متری و دیگری روی زمین در فاصله 5 متری از دکل ثابت شود. آیا 50 متر طناب برای محکم کردن دکل کافی است؟

قضیه فیثاغورث از دوران مدرسه برای همه شناخته شده بود. یک ریاضیدان برجسته حدس بزرگی را ثابت کرد که در حال حاضر توسط بسیاری از مردم استفاده می شود. این قانون به این صورت است: مجذور طول هیپوتنوز یک مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های پاها. برای چندین دهه، حتی یک ریاضیدان نتوانسته است این قانون را استدلال کند. از این گذشته ، فیثاغورث برای مدت طولانی به سمت هدف خود راه رفت ، به طوری که در نتیجه نقاشی ها در زندگی روزمره اتفاق افتاد.

یک آیه کوچک به این قضیه که اندکی پس از اثبات ابداع شد، مستقیماً خواص این فرضیه را ثابت می کند: "شلوار فیثاغورث در همه جهات برابر است." این دو خط در حافظه بسیاری از مردم سپرده شد - تا به امروز این شعر در محاسبات به یادگار مانده است.
این قضیه را «شلوار فیثاغورثی» نامیدند، زیرا هنگام ترسیم در وسط یک مثلث قائم الزاویه به دست می آمد که در اضلاع آن مربع وجود داشت. از نظر ظاهری، این نقاشی شبیه شلوار بود - از این رو نام این فرضیه است.
فیثاغورث به قضیه توسعه یافته افتخار می کرد، زیرا این فرضیه با حداکثر شواهد با فرضیه های مشابه خود متفاوت است. مهم: این معادله به دلیل 370 مدرک واقعی در کتاب رکوردهای گینس ثبت شد.
این فرضیه توسط تعداد زیادی از ریاضیدانان و اساتید از کشورهای مختلفاز بسیاری جهات. جونز، ریاضیدان انگلیسی، اندکی پس از اعلام این فرضیه، آن را با کمک یک معادله دیفرانسیل اثبات کرد.
در حال حاضر، هیچ کس اثبات این قضیه توسط خود فیثاغورث را نمی داند. حقایق در مورد شواهد یک ریاضیدان امروز برای کسی شناخته شده نیست. اعتقاد بر این است که اثبات نقاشی های اقلیدس، اثبات فیثاغورث است. با این حال، برخی از دانشمندان با این بیانیه استدلال می کنند: بسیاری بر این باورند که اقلیدس به طور مستقل این قضیه را بدون کمک خالق فرضیه اثبات کرد.
دانشمندان کنونی کشف کرده اند که این ریاضیدان بزرگ اولین کسی نبود که این فرضیه را کشف کرد.. این معادله مدت ها قبل از کشف فیثاغورث شناخته شده بود. این ریاضیدان تنها موفق شد این فرضیه را دوباره متحد کند.
فیثاغورث به معادله نام «قضیه فیثاغورث» نداده است.. این نام پس از "دو خط بلند" ثابت شد. این ریاضیدان فقط می خواست تمام دنیا تلاش ها و اکتشافات او را بشناسند و از آنها استفاده کنند.
موریتز کانتور - بزرگترین ریاضیدان که یادداشت هایی با نقاشی روی پاپیروس باستانی پیدا کرد و دید.. اندکی پس از آن، کانتور متوجه شد که این قضیه در اوایل سال 2300 قبل از میلاد برای مصریان شناخته شده بود. فقط در این صورت هیچ کس از آن استفاده نکرد و سعی نکرد آن را ثابت کند.
محققان فعلی معتقدند که این فرضیه در اوایل قرن هشتم قبل از میلاد شناخته شده بود. دانشمندان هندی آن زمان محاسبه تقریبی هیپوتنوس مثلثی را کشف کردند که دارای زوایای قائمه بود. درست است، در آن زمان هیچ کس نمی توانست معادله را با محاسبات تقریبی به طور قطع ثابت کند.
بارتل ون در واردن، ریاضیدان بزرگ، پس از اثبات این فرضیه، به نتیجه گیری مهمی دست یافت.: «شایستگی ریاضیدان یونانی را نه کشف جهت و هندسه، بلکه فقط توجیه آن می دانند. در دست فیثاغورث فرمول های محاسباتی بود که مبتنی بر فرضیات، محاسبات نادرست و ایده های مبهم بود. با این حال، دانشمند برجسته توانست آن را به یک علم دقیق تبدیل کند.
شاعر معروفی گفت که در روز کشف نقاشی خود، قربانی باشکوهی برای گاو نر برپا کرد.. پس از کشف این فرضیه بود که شایعاتی منتشر شد مبنی بر اینکه قربانی صد گاو نر «در صفحات کتاب ها و نشریات سرگردان شد». عقل تا به امروز به شوخی می گوید که از آن زمان همه گاو نر از یک کشف جدید می ترسند.
اثبات اینکه فیثاغورث برای اثبات نقاشی هایی که ارائه کرده است شعری در مورد شلوار نیاورده است: در طول زندگی ریاضیدان بزرگ هنوز شلواری وجود نداشت. آنها چندین دهه بعد اختراع شدند.
پکا، لایب نیتس و چندین دانشمند دیگر سعی کردند قضیه قبلا شناخته شده را اثبات کنند، اما هیچ کس موفق نشد.
نام نقاشی ها "قضیه فیثاغورث" به معنای "اقناع با گفتار" است.. این ترجمه کلمه فیثاغورس است که ریاضیدان آن را به عنوان نام مستعار گرفته است.
بازتاب فیثاغورث در مورد حکومت خود: راز آنچه روی زمین وجود دارد در اعداد نهفته است. از این گذشته، یک ریاضیدان با تکیه بر فرضیه خود، خواص اعداد را مطالعه کرد، زوج و فرد را آشکار کرد و نسبت ها را ایجاد کرد.

امیدواریم از انتخاب تصاویر لذت برده باشید - حقایق جالبدرباره قضیه فیثاغورث: چیزهای جدیدی در مورد قضیه معروف (15 عکس) به صورت آنلاین بیاموزید کیفیت خوب. لطفا نظر خود را در نظرات بگذارید! هر نظری برای ما مهم است.

پتانسیل خلاقیت معمولاً به علوم انسانی نسبت داده می شود و تحلیل علمی طبیعی، رویکرد عملی و زبان خشک فرمول ها و اعداد باقی می ماند. ریاضیات را نمی توان جزو رشته های علوم انسانی طبقه بندی کرد. اما بدون خلاقیت در "ملکه همه علوم" راه دوری نخواهید رفت - مردم مدتهاست که از این موضوع می دانند. مثلاً از زمان فیثاغورث.

متأسفانه، کتاب‌های درسی مدرسه معمولاً توضیح نمی‌دهند که در ریاضیات نه تنها به هم ریختن قضایا، بدیهیات و فرمول‌ها اهمیت دارد. درک و احساس اصول اساسی آن مهم است. و در عین حال، سعی کنید ذهن خود را از کلیشه ها و حقایق ابتدایی رها کنید - فقط در چنین شرایطی همه اکتشافات بزرگ متولد می شوند.

از جمله اکتشافاتی که امروزه به عنوان قضیه فیثاغورث می شناسیم. با کمک آن، ما سعی خواهیم کرد نشان دهیم که ریاضیات نه تنها می تواند، بلکه باید سرگرم کننده باشد. و اینکه این ماجراجویی نه تنها برای آدم‌های با لیوان‌های ضخیم، بلکه برای همه افرادی که از نظر ذهنی قوی و از نظر روحی قوی هستند مناسب است.

از تاریخچه موضوع

به بیان دقیق، اگرچه این قضیه "قضیه فیثاغورث" نامیده می شود، اما خود فیثاغورث آن را کشف نکرد. مثلث قائم الزاویه و خواص ویژه آن مدت ها قبل از آن مورد مطالعه قرار گرفته است. در این موضوع دو دیدگاه قطبی وجود دارد. طبق یک نسخه، فیثاغورث اولین کسی بود که اثبات کامل این قضیه را پیدا کرد. به گفته دیگری، اثبات متعلق به نویسنده فیثاغورث نیست.

امروز دیگر نمی توانید بررسی کنید که چه کسی درست می گوید و چه کسی اشتباه می کند. فقط معلوم است که اثبات فیثاغورث، اگر زمانی وجود داشته باشد، باقی نمانده است. با این حال، پیشنهاداتی وجود دارد که اثبات معروف عناصر اقلیدس ممکن است متعلق به فیثاغورس باشد، و اقلیدس فقط آن را ثبت کرده است.

امروزه نیز شناخته شده است که مشکلات مربوط به مثلث قائم الزاویه در منابع مصری از زمان فرعون آمنه هت اول، بر روی الواح گلی بابلی از سلطنت پادشاه حمورابی، در رساله هند باستانی Sulva Sutra و اثر چینی باستانی Zhou یافت می شود. -بی سون جین.

همانطور که می بینید، قضیه فیثاغورث از زمان های قدیم ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرده است. تقریباً 367 مدرک مختلف که امروزه وجود دارد به عنوان تأیید عمل می کند. هیچ قضیه دیگری از این نظر نمی تواند با آن رقابت کند. نویسندگان شواهد برجسته عبارتند از لئوناردو داوینچی و بیستمین رئیس جمهور ایالات متحده، جیمز گارفیلد. همه اینها حاکی از اهمیت فوق العاده این قضیه برای ریاضیات است: بیشتر قضایای هندسه از آن مشتق شده اند یا به نوعی با آن مرتبط هستند.

اثبات قضیه فیثاغورث

کتب درسی مدرسه اکثراً اثبات جبری می دهند. اما اصل قضیه در هندسه است، پس بیایید ابتدا آن دسته از براهین قضیه معروف را که مبتنی بر این علم هستند، در نظر بگیریم.

اثبات 1

برای ساده ترین اثبات قضیه فیثاغورث برای مثلث قائم الزاویه، باید تنظیم کنید شرایط ایده آل: اجازه دهید مثلث نه تنها مستطیلی، بلکه متساوی الساقین نیز باشد. دلایلی وجود دارد که باور کنیم این مثلثی است که در ابتدا توسط ریاضیدانان باستان مورد توجه قرار گرفته است.

بیانیه "مربع ساخته شده بر روی فرضیه مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های ساخته شده بر روی پاهای آن"را می توان با نقاشی زیر نشان داد:

به مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ABC نگاه کنید: روی هیپوتنوز AC می توانید مربعی متشکل از چهار مثلث برابر با ABC اصلی بسازید. و روی پاهای AB و BC بر مربعی ساخته شده که هر کدام شامل دو مثلث مشابه است.

به هر حال، این نقاشی اساس حکایات و کاریکاتورهای متعددی را تشکیل داد که به قضیه فیثاغورث اختصاص یافته است. شاید معروف ترین آنها باشد "شلوار فیثاغورثی در همه جهات برابر است":

اثبات 2

این روش جبر و هندسه را با هم ترکیب می کند و می تواند به عنوان گونه ای از اثبات هندی باستانی ریاضیدان بهاسکاری دیده شود.

یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع بسازید الف، ب و ج(عکس. 1). سپس دو مربع با اضلاع برابر با مجموع طول دو پایه بسازید - (الف + ب). در هر یک از مربع ها مانند شکل های 2 و 3 ساختارهایی ایجاد کنید.

در مربع اول، چهار مثلث مشابه شکل 1 بسازید. در نتیجه، دو مربع به دست می آید: یکی با ضلع a، دیگری با ضلع. ب.

در مربع دوم، چهار مثلث مشابه ساخته شده مربعی با ضلع برابر با هیپوتانوس تشکیل می دهند ج.

مجموع مساحت مربع های ساخته شده در شکل 2 برابر است با مساحت مربعی که در شکل 3 با ضلع c ساخته ایم. این را می توان به راحتی با محاسبه مساحت مربع ها در شکل 1 تأیید کرد. 2 طبق فرمول و مساحت مربع محاط شده در شکل 3. با کم کردن مساحت چهار مثلث قائم الزاویه مساوی که در مربع حک شده اند از مساحت یک مربع بزرگ با یک ضلع. (الف + ب).

با کنار گذاشتن همه اینها، داریم: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. پرانتزها را باز کنید، تمام محاسبات جبری لازم را انجام دهید و آن را بدست آورید a 2 + b 2 = a 2 + b 2. در همان زمان، مساحت حکاکی شده در شکل 3. مربع را نیز می توان با استفاده از فرمول سنتی محاسبه کرد S=c2. آن ها a2+b2=c2شما قضیه فیثاغورث را ثابت کردید.

اثبات 3

همان اثبات باستانی هندی در قرن دوازدهم در رساله «تاج دانش» («سیدانتا شیرومانی») شرح داده شده است، و نویسنده به عنوان استدلال اصلی از توسلی به استعدادهای ریاضی و قدرت مشاهده دانش آموزان استفاده می کند. پیروان: "نگاه کن!"

اما ما این اثبات را با جزئیات بیشتری تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

در داخل مربع، چهار مثلث قائم الزاویه همانطور که در نقاشی نشان داده شده است بسازید. ضلع مربع بزرگ که همان فرض نیز می باشد نشان داده می شود با. پاهای مثلث را صدا کنیم آو ب. طبق نقشه، ضلع مربع داخلی است (الف-ب).

از فرمول مساحت مربع استفاده کنید S=c2برای محاسبه مساحت مربع بیرونی و در همان زمان با جمع کردن مساحت مربع داخلی و مساحت چهار مثلث قائم الزاویه، همان مقدار را محاسبه کنید: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

می توانید از هر دو گزینه برای محاسبه مساحت مربع استفاده کنید تا مطمئن شوید که نتیجه یکسانی دارند. و این به شما این حق را می دهد که آن را بنویسید c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. در نتیجه حل، فرمول قضیه فیثاغورث را دریافت خواهید کرد c2=a2+b2. قضیه ثابت شده است.

اثبات 4

این اثبات کنجکاو چینی باستانی "صندلی عروس" نامیده می شود - به دلیل شکل صندلی مانندی که از تمام ساختارها حاصل می شود:

از نقشه‌ای استفاده می‌کند که قبلاً در شکل 3 در اثبات دوم دیده‌ایم. و مربع داخلی با ضلع c به همان روشی که در برهان هندی باستان ارائه شده در بالا ساخته شده است.

اگر به صورت ذهنی دو مثلث قائم الزاویه سبز را از نقاشی شکل 1 جدا کنید، آنها را به اضلاع مقابل مربع با ضلع c منتقل کنید و زیرپوست ها را به زیرپوتنوس مثلث های یاسی وصل کنید، شکلی به نام "عروس" دریافت خواهید کرد. صندلی» (شکل 2). برای وضوح، می توانید همین کار را با مربع ها و مثلث های کاغذی انجام دهید. خواهید دید که "صندلی عروس" از دو مربع تشکیل شده است: مربع های کوچک با یک طرف بو بزرگ با یک طرف آ.

این ساخت و سازها به ریاضیدانان چینی باستان و ما که آنها را دنبال می کنیم این امکان را می دهد که به این نتیجه برسیم c2=a2+b2.

اثبات 5

این روش دیگری برای یافتن راه حلی برای قضیه فیثاغورث بر اساس هندسه است. این روش گارفیلد نام دارد.

یک مثلث قائم الزاویه بسازید ABC. ما باید این را ثابت کنیم BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

برای این کار، پا را ادامه دهید ACو یک بخش بسازید سی دی، که برابر با ساق پا است AB. عمود پایین آگهیبخش خط ED. بخش ها EDو ACبرابر هستند. نقطه ها را به هم وصل کنید Eو AT، همچنین Eو از جانبو یک نقاشی مانند تصویر زیر دریافت کنید:

برای اثبات برج، دوباره به روشی که قبلاً آزمایش کرده ایم متوسل می شویم: مساحت شکل حاصل را به دو صورت پیدا می کنیم و عبارات را با یکدیگر برابر می کنیم.

مساحت یک چند ضلعی را پیدا کنید تختخوابرا می توان با اضافه کردن مساحت سه مثلث تشکیل دهنده آن انجام داد. و یکی از آنها ERU، نه تنها مستطیل، بلکه متساوی الساقین نیز می باشد. این را نیز فراموش نکنیم AB=CD, AC=EDو قبل از میلاد = پیش از میلاد- این به ما امکان می دهد ضبط را ساده کنیم و آن را بیش از حد بارگذاری نکنیم. بنابراین، S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

در عین حال بدیهی است که تختخوابذوزنقه است. بنابراین، مساحت آن را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: SABED=(DE+AB)*1/2AD. برای محاسبات ما، نمایش بخش راحت تر و واضح تر است آگهیبه عنوان مجموع بخش ها ACو سی دی.

بیایید هر دو روش را برای محاسبه مساحت یک شکل با قرار دادن علامت مساوی بین آنها بنویسیم: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). ما از برابری بخش هایی که قبلاً برای ما شناخته شده و در بالا توضیح داده شده است برای ساده کردن سمت راست نماد استفاده می کنیم: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. و اکنون پرانتزها را باز می کنیم و برابری را تغییر می دهیم: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. پس از اتمام تمام تحولات، دقیقاً آنچه را که نیاز داریم دریافت می کنیم: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. ما قضیه را ثابت کردیم.

البته این فهرست شواهد هنوز کامل نیست. قضیه فیثاغورث را می توان با استفاده از بردارها، اعداد مختلط، معادلات دیفرانسیل، استریومتری و غیره و حتی فیزیکدانان: اگر مثلاً مایع در حجم های مربع و مثلثی مشابه آنچه در نقشه ها نشان داده شده است ریخته شود. با ریختن مایع می توان تساوی مساحت ها و در نتیجه خود قضیه را اثبات کرد.

چند کلمه در مورد سه قلوهای فیثاغورثی

این موضوع در برنامه درسی مدرسه کم یا کم مطالعه شده است. در ضمن بسیار جالب است و در هندسه از اهمیت بالایی برخوردار است. سه گانه فیثاغورثی برای حل بسیاری از مسائل ریاضی استفاده می شود. ایده آنها می تواند در ادامه تحصیل برای شما مفید باشد.

پس سه قلوهای فیثاغورثی چیست؟ به این اعداد طبیعی می گویند که در سه عدد جمع آوری شده اند که مجموع مربع های دو عدد از آنها برابر با عدد سوم مجذور است.

سه گانه فیثاغورثی می تواند به شرح زیر باشد:

ابتدایی (هر سه عدد نسبتا اول هستند)؛
غیر ابتدایی (اگر هر عدد از یک سه گانه در همان عدد ضرب شود، یک سه گانه جدید به دست می آورید که ابتدایی نیست).

حتی قبل از دوران ما، مصریان باستان مجذوب شیدایی تعداد سه گانه فیثاغورثی بودند: در وظایف آنها مثلث قائم الزاویه با اضلاع 3.4 و 5 واحد را در نظر می گرفتند. به هر حال، هر مثلثی که اضلاع آن برابر با اعداد سه گانه فیثاغورثی باشد، به طور پیش فرض مستطیل شکل است.

نمونه هایی از سه گانه فیثاغورثی: (3، 4، 5)، (6، 8، 10)، (5، 12، 13)، (9، 12، 15)، (8، 15، 17)، (12، 16، 20))، (15، 20، 25)، (7، 24، 25)، (10، 24، 26)، (20، 21، 29)، (18، 24، 30)، (10، 30، 34) )، (21، 28، 35)، (12، 35، 37)، (15، 36، 39)، (24، 32، 40)، (9، 40، 41)، (27، 36، 45)، (14، 48، 50)، (30، 40، 50) و غیره.

کاربرد عملی قضیه

قضیه فیثاغورث نه تنها در ریاضیات، بلکه در معماری و ساخت و ساز، نجوم و حتی ادبیات نیز کاربرد دارد.

اول، در مورد ساخت و ساز: قضیه فیثاغورث در مسائل با سطوح مختلف پیچیدگی کاربرد گسترده ای در آن پیدا می کند. به عنوان مثال، به پنجره رمانسک نگاه کنید:

بیایید عرض پنجره را به عنوان نشان دهیم ب، سپس شعاع نیم دایره بزرگ را می توان به عنوان نشان داد آرو از طریق بیان کنید b: R=b/2. شعاع نیم دایره های کوچکتر را نیز می توان بر حسب بیان کرد b: r=b/4. در این مشکل، ما به شعاع دایره داخلی پنجره (بیایید آن را بنامیم). پ).

قضیه فیثاغورث فقط برای محاسبه مفید است آر. برای این کار از مثلث قائم الزاویه استفاده می کنیم که در شکل با خط نقطه چین مشخص شده است. هیپوتنوز مثلث از دو شعاع تشکیل شده است: b/4+p. یک پا شعاع است ب/4، یکی دیگر b/2-p. با استفاده از قضیه فیثاغورث می نویسیم: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. بعد، براکت ها را باز می کنیم و می گیریم b 2/16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. بیایید این عبارت را به bp/2=b 2/4-bp. و سپس تمام اصطلاحات را به تقسیم می کنیم ب، موارد مشابه را برای بدست آوردن می دهیم 3/2*p=b/4. و در پایان متوجه می شویم p=b/6- همان چیزی است که ما نیاز داشتیم.

با استفاده از قضیه، می توانید طول تیرهای سقف شیروانی را محاسبه کنید. ارتفاع برج را تعیین کنید ارتباطات سیارلازم است که سیگنال به حل و فصل خاصی برسد. و حتی به طور پیوسته درخت کریسمس را در میدان شهر نصب کنید. همانطور که می بینید، این قضیه نه تنها در صفحات کتاب های درسی زندگی می کند، بلکه اغلب در زندگی واقعی نیز مفید است.

تا آنجا که به ادبیات مربوط می شود، قضیه فیثاغورث از دوران باستان الهام بخش نویسندگان بوده است و امروزه نیز ادامه دارد. برای مثال، نویسنده آلمانی قرن نوزدهم آدلبرت فون چامیسو از او برای نوشتن غزل الهام گرفت:

نور حقیقت به زودی از بین نمی رود،
اما، با درخشش، بعید است که از بین برود
و مانند هزاران سال پیش،
باعث تردید و اختلاف نخواهد شد.

عاقلانه ترین زمانی که به چشم می رسد
نور حقیقت، خدا را شکر.
و صد گاو نر، چاقو خورده، دروغ می گویند -
هدیه برگشت فیثاغورث خوش شانس.

از آن زمان، گاو نر ناامیدانه غرش می کند:
برای همیشه قبیله گاو نر را برانگیخت
رویداد ذکر شده در اینجا

آنها فکر می کنند زمان آن فرا رسیده است
و باز هم قربانی خواهند شد
چند قضیه عالی

(ترجمه ویکتور توپوروف)

و در قرن بیستم، یوگنی ولتیستوف نویسنده شوروی در کتاب خود "ماجراهای الکترونیک" یک فصل کامل را به اثبات قضیه فیثاغورث اختصاص داد. و نیم فصل از یک داستان در مورد جهانی دو بعدی که اگر قضیه فیثاغورث به قانون اساسی و حتی دین برای یک جهان تبدیل شود، می تواند وجود داشته باشد. زندگی در آن بسیار ساده تر است، اما همچنین بسیار خسته کننده تر است: برای مثال، هیچ کس در آنجا معنای کلمات "گرد" و "کرکی" را نمی فهمد.

و نویسنده در کتاب "ماجراهای الکترونیک" از زبان معلم ریاضیات تاراتارا می گوید: "مهمترین چیز در ریاضیات حرکت فکر است، ایده های جدید." این پرواز خلاقانه فکر است که قضیه فیثاغورث را ایجاد می کند - بی جهت نیست که این همه شواهد متنوع دارد. این کمک می کند تا فراتر از حد معمول بروید و به چیزهای آشنا به روشی جدید نگاه کنید.

نتیجه

این مقاله به این منظور ایجاد شده است که شما بتوانید فراتر از برنامه درسی مدرسه در ریاضیات نگاه کنید و نه تنها برهان های قضیه فیثاغورث را که در کتاب های درسی "هندسه 7-9" (ال.اس. آتاناسیان، وی. ان. رودنکو) و "هندسه 7 -11" آورده شده است، بیاموزید. ” (A.V. Pogorelov) و همچنین راه های عجیب دیگری برای اثبات قضیه معروف. و همچنین نمونه هایی از نحوه اعمال قضیه فیثاغورث را در زندگی روزمره ببینید.

اولاً، این اطلاعات به شما این امکان را می دهد که برای نمرات بالاتر در کلاس های ریاضی واجد شرایط شوید - اطلاعات موضوعی از منابع اضافیهمیشه ارزش زیادی دارد

ثانیاً، ما می‌خواستیم به شما کمک کنیم تا درک کنید که ریاضیات چقدر جالب است. تا با مثال های خاص متقاعد شود که همیشه جایی برای خلاقیت در آن وجود دارد. امیدواریم قضیه فیثاغورث و این مقاله الهام بخش شما برای انجام تحقیقات و اکتشافات هیجان انگیز در ریاضیات و سایر علوم باشد.

اگر شواهد ارائه شده در مقاله را جالب دیدید، در نظرات به ما بگویید. آیا این اطلاعات را در مطالعات خود مفید دیدید؟ نظر خود را در مورد قضیه فیثاغورث و این مقاله با ما در میان بگذارید - ما خوشحال خواهیم شد که همه اینها را با شما در میان بگذاریم.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.