مجموعه اعداد غیر منطقی چیست؟ عدد غیر منطقی به چه معناست؟ اعداد غیر منطقی، مثال ها

از انتزاع بودن مفاهیم ریاضی، گاهی آنقدر نفس می کشد که بی اختیار این فکر به وجود می آید: «این همه برای چیست؟». اما علیرغم برداشت اول، تمام قضایا، عملیات حسابی، توابع و غیره. - چیزی بیش از میل به ارضای نیازهای فوری. این را می توان به ویژه در مثال ظاهر مجموعه های مختلف به وضوح مشاهده کرد.

همه چیز از ظاهر شروع شد اعداد طبیعی. و اگرچه بعید است که اکنون کسی بتواند دقیقاً پاسخ دهد که چگونه بوده است ، اما به احتمال زیاد ، پاهای ملکه علوم از جایی در غار رشد می کند. در اینجا، با تجزیه و تحلیل تعداد پوست ها، سنگ ها و افراد قبیله، یک فرد "اعداد" زیادی برای شمارش دارد. و همین برایش کافی بود. البته تا یه جایی

سپس لازم بود پوست ها و سنگ ها را تقسیم و جدا کنند. بنابراین نیاز به عملیات حسابی و همراه با آنها منطقی وجود داشت که می توان آن را کسری از نوع m / n تعریف کرد که مثلاً m تعداد پوست ها و n تعداد افراد قبیله است.

به نظر می رسد که دستگاه ریاضی کشف شده برای لذت بردن از زندگی کاملاً کافی است. اما خیلی زود مشخص شد که مواردی وجود دارد که نتیجه چیزی نیست که یک عدد صحیح نباشد، بلکه حتی کسری هم نباشد! و در واقع، جذر دو را به هیچ وجه نمی توان با استفاده از صورت و مخرج بیان کرد. یا مثلاً عدد معروف پی که توسط دانشمند یونان باستان ارشمیدس کشف شد نیز منطقی نیست. و با گذشت زمان ، چنین اکتشافات زیادی وجود داشت که همه اعدادی که قابل "عقلانی سازی" نبودند با هم ترکیب شدند و نامعقول نامیدند.

خواص

مجموعه هایی که قبلا در نظر گرفته شد به مجموعه مفاهیم اساسی ریاضیات تعلق دارند. این بدان معنی است که آنها را نمی توان از طریق اشیاء ریاضی ساده تر تعریف کرد. اما این را می توان با کمک دسته بندی ها (از "گزاره های" یونانی) یا فرضیه ها انجام داد. در این مورد، بهتر است ویژگی های این مجموعه ها مشخص شود.

o اعداد غیرمنطقی بخش‌های Dedekind را در مجموعه اعداد گویا تعریف می‌کنند که بزرگترین عدد در پایین و کوچکترین عدد در بالا وجود ندارد.

o هر عدد ماورایی غیر منطقی است.

o هر عدد گنگیا جبری است یا متعالی.

o مجموعه اعداد غیر منطقی همه جا روی خط واقعی متراکم است: بین هر دو عدد یک عدد غیر منطقی وجود دارد.

o مجموعه اعداد غیرمنطقی غیرقابل شمارش است، مجموعه ای از دسته دوم بائر است.

o این مجموعه مرتب شده است، یعنی برای هر دو عدد گویا مختلف a و b می توانید مشخص کنید که کدام یک از آنها کوچکتر است.
o بین هر دو عدد گویا متفاوت، حداقل یک عدد گویا بیشتر و در نتیجه تعداد نامتناهی اعداد گویا وجود دارد.

o عملیات حسابی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) روی هر دو عدد گویا همیشه ممکن است و به عدد گویا معینی منجر می شود. یک استثنا تقسیم بر صفر است که غیرممکن است.

o هر عدد گویا را می توان به صورت کسر اعشاری (تناوبی متناهی یا نامتناهی) نشان داد.

مثال:
\(4\) یک عدد گویا است، زیرا می توان آن را به صورت \(\frac(4)(1)\) نوشت.
\(0.0157304\) نیز منطقی است زیرا می توان آن را به صورت \(\frac(157304)(10000000)\) نوشت.
\(0.333(3)…\) - و این یک عدد گویا است: می تواند به صورت \(\frac(1)(3)\) نمایش داده شود.
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) منطقی است زیرا می توان آن را به صورت \(\frac(1)(2)\) نشان داد. در واقع، ما می توانیم زنجیره ای از تبدیل ها را انجام دهیم \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

عدد گنگعددی است که نمی توان آن را به صورت کسری با یک عدد صحیح و یک مخرج نوشت.

غیر ممکنه چون بی پایانکسری و حتی غیر تناوبی. بنابراین، هیچ عدد صحیحی وجود ندارد که با تقسیم بر یکدیگر، یک عدد غیر منطقی به دست آید.

مثال:
\(\sqrt(2)≈1.414213562…\) یک عدد غیر منطقی است.
\(π≈3.1415926… \) یک عدد غیر منطقی است.
\(\log_(2)(5)≈2.321928…\) یک عدد غیر منطقی است.

مثال (وظیفه از OGE). مقدار کدام یک از عبارات یک عدد گویا است؟
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

راه حل:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) همچنین غیرممکن است که یک عدد را به صورت کسری با اعداد صحیح نشان دهیم بنابراین عدد غیرمنطقی است.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - هیچ ریشه ای باقی نمانده است، عدد را می توان به راحتی به صورت کسری نشان داد، به عنوان مثال، \(\frac(-5)(1)\)، بنابراین منطقی است.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - ریشه قابل استخراج نیست - عدد غیر منطقی است.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) نیز غیرمنطقی است.

اعداد غیر منطقی چیست؟ چرا به آنها می گویند؟ کجا استفاده می شوند و چه کاربردی دارند؟ کمتر کسی می تواند بدون تردید به این سؤالات پاسخ دهد. اما در واقع، پاسخ به آنها بسیار ساده است، اگرچه همه به آنها نیاز ندارند و در شرایط بسیار نادر.

ماهیت و تعیین

اعداد غیرمنطقی نامتناهی غیر تناوبی هستند ضرورت معرفی این مفهوم به این دلیل است که برای حل مسائل نوظهور جدید، مفاهیم قبلی اعداد حقیقی یا واقعی، اعداد صحیح، طبیعی و گویا دیگر کافی نبودند. به عنوان مثال، برای محاسبه مجذور 2، باید از اعشار بی نهایت غیر تکراری استفاده کنید. علاوه بر این، بسیاری از ساده ترین معادلات نیز بدون معرفی مفهوم عدد غیر منطقی، راه حلی ندارند.

این مجموعه به عنوان I نشان داده می شود. و همانطور که قبلاً مشخص است ، این مقادیر را نمی توان به عنوان یک کسری ساده نشان داد که در صورت آن یک عدد صحیح وجود دارد و در مخرج -

ریاضیدانان هندی برای اولین بار در قرن هفتم با این پدیده روبرو شدند، زمانی که کشف شد که ریشه های مربعبرخی از مقادیر را نمی توان به صراحت بیان کرد. و اولین اثبات وجود چنین اعدادی به هیپاسوس فیثاغورثی نسبت داده می شود که این کار را در فرآیند مطالعه متساوی الساقین انجام داد. راست گوشه. کمک جدی به مطالعه این مجموعه توسط برخی از دانشمندان دیگر که قبل از دوران ما زندگی می کردند انجام شد. معرفی مفهوم اعداد غیر منطقی مستلزم تجدید نظر در سیستم ریاضی موجود است، به همین دلیل است که آنها بسیار مهم هستند.

منشاء نام

اگر نسبت در لاتین "کسر"، "نسبت" است، پس پیشوند "ir" است.
به کلمه معنی مخالف می دهد. بنابراین، نام مجموعه این اعداد نشان می دهد که آنها را نمی توان با یک عدد صحیح یا کسری همبستگی کرد، آنها یک مکان جداگانه دارند. این از ماهیت آنها ناشی می شود.

در طبقه بندی کلی قرار دهید

اعداد غیر منطقی به همراه اعداد گویا به گروه اعداد حقیقی یا حقیقی تعلق دارند که به نوبه خود مختلط هستند. هیچ زیرمجموعه ای وجود ندارد، با این حال، انواع جبری و ماورایی وجود دارد که در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

خواص

از آنجایی که اعداد غیر منطقی بخشی از مجموعه اعداد حقیقی هستند، تمام خصوصیات آنها که در محاسبات مورد مطالعه قرار می گیرند برای آنها قابل استفاده است (به آنها قوانین اساسی جبری نیز می گویند).

a + b = b + a (جابه‌جایی).

(الف + ب) + ج = الف + (ب + ج) (تعاونیت).

a + (-a) = 0 (وجود عدد مقابل).

ab = ba (قانون جابجایی)؛

(ab)c = a(bc) (توزیع).

a(b+c) = ab + ac (قانون توزیعی);

a x 1/a = 1 (وجود یک عدد معکوس)؛

مقایسه نیز طبق قوانین و اصول کلی انجام می شود:

اگر a > b و b > c، a > c (گذرا بودن رابطه) و. و غیره.

البته همه اعداد غیرمنطقی را می توان با استفاده از محاسبات پایه تبدیل کرد. قوانین خاصی برای این کار وجود ندارد.

علاوه بر این، عمل بدیهیات ارشمیدس به اعداد غیر منطقی گسترش می یابد. می گوید که برای هر دو کمیت a و b، این جمله درست است که با در نظر گرفتن a به عنوان یک بار به اندازه کافی، می توان از b پیشی گرفت.

استفاده

علیرغم این واقعیت که در زندگی معمولی اغلب مجبور نیستید با آنها سر و کار داشته باشید، اعداد غیرمنطقی را نمی توان شمارش کرد. تعداد زیادی از آنها وجود دارد، اما آنها تقریبا نامرئی هستند. همه جا با اعداد غیر منطقی احاطه شده ایم. نمونه هایی که برای همه آشنا هستند عبارتند از عدد پی برابر با 3.1415926... یا e که اساساً پایه لگاریتم طبیعی است، 2.718281828... در جبر، مثلثات و هندسه باید همیشه از آنها استفاده کرد. ضمناً معنی معروف «قطعه طلایی» یعنی نسبت هر دو قسمت بزرگتر به کوچکتر و بالعکس نیز

متعلق به این مجموعه است کمتر شناخته شده "نقره" - بیش از حد.

بر روی خط اعداد، آنها بسیار متراکم قرار دارند، به طوری که بین هر دو کمیت مربوط به مجموعه مقادیر گویا، مطمئناً یک مقدار غیرمنطقی رخ می دهد.

هنوز بسیاری از مشکلات حل نشده در ارتباط با این مجموعه وجود دارد. معیارهایی مانند میزان غیرمنطقی بودن و نرمال بودن یک عدد وجود دارد. ریاضیدانان به بررسی مهم ترین نمونه ها برای تعلق آنها به یک گروه یا گروه دیگر ادامه می دهند. به عنوان مثال، در نظر گرفته می شود که e یک عدد عادی است، یعنی احتمال اینکه ارقام مختلف در ورودی آن ظاهر شوند، یکسان است. در مورد pi، تحقیقات هنوز در مورد آن در حال انجام است. معیار غیرمنطقی بودن مقداری است که نشان می دهد یک عدد خاص چقدر می تواند با اعداد گویا تقریب یابد.

جبری و ماورایی

همانطور که قبلا ذکر شد، اعداد غیر منطقی به طور مشروط به جبری و ماورایی تقسیم می شوند. به طور مشروط، زیرا، به طور دقیق، از این طبقه بندی برای تقسیم مجموعه C استفاده می شود.

تحت این نامگذاری پنهان شده است اعداد مختلط، که شامل واقعی یا واقعی است.

بنابراین، یک مقدار جبری مقداری است که ریشه یک چند جمله ای است که برابر با صفر نیست. به عنوان مثال، جذر 2 در این دسته قرار می گیرد زیرا حل معادله x 2 - 2 = 0 است.

تمام اعداد حقیقی دیگر که این شرط را برآورده نمی کنند، ماورایی نامیده می شوند. این تنوع همچنین شامل معروف ترین و نمونه های ذکر شده است - عدد پی و پایه لگاریتم طبیعی e.

جالب اینجاست که نه یکی و نه دومی در اصل توسط ریاضیدانان با این ظرفیت استنباط نشده است، غیرعقلانی بودن و متعالی بودن آنها سالها پس از کشف آنها ثابت شد. برای پی، اثبات در سال 1882 ارائه شد و در سال 1894 ساده شد، که به مناقشه 2500 ساله در مورد مشکل مربع کردن دایره پایان داد. هنوز به طور کامل درک نشده است، بنابراین ریاضیدانان مدرن چیزی برای کار کردن دارند. به هر حال، اولین محاسبه به اندازه کافی دقیق از این مقدار توسط ارشمیدس انجام شد. قبل از او، همه محاسبات بیش از حد تقریبی بود.

برای e (عدد اویلر یا ناپیر)، دلیلی بر تعالی آن در سال 1873 یافت شد. در حل معادلات لگاریتمی استفاده می شود.

مثال‌های دیگر شامل مقادیر سینوس، کسینوس و مماس برای هر مقدار غیر صفر جبری است.

عدد گویاعددی است که با کسری معمولی m/n نشان داده می شود، که در آن صورت m یک عدد صحیح و مخرج n یک عدد طبیعی است. هر عدد گویا را می توان به صورت یک کسر اعشاری بی نهایت تناوبی نشان داد. مجموعه اعداد گویا با Q نشان داده می شود.

اگر یک عدد واقعی گویا نباشد، پس گویا است عدد گنگ. کسرهای اعشاری که اعداد غیر منطقی را بیان می کنند نامتناهی هستند و تناوبی نیستند. مجموعه اعداد غیر منطقی معمولا با حرف لاتین بزرگ I نشان داده می شود.

عدد واقعی نامیده می شود جبری، اگر ریشه چند جمله ای (درجه غیر صفر) با ضرایب گویا باشد. هر عدد غیر جبری نامیده می شود متعالی.

برخی از خواص:

مجموعه اعداد گویا در همه جا روی محور اعداد متراکم است: بین هر دو عدد گویا متفاوت حداقل یک عدد گویا وجود دارد (و از این رو یک مجموعه نامتناهی از اعداد گویا). با این وجود، معلوم می شود که مجموعه اعداد گویا Q و مجموعه اعداد طبیعی N معادل هستند، یعنی می توان یک تناظر یک به یک بین آنها برقرار کرد (همه عناصر مجموعه اعداد گویا را می توان مجددا شماره گذاری کرد) .

مجموعه Q اعداد گویا در جمع، تفریق، ضرب و تقسیم بسته می شود، یعنی مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب دو عدد گویا نیز اعداد گویا هستند.

همه اعداد گویا جبری هستند (برعکس این درست نیست).

هر عدد ماورایی واقعی غیرمنطقی است.

هر عدد غیر منطقی یا جبری است یا ماورایی.

مجموعه اعداد غیر منطقی همه جا روی خط واقعی متراکم است: بین هر دو عدد یک عدد غیر منطقی وجود دارد (و از این رو یک مجموعه نامتناهی از اعداد غیر منطقی).

مجموعه اعداد غیر منطقی غیرقابل شمارش است.

هنگام حل مسائل، راحت است، همراه با عدد غیر منطقی a + b√ c (که در آن a، b اعداد گویا هستند، c یک عدد صحیح است که مربع یک عدد طبیعی نیست)، عدد "مزوج" را با it a - b√ c: حاصل جمع و حاصل ضرب آن با اعداد اصلی - گویا. بنابراین a + b√ c و a – b√ c ریشه های یک معادله درجه دوم با ضرایب صحیح هستند.

مشکلات با راه حل

1. این را ثابت کنید

الف) شماره √ 7؛

ب) شماره lg 80;

ج) شماره √ 2 + 3 √ 3;

غیر منطقی است

الف) عدد √ 7 را گویا فرض کنید. سپس، p و q همزمان وجود دارند به طوری که √ 7 = p/q، از آنجا p 2 = 7q 2 به دست می آید. از آنجایی که p و q هم اول هستند، پس p 2، و از این رو p بر 7 بخش پذیر است. سپس р = 7k، که k مقداری طبیعی است. از این رو q 2 = 7k 2 = pk، که با این واقعیت که p و q همزمان هستند در تضاد است.

بنابراین، فرض نادرست است، بنابراین عدد √ 7 غیر منطقی است.

ب) عدد lg 80 را گویا فرض کنید. سپس p و q طبیعی وجود دارد به طوری که lg 80 = p/q، یا 10 p = 80 q، از این رو 2 p–4q = 5 q–p به دست می‌آوریم. با توجه به اینکه اعداد 2 و 5 همزمان هستند، دریافت می کنیم که آخرین برابری فقط برای p-4q = 0 و q-p = 0 امکان پذیر است. از آنجایی که p = q = 0، غیر ممکن است، زیرا p و q برای انتخاب انتخاب می شوند. طبیعی باش.

بنابراین، این فرض نادرست است، بنابراین عدد lg 80 غیر منطقی است.

ج) این عدد را با x نشان می دهیم.

سپس (x - √ 2) 3 \u003d 3، یا x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2). پس از مجذور کردن این معادله، دریافت می کنیم که x باید معادله را برآورده کند

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

ریشه های گویا آن فقط می تواند اعداد 1 و -1 باشد. بررسی نشان می دهد که 1 و -1 ریشه نیستند.

بنابراین، عدد داده شده √ 2 + 3 √ 3 ​​غیر منطقی است.

2. معلوم است که اعداد a، b، √ a –√ b،- گویا. ثابت کنیم که √ a و √ bاعداد گویا نیز هستند.

محصول را در نظر بگیرید

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

عدد √ a + √ b،که برابر است با نسبت اعداد a – b و √ a –√ b،گویا است زیرا ضریب دو عدد گویا یک عدد گویا است. مجموع دو عدد گویا

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

یک عدد گویا است، تفاوت آنها،

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

همچنین یک عدد گویا است که باید ثابت شود.

3. ثابت کنید که اعداد غیرمنطقی مثبت a و b وجود دارند که عدد a b برای آنها طبیعی است.

4. آیا اعداد گویا a، b، c، d وجود دارند که برابری را برآورده کنند؟

(الف + ب √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

کجا n یک عدد طبیعی است؟

اگر تساوی داده شده در شرط برآورده شود و اعداد a، b، c، d گویا باشند، تساوی نیز برآورده می شود:

(الف-ب √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

اما 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. تضاد حاصل ثابت می کند که برابری اصلی غیرممکن است.

پاسخ: وجود ندارند.

5. اگر پاره های با طول های a، b، c یک مثلث تشکیل دهند، برای همه n = 2، 3، 4، . . . قطعات با طول n √ a , n √ b , n √ c نیز یک مثلث را تشکیل می دهند. اثباتش کن.

اگر پاره های با طول های a، b، c مثلثی تشکیل دهند، نابرابری مثلث به دست می آید

بنابراین ما داریم

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

موارد باقیمانده بررسی نابرابری مثلث نیز به همین ترتیب در نظر گرفته می شوند که نتیجه گیری از آنها حاصل می شود.

6. ثابت کنید کسر اعشاری نامتناهی 0.1234567891011121314... (همه اعداد طبیعی به ترتیب بعد از اعشار فهرست شده اند) یک عدد غیر منطقی است.

همانطور که می دانید اعداد گویا به صورت کسرهای اعشاری بیان می شوند که دارای دوره ای هستند که از علامت خاصی شروع می شود. بنابراین اثبات تناوبی بودن این کسر با هیچ علامتی کفایت می کند. فرض کنید که اینطور نیست، و برخی از دنباله T، متشکل از n رقم، دوره یک کسری است، که از mth رقم اعشار شروع می شود. واضح است که بعد از رقم m ام ارقام غیرصفر وجود دارد، بنابراین در دنباله ارقام T یک رقم غیر صفر وجود دارد. این بدان معنی است که با شروع از رقم m بعد از نقطه اعشار، در بین هر n رقم در یک ردیف یک رقم غیر صفر وجود دارد. با این حال، در نماد اعشاری این کسری، باید یک نماد اعشاری برای عدد 100...0 = 10 k وجود داشته باشد، که در آن k > m و k > n. واضح است که این ورودی در سمت راست رقم m رخ می دهد و حاوی بیش از n صفر در یک ردیف است. بنابراین، ما یک تناقض به دست می آوریم که اثبات را کامل می کند.

7. با توجه به کسر اعشاری نامتناهی 0,a 1 a 2 ... . ثابت کنید که ارقام در نماد اعشاری آن را می توان به گونه ای مرتب کرد که کسر حاصل یک عدد گویا را بیان کند.

به یاد بیاورید که کسری یک عدد گویا را بیان می کند اگر و فقط اگر تناوبی باشد و از علامتی شروع شود. ما اعداد از 0 تا 9 را به دو کلاس تقسیم می کنیم: در کلاس اول اعدادی را که در کسر اصلی تعداد محدودی بار اتفاق می افتد را شامل می کنیم ، در کلاس دوم - اعدادی را که در کسر اصلی رخ می دهند. عدد بی نهایتیک بار. بیایید شروع به نوشتن یک کسر تناوبی کنیم که می توان آن را از جایگشت اصلی ارقام به دست آورد. ابتدا، پس از صفر و کاما، تمام اعداد کلاس اول را به ترتیب تصادفی می نویسیم - هر کدام به تعداد دفعاتی که در ورودی کسر اصلی آمده است. ارقام کلاس اول نوشته شده قبل از نقطه در قسمت کسری اعشار خواهد بود. سپس اعداد کلاس دوم را یک بار به ترتیب یادداشت می کنیم. این ترکیب را یک نقطه اعلام می کنیم و آن را بی نهایت بار تکرار می کنیم. بنابراین، ما کسر تناوبی مورد نیاز را که مقداری گویا را بیان می کند، نوشته ایم.

8. ثابت کنید که در هر کسر اعشاری نامتناهی دنباله ای از ارقام اعشاری با طول دلخواه وجود دارد که در بسط کسری بی نهایت بار اتفاق می افتد.

فرض کنید m یک عدد طبیعی دلخواه باشد. بیایید این کسر اعشاری نامتناهی را به بخش هایی تقسیم کنیم که هر کدام دارای m رقم هستند. بی نهایت از این قبیل بخش ها وجود خواهد داشت. از سوی دیگر، تنها 10 متر سیستم مختلف متشکل از m رقم، یعنی یک عدد محدود وجود دارد. در نتیجه، حداقل یکی از این سیستم ها باید در اینجا بی نهایت بارها تکرار شود.

اظهار نظر. برای اعداد غیر منطقی √ 2، π یا هما حتی نمی دانیم کدام رقم بی نهایت بارها در اعشار نامتناهی که آنها را نشان می دهد تکرار می شود، اگرچه هر یک از این اعداد به راحتی می توانند حاوی حداقل دو رقم متمایز باشند.

9. به صورت ابتدایی ثابت کنید که ریشه مثبت معادله

غیر منطقی است

برای x > 0، سمت چپ معادله با x افزایش می یابد، و به راحتی می توان دید که در x = 1.5 کمتر از 10 است، و در x = 1.6 بزرگتر از 10 است. بنابراین، تنها ریشه مثبت معادله درون بازه (1.5 ؛ 1.6) قرار دارد.

ما ریشه را به صورت یک کسر تقلیل ناپذیر p/q می نویسیم، جایی که p و q برخی از اعداد طبیعی همزمان اول هستند. سپس برای x = p/q، معادله به شکل زیر خواهد بود:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5،

از اینجا نتیجه می شود که p مقسوم علیه 10 است، بنابراین، p برابر است با یکی از اعداد 1، 2، 5، 10. با این حال، با نوشتن کسری با اعداد 1، 2، 5، 10، بلافاصله متوجه می شویم که هیچ یک از آنها در داخل بازه (1.5؛ 1.6) قرار می گیرند.

بنابراین، ریشه مثبت معادله اصلی را نمی توان به عنوان یک کسری معمولی نشان داد، به این معنی که یک عدد غیر منطقی است.

10. الف) آیا سه نقطه A، B و C در صفحه وجود دارد به طوری که برای هر نقطه X طول حداقل یکی از قطعات XA، XB و XC غیرمنطقی باشد؟

ب) مختصات رئوس مثلث گویا هستند. ثابت کنید که مختصات مرکز دایره محصور آن نیز گویا هستند.

ج) آیا کره ای وجود دارد که دقیقاً یک نقطه عقلی در آن وجود داشته باشد؟ (نقطه گویا نقطه ای است که هر سه مختصات دکارتی آن اعداد گویا هستند.)

الف) بله وجود دارد. فرض کنید C نقطه وسط قطعه AB باشد. سپس XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. اگر عدد AB 2 غیر منطقی باشد، پس اعداد XA، XB و XC نمی توانند همزمان منطقی باشند.

ب) (a 1 ؛ b 1)، (a 2 ؛ b 2) و (a 3 ؛ b 3) مختصات رئوس مثلث باشند. مختصات مرکز دایره محصور آن توسط سیستم معادلات داده می شود:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

به راحتی می توان خطی بودن این معادلات را بررسی کرد، به این معنی که حل سیستم معادلات در نظر گرفته شده منطقی است.

ج) چنین کره ای وجود دارد. به عنوان مثال، یک کره با معادله

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

نقطه O با مختصات (0؛ 0؛ 0) یک نقطه منطقی است که روی این کره قرار دارد. نقاط باقی مانده از کره غیر منطقی هستند. بیایید آن را ثابت کنیم.

برعکس فرض کنید: (x; y; z) یک نقطه گویا از کره باشد، متفاوت از نقطه O. واضح است که x با 0 متفاوت است، زیرا برای x = 0 یک راه حل منحصر به فرد وجود دارد (0; 0). ؛ 0)، که اکنون نمی توانیم به آن علاقه مند شویم. بیایید براکت ها را گسترش دهیم و √ 2 را بیان کنیم:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x)،

که نمی تواند برای x، y، z و غیر منطقی √ 2 باشد. بنابراین، O(0؛ 0؛ 0) تنها نقطه عقلانی در کره مورد بررسی است.

مشکلات بدون راه حل

1. ثابت کنید که عدد

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

غیر منطقی است

2. برابری (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n برای کدام اعداد صحیح m و n برقرار است؟

3. آیا عدد a وجود دارد که اعداد a - √ 3 و 1/a + √ 3 اعداد صحیح باشند؟

4. آیا اعداد 1، √ 2، 4 می توانند اعضای (نه لزوماً مجاور) یک تصاعد حسابی باشند؟

5. ثابت کنید که برای هر عدد صحیح مثبت n معادله (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 هیچ راه حلی در اعداد گویا (x; y) ندارد.

مجموعه اعداد غیر منطقی معمولاً با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شود I (\displaystyle \mathbb (I))پررنگ بدون پر کردن به این ترتیب: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q))یعنی مجموعه اعداد غیر گویا تفاوت بین مجموعه اعداد حقیقی و گویا است.

وجود اعداد غیرمنطقی، به‌طور دقیق‌تر قطعاتی که با قطعه‌ای از طول واحد غیرقابل قیاس هستند، قبلاً برای ریاضیدانان باستان شناخته شده بود: آنها به عنوان مثال، قیاس‌ناپذیری مورب و ضلع مربع را می‌دانستند که معادل غیرعقلانی بودن است. از تعداد

یوتیوب دایره المعارفی

• 1 / 5

  غیر منطقی هستند:

  مثال های اثبات غیرمنطقی

  ریشه 2

  بیایید برعکس بگوییم: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))منطقی، یعنی به صورت کسری نشان داده می شود m n (\displaystyle (\frac (m)(n)))، جایی که m (\displaystyle m)یک عدد صحیح است و n (\displaystyle n)- عدد طبیعی .

  بیایید برابری فرضی را مجذوب کنیم:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\پیکان راست 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\پیکان راست m^(2)=2n^(2)).

  داستان

  دوران باستان

  مفهوم اعداد غیر منطقی به طور ضمنی توسط ریاضیدانان هندی در قرن هفتم قبل از میلاد پذیرفته شد، زمانی که Manawa (حدود 750 قبل از میلاد - حدود 690 قبل از میلاد) دریافت که ریشه های مربع برخی از اعداد طبیعی مانند 2 و 61 را نمی توان به طور صریح بیان کرد. ] .

  اولین اثبات وجود اعداد غیرمنطقی معمولاً به هیپاسوس متاپونتوس (حدود 500 سال قبل از میلاد)، فیثاغورثی نسبت داده می شود. در زمان فیثاغورثی ها، اعتقاد بر این بود که یک واحد طول وجود دارد، به اندازه کافی کوچک و غیرقابل تقسیم، که تعداد صحیح بارها در هر بخش گنجانده شده است. ] .

  هیچ داده دقیقی در مورد غیرمنطقی بودن کدام عدد توسط هیپاسوس ثابت شده است. طبق افسانه، او با مطالعه طول اضلاع پنتاگرام آن را پیدا کرد. بنابراین، منطقی است که فرض کنیم این نسبت طلایی [ ] .

  ریاضیدانان یونانی این نسبت را از مقادیر غیرقابل قیاس نامیدند الگوس(غیرقابل بیان)، اما طبق افسانه ها، هیپاسوس مورد احترام قرار نگرفت. افسانه ای وجود دارد که هیپاسوس در سفری دریایی این کشف را انجام داد و فیثاغورثی ها دیگر او را به دریا انداختند «به دلیل ایجاد عنصری از جهان، که این نظریه را رد می کند که همه موجودات در جهان را می توان به اعداد کامل و نسبت آنها تقلیل داد. " کشف هیپاسوس یک مشکل جدی برای ریاضیات فیثاغورثی ایجاد کرد و این فرض اساسی را که اعداد و اجسام هندسی یکی و جدایی ناپذیر هستند از بین برد.