مفهوم ضد مشتق و انتگرال نامعین. قضیه در مورد مجموعه ضد مشتقات. ویژگی های انتگرال نامعین. جدول انتگرال ها

تابع F(x) پاد مشتق تابع f(x) در یک بازه معین نامیده می شود، اگر تابع F(x) در این بازه پیوسته باشد و برابری در هر نقطه داخلی بازه صادق باشد: F '(x) = f(x)

قضیه 1. اگر یک تابع F(x) دارای یک F(x) ضد مشتق در یک بازه باشد، تمام توابع به شکل F(x)+C نیز در همان بازه برای آن پاد مشتق خواهند بود. برعکس، هر ضد مشتق Ф(x) برای تابع y = f(x) را می توان به صورت Ф(x) = F(x)+C نشان داد، که در آن F(x) یکی از پاد مشتق ها و C یک ثابت دلخواه است.

اثبات:

با تعریف یک پاد مشتق، F'(x) = f(x) داریم. با توجه به اینکه مشتق ثابت برابر با صفر است، به دست می آوریم

(F(x)+C)' = F'(x)+C' = F'(x) = f(x). این بدان معنی است که F(x)+C یک پاد مشتق برای y = f(x) است. اکنون نشان می دهیم که اگر یک تابع y = f(x) در یک بازه تعریف شده باشد و F(x) یکی از پاد مشتق های آن باشد، سپس Ф (x) را می توان به صورت نمایش داد

در واقع، با تعریف یک ضد مشتق، ما داریم

F'(x) = F(x)+C و F'(x) = f(x).

اما دو تابعی که مشتقات مساوی در بازه دارند فقط با یک جمله ثابت با یکدیگر تفاوت دارند. بنابراین، Ф(x) = F(x) + C، که قرار بود ثابت شود.

تعریف.

مجموعه تمام پاد مشتق ها برای یک تابع y = f(x) در یک بازه معین، انتگرال نامعین این تابع نامیده می شود و ∫f(x)dx = F(x)+C نشان داده می شود.

تابع f(x) انتگرال و حاصل ضرب f(x)*dx انتگرال نامیده می شود.

اغلب گفته می شود: "انتگرال نامعین را بگیر" یا "انتگرال نامعین را محاسبه کن"، به این معنی که: مجموعه تمام پاد مشتق ها را برای انتگرال بیابید.

ویژگی های انتگرال نامعین

1. (f(x)dx) = f(x)

2. ∫f′(x)dx = f(x) + c

3. ∫a ⋅ f(x)dx = a∫f(x)dx، a ≠ 0

4. ∫(f1(x) + f2(x))dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx

جدول انتگرال ها

ادغام با جانشینی و توسط قطعات در انتگرال نامعین.

روش ادغام جایگزینیاین است که یک متغیر ادغام جدید (به عنوان مثال، یک جایگزین) معرفی کنیم. در این حالت، انتگرال داده شده به یک انتگرال جدید تقلیل می‌یابد که به صورت جدولی یا قابل تقلیل به آن است (در مورد یک جایگزینی "موفق"). هیچ روش کلی برای انتخاب جایگزین وجود ندارد.

اجازه دهید محاسبه انتگرال ∫f(x)dx لازم باشد. بیایید یک جایگزین x =φ(t) بسازیم، جایی که φ(t) تابعی است که مشتق پیوسته دارد. سپس dx=φ "(t) dt و بر اساس خاصیت تغییرناپذیری فرمول یکپارچه سازی انتگرال نامعین، فرمول انتگرال را با جایگزینی ∫f(x)dx = ∫f(φ(t)) * φ'( بدست می آوریم. t)dt به این فرمول متغیرهای فرمول جایگزینی در انتگرال نامعین نیز گفته می شود پس از یافتن انتگرال سمت راست این برابری، باید از متغیر انتگرال گیری جدید t به متغیر x برگردیم.

روش ادغام توسط قطعات

فرض کنید u=u(х) و ν=v(х) توابعی با مشتقات پیوسته باشند. سپس d(uv)=u dv+v du.

با ادغام این برابری، ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu یا

🔻udv =uv - 🔻vdu

فرمول به دست آمده را فرمول ادغام با قطعات می نامند. این امکان را فراهم می کند که محاسبه انتگرال ∫udv را به محاسبه انتگرال ∫vdu تقلیل دهیم، که ممکن است بسیار ساده تر از اصلی باشد.

روشی برای ادغام یک انتگرال نامعین توسط قطعات ارائه شده است. نمونه هایی از انتگرال های محاسبه شده با این روش آورده شده است. نمونه هایی از راه حل ها تحلیل می شوند.

محتوا

همچنین ببینید: روش های محاسبه انتگرال های نامعین
جدول انتگرال های نامعین
توابع ابتدایی پایه و خواص آنها

فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات به صورت زیر است:
.

روش ادغام توسط قطعات شامل اعمال این فرمول است. در کاربرد عملیشایان ذکر است که u و v توابعی از متغیر ادغام هستند. اجازه دهید متغیر انتگرال را به صورت x نشان دهیم (نماد بعد از علامت دیفرانسیل d در انتهای نماد انتگرال). سپس u و v توابع x هستند: u(x) و v(x).
سپس
, .
و فرمول ادغام با قطعات به شکل زیر است:
.

یعنی انتگرال باید از حاصل ضرب دو تابع تشکیل شده باشد:
,
که یکی از آنها را با u نشان می دهیم: g(x) \u003d u، و انتگرال باید برای دیگری محاسبه شود (به طور دقیق تر، ضد مشتق باید پیدا شود):
، سپس dv = f(x) dx.

در برخی موارد f(x) = 1 . یعنی در انتگرال
,
می توانیم g(x) = u، x = v را قرار دهیم.

خلاصه

بنابراین، در این روش، فرمول ادغام با قطعات باید به خاطر سپرده شود و به دو صورت اعمال شود:
;
.

انتگرال ها با ادغام توسط قطعات محاسبه می شوند

انتگرال های حاوی توابع لگاریتمی و مثلثاتی معکوس (هذلولی).

انتگرال های حاوی لگاریتم و توابع مثلثاتی یا هذلولی معکوس اغلب توسط قطعات یکپارچه می شوند. در این حالت، بخشی که شامل لگاریتم یا توابع مثلثاتی معکوس (هذلولی) است با u و قسمت باقیمانده با dv نشان داده می شود.

در اینجا نمونه هایی از این انتگرال ها وجود دارد که با روش انتگرال گیری توسط قطعات محاسبه می شوند:
, , , , , , .

انتگرال های حاوی حاصل ضرب چند جمله ای و sin x، cos x یا e x

با توجه به فرمول یکپارچه سازی قطعات، انتگرال های فرم پیدا می شوند:
, , ,
که در آن P(x) یک چند جمله ای در x است. در ادغام، چند جمله ای P(x) با u و e ax dx نشان داده می شود. cos ax dxیا گناه تبر dx- از طریق dv

در اینجا نمونه هایی از این انتگرال ها آورده شده است:
, , .

نمونه هایی از محاسبه انتگرال با روش انتگرال گیری توسط قطعات

نمونه هایی از انتگرال های حاوی توابع لگاریتمی و مثلثاتی معکوس

مثال

محاسبه انتگرال:

راه حل تفصیلی

در اینجا انتگرال حاوی لگاریتم است. انجام تعویض
u= ln x,
dv=x 2dx.
سپس
,
.

ما انتگرال باقی مانده را محاسبه می کنیم:
.
سپس
.
در پایان محاسبات، اضافه کردن ثابت C ضروری است، زیرا انتگرال نامعین مجموعه ای از تمام پاد مشتق ها است. همچنین می‌توان آن را در محاسبات میانی اضافه کرد، اما این فقط محاسبات را به هم می‌ریزد.

راه حل کوتاه تر

امکان ارائه راه حل در نسخه کوتاهتر وجود دارد. برای این کار نیازی به تعویض با u و v نیست، بلکه می توانید فاکتورها را گروه بندی کنید و فرمول ادغام به جزء را در فرم دوم اعمال کنید.

.

نمونه های دیگر

نمونه هایی از انتگرال های حاوی حاصل ضرب یک چند جمله ای و sin x، cos x یا ex

مثال

محاسبه انتگرال:
.

ما توان را در زیر علامت دیفرانسیل معرفی می کنیم:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

ما با قطعات ادغام می کنیم.
.
ما همچنین از روش ادغام با قطعات استفاده می کنیم.
.
.
.
بالاخره داریم.

فرض کنید U(x) و V(x) توابع قابل تمایز باشند. سپس d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x) . بنابراین U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x) . با محاسبه انتگرال هر دو قسمت آخرین تساوی، با در نظر گرفتن این واقعیت که ∫ d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C، رابطه را بدست می آوریم.

به این فرمول ادغام با قطعات می گویند. به این معنا درک می شود که مجموعه ضد مشتقات در سمت چپ با مجموعه ضد مشتقات به دست آمده در سمت راست منطبق است.

استفاده از روش یکپارچه سازی توسط قطعات

با توجه به ویژگی‌های یافتن کمیت‌های خاص، فرمول ادغام با قطعات اغلب در مسائل زیر استفاده می‌شود:

1. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته. فرمول برای یافتن انتظارات و واریانس ریاضی پیوسته است متغیر تصادفیشامل دو عامل است: تابع چند جمله ای x و چگالی توزیع f(x).
2. بسط سری فوریه هنگام بسط، لازم است ضرایبی را که با ادغام حاصلضرب تابع f(x) و تابع مثلثاتی cos(x) یا sin(x) به دست می‌آیند، تعیین کنیم.

انبساط های معمولی توسط قطعات

هنگام استفاده از فرمول ادغام با قطعات، باید U و dV را به خوبی انتخاب کنید تا انتگرال به دست آمده در سمت راست فرمول راحت تر پیدا شود. بیایید در مثال اول U=e x، dV=xdx قرار دهیم. سپس dU=e x dx، و بعید است که انتگرال ∫ x 2 e x dx را بتوان ساده تر از انتگرال اصلی در نظر گرفت.
گاهی اوقات لازم است چندین بار فرمول ادغام به جزء اعمال شود، برای مثال، هنگام محاسبه انتگرال ∫ x 2 sin(x)dx .

انتگرال های ∫ e ax cos(bx)dx و ∫ e ax sin(bx)dx نامیده می شوند. چرخه ایو با استفاده از فرمول ادغام به جزء دو بار محاسبه می شوند.

مثال شماره 1. ∫ xe x dx را محاسبه کنید.
اجازه دهید U=x، dV=e x dx. سپس dU=dx، V=e x. بنابراین ∫ xe x dx=xe x -∫ e x dx=xe x -e x +C .

مثال شماره 2. ∫ xcos(x)dx را محاسبه کنید.
U=x، dV=cos(x)dx را تنظیم کردیم. سپس dU=dx، V=sin(x) و ∫ xcos(x)dx=xsin(x) - ∫ sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

مثال شماره 3. 🔻 (3x+4)cos(x)dx
راه حل:

پاسخ: (3x+4)sin(x)+3cos(x)+C

روش ادغام توسط قطعات زمانی استفاده می شود که لازم باشد انتگرال نامعین موجود را ساده کرده یا به مقدار جدولی کاهش دهیم. اغلب در مورد فرمول های مثلثاتی نمایی، لگاریتمی، مستقیم و معکوس و ترکیب آنها در انتگرال استفاده می شود.

فرمول اصلی مورد نیاز برای استفاده از این روش به صورت زیر است:

∫ f (x) d x = ∫ u (x) d (v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x))

این بدان معناست که ابتدا باید عبارت زیر انتگرال را به عنوان حاصلضرب تابع u (x) و دیفرانسیل تابع v (x) نشان دهیم. پس از آن، مقدار تابع v (x) را با روشی محاسبه می کنیم (از روش ادغام مستقیم بیشتر استفاده می شود)، و عبارات حاصل به فرمول نشان داده شده جایگزین می شوند و انتگرال اصلی را به تفاوت u (x می کنیم) ) v (x) - ∫ v (x) d(u(x)) . انتگرال حاصل را نیز می توان با استفاده از هر روش یکپارچه سازی گرفت.

مسئله ای را در نظر بگیرید که در آن باید مجموعه ای از ضد مشتقات تابع لگاریتم را پیدا کنید.

مثال 1

انتگرال نامعین ∫ ln (x) d x را محاسبه کنید.

راه حل

ما از روش یکپارچه سازی توسط قطعات استفاده می کنیم. برای انجام این کار، ln (x) را تابعی از u (x) و باقیمانده انتگرال را d (v (x)) می گیریم. در نتیجه، دریافت می کنیم که ln (x) d x = u (x) d (v (x)) ، که در آن u (x) = ln (x) , d (v (x)) = d x .

دیفرانسیل تابع u(x) d(u(x)) - u"(x)dx = dxx است و تابع v(x) را می توان به صورت v(x) = ∫ d(v(x)) نشان داد. = ∫ dx = x

مهم:ثابت C هنگام محاسبه تابع v (x) برابر با 0 در نظر گرفته می شود.

ما آنچه را که به دست آورده ایم در فرمول ادغام با قطعات جایگزین می کنیم:

🔻 ln (x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = ln (x) x - ∫ x d x x = ln (x) x - ∫ d x \u003d ln (x) x - x + C 1 \u003d \u003d x (ln (x) - 1) + C

جایی که C \u003d - C 1

پاسخ:∫ ln (x) d x = x (ln (x) - 1) + C .

دشوارترین کار در استفاده از این روش این است که انتخاب کنید کدام قسمت از عبارت اصلی در زیر انتگرال به عنوان u (x) و کدام - d (v (x)) باشد.

بیایید به چند مورد استاندارد نگاه کنیم.

اگر انتگرال هایی به شکل ∫ P n (x) e a x d x , ∫ P n (x) sin (a x) d x یا ∫ P n (x) cos (a x) d x داشته باشیم که a یک ضریب است و P n (x ) یک چند جمله ای درجه n است، سپس P n (x) باید به عنوان تابع u (x) در نظر گرفته شود.

مثال 2

مجموعه پاد مشتق های تابع f (x) = (x + 1) sin (2 x) را بیابید.

راه حل

می‌توانیم انتگرال نامعین ∫ (x + 1) sin (2 x) d x را با قطعات بگیریم. x + 1 را u (x) و sin (2 x) d x را به عنوان d (v (x)) می گیریم، یعنی d (u (x)) = d (x + 1) = d x .

با استفاده از ادغام مستقیم، به دست می آوریم:

v (x) = ∫ گناه (2 x) d x = - 1 2 cos (2 x)

جایگزین در فرمول برای ادغام توسط قطعات:

∫ (x + 1) sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = (x + 1) - 1 2 cos (2 x) - ∫ - 1 2 cos (2 x) d x = = - 1 2 (x + 1) cos (2 x) + 1 2 ∫ cos (2 x) d (x) = = - 1 2 (x + 1) cos ( 2 x) + 1 4 گناه (2 x) + C

پاسخ:∫ (x + 1) sin (2 x) d x = - 1 2 (x + 1) cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) + C .

مثال 3

انتگرال نامعین ∫ (x 2 + 2 x) e x d x را محاسبه کنید.

راه حل

یک چند جمله ای مرتبه دوم x 2 + 2 x را به صورت u (x) و d (v (x)) - e x d x می گیریم.

∫ x 2 + 2 x e x d x = u (x) = x 2 + 2 x , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = (2 x + 2) d x، v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = (x 2 + 2 x) e x - ∫ (2 x + 2) e x d x

برای کاری که انجام داده‌ایم، باید مجدداً روش ادغام با قطعات را اعمال کنیم:

( x)) = 2 d x، v (x) = ∫ e x d x = e x = = (x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ v (x) d (u (x)) = = ( x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ 2 e x d x = = (x 2 + 2 x - 2 x - 2) e x + 2 ∫ e x d x = (x 2 - 2) e x + 2 e x + C = x 2 e x + C

پاسخ:∫ (x 2 + 2 x) e x d x = x 2 e x + C .

مثال 4

انتگرال ∫ x 3 cos 1 3 x d x را محاسبه کنید.

راه حل

با توجه به روش ادغام توسط قطعات، u (x) = x 3 و d (v (x)) = cos 1 3 x d x را می گیریم.

در این حالت d (u (x)) = 3 x 2 d x و v (x) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x .

حال عبارات به دست آمده را با فرمول جایگزین می کنیم:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u)) = = x 3 3 sin 1 3 x - ∫ 3 x 2 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 گناه 1 3 x - 9 ∫ x 2 گناه 1 3 x d x

ما یک انتگرال نامعین داریم که مجدداً باید در بخش هایی گرفته شود:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x = = u (x) = x 2, d (v (x)) = sin 1 3 x d x d (u (x )) = 2 x d x , v (x) = ∫ sin 1 3 x d x = - 3 cos 1 3 x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 - 3 x 2 cos 1 3 x - ∫ - 3 cos 1 3 x 2 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x

ما دوباره یکپارچه سازی جزئی را انجام می دهیم:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x = = u (x) = x، d (v (x)) = cos 1 3 x d x d (u (x)) = d x، v (x) = ∫ cos 1 3 x - ∫ 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 - 162 x sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x + 162 ∫ sin 1 3 x d x = = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 486 cos 1 3 x + C = = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C

پاسخ:∫ x 3 cos 1 3 x d x = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C .

اگر انتگرال هایی به شکل ∫ P n (x) ln (a x) d x , ∫ P n (x) a r c sin (a x) d x , ∫ P n (x) a r c cos (a x) d x , ∫ P n (x) داشته باشیم ) a r c t g (a x) d x , ∫ P n (x) a r c c t g (a x) d x

سپس باید توابع a r c t g (a x) , a r c c t g (x) , ln (a x) , a r c sin (a x) , a r cos (a x) را به صورت u (x) بگیریم.

مثال 5

مجموعه ضد مشتقات تابع (x + 1) ln (2 x) را محاسبه کنید.

راه حل

ln (2 x) را u (x) و (x + 1) d x را به عنوان d (v (x)) می گیریم. ما گرفتیم:

d (u (x)) = (ln (2 x)) "d x = 1 2 x (2 x) " d x = d x x v (x) = ∫ (x + 1) d x = x 2 2 + x

این عبارات را در فرمول جایگزین کنید:

∫ (x + 1) ln (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 + x ln 2 x - ∫ x 2 2 + x d x x = = x 2 2 + x ln (2 x) - ∫ x 2 + 1 d x = x 2 2 + x ln 2 x - 1 2 ∫ x d x - ∫ d x = = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C

پاسخ:∫ (x + 1) ln (2 x) d x = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C .

مثال 6

انتگرال نامعین ∫ x · a r c sin (2 x) d x را محاسبه کنید.

راه حل

ما تصمیم می گیریم کدام قسمت را برای u (x) و کدام قسمت را برای d (v (x)) بگیریم. طبق قانون بالا، به عنوان اولین تابع، باید rc sin (2 x) و d (v (x)) = x d x را بگیرید. ما گرفتیم:

d (u (x)) = (a r c sin (2 x) "d x = 2 x" d x 1 - (2 x) 2 = 2 d x 1 - (2 x) 2 , v (x) = ∫ x d x = x 2 2

مقادیر موجود در فرمول را جایگزین کنید:

∫ x a r c sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 2 - 2 d x 1 - (2 x) 2 = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

در نتیجه به برابری زیر رسیدیم:

∫ x a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

اکنون انتگرال حاصل را محاسبه می کنیم ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = ∫ x 2 d x 4 1 4 - x 2 = 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 = - 1 2 ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 - 1 4 1 4 - x 2 d x = - 1 2 1 4 - x 2 d x + 1 8 ∫ d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin (2x)

در اینجا می توانید روش یکپارچه سازی بر اساس قطعات را اعمال کنید و دریافت کنید:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin (2 x) = = u (x) = 1 4 - x 2 , d (v (x)) = d x d (u (x)) = 1 4 - x 2 "d x 2 1 4 - x 2 = - x d x 1 4 - x 2، v (x) = ∫ d x = x = = - 1 2 u (x) v ( x) - ∫ v (x) d (u (x)) + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

حالا برابری ما به این صورت است:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

می بینیم که انتگرال سمت راست شبیه انتگرال سمت چپ است. آن را به قسمت دیگری منتقل می کنیم و دریافت می کنیم:

2 ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) + C 1 ⇒ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 4 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 8 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2

که در آن C 2 = C 1 2

بیایید به متغیرهای اصلی برگردیم:

∫ x a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = = x 2 2 a r c sin (2 x) - - 1 8 x 1 - 4 x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 = = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C

جایی که C \u003d - C 2

پاسخ:∫ x a r c sin (2 x) d x = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C .

اگر انتگرالی از شکل ∫ e a x sin (b x) d x یا ∫ e a x cos (b x) d x در مسئله داشته باشیم، آنگاه هر تابعی را می توان به عنوان u (x) انتخاب کرد.

مثال 7

انتگرال نامعین ∫ e x · sin (2 x) d x را محاسبه کنید.

راه حل

∫ e x sin (2 x) d x = u (x) = sin (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = 2 cos (2 x) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = گناه (2 x) e x - ∫ e x 2 cos 2 x d x = = گناه (2 x) e x - 2 ∫ e x cos (2 x) d x = u (x) = cos (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = - 2 sin (2 x) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = گناه (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - ∫ (e x (- 2 sin (2 x) d x)) = = گناه (2 x) e x = 2 cos (2 x) e x - 4 ∫ e x sin (2 x) d x

در نتیجه به دست خواهیم آورد:

🔻 e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - 4 ∫ e x sin (2 x) d x

ما همان انتگرال ها را در سمت چپ و راست می بینیم، به این معنی که می توانیم اصطلاحات مشابهی را بیاوریم:

5 ∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

پاسخ: ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

این روش حل استاندارد است و در سمت راست اغلب یک انتگرال به دست می آید که مشابه اصلی است.

ما معمولی ترین کارها را بررسی کردیم که در آنها می توانید دقیقاً تعیین کنید که کدام قسمت از عبارت برای d (v (x)) و کدام برای u (x) انتخاب شود. در موارد دیگر، این باید به طور مستقل تعیین شود.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

یکپارچه سازی توسط قطعات نمونه های راه حل

دوباره سلام. امروز در درس یاد خواهیم گرفت که چگونه بر اساس قطعات ادغام کنیم. روش ادغام توسط قطعات یکی از سنگ بنای حساب انتگرال است. در آزمون، امتحان، تقریباً همیشه به دانش آموز پیشنهاد می شود انتگرال هایی از انواع زیر را حل کند: ساده ترین انتگرال (به مقاله مراجعه کنید)یا یک انتگرال برای تغییر متغیر (به مقاله مراجعه کنید)یا انتگرال فقط روشن است روش ادغام توسط قطعات.

مثل همیشه، در دست باید باشد: جدول انتگرال هاو جدول مشتق. اگر هنوز آنها را ندارید، لطفاً از انبار سایت من بازدید کنید: فرمول ها و جداول ریاضی. من از تکرار خسته نمی شوم - بهتر است همه چیز را چاپ کنید. من سعی خواهم کرد تمام مطالب را به روشی سازگار، ساده و در دسترس ارائه کنم؛ هیچ مشکل خاصی در ادغام قطعات وجود ندارد.

یکپارچه سازی قطعات چه مشکلی را حل می کند؟ روش ادغام توسط قطعات یک مشکل بسیار مهم را حل می کند، به شما امکان می دهد برخی از توابع را که در جدول نیستند یکپارچه کنید. کارتوابع، و در برخی موارد - و خصوصی. همانطور که به یاد داریم، هیچ فرمول مناسبی وجود ندارد: . اما این یکی هست: فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات به صورت شخصی است. می دانم، می دانم، شما تنها هستید - ما کل درس را با او کار خواهیم کرد (از قبل ساده تر است).

و بلافاصله لیست در استودیو. انتگرال های انواع زیر توسط قطعات گرفته می شوند:

1) , ، - لگاریتم، لگاریتم ضرب در چند جمله ای.

2) ,یک تابع نمایی است که در چند جمله ای ضرب می شود. این همچنین شامل انتگرال هایی مانند - یک تابع نمایی ضرب در یک چند جمله ای است، اما در عمل 97 درصد است، یک حرف زیبای "e" زیر انتگرال خودنمایی می کند. ... مقاله معلوم می شود که چیزی غنایی است، اوه بله ... بهار آمد.

3) , ، توابع مثلثاتی هستند که در چند جمله ای ضرب می شوند.

4) ، - توابع مثلثاتی معکوس ("قوس")، "قوس"، ضرب در چند جمله ای.

همچنین، برخی از کسرها به صورت جزئی گرفته شده اند، نمونه های مربوطه را نیز به تفصیل در نظر خواهیم گرفت.

انتگرال لگاریتم ها

مثال 1

کلاسیک. هر از گاهی، این انتگرال را می توان در جداول یافت، اما استفاده از پاسخ آماده نامطلوب است، زیرا معلم در بهار بری بری دارد و او بسیار سرزنش می کند. از آنجا که انتگرال مورد بررسی به هیچ وجه جدولی نیست - آن را به صورت قطعات گرفته شده است. ما تصمیم گرفتیم:

راه حل را برای توضیحات میانی قطع می کنیم.

ما از فرمول برای ادغام با قطعات استفاده می کنیم:

فرمول از چپ به راست اعمال می شود

ما به سمت چپ نگاه می کنیم:. بدیهی است که در مثال ما (و در تمام موارد دیگری که در نظر خواهیم گرفت)، چیزی باید با و چیزی با علامت نشان داده شود.

در انتگرال های نوع مورد بررسی، ما همیشه لگاریتم را نشان می دهیم.

از نظر فنی، طراحی راه حل به صورت زیر اجرا می شود، ما در ستون می نویسیم:

یعنی ما لگاریتم را نشان دادیم و برای - قسمت باقی ماندهیکپارچه

مرحله بعدی: دیفرانسیل را پیدا کنید:

دیفرانسیل تقریباً مشابه مشتق است ، قبلاً در درس های قبلی درباره نحوه پیدا کردن آن صحبت کرده ایم.

حالا تابع را پیدا می کنیم. برای یافتن تابع لازم است ادغام شود سمت راستبرابری کمتر:

حالا راه حل خود را باز می کنیم و سمت راست فرمول را می سازیم: .
به هر حال، در اینجا یک مثال از راه حل نهایی با یادداشت های کوچک آورده شده است:

تنها لحظه ای که در حاصلضرب بود، فورا مرتب کردم و از آنجایی که مرسوم است ضریب را قبل از لگاریتم بنویسم.

همانطور که می بینید، استفاده از فرمول ادغام به بخش اساسا راه حل ما را به دو انتگرال ساده کاهش می دهد.

لطفا توجه داشته باشید که در برخی موارد درست بعد ازبا استفاده از فرمول، یک ساده سازی لزوماً تحت انتگرال باقی مانده انجام می شود - در مثال مورد بررسی، ما انتگرال را با "x" کاهش دادیم.

بیا چک کنیم برای انجام این کار، باید مشتق پاسخ را بگیرید:

انتگرال اصلی به دست می آید، یعنی انتگرال به درستی حل شده است.

در طول تأیید، از قانون تمایز محصول استفاده کردیم: . و این تصادفی نیست.

ادغام با فرمول قطعات و فرمول این دو قانون متقابل معکوس هستند.

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

انتگرال حاصل ضرب لگاریتم و چند جمله ای است.
ما تصمیم گرفتیم.

یک بار دیگر، من روش اعمال قانون را به طور مفصل شرح می دهم نمونه های بیشترمختصرتر توضیح داده خواهد شد و اگر خودتان در حل آن مشکل دارید، باید به دو مثال اول درس برگردید.

همانطور که قبلا ذکر شد، برای تعیین لگاریتم ضروری است (این واقعیت که در یک درجه است مهم نیست). نشان می دهیم قسمت باقی ماندهیکپارچه

در یک ستون می نویسیم:

ابتدا دیفرانسیل را پیدا می کنیم:

در اینجا از قانون تمایز یک تابع پیچیده استفاده می کنیم . تصادفی نیست که در همان درس اول موضوع انتگرال نامعین. نمونه های راه حلمن روی این واقعیت تمرکز کردم که برای تسلط بر انتگرال ها، باید روی مشتقات "دست خود را بگیرید". مشتقات باید بیش از یک بار با آن روبرو شوند.

اکنون تابع را پیدا می کنیم، برای این کار ادغام می کنیم سمت راستبرابری کمتر:

برای ادغام، ساده ترین فرمول جدولی را اعمال کردیم

اکنون آماده اعمال فرمول هستید . ما آن را با یک "ستاره" باز می کنیم و راه حل را مطابق با سمت راست "طراحی" می کنیم:

در زیر انتگرال، دوباره یک چند جمله ای روی لگاریتم داریم! بنابراین، راه حل دوباره قطع می شود و قانون یکپارچه سازی توسط قطعات برای بار دوم اعمال می شود. فراموش نکنید که در موقعیت های مشابه، لگاریتم همیشه نشان داده می شود.

خوب است اگر در این مرحله بتوانید ساده ترین انتگرال ها و مشتقات را به صورت شفاهی پیدا کنید.

(1) در علائم گیج نشوید! خیلی اوقات یک منهای در اینجا گم می شود، همچنین توجه داشته باشید که منفی اعمال می شود به همهبراکت ، و این براکت ها باید به درستی باز شوند.

(2) براکت ها را باز کنید. ما آخرین انتگرال را ساده می کنیم.

(3) آخرین انتگرال را می گیریم.

(4) "شانه کردن" پاسخ.

نیاز به اعمال قانون ادغام توسط قطعات دو بار (یا حتی سه بار) غیر معمول نیست.

و اکنون چند مثال برای یک راه حل مستقل:

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این مثال با تغییر متد متغیر (یا قرار دادن زیر علامت دیفرانسیل) حل می شود! و چرا که نه - می توانید سعی کنید آن را در قسمت هایی بردارید، یک چیز خنده دار دریافت می کنید.

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

اما این انتگرال توسط قطعات (کسر موعود) یکپارچه می شود.

اینها نمونه هایی برای حل خود، راه حل و پاسخ در انتهای درس است.

به نظر می رسد در مثال های 3،4 باشد توابع انتگرالمشابه است، اما روش های حل متفاوت است! این دقیقاً مشکل اصلی در تسلط بر انتگرال است - اگر روش اشتباهی را برای حل انتگرال انتخاب کنید، می توانید ساعت ها مانند یک پازل واقعی با آن کمانچه بازی کنید. بنابراین، هرچه انتگرال های مختلف را بیشتر حل کنید، تست و امتحان راحت تر می شود. علاوه بر این، در سال دوم وجود خواهد داشت معادلات دیفرانسیلو بدون تجربه در حل انتگرال ها و مشتقات هیچ کاری نمی توان انجام داد.

با لگاریتم، شاید بیش از اندازه کافی. برای میان‌وعده، می‌توانم به یاد بیاورم که دانشجویان فناوری سینه‌های زنانه را لگاریتم =). ضمناً دانستن گرافیک اصلی مفید است توابع ابتدایی: سینوس، کسینوس، مماس قوس، نمایی، چند جمله ای درجه سوم، چهارم و غیره. نه، البته، کاندوم روی کره زمین
من نمی کشم، اما اکنون چیزهای زیادی از بخش به یاد خواهید آورد نمودارها و توابع =).

انتگرال های توان ضرب در چند جمله ای

قانون کلی:

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

با استفاده از یک الگوریتم آشنا، ما با قطعات ادغام می کنیم:

اگر با انتگرال مشکل دارید، باید به مقاله برگردید روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین.

تنها کار دیگری که باید انجام دهید این است که پاسخ را "شانه کنید":

اما اگر تکنیک محاسبه شما خیلی خوب نیست، سودآورترین گزینه را به عنوان پاسخ بگذارید. یا حتی

یعنی زمانی که آخرین انتگرال گرفته شود، مثال حل شده در نظر گرفته می شود. این اشتباه نخواهد بود، یک چیز دیگر این است که ممکن است معلم بخواهد پاسخ را ساده کند.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این یک مثال برای خودتان است. این انتگرال دو بار توسط قطعات یکپارچه می شود. باید به علائم توجه ویژه ای شود - به راحتی می توان در آنها گیج شد، ما همچنین به یاد می آوریم که - یک عملکرد پیچیده است.

چیز زیادی برای گفتن در مورد غرفه دار وجود ندارد. فقط می توانم اضافه کنم که توان و لگاریتم طبیعی توابع معکوس متقابل هستند، این من در موضوع نمودارهای سرگرم کننده ریاضیات عالی هستم =) بایست، بایست، نگران نباش، مدرس هوشیار است.

انتگرال توابع مثلثاتی ضرب در یک چند جمله ای

قانون کلی: همیشه مخفف چند جمله ای است

مثال 7

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

یکپارچه سازی توسط قطعات:

هوم... و چیزی برای اظهار نظر نیست.

مثال 8

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید

مثال 9

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال دیگر با کسری. مانند دو مثال قبلی، چند جمله ای با نشان داده می شود.

یکپارچه سازی توسط قطعات:

اگر در یافتن انتگرال مشکل یا سوء تفاهم دارید، توصیه می کنم در درس شرکت کنید. انتگرال توابع مثلثاتی.

مثال 10

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است.

نکته: قبل از استفاده از روش ادغام با قطعات، باید فرمول مثلثاتی را اعمال کنید که حاصل ضرب دو تابع مثلثاتی را به یک تابع تبدیل می کند. این فرمول همچنین می تواند در دوره استفاده از روش یکپارچه سازی توسط قطعات استفاده شود، زیرا برای هر کسی راحت تر است.

شاید همه اینها در این پاراگراف باشد. بنا به دلایلی ، من یک خط از سرود گروه فیزیک و ریاضی را به یاد آوردم "و نمودار سینوسی موج پس از موج در امتداد محور آبسیسا می رود" ....

انتگرال توابع مثلثاتی معکوس.
انتگرال توابع مثلثاتی معکوس ضرب در یک چند جمله ای

قانون کلی: همیشه مخفف تابع مثلثاتی معکوس است.

یادآوری می‌کنم که توابع مثلثاتی معکوس شامل آرکسین، آرکوزین، آرکتتانژانت و آرکوتانژانت هستند. برای اختصار از آنها به عنوان "طاق" یاد می کنم.