یک خط مستقیم دلخواه را در نظر بگیرید که از نقطه نمودار تابع - نقطه A (x 0, f (x 0)) و در نقطه ای نمودار را قطع می کنند B(x; f(x )). به چنین خط مستقیمی (AB) سکونت گفته می شود. از ∆ABC: ​​AC = ∆ایکس؛ قبل از میلاد \u003d ∆y; tgβ =∆y /∆x .

از آنجایی که AC || گاو نر، سپس Р ALO = Р BAC = β (به عنوان متناظر با موازی). ولیÐ ALO زاویه تمایل مقطع AB به جهت مثبت محور Ox است. به معنای، tgβ = k - شیب خط مستقیم AB.

حالا ∆x را کاهش می دهیم، یعنی. ∆x← 0. در این حالت، نقطه B مطابق نمودار به نقطه A نزدیک می شود و سکنت AB می چرخد. موقعیت محدود مقطع AB در ∆х→ 0 یک خط مستقیم خواهد بود (آ مماس بر نمودار تابع y = نامیده می شود f(x) در نقطه A.

اگر در برابری به صورت ∆х → 0 از حد عبور کنیم tg β =∆ y /∆ x، سپس می‌گیریم

یا tg a \u003d f "(x 0)، از آنجا که
آ - زاویه تمایل مماس به جهت مثبت محور Ox

، با تعریف مشتق. اما tgآ = k شیب مماس است، بنابراین k = tg a \u003d f "(x 0).

بنابراین، معنای هندسی مشتق به شرح زیر است:

مشتق تابع در نقطه x 0 برابر با شیب است مماس بر نمودار تابع رسم شده در نقطه ای با آبسیسا x 0 .

معنای فیزیکی مشتق.

حرکت یک نقطه را در امتداد یک خط مستقیم در نظر بگیرید. بگذارید مختصات نقطه در هر لحظه از زمان داده شود x(t ). شناخته شده است (از درس فیزیک) که سرعت متوسط ​​در یک دوره زمانی [ t0; t0 + ∆t ] برابر است با نسبت مسافت طی شده در این بازه زمانی به زمان، یعنی.

Vav = ∆x /∆t . اجازه دهید از حد در آخرین برابری به عنوان ∆ عبور کنیم t → 0.

lim V cf (t) = n (t 0 ) - سرعت آنی در زمان t 0 , ∆t → 0.

و lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x "(t 0 ) (با تعریف مشتق).

بنابراین، n(t) = x "(t).

معنای فیزیکی مشتق به شرح زیر است: مشتق تابع y = f( ایکس) در نقطهایکس 0 نرخ تغییر تابع است f(x) در نقطهایکس 0

این مشتق در فیزیک برای یافتن سرعت از تابع شناخته شده مختصات از زمان، شتاب از تابع شناخته شده سرعت از زمان استفاده می شود.

u (t) \u003d x "(t) - سرعت،

a(f) = n "(t ) - شتاب، یا

a (t) \u003d x "(t).

اگر قانون حرکت معلوم باشد نقطه مادیدر طول یک دایره، سپس می توانید سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای را در طول حرکت چرخشی پیدا کنید:

φ = φ (t ) - تغییر زاویه از زمان،

ω = φ "(t ) - سرعت زاویهای،

ε = φ "(t ) - شتاب زاویه ای، یاε \u003d φ "(t).

اگر قانون توزیع جرم یک میله ناهمگن مشخص باشد، چگالی خطی میله ناهمگن را می توان یافت:

m \u003d m (x) - جرم،

x н، l - طول میله،

p = m "(x) - چگالی خطی.

با کمک مشتق، مسائل مربوط به تئوری کشسانی و ارتعاشات هارمونیک حل می شود. بله، طبق قانون هوک

F = - kx، x - مختصات متغیر،ک - ضریب کشسانی فنر. قرار دادنω 2 = k / m ، ما گرفتیم معادله دیفرانسیلآونگ فنری x "( t ) + ω 2 x(t ) = 0،

جایی که ω = √k /√m فرکانس نوسان ( l/c ، k - سختی فنر ( H/m).

معادله ای به شکل y" +ω 2 y = 0 معادله نوسانات هارمونیک (مکانیکی، الکتریکی، الکترومغناطیسی) نامیده می شود. جواب چنین معادلاتی تابع است

y \u003d Asin (ωt + φ 0 ) یا y \u003d Acos (ωt + φ 0 ) که در آن

A دامنه نوسانات است،ω - فرکانس چرخه ای،

φ 0 - فاز اولیه.

مشتق تابع یکی از است موضوعات دشواردر برنامه درسی مدرسه هر فارغ التحصیل به این سؤال پاسخ نمی دهد که مشتق چیست.

این مقاله به سادگی و به وضوح توضیح می دهد که مشتق چیست و چرا به آن نیاز است.. ما اکنون برای دقت ریاضی ارائه تلاش نخواهیم کرد. مهمترین چیز این است که معنی را درک کنید.

بیایید تعریف را به خاطر بسپاریم:

مشتق نرخ تغییر تابع است.

شکل نمودارهای سه تابع را نشان می دهد. به نظر شما کدام یک سریعتر رشد می کند؟

پاسخ واضح است - سوم. بالاترین نرخ تغییر یعنی بزرگترین مشتق را دارد.

در اینجا یک مثال دیگر وجود دارد.

کوستیا، گریشا و ماتوی در همان زمان شغل پیدا کردند. بیایید ببینیم درآمد آنها در طول سال چگونه تغییر کرده است:

شما می توانید بلافاصله همه چیز را در نمودار ببینید، درست است؟ درآمد Kostya در شش ماه بیش از دو برابر شده است. و درآمد گریشا نیز افزایش یافت، اما فقط کمی. و درآمد متیو به صفر کاهش یافت. شرایط شروع یکسان است، اما نرخ تغییر تابع، یعنی. مشتق، - ناهمسان. در مورد ماتوی، مشتق درآمد او به طور کلی منفی است.

به طور شهودی، ما به راحتی می توانیم نرخ تغییر یک تابع را تخمین بزنیم. اما چگونه این کار را انجام دهیم؟

آنچه ما واقعاً به آن نگاه می کنیم این است که نمودار تابع با چه شدتی بالا (یا پایین) می رود. به عبارت دیگر، سرعت y با x چقدر تغییر می کند. بدیهی است که یک تابع در نقاط مختلف می تواند مقدار متفاوتی از مشتق داشته باشد - یعنی می تواند سریعتر یا کندتر تغییر کند.

مشتق تابع با نشان داده می شود.

بیایید نحوه پیدا کردن را با استفاده از نمودار نشان دهیم.

نمودار برخی از تابع ها رسم می شود. یک نقطه روی آن را با آبسیسا بگیرید. در این نقطه مماس بر نمودار تابع رسم کنید. ما می خواهیم ارزیابی کنیم که نمودار تابع با چه شدتی بالا می رود. یک ارزش مفید برای این است مماس شیب مماس.

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس شیب مماس رسم شده بر نمودار تابع در آن نقطه.

لطفا توجه داشته باشید - به عنوان زاویه تمایل مماس، زاویه بین مماس و جهت مثبت محور را در نظر می گیریم.

گاهی اوقات دانش آموزان می پرسند که مماس بر نمودار یک تابع چقدر است؟ این یک خط مستقیم است که تنها نقطه مشترک آن با نمودار در این بخش است، علاوه بر این، همانطور که در شکل ما نشان داده شده است. به نظر مماس بر دایره است.

بیایید پیدا کنیم. ما به یاد داریم که مماس یک زاویه حاد در راست گوشهبرابر با نسبت پای مقابل به پای مجاور. از مثلث:

ما مشتق را با استفاده از نمودار حتی بدون دانستن فرمول تابع پیدا کردیم. چنین وظایفی اغلب در امتحان ریاضیات زیر عدد یافت می شود.

یک همبستگی مهم دیگر وجود دارد. به یاد بیاورید که خط مستقیم با معادله داده می شود

کمیت در این معادله نامیده می شود شیب یک خط مستقیم. برابر است با مماس زاویه میل خط مستقیم به محور.

.

ما آن را دریافت می کنیم

بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم. معنای هندسی مشتق را بیان می کند.

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با شیب مماس رسم شده به نمودار تابع در آن نقطه.

به عبارت دیگر مشتق برابر است با مماس شیب مماس.

قبلاً گفتیم که یک تابع می تواند مشتقات مختلفی در نقاط مختلف داشته باشد. بیایید ببینیم مشتق چگونه با رفتار تابع مرتبط است.

بیایید یک نمودار از یک تابع رسم کنیم. اجازه دهید این تابع در برخی مناطق افزایش یابد و در برخی دیگر و با نرخ های متفاوت کاهش یابد. و اجازه دهید این تابع حداکثر و حداقل امتیاز داشته باشد.

در یک نقطه، تابع در حال افزایش است. مماس بر نمودار که در نقطه رسم شده است، یک زاویه تند با جهت مثبت محور تشکیل می دهد. بنابراین مشتق در نقطه مثبت است.

در این نقطه، عملکرد ما در حال کاهش است. مماس در این نقطه با جهت مثبت محور یک زاویه منفرد تشکیل می دهد. از آنجایی که مماس یک زاویه منفی منفی است، مشتق در نقطه منفی است.

این چیزی است که اتفاق می افتد:

اگر تابعی در حال افزایش باشد، مشتق آن مثبت است.

اگر کاهش یابد، مشتق آن منفی است.

و در نقاط حداکثر و حداقل چه اتفاقی خواهد افتاد؟ می بینیم که در (حداکثر نقطه) و (نقطه حداقل) مماس افقی است. بنابراین مماس شیب مماس در این نقاط صفر است و مشتق نیز صفر است.

نقطه حداکثر امتیاز است. در این مرحله، افزایش تابع با کاهش جایگزین می شود. بنابراین علامت مشتق در نقطه از «بعلاوه» به «منهای» تغییر می کند.

در نقطه - حداقل نقطه - مشتق نیز برابر با صفر است، اما علامت آن از "منهای" به "بعلاوه" تغییر می کند.

نتیجه گیری: با کمک مشتق، می توانید هر آنچه که در مورد رفتار تابع مورد علاقه ما است را پیدا کنید.

اگر مشتق مثبت باشد، تابع در حال افزایش است.

اگر مشتق منفی باشد، تابع در حال کاهش است.

در حداکثر نقطه، مشتق صفر است و علامت مثبت به منفی را تغییر می دهد.

در نقطه حداقل، مشتق نیز صفر است و علامت منفی را به مثبت تغییر می دهد.

این یافته ها را در قالب یک جدول می نویسیم:

	افزایش	حداکثر امتیاز	کاهش می دهد	حداقل امتیاز	افزایش
+	0	-	0	+

بیایید دو توضیح کوچک داشته باشیم. هنگام حل مشکلات امتحانی به یکی از آنها نیاز خواهید داشت. دیگری - در سال اول، با مطالعه جدی تر از توابع و مشتقات.

یک مورد زمانی ممکن است که مشتق یک تابع در نقطه‌ای برابر با صفر باشد، اما تابع در این نقطه نه ماکزیمم داشته باشد و نه حداقل. این به اصطلاح :

در یک نقطه مماس بر نمودار افقی و مشتق آن صفر است. با این حال، قبل از نقطه، تابع افزایش یافته است - و بعد از نقطه به افزایش ادامه می دهد. علامت مشتق تغییر نمی کند - همانطور که بود مثبت باقی مانده است.

همچنین اتفاق می افتد که در نقطه حداکثر یا حداقل، مشتق وجود ندارد. در نمودار، این مربوط به یک شکست شدید است، زمانی که کشیدن مماس در یک نقطه مشخص غیرممکن است.

اما اگر تابع نه با نمودار، بلکه با فرمول داده شود، چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ در این مورد اعمال می شود

مشتق تابع

1. تعریف مشتق، معنای هندسی آن.

2. مشتق تابع مختلط.

3. مشتق تابع معکوس.

4. مشتقات سفارشات بالاتر.

5. توابع تعریف شده پارامتریک و به طور ضمنی.

6. تمایز توابع داده شده به صورت پارامتری و ضمنی.

مقدمه.

منبع محاسبات دیفرانسیل دو سؤال بود که در قرن هفدهم توسط تقاضاهای علم و فناوری مطرح شد.

1) مسئله محاسبه سرعت برای یک قانون حرکت دلخواه.

2) مسئله یافتن (با کمک محاسبات) مماس بر یک منحنی دلخواه.

مشکل رسم مماس بر برخی منحنی ها توسط دانشمند یونان باستان ارشمیدس (287-212 قبل از میلاد) با استفاده از روش ترسیم حل شد.

اما تنها در قرن هفدهم و هجدهم در ارتباط با پیشرفت علم و فناوری طبیعی، این مسائل به درستی توسعه یافت.

یکی از سؤالات مهم در مطالعه هر پدیده فیزیکی معمولاً سؤال سرعت، سرعت پدیده رخ می دهد.

سرعت حرکت هواپیما یا ماشین همیشه مهمترین شاخص عملکرد آن است. نرخ رشد جمعیت یک ایالت معین یکی از ویژگی های اصلی توسعه اجتماعی آن است.

ایده اصلی سرعت برای همه روشن است. با این حال، این ایده کلی برای حل اکثر مشکلات عملی کافی نیست. باید چنین تعریف کمی از این کمیت داشت که به آن سرعت می گوییم. نیاز به چنین تعریف کمی دقیق در طول تاریخ به عنوان یکی از انگیزه های اصلی برای ایجاد تحلیل ریاضی عمل کرده است. بخش کاملی از تجزیه و تحلیل ریاضی به حل این مسئله اساسی و نتیجه گیری از این راه حل اختصاص داده شده است. اکنون به بررسی این بخش می پردازیم.

تعریف مشتق، معنای هندسی آن.

اجازه دهید یک تابع تعریف شده در یک بازه زمانی داده شود (الف، ج)و مستمر در آن است.

1. بیایید استدلال کنیم ایکسافزایش می یابد، سپس تابع دریافت می شود

افزایش:

2. یک رابطه بنویسید .

3. عبور از حد در و با فرض اینکه حد

وجود دارد، مقداری را دریافت می کنیم که نامیده می شود

مشتق یک تابع با توجه به آرگومان ایکس.

تعریف.مشتق یک تابع در یک نقطه، حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان زمانی است که → 0 باشد.

ارزش مشتق بدیهی است به نقطه بستگی دارد ایکس، که در آن یافت می شود، بنابراین مشتق تابع، به نوبه خود، تابعی از است ایکس. تعیین شده .

طبق تعریف، داریم

یا (3)

مثال.مشتق تابع را بیابید.

1. ;

قبل از خواندن اطلاعات صفحه فعلی، به شما توصیه می کنیم که ویدیویی در مورد مشتق و معنای هندسی آن تماشا کنید.

مثالی از محاسبه مشتق در یک نقطه را نیز ببینید

مماس بر خط l در نقطه M0 خط مستقیم M0T است - موقعیت محدود کننده M0M متقاطع، زمانی که نقطه M در امتداد این خط به M0 میل می کند (یعنی زاویه به سمت صفر می رود) به روش دلخواه.

مشتق تابع y \u003d f (x)در نقطه x0 تماس گرفتحد نسبت افزایش این تابع به افزایش آرگومان زمانی که دومی به صفر میل می کند. مشتق تابع y \u003d f (x) در نقطه x0 و کتاب های درسی با نماد f "(x0) نشان داده می شود. بنابراین، طبق تعریف

اصطلاح "مشتق"(همچنین "مشتق دوم") J. Lagrange را معرفی کرد(1797)، علاوه بر این، او عناوین y’، f’(x)، f”(x) (1770,1779) را به کار برد. نام dy/dx برای اولین بار در لایب نیتس (1675) یافت شد.

مشتق تابع y \u003d f (x) در x \u003d xo برابر است با شیب مماس به نمودار این تابع در نقطه Mo (ho, f (xo)) ، یعنی.

جایی که یک - زاویه مماس به محور x یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی شکل.

معادله مماس به خط y = f(x) در نقطه Mo(xo, yo) شکل می گیرد

نرمال به منحنی در یک نقطه عمود بر مماس در همان نقطه است. اگر f(x0) برابر 0 نباشد، پس معادله نرمال خط y \u003d f (x) در نقطه Mo (xo, yo) به صورت زیر نوشته می شود:

معنای فیزیکی مشتق

اگر x = f(t) قانون حرکت مستقیم یک نقطه باشد، x’ = f’(t) سرعت این حرکت در زمان t است. نرخ جریانفیزیکی، شیمیایی و غیره فرآیندها با استفاده از مشتق بیان می شود.

اگر نسبت dy/dx در x-> x0 دارای حدی در سمت راست (یا در سمت چپ) باشد، به آن مشتق سمت راست (به ترتیب، مشتق سمت چپ) می گویند. به چنین حدودی مشتقات یک طرفه می گویند..

بدیهی است که تابع f(x) تعریف شده در همسایگی نقطه x0 دارای مشتق f'(x) است اگر و فقط در صورتی که مشتقات یک طرفه وجود داشته باشند و با یکدیگر برابر باشند.

تفسیر هندسی مشتقاز آنجایی که شیب مماس به نمودار در این مورد نیز صدق می کند: مماس در این حالت موازی با محور Oy است.

تابعی که در یک نقطه دارای مشتق باشد در آن نقطه متمایز نامیده می شود. تابعی که در هر نقطه از بازه معین مشتق داشته باشد در این بازه متمایز نامیده می شود. اگر بازه بسته باشد، در انتهای آن مشتقات یک طرفه وجود دارد.

عملیات یافتن مشتق نامیده می شود.

سخنرانی: مفهوم مشتق تابع، معنای هندسی مشتق

مفهوم مشتق تابع

تابع f(x) را در نظر بگیرید که در کل بازه بررسی پیوسته خواهد بود. در بازه مورد نظر، نقطه x 0 و همچنین مقدار تابع را در این نقطه انتخاب می کنیم.

بنابراین، بیایید به نموداری نگاه کنیم که نقطه x 0 و همچنین نقطه (x 0 + ∆x) را روی آن علامت گذاری کنیم. به یاد بیاورید که ∆x فاصله (تفاوت) بین دو نقطه انتخاب شده است.

همچنین شایان ذکر است که برای هر x مطابقت دارد مقدار خاصتوابع y.

تفاوت بین مقادیر تابع در نقطه x 0 و (x 0 + ∆x) افزایش این تابع نامیده می شود: ∆y \u003d f (x 0 + ∆x) - f (x 0).

توجه کنیم اطلاعات تکمیلیکه در نمودار وجود دارد، سکنت است که KL نامیده می شود و همچنین مثلثی که با فواصل KN و LN تشکیل می دهد.

زاویه ای که سکنت در آن قرار دارد، زاویه میل آن نامیده می شود و با α نشان داده می شود. به راحتی می توان تعیین کرد که اندازه گیری درجه زاویه LKN نیز برابر با α است.

و حالا بیایید روابط یک مثلث قائم الزاویه را به یاد بیاوریم tgα = LN / KN = ∆ου / ∆х.

یعنی مماس شیب سکنت برابر است با نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان.

در یک زمان، مشتق حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان در فواصل بینهایت کوچک است.

مشتق نرخ تغییر تابع را در یک منطقه مشخص تعیین می کند.

معنای هندسی مشتق

اگر مشتق هر تابعی را در نقطه‌ای بیابید، می‌توانید زاویه‌ای را تعیین کنید که مماس بر نمودار در جریان معین نسبت به محور OX قرار می‌گیرد. به نمودار توجه کنید - زاویه تمایل مماس با حرف φ نشان داده می شود و با ضریب k در معادله خط مستقیم تعیین می شود: y \u003d kx + b.

یعنی می توان نتیجه گرفت که معنای هندسی مشتق مماس شیب مماس در نقطه ای از تابع است.