شلوار فیثاغورثی در همه جهات برابر است. قضیه فیثاغورث: پیشینه، شواهد، نمونه هایی از کاربرد عملی

در یک چیز، می توانید صد در صد مطمئن باشید که وقتی از هر فرد بزرگسالی می پرسند مربع هیپوتانوس چیست، جسورانه پاسخ می دهد: "مجموع مربع های پاها". این قضیه محکم در ذهن هر تحصیلکرده ای کاشته می شود، اما فقط کافی است از کسی بخواهیم آن را ثابت کند و سپس مشکلاتی پیش بیاید. پس به یاد بیاوریم و در نظر بگیریم روش های مختلفاثبات قضیه فیثاغورث

مروری کوتاه بر بیوگرافی

قضیه فیثاغورث تقریباً برای همه آشناست، اما به دلایلی زندگی نامه شخصی که آن را تولید کرده است چندان محبوب نیست. درستش می کنیم بنابراین، قبل از مطالعه راه های مختلف اثبات قضیه فیثاغورث، لازم است به طور مختصر با شخصیت او آشنا شوید.

فیثاغورث - فیلسوف، ریاضیدان، متفکر، اصالتاً از امروز، تشخیص زندگی نامه او از افسانه هایی که به یاد این مرد بزرگ ایجاد شده است بسیار دشوار است. اما همانطور که از نوشته های پیروانش برمی آید، فیثاغورث ساموسی در جزیره ساموس به دنیا آمد. پدرش یک سنگ تراش معمولی بود، اما مادرش از خانواده ای اصیل بود.

طبق افسانه ها، تولد فیثاغورث توسط زنی به نام پیتیا پیش بینی شده بود که به افتخار او پسر نامگذاری شد. طبق پیش‌بینی او، پسری که به دنیا می‌آید، فواید و خوبی‌های بسیاری را برای بشر به ارمغان می‌آورد. کاری که او در واقع انجام داد.

تولد یک قضیه

فیثاغورث در جوانی به مصر رفت تا در آنجا با حکیمان مشهور مصری ملاقات کند. پس از ملاقات با آنها، برای تحصیل پذیرفته شد و در آنجا تمام دستاوردهای بزرگ فلسفه، ریاضیات و پزشکی مصر را آموخت.

احتمالاً در مصر بود که فیثاغورث از عظمت و زیبایی اهرام الهام گرفت و نظریه بزرگ خود را خلق کرد. این ممکن است خوانندگان را شوکه کند، اما مورخان مدرن معتقدند که فیثاغورث نظریه خود را اثبات نکرده است. اما او فقط دانش خود را به پیروانش منتقل کرد که بعداً تمام محاسبات ریاضی لازم را انجام دادند.

به هر حال، امروزه نه یک تکنیک برای اثبات این قضیه، بلکه چندین تکنیک به طور همزمان شناخته شده است. امروز ما فقط می توانیم حدس بزنیم که یونانیان باستان دقیقاً چگونه محاسبات خود را انجام داده اند، بنابراین در اینجا راه های مختلف اثبات قضیه فیثاغورث را در نظر خواهیم گرفت.

قضیه فیثاغورس

قبل از شروع هر گونه محاسبات، باید بفهمید که کدام نظریه را باید اثبات کنید. قضیه فیثاغورث اینگونه به نظر می رسد: "در مثلثی که یکی از زوایای آن 90 o باشد، مجموع مجذورات پاها برابر با مربع هپوتنوس است."

15 روش مختلف برای اثبات قضیه فیثاغورث در مجموع وجود دارد. این یک عدد نسبتاً بزرگ است، بنابراین بیایید به محبوب ترین آنها توجه کنیم.

روش یک

بیایید ابتدا آنچه را که داریم تعریف کنیم. این داده ها همچنین برای سایر روش های اثبات قضیه فیثاغورث اعمال می شود، بنابراین باید بلافاصله تمام نمادهای موجود را به خاطر بسپارید.

فرض کنیم داده شده است راست گوشه، با پاهای a، b و هیپوتانوس برابر با c. اولین روش اثبات بر این واقعیت استوار است که یک مربع باید از یک مثلث قائم الزاویه رسم شود.

برای انجام این کار، باید یک پاره برابر با ساق پا را به طول ساق a بکشید و بالعکس. پس باید دوتا باشه اضلاع مساویمربع. فقط کشیدن دو خط موازی باقی می ماند و مربع آماده است.

در داخل شکل به دست آمده، باید مربع دیگری با ضلع برابر با هیپوتانوز مثلث اصلی بکشید. برای این کار از رئوس ac و sv باید دو پاره موازی مساوی c رسم کنید. بنابراین، سه ضلع مربع را به دست می آوریم که یکی از آنها فرضیه مثلث قائم الزاویه اصلی است. فقط رسم بخش چهارم باقی مانده است.

بر اساس شکل به دست آمده، می توان نتیجه گرفت که مساحت مربع بیرونی (a + b) 2 است. اگر به داخل شکل نگاه کنید، می بینید که علاوه بر مربع داخلی، چهار مثلث قائم الزاویه نیز دارد. مساحت هر کدام 0.5 متر است.

بنابراین، مساحت این است: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

بنابراین (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

و بنابراین، با 2 \u003d یک 2 + در 2

قضیه ثابت شده است.

روش دوم: مثلث های مشابه

این فرمول برای اثبات قضیه فیثاغورث بر اساس بیانیه ای از بخش هندسه در مورد مثلث های مشابه به دست آمده است. می گوید که ساق یک مثلث قائم الزاویه میانگینی است که با هیپوتنوز آن و پاره هیپوتنوسی که از راس زاویه 90 درجه بیرون می آید، متناسب است.

داده های اولیه یکسان باقی می مانند، بنابراین بیایید بلافاصله با اثبات شروع کنیم. اجازه دهید یک قطعه CD عمود بر ضلع AB رسم کنیم. بر اساس عبارت فوق، ساق های مثلث ها برابر هستند:

AC=√AB*AD، SW=√AB*DV.

برای پاسخ به این سؤال که چگونه می توان قضیه فیثاغورث را اثبات کرد، باید با مجذور کردن هر دو نابرابری اثبات کرد.

AC 2 \u003d AB * HELL و SV 2 \u003d AB * DV

اکنون باید نابرابری های حاصل را اضافه کنیم.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV)، جایی که AD + DV \u003d AB

معلوم می شود که:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

و بنابراین:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

اثبات قضیه فیثاغورث و راه های مختلفراه حل های آن نیازمند یک رویکرد چند وجهی برای این مشکل است. با این حال، این گزینه یکی از ساده ترین است.

یک روش محاسبه دیگر

شرح روش های مختلف اثبات قضیه فیثاغورث ممکن است چیزی نگوید، تا زمانی که خودتان شروع به تمرین نکنید. بسیاری از روش‌ها نه تنها شامل محاسبات ریاضی، بلکه ساخت ارقام جدید از مثلث اصلی هستند.

در این صورت لازم است یک مثلث قائم الزاویه دیگر VSD از پای هواپیما تکمیل شود. بنابراین، اکنون دو مثلث با یک ساق مشترک قبل از میلاد وجود دارد.

با دانستن اینکه مساحت اشکال مشابه نسبتی به مربع ابعاد خطی مشابه آنها دارند، پس:

S avs * s 2 - S avd * در 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (از 2 تا 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

از 2 تا 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

از آنجایی که این گزینه به سختی از روش های مختلف اثبات قضیه فیثاغورث برای درجه 8 مناسب است، می توانید از تکنیک زیر استفاده کنید.

ساده ترین راه برای اثبات قضیه فیثاغورث. بررسی ها

مورخان بر این باورند که این روش اولین بار برای اثبات یک قضیه در یونان باستان مورد استفاده قرار گرفت. این ساده ترین است، زیرا مطلقاً به هیچ محاسباتی نیاز ندارد. اگر یک تصویر را به درستی ترسیم کنید، اثبات این جمله که a 2 + b 2 \u003d c 2 به وضوح قابل مشاهده است.

شرایط این روش با روش قبلی کمی متفاوت خواهد بود. برای اثبات قضیه، فرض کنید که مثلث قائم الزاویه ABC متساوی الساقین باشد.

فرضیه AC را ضلع مربع می گیریم و سه ضلع آن را می کشیم. علاوه بر این، لازم است دو خط مورب در مربع حاصل بکشید. به طوری که در داخل آن چهار مثلث متساوی الساقین به دست می آید.

برای پاهای AB و CB نیز باید یک مربع بکشید و در هر یک از آنها یک خط مورب بکشید. ما خط اول را از راس A ترسیم می کنیم، خط دوم - از C.

اکنون باید به نقاشی حاصل نگاه کنید. از آنجایی که بر روی هیپوتنوز AC چهار مثلث برابر با مثلث اصلی و دو مثلث روی پاها وجود دارد، این نشان دهنده صحت این قضیه است.

به هر حال، به لطف این روش برای اثبات قضیه فیثاغورث، عبارت معروف متولد شد: شلوار فیثاغورثیدر همه جهات برابر است."

اثبات توسط جی. گارفیلد

جیمز گارفیلد بیستمین رئیس جمهور ایالات متحده آمریکا است. او علاوه بر اینکه به عنوان حاکم ایالات متحده اثری از خود بر تاریخ گذاشت، خودآموخته ای با استعداد نیز بود.

او در آغاز کار خود یک معلم عادی در یک مدرسه محلی بود، اما به زودی مدیر یکی از مدارس عالی شد. موسسات آموزشی. میل به خودسازی و به او اجازه ارائه داد نظریه جدیداثبات قضیه فیثاغورث قضیه و مثالی از حل آن به شرح زیر است.

ابتدا باید دو مثلث قائم الزاویه را روی یک کاغذ بکشید تا پای یکی از آنها ادامه دومی باشد. رئوس این مثلث ها باید به هم متصل شوند تا به ذوزنقه ختم شود.

همانطور که می دانید مساحت ذوزنقه برابر با حاصل ضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع آن است.

S=a+b/2 * (a+b)

اگر ذوزنقه حاصل را شکلی متشکل از سه مثلث در نظر بگیریم، مساحت آن را می توان به صورت زیر یافت:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

اکنون باید دو عبارت اصلی را برابر کنیم

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

c 2 \u003d a 2 + in 2

در مورد قضیه فیثاغورث و چگونگی اثبات آن می توان بیش از یک جلد نوشت راهنمای مطالعه. اما آیا زمانی که این دانش نمی تواند عملی شود، منطقی است؟

کاربرد عملی قضیه فیثاغورث

متأسفانه برنامه های درسی مدارس مدرن استفاده از این قضیه را فقط در مسائل هندسی پیش بینی می کند. فارغ التحصیلان به زودی دیوار مدرسه را ترک خواهند کرد بدون اینکه بدانند چگونه می توانند دانش و مهارت های خود را در عمل به کار ببرند.

در واقع از قضیه فیثاغورث در خود استفاده کنید زندگی روزمرههرکسی می تواند. و نه تنها در فعالیت حرفه ایبلکه در کارهای عادی خانه. بیایید چند مورد را در نظر بگیریم که قضیه فیثاغورث و روش های اثبات آن می تواند بسیار ضروری باشد.

ارتباط قضیه و نجوم

به نظر می رسد چگونه می توان ستاره ها و مثلث ها را روی کاغذ به هم متصل کرد. در واقع نجوم یک رشته علمی است که قضیه فیثاغورث در آن بسیار مورد استفاده قرار می گیرد.

به عنوان مثال، حرکت یک پرتو نور در فضا را در نظر بگیرید. می دانیم که نور در هر دو جهت با سرعت یکسان حرکت می کند. ما مسیری را که پرتو نور در امتداد آن حرکت می کند AB می نامیم ل. و نیمی از زمانی که طول می کشد تا نور از نقطه A به نقطه B برسد، بیایید تماس بگیریم تی. و سرعت پرتو - ج. معلوم می شود که: c*t=l

اگر به همین پرتو از هواپیمای دیگری نگاه کنید، مثلاً از یک لاینر فضایی که با سرعت v حرکت می کند، با چنین مشاهده ای از اجسام، سرعت آنها تغییر می کند. در این حالت حتی عناصر ساکن نیز با سرعت v در جهت مخالف حرکت خواهند کرد.

بیایید بگوییم که لاینر کمیک در حال حرکت به سمت راست است. سپس نقاط A و B، که پرتو بین آنها حرکت می کند، به سمت چپ حرکت می کند. علاوه بر این، هنگامی که پرتو از نقطه A به نقطه B حرکت می کند، نقطه A زمان حرکت دارد و بر این اساس، نور از قبل به نقطه جدید C می رسد. برای یافتن نیمی از فاصله ای که نقطه A جابجا شده است، باید مقدار را ضرب کنید. سرعت لاینر به نصف زمان سفر پرتو (t ").

و برای اینکه بفهمید یک پرتو نور در این مدت چقدر می تواند طی کند، باید نیمی از مسیر راش های جدید را مشخص کنید و عبارت زیر را بدست آورید:

اگر تصور کنیم که نقاط نور C و B و همچنین خط فضایی رئوس یک مثلث متساوی الساقین هستند، آنگاه قطعه از نقطه A تا خط آن را به دو مثلث قائم الزاویه تقسیم می کند. بنابراین، به لطف قضیه فیثاغورث، می توانید فاصله ای را که یک پرتو نور می تواند طی کند، پیدا کنید.

این مثال، البته، موفق‌ترین نمونه نیست، زیرا فقط تعداد کمی می‌توانند آنقدر خوش شانس باشند که آن را در عمل امتحان کنند. بنابراین، ما کاربردهای معمولی تری از این قضیه را در نظر می گیریم.

محدوده انتقال سیگنال موبایل

زندگی مدرن را دیگر نمی توان بدون وجود گوشی های هوشمند تصور کرد. اما اگر نتوانند مشترکین را از طریق ارتباط برقرار کنند، چقدر مفید خواهند بود ارتباطات سیار?!

کیفیت ارتباطات سیار به طور مستقیم به ارتفاع آنتن بستگی دارد. اپراتور تلفن همراه. برای محاسبه اینکه یک تلفن چقدر از یک برج موبایل می تواند سیگنال دریافت کند، می توانید قضیه فیثاغورث را اعمال کنید.

فرض کنید باید ارتفاع تقریبی یک برج ثابت را پیدا کنید تا بتواند سیگنالی را در شعاع 200 کیلومتری منتشر کند.

AB (ارتفاع برج) = x;

BC (شعاع انتقال سیگنال) = 200 کیلومتر؛

سیستم عامل (شعاع کره زمین) = 6380 کیلومتر؛

OB=OA+ABOB=r+x

با اعمال قضیه فیثاغورث، متوجه می شویم که حداقل ارتفاع برج باید 2.3 کیلومتر باشد.

قضیه فیثاغورث در زندگی روزمره

به اندازه کافی عجیب، قضیه فیثاغورث می تواند حتی در مسائل روزمره، مانند تعیین ارتفاع یک کمد، مفید باشد. در نگاه اول، نیازی به استفاده از چنین محاسبات پیچیده ای نیست، زیرا می توانید به سادگی با یک اندازه گیری نوار اندازه گیری کنید. اما بسیاری از آنها تعجب می کنند که چرا اگر تمام اندازه گیری ها با دقت بیشتری انجام شود، مشکلات خاصی در طول فرآیند مونتاژ ایجاد می شود.

واقعیت این است که کمد لباس در یک موقعیت افقی مونتاژ می شود و تنها پس از آن بالا می رود و در مقابل دیوار نصب می شود. بنابراین، دیواره کناری کابینت در فرآیند بلند کردن سازه باید آزادانه هم در امتداد ارتفاع و هم از مورب اتاق عبور کند.

فرض کنید کمد لباسی با عمق 800 میلی متر وجود دارد. فاصله از کف تا سقف - 2600 میلی متر. یک مبل ساز با تجربه می گوید که ارتفاع کابینت باید 126 میلی متر کمتر از ارتفاع اتاق باشد. اما چرا دقیقا 126 میلی متر؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

با ابعاد ایده آل کابینت، اجازه دهید عملکرد قضیه فیثاغورث را بررسی کنیم:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 میلی متر - همه چیز همگرا می شود.

فرض کنید ارتفاع کابینت 2474 میلی متر نیست، بلکه 2505 میلی متر است. سپس:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 میلی متر.

بنابراین این کابینت برای نصب در این اتاق مناسب نیست. از آنجایی که هنگام بلند کردن آن به حالت عمودی، ممکن است به بدن آن آسیب وارد شود.

شاید با در نظر گرفتن روش های مختلف اثبات قضیه فیثاغورث توسط دانشمندان مختلف، بتوانیم نتیجه بگیریم که این قضیه بیش از واقعیت است. اکنون می توانید از اطلاعات دریافتی در زندگی روزمره خود استفاده کنید و کاملا مطمئن باشید که تمامی محاسبات نه تنها مفید، بلکه صحیح نیز خواهند بود.

معمار رومی ویتروویوس قضیه فیثاغورث را «از اکتشافات متعددی که به توسعه زندگی بشر خدمات داده است» متمایز کرد و خواستار احترام به آن شد. در قرن اول قبل از میلاد بود. ه. در آغاز قرن 16-17، ستاره شناس مشهور آلمانی، یوهانس کپلر، آن را یکی از گنجینه های هندسه، قابل مقایسه با یک پیمانه طلا نامید. بعید است که در تمام ریاضیات، گزاره ای سنگین تر و قابل توجه تر وجود داشته باشد، زیرا از نظر تعداد کاربردهای علمی و عملی، قضیه فیثاغورث برابری ندارد.

قضیه فیثاغورث برای حالت مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین.

علم و زندگی // تصاویر

تصویری از قضیه فیثاغورث از رساله در مورد قطب اندازه گیری (چین، قرن سوم قبل از میلاد) و اثبات بازسازی شده بر اساس آن.

علم و زندگی // تصاویر

اس. پرکینز. فیثاغورث

نقاشی برای اثبات احتمالی فیثاغورث.

«موزاییک فیثاغورث» و تقسیم النیریزی سه مربع در اثبات قضیه فیثاغورث.

پی دی هوخ. معشوقه و خدمتکار در حیاط. حدود 1660.

I. Ohtervelt. نوازندگان سرگردان درب خانه ای ثروتمند. 1665.

شلوار فیثاغورثی

قضیه فیثاغورث شاید قابل تشخیص ترین و بدون شک معروف ترین قضیه در تاریخ ریاضیات باشد. در هندسه به معنای واقعی کلمه در هر مرحله استفاده می شود. با وجود سادگی فرمول، این قضیه به هیچ وجه واضح نیست: نگاه کردن به مثلث قائم الزاویه با اضلاع a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

ارقام نشان داده شده در شکل. 1 و 2، شبیه ساده ترین زینت مربع و آنها است قسمت های مساوی- یک الگوی هندسی که از زمان های بسیار قدیم شناخته شده است. آنها می توانند به طور کامل هواپیما را بپوشانند. یک ریاضیدان چنین پوششی از هواپیما با چند ضلعی را پارکت یا کاشی کاری می نامد. چرا فیثاغورث اینجاست؟ به نظر می رسد که او اولین کسی بود که مشکل پارکت های معمولی را حل کرد و مطالعه کاشی کاری سطوح مختلف را آغاز کرد. بنابراین، فیثاغورث نشان داد که صفحه اطراف یک نقطه را می توان بدون شکاف تنها با چندضلعی های منتظم مساوی پوشاند. سه نوع: شش مثلث، چهار مربع و سه شش ضلعی.

4000 سال بعد

تاریخچه قضیه فیثاغورث به دوران باستان باز می گردد. ذکر آن در متون میخی بابلی در زمان شاه حمورابی (قرن هجدهم پیش از میلاد) یعنی 1200 سال قبل از تولد فیثاغورث آمده است. این قضیه به عنوان یک قانون آماده در بسیاری از مسائل به کار رفته است که ساده ترین آنها یافتن قطر مربع در امتداد ضلع آن است. این امکان وجود دارد که رابطه a 2 + b 2 = c 2 برای یک مثلث قائم الزاویه دلخواه توسط بابلی ها صرفاً با "تعمیم" برابری a 2 + a 2 = c 2 به دست آمده باشد. اما این برای آنها قابل توجیه است - برای هندسه عملی پیشینیان، که به اندازه گیری ها و محاسبات کاهش یافته بود، نیازی به توجیه دقیق نبود.

اکنون، تقریباً 4000 سال بعد، ما با یک قضیه رکوردشکنی از نظر تعداد اثبات های ممکن روبرو هستیم. به هر حال، جمع آوری آنها یک سنت طولانی است. اوج علاقه به قضیه فیثاغورث در نیمه دوم قرن نوزدهم - اوایل قرن بیستم رخ داد. و اگر مجموعه های اول شامل بیش از دو یا سه دوجین مدرک نبود، پس به اواخر نوزدهمقرن، تعداد آنها به 100 نفر رسید و پس از نیم قرن دیگر از 360 گذشت و اینها فقط آنهایی هستند که از منابع مختلف جمع آوری شده اند. چه کسی راه حل این کار بی عمر را بر عهده نگرفت - از دانشمندان برجسته و رواج دهندگان علم گرفته تا نمایندگان کنگره و دانش آموزان مدرسه. و آنچه قابل توجه است، در اصالت و سادگی راه حل، سایر آماتورها دست کمی از حرفه ای ها نداشتند!

قدیمی ترین اثبات قضیه فیثاغورث که به دست ما رسیده است حدود 2300 سال قدمت دارد. یکی از آنها - بدیهیات دقیق - متعلق به اقلیدس ریاضیدان یونان باستان است که در قرن های 4-3 قبل از میلاد می زیست. ه. در کتاب اول عناصر، قضیه فیثاغورث به عنوان گزاره 47 ذکر شده است. بصری ترین و زیباترین شواهد بر روی طراحی مجدد "شلوار فیثاغورث" ساخته شده است. آنها مانند یک پازل مبتکرانه با برش مربع به نظر می رسند. اما ارقام را به درستی حرکت دهید - و آنها راز قضیه معروف را برای شما آشکار خواهند کرد.

در اینجا یک اثبات زیبا بر اساس نقاشی از یک رساله چینی باستان به دست آمده است (شکل 3) و ارتباط آن با مشکل دو برابر شدن مساحت یک مربع بلافاصله روشن می شود.

گویدو هفت ساله، قهرمان چشم روشن داستان کوتاه «ارشمیدس کوچک» نوشته آلدوس هاکسلی نویسنده انگلیسی، سعی کرد برای دوست کوچکترش توضیح دهد. جالب است که راوی که این تصویر را مشاهده کرده است، به سادگی و قانع‌کننده بودن شواهد توجه کرده و بنابراین آن را به خود فیثاغورث نسبت داده است. و اینجا قهرمان داستانداستان خارق العاده اوگنی ولتیستوف "الکترونیک - پسری از چمدان" 25 اثبات قضیه فیثاغورث را می دانست، از جمله مواردی که اقلیدس ارائه کرده است. درست است، او به اشتباه آن را ساده ترین نامید، اگرچه در واقع در نسخه مدرن آغازها یک و نیم صفحه را اشغال می کند!

اولین ریاضیدان

فیثاغورث ساموسی (570-495 قبل از میلاد) که نامش از دیرباز با یک قضیه قابل توجه پیوند ناگسستنی داشته است، به یک معنا می توان اولین ریاضیدان نامید. از اوست که ریاضیات به عنوان یک علم دقیق آغاز می شود، جایی که هر دانش جدید نتیجه بازنمایی بصری و قوانین آموخته شده از تجربه نیست، بلکه نتیجه استدلال و نتیجه گیری منطقی است. این تنها راهی است که می توان یک بار و برای همیشه حقیقت هر گزاره ریاضی را ثابت کرد. قبل از فیثاغورث، روش قیاسی تنها توسط فیلسوف و دانشمند یونان باستان تالس از میلتوس، که در اواخر قرن 7-6 قبل از میلاد می زیست، استفاده می شد. ه. او ایده اثبات را بیان کرد، اما آن را به طور غیر سیستماتیک، انتخابی، به عنوان یک قاعده، برای گزاره های هندسی آشکار مانند "قطر دایره را نصف می کند" به کار برد. فیثاغورث بسیار فراتر رفت. اعتقاد بر این است که او اولین تعاریف، بدیهیات و روش های اثبات را معرفی کرد و همچنین اولین دوره در هندسه را که توسط یونانیان باستان با نام "سنت فیثاغورث" شناخته می شد، ایجاد کرد. و او در ریشه های نظریه اعداد و کلیشه سنجی ایستاد.

یکی دیگر از شایستگی های مهم فیثاغورث، تأسیس مکتب باشکوهی از ریاضیدانان است که برای بیش از یک قرن تعیین کننده توسعه این علم در یونان باستان. خود اصطلاح "ریاضیات" نیز با نام او (از کلمه یونانی μαθημa - آموزش، علم) مرتبط است، که ترکیبی از چهار رشته مرتبط ایجاد شده توسط فیثاغورث و پیروان او - فیثاغورثی ها - یک سیستم دانش: هندسه، حساب، نجوم و هارمونیک ها

جدا کردن دستاوردهای فیثاغورث از دستاوردهای شاگردانش غیرممکن است: آنها به پیروی از رسم، ایده ها و اکتشافات خود را به معلم خود نسبت دادند. فیثاغورثیان اولیه هیچ نوشته ای از خود برجای نگذاشتند، آنها تمام اطلاعات را به صورت شفاهی به یکدیگر منتقل می کردند. بنابراین، 2500 سال بعد، مورخان چاره ای جز بازسازی دانش از دست رفته بر اساس رونویسی های نویسندگان دیگر ندارند. اجازه دهید به یونانیان اعتبار بدهیم: اگرچه آنها نام فیثاغورث را با افسانه های بسیاری احاطه کردند، اما چیزی را به او نسبت ندادند که او نتواند کشف کند یا نظریه ای بسازد. و قضیه ای که نام او را یدک می کشد نیز از این قاعده مستثنی نیست.

چنین اثبات ساده ای

معلوم نیست که فیثاغورث خود نسبت بین طول اضلاع در یک مثلث قائم الزاویه را کشف کرده است یا این دانش را به عاریت گرفته است. نویسندگان باستان ادعا می کردند که خود او، و دوست داشت این افسانه را بازگو کند که چگونه فیثاغورث به افتخار کشف خود، یک گاو نر را قربانی کرد. مورخان مدرن مایلند بر این باورند که او با آشنایی با ریاضیات بابلی ها این قضیه را آموخته است. ما همچنین نمی دانیم فیثاغورث این قضیه را به چه شکلی صورت بندی کرده است: از نظر حسابی، همانطور که امروزه مرسوم است، مربع فرض برابر است با مجموع مربعات پاها، یا از نظر هندسی، در روح باستان، مربع ساخته شده است. در فرضیه مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های ساخته شده روی اسکیت های او.

اعتقاد بر این است که این فیثاغورث بود که اولین اثبات قضیه ای را که نام او را یدک می کشد ارائه کرد. البته زنده نماند. طبق یک نسخه، فیثاغورث می توانست از آموزه تناسبات که در مکتب خود توسعه داده شده است استفاده کند. بر اساس آن، به ویژه، نظریه شباهت، که استدلال بر آن استوار است. بیایید در یک مثلث قائم الزاویه با پاهای a و b یک ارتفاع به سمت فرض c رسم کنیم. ما سه مثلث مشابه، از جمله مثلث اصلی، دریافت می کنیم. اضلاع مربوطه آنها متناسب هستند، a: c = m: a و b: c = n: b، از این رو a 2 = c · m و b 2 = c · n. سپس a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (شکل 4).

این فقط یک بازسازی است که توسط یکی از مورخان علم پیشنهاد شده است، اما اثبات آن، می بینید، بسیار ساده است: فقط چند خط طول می کشد، شما نیازی به اتمام ساختن، تغییر شکل، محاسبه چیزی ندارید... جای تعجب نیست که بیش از یک بار دوباره کشف شد. مثلاً در «عمل هندسه» نوشته لئوناردو پیزا (1220) آمده است و هنوز هم در کتابهای درسی آمده است.

چنین اثباتی با عقاید فیثاغورثی ها در مورد قیاس پذیری در تضاد نیست: در ابتدا آنها معتقد بودند که نسبت طول هر دو بخش و در نتیجه مساحت اشکال مستطیل را می توان با استفاده از اعداد طبیعی بیان کرد. آنها هیچ اعداد دیگری را در نظر نگرفتند، حتی کسرها را مجاز نکردند و نسبت‌های 1: 2، 2: 3 و غیره را جایگزین آنها کردند. میدان و ضلع آن تمام تلاش‌ها برای نمایش عددی طول این مورب - برای یک مربع واحد برابر با √2 است - به چیزی منتهی نشد. ثابت شد که این مشکل غیر قابل حل است. در چنین موردی، ریاضیدانان یک روش اثبات شده دارند - اثبات با تناقض. ضمناً به فیثاغورث نیز نسبت داده می شود.

وجود رابطه ای که با اعداد طبیعی بیان نمی شود به بسیاری از ایده های فیثاغورثی ها پایان می دهد. مشخص شد که اعدادی که آنها می‌دانستند برای حل مسائل حتی ساده کافی نبودند و از تمام هندسه چیزی نمی‌گفتند! این کشف نقطه عطفی در توسعه ریاضیات یونان، مسئله اصلی آن بود. ابتدا به توسعه دکترین مقادیر غیرقابل قیاس - غیر منطقی ها و سپس به گسترش مفهوم عدد منجر شد. به عبارت دیگر، تاریخ چند صد ساله مطالعه مجموعه اعداد حقیقی از او آغاز شد.

موزاییک فیثاغورث

اگر هواپیما را با مربع هایی با دو اندازه مختلف بپوشانید و هر مربع کوچک را با چهار مربع بزرگ احاطه کنید، یک پارکت موزاییکی فیثاغورث به دست می آورید. چنین الگویی برای مدت طولانی کف های سنگی را تزئین کرده است، که یادآور شواهد باستانی قضیه فیثاغورث (از این رو نام آن است). با اعمال یک شبکه مربعی بر روی پارکت به روش های مختلف می توان پارتیشن هایی از مربع های ساخته شده در اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را بدست آورد که توسط ریاضیدانان مختلف پیشنهاد شده است. به عنوان مثال، اگر شبکه را طوری مرتب کنید که تمام گره های آن با رئوس سمت راست و بالای مربع های کوچک منطبق شود، قطعاتی از نقاشی برای اثبات ریاضیدان ایرانی قرون وسطی آن نایریزی ظاهر می شود که او در نظرات اقلیدس قرار داده است. اصول". به راحتی می توان دید که مجموع مساحت مربع های بزرگ و کوچک، عناصر اولیه پارکت، برابر است با مساحت یک مربع از شبکه که روی آن قرار گرفته است. و این بدان معنی است که پارتیشن مشخص شده واقعاً برای گذاشتن پارکت مناسب است: با اتصال چند ضلعی های حاصل به مربع ، همانطور که در شکل نشان داده شده است ، می توانید کل صفحه را بدون شکاف و همپوشانی با آنها پر کنید.

شلوار فیثاغورث - از همه طرف برابر است.
برای اثبات آن باید حذف و نشان دهید.

این قافیه از دوران دبیرستان برای همه شناخته شده بود، از زمانی که قضیه معروف فیثاغورث را در یک درس هندسه مطالعه کردیم: مجذور طول فرضیه مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های پاها.

فیثاغورث برای اثبات قضیه خود، شکلی را در شن و ماسه از مربع های اضلاع یک مثلث ترسیم کرد. مجموع مربع های پاهای یک مثلث قائم الزاویه برابر با مربع هیپوتانوس است و یک مربع به اضافه مربع B برابر است با مربع C. 500 سال قبل از میلاد بود. امروزه قضیه فیثاغورث در دبیرستان تدریس می شود. در کتاب رکوردهای گینس، قضیه فیثاغورث قضیه ای است که بیشترین تعداد برهان را دارد. در واقع، در سال 1940 کتابی حاوی سیصد و هفتاد دلیل از قضیه فیثاغورث منتشر شد. یکی از آنها توسط رئیس جمهور ایالات متحده جیمز آبرام گارفیلد پیشنهاد شد. تنها یک اثبات قضیه هنوز برای هیچ یک از ما ناشناخته است: اثبات خود فیثاغورث. مدتها تصور می شد که برهان اقلیدس برهان فیثاغورثی است، اما اکنون ریاضیدانان فکر می کنند که این برهان متعلق به خود اقلیدس است.

هدف برهان کلاسیک اقلیدس ایجاد برابری مساحت‌های بین مستطیل‌هایی است که با تشریح مربع بالای هیپوتنوس با ارتفاع از زاویه راست با مربع‌های بالای پاها تشکیل شده‌اند.

ساختاری که برای اثبات استفاده می شود به شرح زیر است: برای مثلث قائم الزاویه ABC با زاویه قائم C، مربع روی پایه های ACED و BCFG، و مربع بر روی هیپوتانوس ABIK، ارتفاع CH و پرتوهای امتدادی آن s ساخته می شوند، با تقسیم مربع بر روی هیپوتانوس به دو مستطیل AHJK و BHJI. هدف این اثبات، ایجاد برابری مساحت های مستطیل AHJK با مربع روی پایه AC است. مساوی مساحت های مستطیل دوم که یک مربع بالای هیپوتنوز است و مستطیل بالای پایه دیگر به همین ترتیب برقرار می شود.

تساوی مساحت های مستطیل AHJK و ACED از طریق همخوانی مثلث های ACK و ABD ایجاد می شود که مساحت هر یک از آنها به ترتیب برابر با نصف مساحت مستطیل های AHJK و ACED است. خاصیت زیر: مساحت مثلث برابر با نصف مساحت مستطیل است اگر شکل ها ضلع مشترک داشته باشند و ارتفاع مثلث k باشد ضلع مشترک ضلع دیگر مستطیل است. همخوانی مثلث ها از برابری دو ضلع (اضلاع مربع ها) و زاویه بین آنها (متشکل از یک زاویه قائمه و زاویه در A) ناشی می شود.

بنابراین، اثبات ثابت می کند که مساحت مربع بالای هیپوتانوس، متشکل از مستطیل های AHJK و BHJI، برابر است با مجموع مساحت مربع های بالای پاها.

کارل گاوس، ریاضیدان آلمانی پیشنهاد کرد که شلوار فیثاغورثی غول پیکر را از درختان تایگا سیبری کوتاه کند. با نگاه کردن به این شلوار از فضا، بیگانگان باید متقاعد شوند که موجودات باهوشی در سیاره ما زندگی می کنند.

خنده دار است که خود فیثاغورس هرگز شلوار نپوشید - در آن روزها، یونانی ها به سادگی در مورد چنین مورد کمد لباس نمی دانستند.

منابع:

sandbox.fizmat.vspu.ru
en.wikipedia.org
kuchmastar.fandom.com

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

قضیه فیثاغورث از دوران مدرسه برای همه شناخته شده بود. یک ریاضیدان برجسته حدس بزرگی را ثابت کرد که در حال حاضر توسط بسیاری از مردم استفاده می شود. این قانون به این صورت است: مجذور طول هیپوتنوز یک مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های پاها. برای چندین دهه، حتی یک ریاضیدان نتوانسته است این قانون را استدلال کند. از این گذشته ، فیثاغورث برای مدت طولانی به سمت هدف خود راه رفت ، به طوری که در نتیجه نقاشی ها در زندگی روزمره اتفاق افتاد.

یک آیه کوچک به این قضیه که اندکی پس از اثبات ابداع شد، مستقیماً خواص این فرضیه را ثابت می کند: "شلوار فیثاغورث از همه جهات برابر است." این دو خط در حافظه بسیاری از مردم سپرده شد - تا به امروز این شعر در محاسبات به یادگار مانده است.
این قضیه را "شلوار فیثاغورثی" می نامیدند زیرا هنگام ترسیم در وسط یک مثلث قائم الزاویه به دست می آمد که در اضلاع آن مربع وجود داشت. از نظر ظاهری، این نقاشی شبیه شلوار بود - از این رو نام این فرضیه است.
فیثاغورث به قضیه توسعه یافته افتخار می کرد، زیرا این فرضیه با حداکثر شواهد با فرضیه های مشابه خود متفاوت است. مهم: این معادله به دلیل 370 مدرک واقعی در کتاب رکوردهای گینس ثبت شد.
این فرضیه توسط تعداد زیادی از ریاضیدانان و اساتید از کشورهای مختلفاز بسیاری جهات. جونز، ریاضیدان انگلیسی، اندکی پس از اعلام این فرضیه، آن را با کمک یک معادله دیفرانسیل اثبات کرد.
در حال حاضر، هیچ کس اثبات این قضیه توسط خود فیثاغورث را نمی داند. حقایق در مورد شواهد یک ریاضیدان امروز برای کسی شناخته شده نیست. اعتقاد بر این است که اثبات نقاشی های اقلیدس، اثبات فیثاغورث است. با این حال، برخی از دانشمندان با این بیانیه استدلال می کنند: بسیاری بر این باورند که اقلیدس به طور مستقل این قضیه را بدون کمک خالق این فرضیه اثبات کرد.
دانشمندان کنونی کشف کرده اند که این ریاضیدان بزرگ اولین کسی نبود که این فرضیه را کشف کرد.. این معادله مدت ها قبل از کشف فیثاغورث شناخته شده بود. این ریاضیدان تنها موفق شد این فرضیه را دوباره متحد کند.
فیثاغورث به معادله نام «قضیه فیثاغورث» نداده است.. این نام پس از "دو خط بلند" ثابت شد. این ریاضیدان فقط می خواست تمام دنیا تلاش ها و اکتشافات او را بشناسند و از آنها استفاده کنند.
موریتز کانتور - بزرگترین ریاضیدان که یادداشت هایی با نقاشی روی پاپیروس باستانی پیدا کرد و دید.. اندکی پس از آن، کانتور متوجه شد که این قضیه در اوایل سال 2300 قبل از میلاد برای مصریان شناخته شده بود. فقط در این صورت هیچ کس از آن استفاده نکرد و سعی نکرد آن را ثابت کند.
محققان فعلی معتقدند که این فرضیه در اوایل قرن هشتم قبل از میلاد شناخته شده بود. دانشمندان هندی آن زمان محاسبه تقریبی هیپوتنوس مثلثی را کشف کردند که دارای زوایای قائمه بود. درست است، در آن زمان هیچ کس نمی توانست معادله را با محاسبات تقریبی به طور قطع ثابت کند.
بارتل ون در واردن، ریاضیدان بزرگ، پس از اثبات این فرضیه، به نتیجه گیری مهمی دست یافت.: «شایستگی ریاضیدان یونانی را نه کشف جهت و هندسه، بلکه فقط توجیه آن می دانند. در دست فیثاغورث فرمول های محاسباتی بود که مبتنی بر فرضیات، محاسبات نادرست و ایده های مبهم بود. با این حال، دانشمند برجسته توانست آن را به یک علم دقیق تبدیل کند.
یک شاعر معروف گفت که در روز کشف نقاشی خود، قربانی باشکوهی برای گاو نر برپا کرد.. پس از کشف این فرضیه بود که شایعاتی منتشر شد مبنی بر اینکه قربانی صد گاو نر «در صفحات کتاب ها و نشریات سرگردان شد». عقل تا به امروز به شوخی می گوید که از آن زمان همه گاو نر از یک کشف جدید می ترسند.
اثبات اینکه فیثاغورث برای اثبات نقاشی هایی که ارائه کرده است شعری در مورد شلوار نیاورده است: در طول زندگی ریاضیدان بزرگ هنوز شلواری وجود نداشت. آنها چندین دهه بعد اختراع شدند.
پکا، لایب نیتس و چندین دانشمند دیگر سعی کردند قضیه قبلا شناخته شده را اثبات کنند، اما هیچ کس موفق نشد.
نام نقاشی ها "قضیه فیثاغورث" به معنای "اقناع با گفتار" است.. این ترجمه کلمه فیثاغورس است که ریاضیدان آن را به عنوان نام مستعار گرفته است.
بازتاب فیثاغورث در مورد حکومت خود: راز آنچه روی زمین وجود دارد در اعداد نهفته است. از این گذشته، یک ریاضیدان با تکیه بر فرضیه خود، خواص اعداد را مطالعه کرد، زوج و فرد را آشکار کرد و نسبت ها را ایجاد کرد.

امیدواریم از انتخاب تصاویر لذت برده باشید - حقایق جالبدرباره قضیه فیثاغورث: چیزهای جدیدی در مورد قضیه معروف (15 عکس) به صورت آنلاین بیاموزید کیفیت خوب. لطفا نظر خود را در نظرات بگذارید! هر نظری برای ما مهم است.

پتانسیل خلاقیت معمولاً به علوم انسانی نسبت داده می شود و تحلیل علمی طبیعی، رویکرد عملی و زبان خشک فرمول ها و اعداد باقی می ماند. ریاضیات را نمی توان جزو رشته های علوم انسانی طبقه بندی کرد. اما بدون خلاقیت در "ملکه همه علوم" راه دوری نخواهید رفت - مردم مدتهاست که از این موضوع می دانند. مثلاً از زمان فیثاغورث.

متأسفانه، کتاب‌های درسی مدرسه معمولاً توضیح نمی‌دهند که در ریاضیات نه تنها به هم ریختن قضایا، بدیهیات و فرمول‌ها اهمیت دارد. درک و احساس اصول اساسی آن مهم است. و در عین حال، سعی کنید ذهن خود را از کلیشه ها و حقایق ابتدایی رها کنید - فقط در چنین شرایطی همه اکتشافات بزرگ متولد می شوند.

از جمله اکتشافاتی که امروزه به عنوان قضیه فیثاغورث می شناسیم. با کمک آن، ما سعی خواهیم کرد نشان دهیم که ریاضیات نه تنها می تواند، بلکه باید سرگرم کننده باشد. و اینکه این ماجراجویی نه تنها برای آدم‌های با لیوان‌های ضخیم، بلکه برای همه افرادی که از نظر ذهنی قوی و از نظر روحی قوی هستند مناسب است.

از تاریخچه موضوع

به بیان دقیق، اگرچه این قضیه "قضیه فیثاغورث" نامیده می شود، اما خود فیثاغورث آن را کشف نکرد. مثلث قائم الزاویه و خواص ویژه آن مدت ها قبل از آن مورد مطالعه قرار گرفته است. در این موضوع دو دیدگاه قطبی وجود دارد. طبق یک نسخه، فیثاغورث اولین کسی بود که اثبات کامل این قضیه را پیدا کرد. به گفته دیگری، اثبات متعلق به نویسنده فیثاغورث نیست.

امروز دیگر نمی توانید بررسی کنید که چه کسی درست می گوید و چه کسی اشتباه می کند. فقط معلوم است که اثبات فیثاغورث، اگر زمانی وجود داشته باشد، باقی نمانده است. با این حال، پیشنهاداتی وجود دارد که اثبات معروف عناصر اقلیدس ممکن است متعلق به فیثاغورس باشد، و اقلیدس فقط آن را ثبت کرده است.

امروزه نیز شناخته شده است که مشکلات مربوط به مثلث قائم الزاویه در منابع مصری از زمان فرعون آمنه هت اول، بر روی الواح گلی بابلی از سلطنت پادشاه حمورابی، در رساله هند باستانی Sulva Sutra و اثر چینی باستانی Zhou یافت می شود. -بی سون جین.

همانطور که می بینید، قضیه فیثاغورث از زمان های قدیم ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرده است. تقریباً 367 مدرک مختلف که امروزه وجود دارد به عنوان تأیید عمل می کند. هیچ قضیه دیگری از این نظر نمی تواند با آن رقابت کند. نویسندگان شواهد برجسته عبارتند از لئوناردو داوینچی و بیستمین رئیس جمهور ایالات متحده، جیمز گارفیلد. همه اینها حاکی از اهمیت فوق العاده این قضیه برای ریاضیات است: بیشتر قضایای هندسه از آن مشتق شده اند یا به نوعی با آن مرتبط هستند.

اثبات قضیه فیثاغورث

کتب درسی مدرسه اکثراً اثبات جبری می دهند. اما اصل قضیه در هندسه است، پس بیایید ابتدا آن دسته از براهین قضیه معروف را که مبتنی بر این علم هستند، در نظر بگیریم.

اثبات 1

برای ساده ترین اثبات قضیه فیثاغورث برای مثلث قائم الزاویه، باید تنظیم کنید شرایط ایده آل: اجازه دهید مثلث نه تنها مستطیلی، بلکه متساوی الساقین نیز باشد. دلایلی وجود دارد که باور کنیم این مثلثی است که در ابتدا توسط ریاضیدانان باستان مورد توجه قرار گرفته است.

بیانیه "مربع ساخته شده بر روی فرضیه مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های ساخته شده بر روی پاهای آن"را می توان با نقاشی زیر نشان داد:

به مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ABC نگاه کنید: روی هیپوتنوز AC می توانید مربعی متشکل از چهار مثلث برابر با ABC اصلی بسازید. و روی پاهای AB و BC بر مربعی ساخته شده که هر کدام شامل دو مثلث مشابه است.

به هر حال، این نقاشی اساس حکایات و کاریکاتورهای متعددی را تشکیل داد که به قضیه فیثاغورث اختصاص یافته است. شاید معروف ترین آنها باشد "شلوار فیثاغورثی در همه جهات برابر است":

اثبات 2

این روش جبر و هندسه را با هم ترکیب می کند و می تواند به عنوان گونه ای از اثبات هندی باستانی ریاضیدان بهاسکاری دیده شود.

یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع بسازید الف، ب و ج(عکس. 1). سپس دو مربع با اضلاع برابر با مجموع طول دو پایه بسازید - (الف + ب). در هر یک از مربع ها مانند شکل های 2 و 3 ساختارهایی ایجاد کنید.

در مربع اول، چهار مثلث مشابه شکل 1 بسازید. در نتیجه، دو مربع به دست می آید: یکی با ضلع a، دومی با ضلع. ب.

در مربع دوم، چهار مثلث مشابه ساخته شده مربعی با ضلع برابر با هیپوتانوس تشکیل می دهند ج.

مجموع مساحت مربع های ساخته شده در شکل 2 برابر است با مساحت مربعی که در شکل 3 با ضلع c ساخته ایم. این را می توان به راحتی با محاسبه مساحت مربع ها در شکل 1 تأیید کرد. 2 طبق فرمول و مساحت مربع محاط شده در شکل 3. با کم کردن مساحت چهار مثلث قائم الزاویه مساوی که در مربع حک شده اند از مساحت یک مربع بزرگ با یک ضلع. (الف + ب).

با کنار گذاشتن همه اینها، داریم: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. پرانتزها را باز کنید، تمام محاسبات جبری لازم را انجام دهید و آن را بدست آورید a 2 + b 2 = a 2 + b 2. در همان زمان، مساحت حکاکی شده در شکل 3. مربع را نیز می توان با استفاده از فرمول سنتی محاسبه کرد S=c2. آن ها a2+b2=c2شما قضیه فیثاغورث را ثابت کردید.

اثبات 3

همان اثبات باستانی هندی در قرن دوازدهم در رساله «تاج دانش» («سیدانتا شیرومانی») شرح داده شده است، و نویسنده به عنوان استدلال اصلی از توسلی به استعدادهای ریاضی و قدرت مشاهده دانش آموزان استفاده می کند. پیروان: "نگاه کن!"

اما ما این اثبات را با جزئیات بیشتری تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

در داخل مربع، چهار مثلث قائم الزاویه همانطور که در نقاشی نشان داده شده است بسازید. ضلع مربع بزرگ که همان فرض نیز می باشد نشان داده می شود با. پاهای مثلث را صدا کنیم آو ب. طبق نقشه، ضلع مربع داخلی است (الف-ب).

از فرمول مساحت مربع استفاده کنید S=c2برای محاسبه مساحت مربع بیرونی و در همان زمان با جمع مساحت مربع داخلی و مساحت چهار مثلث قائم الزاویه، همان مقدار را محاسبه کنید: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

می توانید از هر دو گزینه برای محاسبه مساحت مربع استفاده کنید تا مطمئن شوید که نتیجه یکسانی دارند. و این به شما این حق را می دهد که آن را بنویسید c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. در نتیجه حل، فرمول قضیه فیثاغورث را دریافت خواهید کرد c2=a2+b2. قضیه ثابت شده است.

اثبات 4

این اثبات کنجکاو چینی باستانی "صندلی عروس" نامیده می شود - به دلیل شکل صندلی مانندی که از تمام ساختارها حاصل می شود:

از نقشه‌ای استفاده می‌کند که قبلاً در شکل 3 در اثبات دوم دیده‌ایم. و مربع داخلی با ضلع c به همان روشی که در برهان هندی باستان ارائه شده در بالا ساخته شده است.

اگر به صورت ذهنی دو مثلث قائم الزاویه سبز را از نقاشی شکل 1 جدا کرده و با ضلع c به اضلاع مربع متضاد منتقل کنید و هپوتنوس ها را به ضایعات مثلث های یاسی وصل کنید، شکلی به نام "عروس" به دست خواهید آورد. صندلی» (شکل 2). برای وضوح، می توانید همین کار را با مربع ها و مثلث های کاغذی انجام دهید. خواهید دید که "صندلی عروس" از دو مربع تشکیل شده است: مربع های کوچک با یک طرف بو بزرگ با یک طرف آ.

این ساخت و سازها به ریاضیدانان چینی باستان و ما که آنها را دنبال می کنیم این امکان را می دهد که به این نتیجه برسیم c2=a2+b2.

اثبات 5

این روش دیگری برای یافتن راه حلی برای قضیه فیثاغورث بر اساس هندسه است. این روش گارفیلد نام دارد.

یک مثلث قائم الزاویه بسازید ABC. ما باید این را ثابت کنیم BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

برای این کار، پا را ادامه دهید ACو یک بخش بسازید سی دی، که برابر با ساق پا است AB. عمود پایین آگهیبخش خط ED. بخش ها EDو ACبرابر هستند. نقطه ها را به هم وصل کنید Eو AT، همچنین Eو باو یک نقاشی مانند تصویر زیر دریافت کنید:

برای اثبات برج، دوباره به روشی که قبلاً آزمایش کرده ایم متوسل می شویم: مساحت شکل حاصل را به دو صورت پیدا می کنیم و عبارات را با یکدیگر برابر می کنیم.

مساحت یک چند ضلعی را پیدا کنید تختخوابرا می توان با اضافه کردن مساحت سه مثلث تشکیل دهنده آن انجام داد. و یکی از آنها ERU، نه تنها مستطیل، بلکه متساوی الساقین نیز می باشد. این را نیز فراموش نکنیم AB=CD, AC=EDو قبل از میلاد = پیش از میلاد- این به ما امکان می دهد ضبط را ساده کنیم و آن را بیش از حد بارگذاری نکنیم. بنابراین، S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

در عین حال بدیهی است که تختخوابذوزنقه است. بنابراین، مساحت آن را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: SABED=(DE+AB)*1/2AD. برای محاسبات ما، نمایش بخش راحت تر و واضح تر است آگهیبه عنوان مجموع بخش ها ACو سی دی.

بیایید هر دو روش را برای محاسبه مساحت یک شکل با قرار دادن علامت مساوی بین آنها بنویسیم: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). ما از برابری بخش هایی که قبلاً برای ما شناخته شده و در بالا توضیح داده شده است برای ساده کردن سمت راست نماد استفاده می کنیم: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. و اکنون پرانتزها را باز می کنیم و برابری را تغییر می دهیم: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. پس از اتمام تمام تحولات، دقیقاً آنچه را که نیاز داریم دریافت می کنیم: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. ما قضیه را ثابت کردیم.

البته این فهرست شواهد هنوز کامل نیست. قضیه فیثاغورث را می توان با استفاده از بردارها نیز اثبات کرد. اعداد مختلط, معادلات دیفرانسیل، استریومتری و غیره و حتی فیزیکدانان: اگر مثلاً مایع در حجم های مربع و مثلثی مشابه آنچه در نقشه ها نشان داده شده است ریخته شود. با ریختن مایع می توان تساوی مساحت ها و در نتیجه خود قضیه را اثبات کرد.

چند کلمه در مورد سه قلوهای فیثاغورثی

این موضوع در برنامه درسی مدرسه کم یا کم مطالعه شده است. در ضمن بسیار جالب است و در هندسه از اهمیت بالایی برخوردار است. سه گانه فیثاغورثی برای حل بسیاری از مسائل ریاضی استفاده می شود. ایده آنها می تواند در ادامه تحصیل برای شما مفید باشد.

پس سه قلوهای فیثاغورثی چیست؟ این چیزی است که آنها می گویند اعداد صحیح، سه تایی جمع آوری شده که مجموع مربع های دو تای آن ها برابر با عدد سوم مربع است.

سه گانه فیثاغورثی می تواند به شرح زیر باشد:

ابتدایی (هر سه عدد نسبتا اول هستند)؛
غیر ابتدایی (اگر هر عدد از یک سه گانه در همان عدد ضرب شود، یک سه گانه جدید به دست می آورید که ابتدایی نیست).

حتی قبل از دوران ما، مصریان باستان مجذوب شیدایی تعداد سه گانه فیثاغورثی بودند: در وظایف آنها مثلث قائم الزاویه با اضلاع 3.4 و 5 واحد را در نظر می گرفتند. به هر حال، هر مثلثی که اضلاع آن برابر با اعداد سه گانه فیثاغورثی باشد، به طور پیش فرض مستطیل شکل است.

نمونه هایی از سه گانه فیثاغورثی: (3، 4، 5)، (6، 8، 10)، (5، 12، 13)، (9، 12، 15)، (8، 15، 17)، (12، 16، 20))، (15، 20، 25)، (7، 24، 25)، (10، 24، 26)، (20، 21، 29)، (18، 24، 30)، (10، 30، 34) )، (21، 28، 35)، (12، 35، 37)، (15، 36، 39)، (24، 32، 40)، (9، 40، 41)، (27، 36، 45)، (14، 48، 50)، (30، 40، 50) و غیره.

کاربرد عملی قضیه

قضیه فیثاغورث نه تنها در ریاضیات، بلکه در معماری و ساخت و ساز، نجوم و حتی ادبیات نیز کاربرد دارد.

اول، در مورد ساخت و ساز: قضیه فیثاغورث به طور گسترده ای در آن در مسائل با سطوح مختلف پیچیدگی استفاده می شود. به عنوان مثال، به پنجره رمانسک نگاه کنید:

بیایید عرض پنجره را به عنوان نشان دهیم ب، سپس شعاع نیم دایره بزرگ را می توان به عنوان نشان داد آرو از طریق بیان کنید b: R=b/2. شعاع نیم دایره های کوچکتر را نیز می توان بر حسب بیان کرد b: r=b/4. در این مشکل، ما به شعاع دایره داخلی پنجره (بیایید آن را بنامیم). پ).

قضیه فیثاغورث فقط برای محاسبه مفید است آر. برای این کار از مثلث قائم الزاویه استفاده می کنیم که در شکل با خط نقطه چین مشخص شده است. هیپوتنوز مثلث از دو شعاع تشکیل شده است: b/4+p. یک پا شعاع است ب/4، یکی دیگر b/2-p. با استفاده از قضیه فیثاغورث می نویسیم: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. بعد، براکت ها را باز می کنیم و می گیریم b 2/16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. بیایید این عبارت را به bp/2=b 2/4-bp. و سپس تمام اصطلاحات را به تقسیم می کنیم ب، موارد مشابه را برای بدست آوردن می دهیم 3/2*p=b/4. و در پایان متوجه می شویم p=b/6- همان چیزی است که ما نیاز داشتیم.

با استفاده از قضیه، می توانید طول تیرهای سقف شیروانی را محاسبه کنید. تعیین کنید که ارتفاع یک برج متحرک برای رسیدن سیگنال به محل مشخصی چقدر است. و حتی به طور پیوسته درخت کریسمس را در میدان شهر نصب کنید. همانطور که می بینید، این قضیه نه تنها در صفحات کتاب های درسی زندگی می کند، بلکه اغلب در زندگی واقعی نیز مفید است.

تا آنجا که به ادبیات مربوط می شود، قضیه فیثاغورث از دوران باستان الهام بخش نویسندگان بوده است و امروزه نیز ادامه دارد. برای مثال، نویسنده آلمانی قرن نوزدهم آدلبرت فون چامیسو از او برای نوشتن غزل الهام گرفت:

نور حقیقت به زودی از بین نمی رود،
اما، با درخشش، بعید است که از بین برود
و مانند هزاران سال پیش،
باعث تردید و اختلاف نخواهد شد.

عاقلانه ترین زمانی که به چشم می رسد
نور حقیقت، خدا را شکر.
و صد گاو نر، چاقو خورده، دروغ می گویند -
هدیه برگشت فیثاغورث خوش شانس.

از آن زمان، گاو نر ناامیدانه غرش می کند:
برای همیشه قبیله گاو نر را برانگیخت
رویداد ذکر شده در اینجا

آنها فکر می کنند زمان آن فرا رسیده است
و باز هم قربانی خواهند شد
چند قضیه عالی

(ترجمه ویکتور توپوروف)

و در قرن بیستم، یوگنی ولتیستوف نویسنده شوروی در کتاب خود "ماجراهای الکترونیک" یک فصل کامل را به اثبات قضیه فیثاغورث اختصاص داد. و نیم فصل از یک داستان در مورد جهانی دو بعدی که اگر قضیه فیثاغورث به قانون اساسی و حتی دین برای یک جهان تبدیل شود، می تواند وجود داشته باشد. زندگی در آن بسیار ساده تر است، اما بسیار خسته کننده تر است: برای مثال، هیچ کس در آنجا معنای کلمات "گرد" و "کرکی" را نمی فهمد.

و نویسنده در کتاب "ماجراهای الکترونیک" از زبان معلم ریاضیات تاراتارا می گوید: "مهمترین چیز در ریاضیات حرکت فکر است، ایده های جدید." این پرواز خلاقانه تفکر است که قضیه فیثاغورث را ایجاد می کند - بی جهت نیست که این همه شواهد متنوع دارد. این کمک می کند تا فراتر از حد معمول بروید و به چیزهای آشنا به روشی جدید نگاه کنید.

نتیجه

این مقاله به این منظور ایجاد شده است که بتوانید فراتر از برنامه درسی مدرسه در ریاضیات نگاه کنید و نه تنها برهان های قضیه فیثاغورث را که در کتاب های درسی "هندسه 7-9" (ال. اس. آتاناسیان، وی. ان. رودنکو) و "هندسه 7 -11" آورده شده است، بیاموزید. ” (A.V. Pogorelov) و همچنین راه های عجیب دیگری برای اثبات قضیه معروف. و همچنین نمونه هایی از نحوه اعمال قضیه فیثاغورث را در زندگی روزمره ببینید.

اولاً، این اطلاعات به شما این امکان را می دهد که برای نمرات بالاتر در کلاس های ریاضی واجد شرایط شوید - اطلاعات موضوعی از منابع اضافیهمیشه ارزش زیادی دارد

ثانیاً، ما می‌خواستیم به شما کمک کنیم تا درک کنید که ریاضیات چقدر جالب است. تا با مثال های خاص متقاعد شود که همیشه جایی برای خلاقیت در آن وجود دارد. امیدواریم قضیه فیثاغورث و این مقاله به شما انگیزه دهد تا تحقیقات و اکتشافات هیجان انگیز خود را در ریاضیات و سایر علوم انجام دهید.

اگر شواهد ارائه شده در مقاله را جالب دیدید، در نظرات به ما بگویید. آیا این اطلاعات را در مطالعات خود مفید دیدید؟ نظر خود را در مورد قضیه فیثاغورث و این مقاله با ما در میان بگذارید - مایلیم همه آن را با شما در میان بگذاریم.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.