تابع معکوس x. مفهوم تابع معکوس
رونوشت
1 توابع معکوس متقابل دو تابع f و g به صورت متقابل معکوس نامیده می شوند اگر فرمول های y=f(x) و x=g(y) رابطه یکسانی را بین متغیرهای x و y بیان کنند، یعنی. اگر برابری y=f(x) درست باشد اگر و فقط اگر تساوی x=g(y) درست باشد: y=f(x) x=g(y) اگر دو تابع f و g متقابلا معکوس باشند، آنگاه g تابع معکوس f نامیده می شود و بالعکس، f تابع معکوس g است. به عنوان مثال، y=10 x و x=lgy توابع معکوس متقابل هستند. شرط وجود یک تابع متقابل معکوس تابع f معکوس دارد اگر از رابطه y=f(x) متغیر x را بتوان به طور یکتا بر حسب y بیان کرد. توابعی وجود دارند که بیان یک آرگومان از طریق مقدار داده شده تابع غیرممکن است. به عنوان مثال: 1. y= x. برای یک عدد مثبت معین y، دو مقدار آرگومان x وجود دارد که x = y. به عنوان مثال، اگر y \u003d 2، سپس x \u003d 2 یا x \u003d - 2. از این رو، بیان x به طور منحصر به فرد از طریق y غیرممکن است. بنابراین این تابع معکوس متقابل ندارد. 2. y=x 2. x=، x= - 3. y=sinx. برای مقدار مشخصی از y (y 1)، بی نهایت مقادیر x وجود دارد به طوری که y=sinx. تابع y=f(x) معکوس دارد اگر هر خط y=y 0 نمودار تابع y=f(x) را در بیش از یک نقطه قطع کند (اگر y 0 نباشد، ممکن است اصلا نمودار را قطع نکند. متعلق به محدوده تابع f) است. این شرط را می توان به طور متفاوت فرموله کرد: معادله f(x)=y 0 برای هر y 0 بیش از یک جواب ندارد. شرطی که یک تابع دارای معکوس باشد، اگر تابع به شدت افزایش یا کاهش یابد، قطعاً برآورده می شود. اگر f به شدت افزایش می یابد، برای دو مقدار مختلف آرگومان مقادیر متفاوتی می گیرد، زیرا مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر تابع مطابقت دارد. بنابراین، معادله f(x)=y برای یک تابع کاملاً یکنواخت حداکثر یک جواب دارد. تابع نمایی y \u003d a x کاملاً یکنواخت است، بنابراین تابع لگاریتمی معکوس دارد. بسیاری از توابع معکوس ندارند. اگر برای مقداری b معادله f(x)=b بیش از یک جواب داشته باشد، تابع y=f(x) معکوس ندارد. در نمودار، این بدان معنی است که خط y=b نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع می کند. به عنوان مثال، y \u003d x 2؛ y=sinx; y=tgx.
2 ابهام حل معادله f(x)=b را می توان در صورتی حل کرد که دامنه تعریف تابع f کاهش یابد تا محدوده مقادیر آن تغییر نکند، اما هر یک از مقادیر آن را بگیرد. یکبار به عنوان مثال، y=x 2، x 0; y=sinx، ; y=tgx،. قانون کلیپیدا کردن تابع معکوس برای تابع: 1. حل معادله برای x، ما پیدا می کنیم. 2. با تغییر نام متغیر x به y و y به x، تابع معکوس به تابع داده شده را دریافت می کنیم. خصوصیات توابع معکوس متقابل Identities فرض کنید f و g توابع معکوس متقابل باشند. این بدان معنی است که برابری های y=f(x) و x=g(y) معادل هستند: f(g(y))=y و g(f(x))=x. برای مثال، 1. فرض کنید f یک تابع نمایی و g یک تابع لگاریتمی باشد. دریافت می کنیم: i. 2. توابع y \u003d x 2، x 0 و y \u003d متقابل معکوس هستند. ما دو هویت داریم: و برای x 0. دامنه تعریف فرض کنید f و g متقابلاً معکوس باشند. دامنه تابع f با دامنه تابع g منطبق است و بالعکس دامنه تابع f با دامنه تابع g منطبق است. مثال. دامنه تابع نمایی کل محور اعداد R است و دامنه مقادیر آن مجموعه تمام اعداد مثبت است. تابع لگاریتمی مخالف است: دامنه تعریف مجموعه همه اعداد مثبت است و دامنه مقادیر کل مجموعه R است. افزایش می یابد. اثبات فرض کنید x 1 و x 2 دو عددی باشند که در دامنه تابع g و x 1 قرار دارند 3 نمودار توابع معکوس متقابل قضیه. فرض کنید f و g دو تابع معکوس باشند. نمودارهای توابع y=f(x) و x=g(y) نسبت به نیمساز زاویه Howe متقارن هستند. اثبات با تعریف توابع معکوس متقابل، فرمول‌های y=f(x) و x=g(y) وابستگی یکسانی را بین متغیرهای x و y بیان می‌کنند، به این معنی که این وابستگی توسط همان نمودار منحنی C نشان داده می‌شود. C یک نمودار توابع y=f(x) است. یک نقطه دلخواه P(a; b) C را در نظر بگیرید. این بدان معنی است که b=f(a) و در همان زمان a=g(b). اجازه دهید یک نقطه Q متقارن با نقطه P با توجه به نیمساز زاویه how بسازیم. نقطه Q دارای مختصات (b; a) خواهد بود. از آنجایی که a=g(b)، پس نقطه Q متعلق به نمودار تابع y=g(x) است: در واقع، برای x=b مقدار y=a برابر است با g(x). بنابراین، تمام نقاط متقارن با نقاط منحنی C با توجه به خط مستقیم مشخص شده در نمودار تابع y \u003d g (x) قرار دارند. نمونه هایی از توابع گرافیکی که متقابلاً معکوس هستند: y=e x و y=lnx. y=x 2 (x 0) و y= ; y=2x4 و y=+2. 4 مشتق یک تابع معکوس، فرض کنید f و g دو تابع معکوس باشند. نمودارهای توابع y=f(x) و x=g(y) نسبت به نیمساز زاویه Howe متقارن هستند. بیایید یک نقطه x=a بگیریم و مقدار یکی از توابع را در این نقطه محاسبه کنیم: f(a)=b. سپس با تعریف تابع معکوس g(b)=a. نقاط (a; f(a))=(a; b) و (b; g(b))=(b; a) نسبت به خط l متقارن هستند. از آنجایی که منحنی ها متقارن هستند، مماس های آنها نیز نسبت به خط l متقارن هستند. از تقارن، زاویه یکی از خطوط با محور x برابر است با زاویه خط دیگر با محور y. اگر خط مستقیم یک زاویه α با محور x تشکیل دهد، شیب آن برابر k 1 =tgα است. سپس خط دوم دارای شیب k 2 =tg(α)=ctgα= است. بنابراین، ضرایب شیب خطوط متقارن نسبت به خط l متقابلا معکوس هستند، یعنی. k 2 =، یا k 1 k 2 = 1. با گذر از مشتقات و با در نظر گرفتن اینکه شیب مماس مقدار مشتق در نقطه تماس است، نتیجه می گیریم: مقادیر مشتقات توابع معکوس متقابل در نقاط مربوطه، متقابلاً معکوس هستند، به عنوان مثال. 1. ثابت کنید که تابع f(x)=x 3، برگشت پذیر است. تصمیم گیری y=f(x)=x 3. تابع معکوس تابع y=g(x)= خواهد بود. بیایید مشتق تابع g: را پیدا کنیم. آن ها =. وظیفه 1. ثابت کنید که تابع داده شده توسط فرمول معکوس است 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 5 مثال 2. تابع معکوس تابع y=2x+1 را پیدا کنید. تصمیم گیری تابع y \u003d 2x + 1 در حال افزایش است ، بنابراین معکوس دارد. x را تا y بیان می کنیم: دریافت می کنیم.. با عطف به نماد پذیرفته شده کلی، پاسخ: وظیفه 2. توابع معکوس این توابع را بیابید 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) سخنرانی 20 قضیه مشتق یک تابع مختلط. فرض کنید y = f(u) و u= u(x). تابع y را بسته به آرگومان x دریافت می کنیم: y = f(u(x)). آخرین تابع تابع تابع یا تابع مختلط نامیده می شود. فصل 9 درجه یک درجه با توان عدد صحیح. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. اگر حتی، پس ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). به عنوان مثال، () => = = ()، بنابراین آنچه ما مطالعه خواهیم کرد: درس با موضوع: بررسی یک تابع برای یکنواختی. کاهش و افزایش توابع. رابطه بین مشتق و یکنواختی یک تابع. دو قضیه مهم یکنواختی. مثال ها. بچه ها، ما معادله خطی a x = b دارای: تنها راه حل، برای 0; مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها، برای a = 0، b = 0. هیچ راه حلی ندارد، برای a = 0، b 0. معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 دارای: دو متفاوت است. 6 مسائلی که منجر به مفهوم مشتق می شود بگذارید یک نقطه مادی طبق قانون s f (t) در یک خط مستقیم در یک جهت حرکت کند، جایی که t زمان است و s مسیر طی شده توسط نقطه در زمان t به لحظه معینی توجه کنید. بانک وظایف با موضوع ریاضیات "نشری" پایه 11 (پایه) دانش آموزان باید بدانند / درک کنند: مفهوم مشتق. تعریف مشتق. قضایا و قواعد برای یافتن مشتقات حاصل جمع، تفاوت، حاصلضرب حس هندسیمشتق نمودار تابع y=f(x) و مماس در نقطه P 0 (x 0 ؛ f(x 0)) را در نظر بگیرید. در این نقطه شیب مماس بر نمودار را پیدا کنید. زاویه تمایل مماس Р 0 تابع درجه دوم در مسائل مختلف Dikhtyar MB اطلاعات پایه تابع درجه دوم (مثلثی مربع) تابعی از شکل y ax bx c است که در آن abc، اعداد داده شده و توابع درجه دوم y مفهوم تابع مشتق اجازه دهید یک تابع تعریف شده بر روی یک مجموعه X داشته باشیم و یک نقطه X یک نقطه داخلی باشد، نقطه ای که برای آن همسایگی X وجود دارد. هر نقطه را بگیرید و آن را با علامت گذاری کنید نامیده می شود. سخنرانی 5 مشتقات توابع ابتدایی پایه چکیده: تفاسیر فیزیکی و هندسی مشتق تابع یک متغیر آورده شده است، نمونه هایی از تمایز یک تابع و یک قانون در نظر گرفته شده است. 1 SA Lavrenchenko سخنرانی 12 توابع معکوس 1 مفهوم تابع معکوس تعریف 11 یک تابع اگر بیش از یک بار مقداری را دریافت نکند یک به یک نامیده می شود. گروه ریاضی و انفورماتیک عناصر ریاضی عالی مجتمع آموزشی و روش شناختی برای دانش آموزان دوره متوسطه حرفه ای که با استفاده از فناوری های راه دور تحصیل می کنند ماژول حساب دیفرانسیل گردآوری شده توسط: فصل 5 بررسی توابع با استفاده از فرمول تیلور اکسترم محلی یک تابع تعریف ماژول «کاربرد پیوستگی و مشتق. کاربرد مشتق در مطالعه توابع. کاربرد پیوستگی.. روش فواصل.. مماس بر نمودار. فرمول لاگرانژ 4. کاربرد مشتق سخنرانی 9. مشتقات و دیفرانسیل های مرتبه بالاتر، خواص آنها. نقاط افراطی تابع. قضایای فرما و رول. اجازه دهید تابع y در قسمتی [b] قابل تفکیک باشد. در این مورد، مشتق آن گروه ریاضی و انفورماتیک تجزیه و تحلیل ریاضی مجتمع آموزشی و روش شناسی برای دانشجویان HPE در حال تحصیل با استفاده از فناوری های راه دور ماژول 4 کاربردهای مشتق گردآوری شده توسط: دانشیار فصل 1. محدودیت ها و تداوم 1. مجموعه های عددی 1 0. اعداد واقعی از ریاضیات مدرسه می دانید N اعداد صحیح طبیعی Z اعداد Q گویا و R واقعی اعداد طبیعی و صحیح سخنرانی 19 مشتق و کاربردهای آن. تعریف مشتق. اجازه دهید یک تابع y=f(x) در یک بازه تعریف شده داشته باشیم. برای هر مقدار آرگومان x از این بازه، تابع y=f(x) حساب دیفرانسیل مفاهیم و فرمول های اساسی تعریف 1 مشتق تابع در یک نقطه را حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان می گویند مشروط بر اینکه افزایش آرگومان مبحث 8. توابع نمایی و لگاریتمی. 1. تابع نمایی، نمودار آن و خصوصیات شکل y=a x، 44 مثال مشتق کل یک تابع مختلط = sin v cos w را پیدا کنید که در آن v = ln + 1 w = 1 طبق فرمول (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 اکنون دیفرانسیل کل را پیدا می کنیم. تابع مختلط f وظایف برای تصمیم گیری مستقل دامنه تابع 6x را پیدا کنید. مماس زاویه میل بر محور x مماس عبوری از نقطه M (;) نمودار تابع را بیابید. مماس یک زاویه را پیدا کنید مبحث تابع عددی، خصوصیات و نمودار آن مفهوم تابع عددی حوزه تعریف و مجموعه مقادیر یک تابع اجازه دهید مجموعه عددی X داده شود قاعده ای که هر عدد X را با یک عدد منحصر به فرد مطابقت دهد. سخنرانی 23 محدب و مقعر نمودار تابع نقطه جوهر نمودار تابع y \u003d f (x) در بازه (a؛ b) محدب نامیده می شود اگر زیر هر یک از مماس های آن در این بازه قرار گیرد. نمودار موضوع تئوری حدود تمرین عملی دنباله های عددی تعریف دنباله عددی دنباله های محدود و نامحدود دنباله های یکنواخت بی نهایت کوچک توابع عددی و دنباله های عددی DV Lytkina NPP، ترم I DV Lytkina (SibSUTI) تجزیه و تحلیل ریاضی NPP، ترم I 1 / 35 مطالب 1 تابع عددی مفهوم تابع توابع عددی. بانک وظایف با موضوع "نشریه" کلاس ریاضیات (نمایه) دانش آموزان باید بدانند / درک کنند: مفهوم مشتق. تعریف مشتق. قضایا و قواعد برای یافتن مشتقات حاصل جمع، تفاوت، حاصلضرب آ. آ. ریاضیات دالینگر: تابع مثلث یک کتاب درسی برای دعوا، ویرایش، تصحیح و تکمیل شده توسط است اشاره شده است A.V. ریاضیات Zemlyanko. جبر و آغاز تحلیل Voronezh مطالب موضوع 1. ویژگی های اصلی تابع... 6 1.1. تابع عددی ... 6 1.2. نمودار تابع ... 9 1.3. تبدیل نمودارهای تابع ... موضوع. عملکرد. روش های کار تابع ضمنی تابع معکوس. طبقه بندی توابع عناصر تئوری مجموعه ها. مفاهیم پایه یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات مدرن مفهوم مجموعه است. اجازه دهید یک مجموعه عددی D R داده شود.اگر یک عدد منفرد y به هر عدد x D اختصاص داده شود، می گوییم که یک تابع عددی روی مجموعه D داده می شود: y = f (x)، x D. مجموعه D نامیده می شود. توابع چند متغیر 11. تعریف تابعی از چند متغیر. حد و تداوم FNP 1. تعریف تابعی از چند متغیر DEFINITION. اجازه دهید X = ( 1 n i X i R ) U R. تابع ریاضیات برای همه Yu.L.Kalinovskiy محتویات 1 نمودار توابع. قسمت اول.............................. 5 1.1 مقدمه 5 1.1.1 مفهوم مجموعه... ... ...................................... 5 1.1. کار عملی 6 موضوع: «مطالعه کامل توابع. ساخت نمودارها "هدف کار: یادگیری نحوه کاوش توابع طبق یک طرح کلی و ساخت نمودارها. در نتیجه کار، دانش آموز باید: فصل 8 توابع و نمودارها متغیرها و وابستگی های بین آنها. دو کمیت و اگر نسبت آنها ثابت باشد مستقیماً متناسب نامیده می شوند، یعنی اگر =، کجا یک عدد ثابت است که با تغییر تغییر نمی کند. سخنرانی 2. عملیات با زیر فضاها، تعداد پایه ها، تعداد پایه ها و تعداد زیرفضاهای بعد k. نتایج اصلی سخنرانی 2. 1) U V، U + V، dim(u + V). 2) شمارش تعداد هواپیماها در F 4 2. سوال 5. عملکرد، راه های تنظیم. نمونه هایی از توابع ابتدایی و گرافیک آنها. اجازه دهید دو مجموعه دلخواه X و Y داده شوند. یک تابع قاعده ای است که طبق آن هر عنصر از مجموعه X می تواند پیدا کند. سخنرانی 4 توابع عددی یک متغیر واقعی مفهوم یک تابع روش های تعریف یک تابع ویژگی های اساسی توابع تابع مختلط 4 تابع معکوس مفهوم یک تابع روش های تعریف یک تابع اجازه دهید D سخنرانی ها فصل توابع چندین متغیر مفاهیم اساسی برخی از توابع چندین متغیر به خوبی شناخته شده اند. بیایید چند مثال بزنیم برای محاسبه مساحت یک مثلث، فرمول هرون S شناخته شده است. تداوم توابع تداوم یک تابع در یک نقطه محدودیت های یک طرفه تعریف عدد A حد چپ تابع f(x) نامیده می شود زیرا اگر چنین عددی برای هر عددی وجود داشته باشد x به a تمایل دارد. کار تحقیقی ریاضیات "کاربرد خواص اکسترومی یک تابع برای حل معادلات" تکمیل شده توسط: النا گودکووا، دانش آموز کلاس 11 "G" مدرسه متوسطه MBOU "Anninsky Lyceum" p.g.t. سر آنا: آژانس فدرال آموزش ----- دانشگاه پلی تکنیک ایالتی سنت پترزبورگ AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Chaikina Mathematics توابع ابتدایی و نمودارهای آنها آموزشی توابع متغیرهای چندگانه توابع یک متغیر مستقل همه وابستگی های موجود در طبیعت را پوشش نمی دهند. بنابراین طبیعی است که مفهوم شناخته شده وابستگی عملکردی را گسترش داده و معرفی کنیم تابع مفهوم تابع روشهای تعریف تابع ویژگیهای تابع معکوس حد تابع حد تابع در نقطه محدودیتهای یک طرفه حد تابع در x تابع بی نهایت بزرگ 4 سخنرانی بخش حساب دیفرانسیل توابع یک و چند متغیر تابع آرگومان واقعی اعداد واقعی اعداد صحیح مثبت را اعداد طبیعی می نامند افزودن به اعداد طبیعی Sergei A Belyaev صفحه 1 حداقل ریاضی قسمت 1 نظری 1 آیا تعریف صحیح است کمترین مضرب مشترک دو اعداد صحیح کوچکترین عددی است که بر هر یک از اعداد داده شده بخش پذیر است. بخش 2 نظریه حدود موضوع دنباله های عددی تعریف دنباله عددی 2 دنباله محدود و نامحدود 3 دنباله یکنواخت 4 بی نهایت کوچک و تمایز یک تابع ضمنی تابع (,) = C را در نظر بگیرید (C = const) این معادله یک تابع ضمنی را تعریف می کند () فرض کنید این معادله را حل کرده ایم و یک عبارت صریح پیدا کرده ایم = () حالا می توانیم تکالیف آزمایشی برای آمادگی برای امتحان در رشته "ریاضیات" برای دانش آموزان بخش مکاتبات مشتق تابع y \u003d f () نامیده می شود: f A) B) f C) f f اگر در یک محله از نقطه عملکرد متغیرها و ثابت ها در نتیجه اندازه گیری مقادیر فیزیکی(زمان، مساحت، حجم، جرم، سرعت و غیره) مقادیر عددی آنها تعیین می شود. ریاضیات با کمیت ها سر و کار دارد، حواس پرتی تجزیه و تحلیل ریاضی بخش: مقدمه ای بر تجزیه و تحلیل موضوع: مفهوم یک تابع (تعریف اساسی، طبقه بندی، ویژگی های اصلی رفتار) مدرس Rozhkova S.V. 2012 ادبیات Piskunov N.S. دیفرانسیل درس 7 قضایای مقدار میانگین. قانون L'Hôpital 7. قضایای ارزش میانگین قضایای ارزش میانگین سه قضیه هستند: رول، لاگرانژ و کوشی، که هر کدام قضیه قبلی را تعمیم می‌دهند. این قضایا نیز نامیده می شوند سخنرانی تهیه شده توسط Assoc. تمایز توابع یک متغیر مفهوم مشتق، معنای هندسی و فیزیکی آن مسائلی که منجر به مفهوم مشتق می شود تعریف مماس S به خط y f (x) در نقطه A x ; f( 13. مشتقات جزئی مرتبه های بالاتر اجازه دهید = داشته باشند و روی D O تعریف شده باشند. و به طور کلی وزارت آموزش و پرورش جمهوری بلاروس مؤسسه آموزشی "دانشگاه دولتی GRODNO به نام YANKA KUPALA" Yu.Yu. Gnezdovsky، V.N. Gorbuzov، P.F. پرونویچ نمایی و لگاریتمی فصل سخنرانی مجموعه ها و عملیات روی آنها مفهوم مجموعه مفهوم مجموعه به ابتدایی ترین مفاهیم ریاضی اشاره دارد که از طریق مفاهیم ساده تر تعریف نمی شوند. سخنرانی 8 تمایز یک تابع مختلط یک تابع مختلط را در نظر بگیرید که در آن ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t سخنرانی 3 مادون تابعی از چندین متغیر اجازه دهید تابعی از چندین متغیر u = f (x, x) در دامنه D تعریف شود و نقطه x (x, x) = متعلق به این دامنه باشد تابع u = f ( x، x) دارد سوال نابرابری ها، سیستمی از نابرابری های خطی عباراتی را در نظر بگیرید که حاوی یک علامت نابرابری و یک متغیر هستند:. >، - + x نابرابری های خطی با یک متغیر x هستند. 0 - نابرابری مربع. بخش مشکل با پارامترها نظرات وظایف با پارامترها به طور سنتی وظایف پیچیده ای هستند ساختار استفاده کنیداز متقاضی نه تنها در اختیار داشتن کلیه روش ها و تکنیک ها برای حل های مختلف می خواهد 2.2.7. استفاده از دیفرانسیل در محاسبات تقریبی. دیفرانسیل تابع y = به x بستگی دارد و قسمت اصلی افزایش x است. همچنین می توانید از فرمول استفاده کنید: dy d سپس خطای مطلق: فصل 6 حساب دیفرانسیل تابع یک متغیر مسائلی که منجر به مفهوم مشتق می شود مسئله سرعت حرکت غیر یکنواخت مستطیل خط مستقیم روی صفحه معادله کلی یک خط مستقیم. قبل از ورود معادله کلیخط در یک هواپیما، تعریف کلی یک خط را معرفی می کنیم. تعریف. معادله ای به شکل F(x,y)=0 (1) معادله خط L نامیده می شود. کمیته آموزش عمومی و حرفه ای منطقه لنینگراد قوانین مشتق و تمایز اجازه دهید تابع y = f افزایش یابد y f 0 f 0 مربوط به افزایش آرگومان 0 تعریف اگر محدودیتی در نسبت افزایش تابع y به فراخوان وجود داشته باشد. دانشگاه فنی دولتی مسکو به نام N.E. باومن دانشکده علوم بنیادی گروه مدل سازی ریاضی А.Н. کاناتنیکوف، A.P. کریشنکو توابع معکوس مسائل مربوط به توابع معکوس در شاخه های مختلف ریاضیات و در کاربردهای آن رخ می دهد.یکی از حوزه های مهم ریاضیات مسائل معکوس در نظریه انتگرال است. سیستم وظایف با موضوع "معادله مماسی" علامت شیب مماس رسم شده به نمودار تابع y f () را در نقاطی با ابسیساهای a, b, c a) تعیین کنید. اجازه دهید مجموعه های $X$ و $Y$ در مجموعه اعداد واقعی گنجانده شوند. اجازه دهید مفهوم تابع معکوس را معرفی کنیم. تعریف 1 تابع $f:X\to Y$ که یک مجموعه $X$ را در یک مجموعه $Y$ نگاشت می کند، وارونگی نامیده می شود اگر برای هر عنصر $x_1,x_2\in X$ از این واقعیت نتیجه می گیرد که $x_1\ne x_2$ که $f(x_1 )\ne f(x_2)$. اکنون می‌توانیم مفهوم تابع معکوس را معرفی کنیم. تعریف 2 اجازه دهید تابع $f:X\to Y$ که مجموعه $X$ را در مجموعه $Y$ نگاشت می‌کند، معکوس باشد. سپس تابع $f^(-1):Y\to X$ مجموعه $Y$ را در مجموعه $X$ نگاشت و با شرط $f^(-1)\left(y\right)=x$ تعریف می شود. معکوس $f(x)$ نامیده می شود. بیایید قضیه را فرموله کنیم: قضیه 1 اجازه دهید تابع $y=f(x)$ تعریف شود، به طور یکنواخت افزایش (کاهش) و پیوسته در بازه ای $X$. سپس در بازه مربوطه $Y$ مقادیر این تابع، تابع معکوس دارد که در بازه $Y$ نیز بصورت یکنواخت افزایش (کاهش) و پیوسته است. اکنون به طور مستقیم مفهوم توابع معکوس متقابل را معرفی می کنیم. تعریف 3 در چارچوب تعریف 2، توابع $f(x)$ و $f^(-1)\left(y\right)$ توابع معکوس متقابل نامیده می شوند. اجازه دهید توابع $y=f(x)$ و $x=g(y)$ متقابلا معکوس باشند، سپس $y=f(g\چپ(y\راست))$ و $x=g(f(x))$ دامنه تابع $y=f(x)$ برابر است با دامنه مقدار تابع $\ x=g(y)$. و دامنه تابع $x=g(y)$ برابر است با دامنه مقدار تابع $\ y=f(x)$. نمودارهای توابع $y=f(x)$ و $x=g(y)$ نسبت به خط مستقیم $y=x$ متقارن هستند. اگر یکی از توابع افزایش (کاهش) داشته باشد، تابع دیگر نیز افزایش می یابد (کاهش). معادله $y=f(x)$ با توجه به متغیر $x$ حل می شود. از ریشه های به دست آمده، آنهایی که به بازه $X$ تعلق دارند پیدا می شوند. $x$ پیدا شده به عدد $y$ اختصاص داده می شود. مثال 1 تابع معکوس را برای تابع $y=x^2$ در بازه $X=[-1,0]$ پیدا کنید. از آنجایی که این تابع در بازه $X$ نزولی و پیوسته است، پس در بازه $Y=$ که در این بازه نیز نزولی و پیوسته است (قضیه 1). $x$ را محاسبه کنید:
\ \ $x$ مناسب را انتخاب کنید: پاسخ:تابع معکوس $y=-\sqrt(x)$. در این قسمت برای برخی از توابع ابتدایی توابع معکوس در نظر می گیریم. وظایف طبق طرحی که در بالا ارائه شده است حل می شود. مثال 2 تابع معکوس تابع $y=x+4$ را پیدا کنید $x$ را از معادله $y=x+4$ پیدا کنید: مثال 3 تابع معکوس تابع $y=x^3$ را پیدا کنید تصمیم گیری از آنجایی که تابع در کل دامنه تعریف افزایش و پیوسته است، پس با قضیه 1، تابع معکوس پیوسته و فزاینده بر روی آن دارد. $x$ را از معادله $y=x^3$ پیدا کنید: یافتن مقادیر مناسب $x$ مقدار در مورد ما مناسب است (زیرا دامنه همه اعداد است) با تعریف مجدد متغیرها، متوجه می شویم که تابع معکوس شکل دارد مثال 4 تابع معکوس تابع $y=cosx$ را در بازه $$ پیدا کنید تصمیم گیری تابع $y=cosx$ را در مجموعه $X=\left$ در نظر بگیرید. در مجموعه $X$ پیوسته و در حال کاهش است و مجموعه $X=\left$ را روی مجموعه $Y=[-1,1]$ ترسیم می‌کند، بنابراین، با قضیه وجود تابع یکنواخت معکوس پیوسته، تابع $y=cosx$ در مجموعه $Y$ یک تابع معکوس وجود دارد که آن نیز پیوسته است و در مجموعه $Y=[-1,1]$ افزایش می‌یابد و مجموعه $[-1,1]$ را ترسیم می‌کند. به مجموعه $\left$. $x$ را از معادله $y=cosx$ پیدا کنید: یافتن مقادیر مناسب $x$ با تعریف مجدد متغیرها، متوجه می شویم که تابع معکوس شکل دارد مثال 5 تابع معکوس تابع $y=tgx$ را در بازه $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ پیدا کنید. تصمیم گیری تابع $y=tgx$ را در مجموعه $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ در نظر بگیرید. در مجموعه $X$ پیوسته و در حال افزایش است و مجموعه $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ را روی مجموعه $Y نگاشت می کند. =R$، بنابراین با قضیه وجود تابع یکنواخت معکوس پیوسته، تابع $y=tgx$ در مجموعه $Y$ تابع معکوس دارد که این تابع نیز پیوسته است و در مجموعه $Y=R افزایش می یابد. $ و مجموعه $R$ را روی مجموعه $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ ترسیم می کند. $x$ را از معادله $y=tgx$ پیدا کنید: یافتن مقادیر مناسب $x$ با تعریف مجدد متغیرها، متوجه می شویم که تابع معکوس شکل دارد 2. نظریه توابع معکوس معکوس توابع مثلثاتی
تعریف تابع معکوس تعریف.
اگر تابع f(x) یک تناظر یک به یک بین دامنه X و دامنه آن Y تعریف کند (به عبارت دیگر، در صورت وجود معانی مختلفآرگومان مربوط به مقادیر مختلف تابع است، سپس گفته می شود که تابع f(x) دارد تابع معکوسیا چی عملکردf(ایکس) برگشت پذیر است. تعریف.
یک تابع معکوس قاعده ای است که هر عددی را نشان می دهد درє
دربا یک عدد مطابقت دارد ایکسє
ایکسو y=f(x). ناحیه تعریف معکوس تابع دارای یک مجموعه Y، محدوده - X است. قضیه ریشه
اجازه دهید تابع f در بازه I افزایش (یا کاهش) پیدا کند، عدد a - هر یک از مقادیر گرفته شده توسط f در این بازه. سپس معادله f(x)=a یک ریشه منحصر به فرد در بازه I دارد. اثبات
یک تابع افزایشی f را در نظر بگیرید (در مورد یک تابع کاهشی، استدلال مشابه است). با فرض، یک عدد b در بازه I وجود دارد به طوری که f(b)=a. اجازه دهید نشان دهیم که b تنها ریشه معادله f(x)=a است. فرض کنید در بازه I نیز یک عدد وجود دارد ج≠
b، طوری که f(c)=a. سپس یا با قضیه تابع معکوس
اگر یک تابع f در بازه I افزایش (یا کاهش) پیدا کند، معکوس پذیر است. تابع g معکوس به f که در محدوده f تعریف شده است نیز در حال افزایش (به ترتیب کاهش) است. اثبات
برای قطعیت فرض کنید که تابع f در حال افزایش است. وارونگی تابع f نتیجه آشکار قضیه ریشه است. بنابراین، باید ثابت کنیم که تابع g، معکوس به f، در مجموعه E(f) در حال افزایش است. فرض کنید x 1 و x 2 مقادیر دلخواه از E(f) باشند، به طوری که x 2 > x 1 و y 1 = g (x 1)، y 2 = g ( x 2 ).
طبق تعریف، تابع معکوس x 1 = f (y 1) و x 2 = f (y 2). با استفاده از این شرط که f یک تابع افزایشی است، متوجه می‌شویم که فرض y 1≥ y 2 به نتیجه f (y 1) > f (y 2) می‌رسد، یعنی x 1 > x 2. این هست با فرض x 2 > x 1 در تضاد است، بنابراین، y 1 > y 2، یعنی از شرط x 2 > x 1 نتیجه می شود که g (x 2) > g (x 1). Q.E.D. تابع اصلی و معکوس آن متقابل هستند معکوس. نمودارهای توابع معکوس متقابل قضیه.
نمودارهای توابع معکوس متقابل با توجه به خط مستقیم y=x متقارن هستند. اثبات
توجه داشته باشید که از نمودار تابع f می توان مقدار عددی تابع g را معکوس به f در یک نقطه دلخواه a پیدا کرد. برای انجام این کار، شما باید یک نقطه با مختصات را نه در محور افقی (همانطور که معمولا انجام می شود)، بلکه در محور عمودی بگیرید. از تعریف تابع معکوس چنین بر می آید که مقدار g(a) برابر b است. برای به تصویر کشیدن نمودار g در سیستم مختصات معمول، لازم است نمودار f را با توجه به خط مستقیم y \u003d x منعکس کنید. الگوریتم کامپایل تابع معکوس برای تابع y=f(x)، ایکس 1. مطمئن شوید که تابع y=f(x) روی X معکوس است. 2. از معادله y \u003d f (x) x از طریق y بیان می شود، با در نظر گرفتن اینکه x є X .
Z. در برابری حاصل، x و y را مبادله کنید. 2.2 تعریف، خواص و نمودارهای مثلثاتی معکوس کارکرد آرکسین تابع سینوس در بازه افزایش می یابد و همه مقادیر را از -1 تا 1 می گیرد. بنابراین، با قضیه ریشه برای هر عدد a، به طوری که تعریف.
آرکسینوس عدد a، که در آن، عددی از قطعه ای است که سینوس آن برابر با a است. خواص.
D(y) = [-1;1] E (y) \u003d [-π / 2؛ π / 2] y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - تابع فرد است، نمودار در مورد نقطه O متقارن است (0؛ 0). arcsin x = 0 در x = 0. arcsin x > 0 در x є (0; 1] arcsin x< 0 при х є [-1;0) y \u003d arcsin x برای هر x є افزایش می‌یابد [-1؛ 1] 1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1<
arcsin х 2 –
функция возрастающая. کسینوس قوسی تابع کسینوس بر روی قطعه کاهش می یابد و همه مقادیر از -1 تا 1 را می گیرد. بنابراین برای هر عدد a که |a|1 باشد، یک ریشه در معادله cosx=a در قطعه وجود دارد. این عدد در آرکوزین عدد a نامیده می شود و آرکوس a نشان داده می شود. تعریف
.
کسینوس قوس عدد a، که در آن -1 a 1، عددی از قطعه ای است که کسینوس آن برابر با a است. خواص.
E(y) = y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - تابع نه زوج است و نه فرد. arccos x = 0 در x = 1 arccos x > 0 در x є [-1؛ 1) arccos x< 0 – нет решений y \u003d arccos x برای هر x є کاهش می یابد [-1؛ 1] 1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - کاهش می یابد. Arctangent تابع مماس در بخش افزایش می یابد - تعریف.
مماس قوسی یک عدد آآر
این عدد x نام دارد
,
که مماس آن a است. خواص.
E (y) \u003d (-π / 2؛ π / 2) y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - تابع فرد است، نمودار در مورد نقطه O متقارن است (0؛ 0). arctg x = 0 در x = 0 تابع برای هر x є R افزایش می یابد -∞ < х 1
< х 2 < +∞
<=>arctg x 1<
arctg х 2 مماس قوس تابع کوتانژانت در بازه (0;) کاهش می یابد و همه مقادیر را از R می گیرد. بنابراین، برای هر عدد a در بازه (0;) یک ریشه از معادله ctg x = a وجود دارد.
این عدد a را مماس قوس عدد a می نامند و با arcctg a نشان داده می شود. تعریف.
مماس قوس عدد a، که در آن R، عددی از بازه (0؛) است. ,
که کوتانژانت آن a است. خواص.
E(y) = (0; π) y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - تابع نه زوج است و نه فرد. arcctg x = 0- وجود ندارد. عملکرد y = arcctg xبرای هر کدام کاهش می یابد х є R -∞ < х
1
< х
2
< + ∞ <=>arcctg x 1
> arcctg x 2
تابع برای هر x є R پیوسته است. 2.3 تبدیل هویت عبارات حاوی توابع مثلثاتی معکوس مثال 1.
عبارت را ساده کنید: آ) تصمیم گیری بگذاریم ب) تصمیم گیری
که در) تصمیم گیری بگذاریم عبارات متناظر که به یکدیگر تبدیل می شوند. برای درک این که این به چه معناست، ارزش بررسی یک مثال خاص را دارد. فرض کنید y = cos(x) داریم. اگر کسینوس را از آرگومان بگیریم، می‌توانیم مقدار y را پیدا کنیم. بدیهی است که برای این کار باید x داشته باشید. اما اگر بازیکن در ابتدا داده شود چه؟ اینجاست که به اصل موضوع می رسد. برای حل مشکل، استفاده از تابع معکوس مورد نیاز است. در مورد ما، این آرکوزین است. پس از تمام تبدیل ها، به دست می آوریم: x = arccos(y). یعنی برای یافتن یک تابع معکوس به یک تابع، کافی است به سادگی یک استدلال از آن بیان شود. اما این تنها در صورتی کار می کند که نتیجه یک مقدار واحد داشته باشد (در ادامه در مورد آن بیشتر توضیح خواهیم داد). به طور کلی، این واقعیت را می توان به صورت زیر نوشت: f(x) = y، g(y) = x. فرض کنید f تابعی باشد که دامنه آن X و دامنه آن Y است. سپس اگر g وجود داشته باشد که دامنه‌های آن وظایف مخالف را انجام دهند، f برگشت پذیر است. علاوه بر این، در این مورد g منحصر به فرد است، به این معنی که دقیقا یک تابع وجود دارد که این ویژگی را برآورده می کند (نه بیشتر، نه کمتر). سپس تابع معکوس نامیده می شود و در نوشتن به صورت زیر نشان داده می شود: g (x) \u003d f -1 (x). به عبارت دیگر، آنها را می توان به عنوان یک رابطه باینری مشاهده کرد. برگشت پذیری تنها زمانی اتفاق می افتد که یک عنصر از مجموعه با یک مقدار از دیگری مطابقت داشته باشد. همیشه تابع معکوس وجود ندارد. برای انجام این کار، هر عنصر y є Y باید حداکثر با یک x є X مطابقت داشته باشد. سپس f را یک به یک یا تزریق می نامند. اگر f -1 متعلق به Y باشد، هر عنصر از این مجموعه باید با مقداری x ∈ X مطابقت داشته باشد. اگر Y یک تصویر f باشد، طبق تعریف وجود دارد، اما همیشه اینطور نیست. برای معکوس بودن، یک تابع باید هم تزریقی و هم تزریقی باشد. به این گونه عبارات بیجشن می گویند. تابع در تعریف شده است)
ویژگی های توابع معکوس متقابل
یافتن تابع معکوس
مشکلات برای یافتن توابع معکوس
ایکس.
، یک ریشه از معادله sin x = a در بازه وجود دارد. این عدد را آرکسین عدد a می نامند و به آن arcsin a نشان می دهند.
، بنابراین، با توجه به قضیه ریشه، معادله tgx \u003d a، که در آن a هر عدد واقعی است، یک ریشه منحصر به فرد x در بازه - دارد. این ریشه را مماس قوس عدد a می نامند و با arctga نشان داده می شود.
جایی که 
. سپس 
و 
برای پیدا کردن 
، از رابطه استفاده می کنیم 
ما گرفتیم 
ولی . در این بخش، کسینوس فقط مقادیر مثبت می گیرد. بدین ترتیب، 
، یعنی 
جایی که 
.
. سپس 
و 
اجازه دهید ابتدا پیدا کنیم که برای آن از فرمول استفاده می کنیم 
، جایی که 
از آنجایی که کسینوس در این بازه فقط مقادیر مثبت می گیرد، پس 
.تعریف
مثال: توابع مربع و ریشه