اعداد غیر منطقی بی نهایت هستند. اعداد غیر منطقی - هایپر مارکت دانش

مجموعه اعداد غیر منطقی معمولاً با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شود I (\displaystyle \mathbb (I))پررنگ بدون پر کردن به این ترتیب: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q))یعنی مجموعه اعداد غیر گویا تفاوت بین مجموعه اعداد حقیقی و گویا است.

وجود اعداد غیر منطقی، به‌طور دقیق‌تر پاره‌هایی که با قطعه‌ای از طول واحد قابل مقایسه نیستند، قبلاً برای ریاضیدانان باستان شناخته شده بود: آنها به عنوان مثال، قیاس‌ناپذیری مورب و ضلع مربع را می‌دانستند که معادل غیرعقلانی بودن است. از تعداد

یوتیوب دایره المعارفی

• 1 / 5

  غیر منطقی هستند:

  مثال های اثبات غیرمنطقی

  ریشه 2

  برعکس بگوییم: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))منطقی، یعنی به صورت کسری نشان داده می شود m n (\displaystyle (\frac (m)(n)))، جایی که m (\displaystyle m)یک عدد صحیح است و n (\displaystyle n)- عدد طبیعی .

  بیایید برابری فرضی را مجذور کنیم:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\arrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\پیکان راست m^(2)=2n^(2)).

  داستان

  دوران باستان

  مفهوم اعداد غیر منطقی به طور ضمنی توسط ریاضیدانان هندی در قرن هفتم قبل از میلاد پذیرفته شد، زمانی که Manawa (حدود 750 قبل از میلاد - حدود 690 قبل از میلاد) دریافت که ریشه های مربعمقداری اعداد طبیعیمانند 2 و 61 را نمی توان به صراحت بیان کرد [ ] .

  اولین اثبات وجود اعداد غیر منطقی معمولاً به هیپاسوس متاپونتوس (حدود 500 قبل از میلاد)، فیثاغورثی نسبت داده می شود. در زمان فیثاغورثی ها، اعتقاد بر این بود که یک واحد طول وجود دارد، به اندازه کافی کوچک و غیرقابل تقسیم، که تعداد صحیح بارها در هر بخش گنجانده شده است. ] .

  هیچ داده دقیقی در مورد غیرمنطقی بودن کدام عدد توسط هیپاسوس ثابت شده است. طبق افسانه، او آن را با مطالعه طول اضلاع پنتاگرام پیدا کرد. بنابراین، منطقی است که فرض کنیم این نسبت طلایی [ ] .

  ریاضیدانان یونانی این نسبت را از مقادیر غیرقابل قیاس نامیدند الگوس(غیرقابل بیان)، اما بر اساس افسانه ها، هیپاسوس مورد احترام قرار نگرفت. افسانه‌ای وجود دارد که هیپاسوس در سفری دریایی این کشف را انجام داد و فیثاغورثی‌ها او را به دریا انداختند «به دلیل ایجاد عنصری از جهان، که این نظریه را رد می‌کند که همه موجودات در جهان را می‌توان به اعداد کامل و نسبت‌های آنها تقلیل داد. " کشف هیپاسوس یک مشکل جدی برای ریاضیات فیثاغورثی ایجاد کرد و این فرضیه را که اساس کل نظریه است که اعداد و اجسام هندسی یکی و غیرقابل تفکیک هستند را از بین برد.

  و ریشه خود را از کلمه لاتین "ratio" که به معنای "عقل" است گرفته اند. بر اساس ترجمه تحت اللفظی:

  • یک عدد گویا یک "عدد معقول" است.
  • یک عدد غیر منطقی، به ترتیب، یک "عدد غیر منطقی" است.

  مفهوم کلی یک عدد گویا

  عدد گویا عددی است که بتوان آن را به صورت زیر نوشت:

  1. کسر مثبت معمولی
  2. کسر مشترک منفی.
  3. صفر (0) به عنوان یک عدد.

  

  به عبارت دیگر، تعاریف زیر با یک عدد گویا مطابقت دارند:

  • هر عدد طبیعی ذاتاً گویا است، زیرا هر عدد طبیعی را می توان به عنوان یک کسر معمولی نشان داد.
  • هر عدد صحیح، از جمله عدد صفر، زیرا هر عدد صحیح را می توان هم به عنوان کسری معمولی مثبت، هم به عنوان کسری عادی منفی و هم به عنوان عدد صفر نوشت.
  • هر کسری معمولی، و مهم نیست که مثبت یا منفی باشد، مستقیماً به تعریف یک عدد گویا نزدیک می شود.
  • همچنین در تعریف گنجانده شده است شماره های درهمیک کسر اعشاری متناهی یا یک کسر تناوبی نامتناهی.

  مثال های اعداد گویا

  مثال هایی از اعداد گویا را در نظر بگیرید:

  • اعداد طبیعی - "4"، "202"، "200".
  • اعداد صحیح - "-36"، "0"، "42".
  • کسرهای معمولی

  از مثال های بالا مشخص می شود که اعداد گویا می توانند مثبت و منفی باشند. طبیعتاً عدد 0 (صفر) که یک عدد گویا نیز هست، در عین حال در دسته اعداد مثبت یا منفی قرار نمی گیرد.

  از این رو، یادآوری می کنم برنامه آموزش عمومیبا استفاده از تعریف زیر: "اعداد گویا" آن دسته از اعدادی هستند که می توان آنها را به صورت کسری x / y نوشت، که در آن x (حساب) یک عدد صحیح است و y (مخرج) یک عدد طبیعی است.

  مفهوم و تعریف کلی اعداد غیر منطقی

  علاوه بر «اعداد گویا»، به اصطلاح «اعداد غیر منطقی» را نیز می شناسیم. بیایید به طور خلاصه سعی کنیم این اعداد را تعریف کنیم.

  حتی ریاضیدانان باستانی که می خواستند قطر یک مربع را در امتداد اضلاع آن محاسبه کنند، از وجود یک عدد غیر منطقی مطلع شدند.
  بر اساس تعریف اعداد گویا می توانید یک زنجیره منطقی بسازید و یک عدد غیر منطقی تعریف کنید.
  بنابراین، در واقع، آن اعداد حقیقی که گویا نیستند، در اصل اعداد غیر منطقی هستند.
  کسرهای اعشاری که اعداد غیر منطقی را بیان می کنند، تناوبی و نامتناهی نیستند.
  
  

  نمونه هایی از یک عدد غیر منطقی

  برای وضوح مثال کوچکی از یک عدد غیر منطقی را در نظر بگیرید. همانطور که قبلاً فهمیدیم، کسرهای اعشاری غیر تناوبی نامتناهی نامعقول نامیده می شوند، برای مثال:

  • عدد "-5.020020002 ... (به وضوح مشاهده می شود که دو با دنباله ای از یک، دو، سه و غیره از هم جدا شده اند)
  • عدد «7.040044000444 ... (در اینجا مشخص است که تعداد چهار و تعداد صفرها هر بار در یک زنجیره یک افزایش می یابد).
  • همه عدد پی (3.1415 ...) را می شناسند. بله، بله - این نیز غیرمنطقی است.

  به طور کلی همه اعداد حقیقی هم گویا و هم غیرمنطقی هستند. به عبارت ساده، یک عدد غیر منطقی را نمی توان به عنوان یک کسری معمولی x / y نشان داد.

  نتیجه گیری کلی و مقایسه مختصر بین اعداد

  ما هر عدد را جداگانه در نظر گرفتیم، تفاوت بین یک عدد گویا و یک عدد غیر منطقی باقی می ماند:

  1. یک عدد غیر منطقی هنگام گرفتن جذر، هنگام تقسیم یک دایره بر قطر و غیره رخ می دهد.
  2. یک عدد گویا یک کسری معمولی را نشان می دهد.

  ما مقاله خود را با چند تعریف به پایان می بریم:

  • یک عمل حسابی که روی یک عدد گویا انجام می شود، علاوه بر تقسیم بر 0 (صفر)، در نتیجه نهایی به عدد گویا نیز منجر می شود.
  • نتیجه نهایی، هنگام انجام یک عملیات حسابی روی یک عدد غیر منطقی، می تواند به یک مقدار گویا و هم به یک مقدار غیر منطقی منجر شود.
  • اگر هر دو عدد در عملیات حسابی شرکت کنند (به جز تقسیم یا ضرب در صفر)، نتیجه یک عدد غیر منطقی به ما می دهد.

  عدد گنگ- این هست عدد واقعی، که منطقی نیست، یعنی نمی توان آن را به صورت کسری نشان داد، جایی که اعداد صحیح هستند، . یک عدد غیر منطقی را می توان به صورت یک اعشار بی نهایت بدون تکرار نشان داد.

  مجموعه اعداد غیر منطقی معمولا با حروف بزرگ لاتین و بدون سایه نشان داده می شود. بدین ترتیب: یعنی مجموعه اعداد غیر منطقی است تفاوت مجموعه اعداد حقیقی و گویا

  به طور دقیق تر، در مورد وجود اعداد غیر منطقی قطعات، غیرقابل قیاس با قطعه ای از طول واحد، قبلاً توسط ریاضیدانان باستان شناخته شده بود: آنها، برای مثال، قیاس ناپذیری مورب و ضلع مربع را می دانستند، که معادل غیرمنطقی بودن عدد است.

  خواص

  • هر عدد حقیقی را می توان به صورت کسر اعشاری نامتناهی نوشت، در حالی که اعداد غیرمنطقی و فقط آنها به صورت کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی نوشته می شوند.
  • اعداد گنگبخش های ددکیند را در مجموعه اعداد گویا تعریف کنید که بزرگترین عدد در کلاس پایین و کوچکترین عدد در طبقه بالا وجود ندارد.
  • هر عدد ماورایی واقعی غیرمنطقی است.
  • هر عدد غیر منطقی یا جبری است یا ماورایی.
  • مجموعه اعداد غیر منطقی همه جا روی خط واقعی متراکم است: بین هر دو عدد یک عدد غیر منطقی وجود دارد.
  • ترتیب مجموعه اعداد غیرمنطقی با ترتیب مجموعه اعداد متعالی واقعی هم شکل است.
  • مجموعه اعداد غیر منطقی غیرقابل شمارش، مجموعه ای از دسته دوم است.

  مثال ها

  اعداد گنگ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

  غیر منطقی هستند:

  مثال های اثبات غیرمنطقی

  ریشه 2

  برعکس فرض کنید: گویا است، یعنی به صورت کسری تقلیل ناپذیر نمایش داده می شود، جایی که یک عدد صحیح است و یک عدد طبیعی است. بیایید برابری فرضی را مجذور کنیم:

  .

  از این نتیجه می شود که حتی، بنابراین، زوج و . اجازه دهید که در آن کل. سپس

  بنابراین، حتی، بنابراین، حتی و . ما آن را بدست آورده ایم و زوج هستند که با تقلیل ناپذیری کسر در تناقض است. بنابراین، فرض اولیه اشتباه بوده و عددی غیرمنطقی است.

  لگاریتم باینری عدد 3

  برعکس را فرض کنید: عقلانی است، یعنی به صورت کسری نشان داده می شود، جایی که و اعداد صحیح هستند. از آنجا که، و می تواند مثبت در نظر گرفته شود. سپس

  اما واضح است، عجیب است. دچار تناقض می شویم.

  ه

  داستان

  مفهوم اعداد غیرمنطقی به طور ضمنی توسط ریاضیدانان هندی در قرن هفتم قبل از میلاد پذیرفته شد، زمانی که ماناوا (حدود 750 قبل از میلاد - حدود 690 قبل از میلاد) دریافت که ریشه های مربع برخی از اعداد طبیعی مانند 2 و 61 را نمی توان به صراحت بیان کرد.

  اولین اثبات وجود اعداد غیر منطقی معمولاً به هیپاسوس متاپونتوس (حدود 500 سال قبل از میلاد) نسبت داده می شود، فیثاغورثی که این اثبات را با مطالعه طول اضلاع یک پنتاگرام پیدا کرد. در زمان فیثاغورثی ها، اعتقاد بر این بود که یک واحد طول وجود دارد، به اندازه کافی کوچک و غیرقابل تقسیم، که تعداد صحیح بارها در هر بخش گنجانده شده است. با این حال، هیپاسوس استدلال کرد که هیچ واحد طولی وجود ندارد، زیرا فرض وجود آن منجر به تناقض می شود. او نشان داد که اگر هیپوتنوز یک متساوی الساقین راست گوشهشامل یک عدد صحیح از بخش های واحد است، پس این عدد باید همزمان زوج و فرد باشد. اثبات به این شکل بود:

  • نسبت طول هیپوتنوس به طول ساق یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را می توان به صورت بیان کرد. آ:ب، جایی که آو ببه عنوان کوچکترین ممکن انتخاب شده است.
  • طبق قضیه فیثاغورث: آ² = 2 ب².
  • زیرا آ² حتی، آباید زوج باشد (زیرا مربع یک عدد فرد فرد خواهد بود).
  • از آنجا که آ:بغیر قابل کاهش بباید عجیب و غریب باشد
  • زیرا آحتی، نشان می دهد آ = 2y.
  • سپس آ² = 4 y² = 2 ب².
  • ب² = 2 y²، بنابراین بیکنواخت است، پس بزوج.
  • با این حال، ثابت شده است که بفرد. تناقض.

  ریاضیدانان یونانی این نسبت را از مقادیر غیرقابل قیاس نامیدند الگوس(غیرقابل بیان)، اما بر اساس افسانه ها، هیپاسوس مورد احترام قرار نگرفت. افسانه‌ای وجود دارد که هیپاسوس در سفری دریایی این کشف را انجام داد و فیثاغورثی‌ها او را به دریا انداختند «به دلیل ایجاد عنصری از جهان، که این نظریه را رد می‌کند که همه موجودات در جهان را می‌توان به اعداد کامل و نسبت‌های آنها تقلیل داد. " کشف هیپاسوس یک مشکل جدی برای ریاضیات فیثاغورثی ایجاد کرد و این فرضیه را که اساس کل نظریه است که اعداد و اجسام هندسی یکی و غیرقابل تفکیک هستند را از بین برد.

  
  

  مطالب این مقاله اطلاعات اولیه در مورد اعداد گنگ. ابتدا تعریفی از اعداد غیر منطقی ارائه می کنیم و آن را توضیح می دهیم. در اینجا چند نمونه از اعداد غیر منطقی آورده شده است. در نهایت، بیایید به چند روش برای یافتن اینکه آیا یک عدد معین غیرمنطقی است یا نه، نگاهی بیاندازیم.

  پیمایش صفحه.

  تعریف و مثال هایی از اعداد غیر منطقی

  در بررسی کسرهای اعشاری به طور جداگانه کسرهای اعشاری غیر تناوبی نامتناهی را در نظر گرفتیم. چنین کسری در اندازه گیری اعشاری طول بخش هایی که با یک قطعه منفرد غیرقابل قیاس هستند به وجود می آیند. همچنین اشاره کردیم که کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی را نمی توان به کسری معمولی تبدیل کرد (به تبدیل کسرهای معمولی به اعشار و بالعکس مراجعه کنید)، بنابراین، این اعداد اعداد گویا نیستند، آنها به اصطلاح اعداد غیر منطقی را نشان می دهند.

  پس به خود رسیدیم تعریف اعداد غیر منطقی.

  تعریف.

  اعدادی که در نماد اعشاری نشان دهنده کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تکراری هستند نامیده می شوند اعداد گنگ.

  تعریف صدا اجازه می دهد تا به ارمغان بیاورد نمونه هایی از اعداد غیر منطقی. به عنوان مثال، کسری اعشاری نامتناهی غیر تناوبی 4.10110011100011110000… (هر بار تعداد یک ها و صفرها یک عدد افزایش می یابد) یک عدد غیر منطقی است. بیایید مثال دیگری از یک عدد غیرمنطقی بیاوریم: −22.353335333335 ... (تعداد سه‌گانه‌هایی که هشت‌ها را از هم جدا می‌کنند هر بار دو افزایش می‌یابد).

  لازم به ذکر است که اعداد غیرمنطقی در قالب کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی بسیار نادر هستند. معمولاً آنها به شکل و غیره و همچنین به صورت حروف معرفی شده خاص یافت می شوند. توسط بیشتر نمونه های معروفاعداد غیر منطقی در چنین نمادگذاری عبارتند از جذر حسابی دو، عدد "pi" π=3.141592...، عدد e=2.718281... و عدد طلایی.

  اعداد غیر منطقی را می توان بر حسب اعداد حقیقی که ترکیبی از اعداد گویا و غیر منطقی هستند نیز تعریف کرد.

  تعریف.

  اعداد گنگاعداد واقعی هستند که گویا نیستند.

  آیا این عدد غیرمنطقی است؟

  هنگامی که یک عدد نه به عنوان کسری اعشاری، بلکه به عنوان یک ریشه معین، لگاریتم و غیره داده می شود، در بسیاری از موارد پاسخ به این سوال که آیا غیرمنطقی است یا خیر، بسیار دشوار است.

  بدون شک در پاسخ به سوال مطرح شده دانستن اینکه کدام اعداد غیر منطقی نیستند بسیار مفید است. از تعریف اعداد غیر گویا چنین بر می آید که اعداد گویا اعداد غیر گویا نیستند. بنابراین، اعداد غیر منطقی نیستند:

  • کسرهای اعشاری متناهی و نامتناهی.

  همچنین، هر ترکیبی از اعداد گویا که با علائم عملیات حسابی (+، −، ·، :) به هم متصل شوند، یک عدد غیر منطقی نیست. این به این دلیل است که مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب دو عدد گویا یک عدد گویا است. به عنوان مثال، مقادیر عبارات و اعداد گویا هستند. در اینجا توجه می کنیم که اگر در چنین عباراتی در بین اعداد گویا یک عدد غیر منطقی وجود داشته باشد، آنگاه مقدار کل عبارت یک عدد غیر منطقی خواهد بود. مثلاً در عبارت عدد غیر منطقی است و بقیه اعداد گویا هستند بنابراین عدد غیر منطقی. اگر عدد گویا بود عقلانیت عدد از این نتیجه می گرفت ولی عقلی نیست.

  اگر عبارتی که عددی به آن داده می شود حاوی چندین عدد غیر منطقی، نشانه ریشه، لگاریتم باشد، توابع مثلثاتی، اعداد π ، e و غیره، سپس اثبات غیرمنطقی یا عقلانی بودن یک عدد معین در هر مورد خاص الزامی است. با این حال، تعدادی از نتایج به دست آمده از قبل وجود دارد که می توان از آنها استفاده کرد. بیایید موارد اصلی را فهرست کنیم.

  ثابت شده است که ریشه k-ام یک عدد صحیح تنها در صورتی یک عدد گویا است که عدد زیر ریشه، k-امین توان یک عدد صحیح دیگر باشد، در موارد دیگر چنین ریشه ای یک عدد غیر منطقی را تعریف می کند. به عنوان مثال، اعداد و غیرمنطقی هستند، زیرا هیچ عدد صحیحی وجود ندارد که مربع آن 7 باشد، و هیچ عدد صحیحی وجود ندارد که با افزایش آن به توان پنجم، عدد 15 به دست آید. و اعداد و غیر منطقی نیستند، زیرا و .

  در مورد لگاریتم ها، گاهی اوقات می توان غیرمنطقی بودن آنها را با تناقض اثبات کرد. به عنوان مثال، اجازه دهید ثابت کنیم که log 2 3 یک عدد غیر منطقی است.

  فرض کنید که log 2 3 یک عدد گویا است، نه غیر منطقی، یعنی می توان آن را به عنوان یک کسری معمولی m/n نشان داد. و به ما اجازه می دهد تا زنجیره برابری های زیر را بنویسیم: . آخرین برابری غیرممکن است، زیرا در سمت چپ آن است عدد فرد، و حتی در سمت راست. بنابراین ما به یک تناقض رسیدیم، به این معنی که فرض ما اشتباه است و این ثابت می کند که log 2 3 یک عدد غیر منطقی است.

  توجه داشته باشید که lna برای هر مثبت و غیر واحد گویا a یک عدد غیر منطقی است. به عنوان مثال، و اعداد غیر منطقی هستند.

  همچنین ثابت شده است که عدد e a برای هر منطق غیر صفر a غیر منطقی است و عدد π z برای هر عدد صحیح غیر صفر z غیر منطقی است. مثلا اعداد غیر منطقی هستند.

  اعداد غیر منطقی همچنین توابع مثلثاتی sin , cos , tg و ctg برای هر مقدار گویا و غیر صفر آرگومان هستند. به عنوان مثال، sin1 , tg(-4) , cos5,7 اعداد غیر منطقی هستند.

  نتایج اثبات شده دیگری نیز وجود دارد، اما ما خود را به مواردی که قبلاً فهرست شده محدود می کنیم. همچنین باید گفت که در اثبات نتایج فوق، نظریه مرتبط با اعداد جبریو اعداد متعالی.

  در پایان خاطرنشان می کنیم که نباید در مورد غیرمنطقی بودن اعداد داده شده نتیجه گیری عجولانه انجام داد. به عنوان مثال، بدیهی به نظر می رسد که یک عدد غیر منطقی تا درجه ای غیر منطقی، یک عدد غیر منطقی است. در هر صورت، همیشه صادق نخواهد بود. به عنوان تأیید واقعیت بیان شده، ما مدرک را ارائه می دهیم. شناخته شده است که - یک عدد غیر منطقی، و همچنین ثابت کرد که - یک عدد غیر منطقی، اما - یک عدد گویا. همچنین می توانید از اعداد غیر منطقی مثال بزنید که مجموع، تفاضل، حاصلضرب و ضریب آنها اعداد گویا هستند. علاوه بر این، عقلانی بودن یا غیرمنطقی بودن اعداد π+e، π−e، π e، π π، π e و بسیاری دیگر هنوز ثابت نشده است.

  کتابشناسی - فهرست کتب.

  • ریاضی.کلاس ششم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [ن. Ya. Vilenkin و دیگران]. - چاپ 22، Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. شابک 978-5-346-00897-2.
  • جبر:کتاب درسی برای 8 سلول آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م : آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
  • گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (دستورالعملی برای متقاضیان دانشکده های فنی): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 p., ill.

  با قطعه ای از طول واحد، ریاضیدانان باستان از قبل می دانستند: برای مثال، قیاس ناپذیری مورب و ضلع مربع را می دانستند، که معادل غیرمنطقی بودن عدد است.

  غیر منطقی هستند:

  مثال های اثبات غیرمنطقی

  ریشه 2

  برعکس را فرض کنید: عقلانی است، یعنی به صورت کسری تقلیل ناپذیر، جایی که و اعداد صحیح هستند نشان داده می شود. بیایید برابری فرضی را مجذور کنیم:

  .

  از این نتیجه می شود که حتی، بنابراین، زوج و . اجازه دهید که در آن کل. سپس

  بنابراین، حتی، بنابراین، حتی و . ما آن را بدست آورده ایم و زوج هستند که با تقلیل ناپذیری کسر در تناقض است. بنابراین، فرض اولیه اشتباه بوده و عددی غیرمنطقی است.

  لگاریتم باینری عدد 3

  برعکس را فرض کنید: عقلانی است، یعنی به صورت کسری نشان داده می شود، جایی که و اعداد صحیح هستند. از آنجا که، و می تواند مثبت در نظر گرفته شود. سپس

  اما واضح است، عجیب است. دچار تناقض می شویم.

  ه

  داستان

  مفهوم اعداد غیرمنطقی به طور ضمنی توسط ریاضیدانان هندی در قرن هفتم قبل از میلاد پذیرفته شد، زمانی که ماناوا (حدود 750 قبل از میلاد - حدود 690 قبل از میلاد) دریافت که ریشه های مربع برخی از اعداد طبیعی مانند 2 و 61 را نمی توان به صراحت بیان کرد.

  اولین اثبات وجود اعداد غیر منطقی معمولاً به هیپاسوس متاپونتوس (حدود 500 سال قبل از میلاد) نسبت داده می شود، فیثاغورثی که این اثبات را با مطالعه طول اضلاع یک پنتاگرام پیدا کرد. در زمان فیثاغورثی ها، اعتقاد بر این بود که یک واحد طول وجود دارد، به اندازه کافی کوچک و غیرقابل تقسیم، که تعداد صحیح بارها در هر بخش گنجانده شده است. با این حال، هیپاسوس استدلال کرد که هیچ واحد طولی وجود ندارد، زیرا فرض وجود آن منجر به تناقض می شود. او نشان داد که اگر هیپوتنوس مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین دارای عدد صحیحی از قطعات واحد باشد، این عدد باید همزمان زوج و فرد باشد. اثبات به این شکل بود:

  • نسبت طول هیپوتنوس به طول ساق یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را می توان به صورت بیان کرد. آ:ب، جایی که آو ببه عنوان کوچکترین ممکن انتخاب شده است.
  • طبق قضیه فیثاغورث: آ² = 2 ب².
  • زیرا آ² حتی، آباید زوج باشد (زیرا مربع یک عدد فرد فرد خواهد بود).
  • از آنجا که آ:بغیر قابل کاهش بباید عجیب و غریب باشد
  • زیرا آحتی، نشان می دهد آ = 2y.
  • سپس آ² = 4 y² = 2 ب².
  • ب² = 2 y²، بنابراین بیکنواخت است، پس بزوج.
  • با این حال، ثابت شده است که بفرد. تناقض.

  ریاضیدانان یونانی این نسبت را از مقادیر غیرقابل قیاس نامیدند الگوس(غیرقابل بیان)، اما طبق افسانه ها، هیپاسوس مورد احترام قرار نگرفت. افسانه‌ای وجود دارد که هیپاسوس در سفری دریایی این کشف را انجام داد و فیثاغورثی‌ها او را به دریا انداختند «به دلیل ایجاد عنصری از جهان، که این نظریه را رد می‌کند که همه موجودات در جهان را می‌توان به اعداد کامل و نسبت‌های آنها تقلیل داد. " کشف هیپاسوس یک مشکل جدی برای ریاضیات فیثاغورثی ایجاد کرد و این فرضیه را که اساس کل نظریه است که اعداد و اجسام هندسی یکی و غیرقابل تفکیک هستند را از بین برد.

  همچنین ببینید

  یادداشت

  سیستم های عددی
  با احتساب مجموعه ها	اعداد صحیح ()