Как найти большую диагональ трапеции. Материал по геометрии на тему "трапеция и ее свойства"

Прежде, чем разбираться, как найти диагональ трапеции, вспомним, что такое трапеция. В планиметрии трапецией называют четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу. Эти параллельные стороны называют основаниями трапеции, а остальные - боковыми сторонами. Боковые стороны могут быть одинаковыми, тогда мы имеем дело с равнобедренной трапецией.

Далее подробно разберем порядок нахождения длины диагоналей для общего случая - неравнобедренной трапеции. При этом будем исходить из того, что исходными данными являются длины всех четырех сторон трапеции, углы у основания неизвестны.

Расчет диагонали трапеции

В изображенной на рисунке трапеции ABCD имеются две диагонали AC и BD. Порядок нахождения их длины одинаков, поэтому рассмотрим все на примере нахождения диагонали BD, противолежащей ˂BAD.

Диагональ BD одновременно является стороной треугольника ABD и может быть рассчитана по теореме косинусов с помощью формулы:

BD = √(AB 2 +AD 2 -2AB . AD . cos ˂BAD)

В этой формуле нам известны все величины, кроме косинуса ˂BAD. Чтобы вычислить его, нам необходимо будет выполнить небольшое преобразование рисунка. «Вырежем» из исходной трапеции прямоугольник BNMC. В результате получим треугольник ABD", в котором сторона BD" будет равна стороне трапеции CD.

˂BAD" в треугольнике равен ˂BAD в трапеции, так как никаких преобразований с треугольником ABN мы не выполняли. Итак, в этом треугольнике ABD" сторона AB нам известна, сторона BD" = CD, а сторона AD" = AD – NM = AD – BC.

Получается, что по теореме косинусов cos ˂BAD = cos ˂BAD" = (AB 2 + AD" 2 – BD" 2)/2AB . AD" = (AB 2 +(AD – BC) 2 – CD 2)/2AB . (AD – BC)

Подставив теперь полученное выражение в найденную ранее формулу, получим:

BD = √(AB 2 +AD 2 -2AB . AD . cos ˂BAD) = √(AB 2 +AD 2 -2AB . AD . (AB 2 +(AD – BC) 2 – CD 2)/2AB . (AD – BC)) = √(AB 2 + AD 2 – AD . (AB 2 +(AD – BC) 2 – CD 2)/(AD – BC)) = √(AB 2 + AD 2 – AD . (AD – BC) 2 /(AD – BC) – AD . (AB 2 – CD 2)/(AD – BC)) = √(AB 2 + AD 2 – AD 2 + AD . BC – AD . (AB 2 – CD 2)/(AD – BC)) = √(AB 2 + AD . BC – AD . (AB 2 – CD 2)/(AD – BC))

BD = √(AB 2 + AD . BC – AD . (AB 2 – CD 2)/(AD – BC))

Полученная формула диагонали трапеции справедлива для любых значений длин сторон исходного четырехугольника.

Для второй диагонали формула соответственно примет вид:

AC = √(CD 2 + AD . BC – AD . (CD 2 – AB 2)/(AD – BC))

Диагональ равнобедренной трапеции

Если вас интересует, как найти диагональ равнобедренной трапеции, получившуюся формулу можно значительно упростить. Ведь в равнобедренной трапеции AB = CD, следовательно AB 2 – CD 2 = 0 и формула длины диагонали приводится к виду:

BD = √(AB 2 + AD . BC)

Диагонали равнобедренной трапеции равны друг другу, поэтому вторая диагональ находится по той же формуле.

В том случае, если исходными данными являются длины оснований трапеции, одна из боковых сторон и углы при основании, то задача нахождения диагонали трапеции сводится к расчету стороны треугольника по теореме косинусов.

Поэтому одну из них мы назовем большим , вторую - малым основанием трапеции. Высотой трапеции можно назвать любой отрезок перпендикуляра, проведенного из вершин на соответственно противоположную сторону (для каждой вершины есть две противоположные стороны), заключенный между взятыми вершиной и противоположной стороной. Но можно выделить "особый вид" высот.
Определение 8. Высотой основания трапеции называют отрезок прямой, перпендикулярной основаниям, заключенный между основаниями.
Теорема 7 . Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть дана трапеция АВСD и средняя линия КМ. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD через точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСм и МРD равны по стороне и двум углам (СМ=МD, ∠ ВСМ=∠ МDР - накрестлежащие, ∠ ВМС=∠ DМР - вертикальные), поэтому ВМ=МР или точка М - середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР:

Теорема 8 . Диагонали делят трапецию на четыре части, две из которых, прилежащие к боковым сторонам, равовелики.
Напомню, что фигуры называются равновеликими, если у них одинаковая площадь. Треугольники АВD и АСD равновелики: у них равные высоты (обозначенные желтым) и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть АОD. Их площадь можно разложить так:

Виды трапеций:
Определение 9. (рис 1) Остроугольной трапецией называется трапеция, у которой углы, прилегающие к большему основанию острые.
Определение 10. (рис 2) Тупоугольной трапецией называется трапеция, у которой один из углов, прилегающих к большему основанию тупой.
Определение 11. (рис 4) Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Определение 12. (рис 3) Равнобедренной (равнобокой, равнобочной) называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобокой трапеции:
Теорема 10 . Углы, прилежащие к каждому из оснований равнобокой трапеции, равны.
Доказательство. Докажем, например, равенство углов А и D при большем основании AD равнобокой трапеции АВСD. Для этой цели проведем через точку С прямую параллельную боковой стороне АВ. Она пересечет большое основание в точке М. Четырехугольник АВСМ являеся параллелограммом, т.к. по построению имеет две пары параллельных сторон. Следовательно, отрезок СМ секущей прямой, заключенный внутри трапеции равен её боковой стороне: СМ=АВ. Отсюда ясно, что СМ=СD, треугольник СМD - равнобедренный, ∠ СМD=∠ СDM, и, значит, ∠ А=∠ D. Углы, прилежащие к меньшему основанию, также равны, т.к. являются для найденных внутренними односторонним и имеют в сумме два прямых.
Теорема 11 . Диагонали равнобокой трапеции равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD - общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому АС=BD.

Теорема 13 . Диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся на соответственно равные отрезки. Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD - общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому ∠ ОАD=∠ ОDA, отсюда равны и углы ОВС и ОСВ как соответственно накрестлежащие для углов ODA и ОАD. Вспомним теорему: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный, поэтому треугольники ОВС и ОAD являются равнобедренными, значит, ОС=ОВ и ОА=OD, ч.т.д.
Равнобокая трапеция фигура симметричная.
Определение 13. Осью сисмметрии равнобокой трапеции называют прямую, проходящую через середины её оснований.
Теорема 14 . Ось сисмметрии равнобокой трапеции перпендикулярна её основаниям.
В теореме 9 мы доказали, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей. Далее (теорема 13) мы доказали, что треугольники АОD и ВОС равнобедренные. ОМ и ОК являются медианами этих треугольников соответственно по определению . Вспомним свойство равнобедренного треугольника : медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является и высотой треугольника. Вследвствие перпендикулярности основаниям частей прямой КМ, ось симметрии перпендикулярна основаниям.
Признаки, выделяющие равнобокую трапецию среди всех трапеций:
Теорема 15 . Если углы, прилежищие к одному из оснований трапеции, равны, то трапеция равнобокая.
Теорема 16 . Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобокая.
Теорема 17 . Если продолженные до пересечения боковые стороны трапеции образуют вместе и её большим основанием равнобедренный треугольник, то трапеция равнобокая.
Теорема 18 . Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобокая.
Признак прямоугольной трапеции:
Теорема 19 . Всякий четырехугольник, у которого только два угла при смежных вершинах прямые, является прямоугольной трапецией (очевидно, что две стороны параллельны, т.к. односторонние равны. в случае, когда три прямых угла это прямоугольник)
Теорема 20 . Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты основания.
Доказательство этой теоремы заключается в объяснении того, что радиусы проведенные к основаниям лежат на высоте трапеции. Из точки О - центра вписанной в данную трапецию АВСD окружности проведем радиусы в точки касания её основаниями трапеции. Как известно, ридиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касатыльной, поэтому ОК^ ВС и ОМ^ AD. Вспомним теорему: если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Значит, прямая ОК также перпендикулярна AD. Таким образом, через точку О проходит две прямых перпендикулярных прямой AD, чего быть не может, поэтому эти прямые совпадают и составляют общуй перпендикуляр КМ, который равен сумме двух радиусов и является диаметром вписанной окружности, поэтому r=KM/2 или r=h/2.
Теорема 21 . Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты оснований.

Доказательство: Пусть ABCD - данная трапеция, а AB и CD - её основания. Пусть также AH - высота, опущенная из точки A на прямую CD. Тогда S ABCD = S ACD + S ABC .
Но S ACD = 1/2AH·CD, а S ABC = 1/2AH·AB.
Следовательно, S ABCD = 1/2AH·(AB + CD).
Что и требовалось доказать.

Вторая формула перешла от четырехугольника.

Знакомство с трапецией впервые происходит при изучении курса планиметрии. Хотя и до этого вы наверняка встречали предметы, форма которых совпадает с данной геометрической фигурой. Четырехугольник отличается тем, что только 2 из его четырех сторон параллельны. Если соединить противолежащие вершины фигуры отрезками, то получим ее диагонали. Как определить их длину? Величина этих отрезков связана с углами фигуры, длиной ее сторон и высоты.

Диагонали и углы трапеции

Если перед вами произвольная трапеция с известными углами в основании, а также боковыми сторонами и основанием, то в определении величины диагоналей поможет следующее соотношение:

d1 = √a 2 + d 2 – 2ad*cosβ,
d2 = √a 2 + c 2 – 2ac*cosα,

d1, d2 – искомые диагонали,
a – основание,
c, d – боковые стороны,
β, α – углы, лежащие в основании.

В его основе лежит теорема косинусов, позволяющая в треугольнике определить длину стороны, используя известные величины двух других сторон, а также угла, лежащего против искомой стороны.

Диагонали и стороны трапеции

  • При наличии известных всех четырех сторон фигуры для нахождения ее диагоналей можно использовать выражения:

d1 = √ d 2 + ab – (a(d 2 – c 2)/(a-b)),
d2 = √ c 2 + ab – (a(c 2 – d 2)/(a-b)).

  • Взаимосвязь между диагоналями:

d1 2 + d2 2 = c 2 + d 2 + 2ab,
d1 = √c 2 + d 2 + 2ab – d2 2 ,
d2 = √c 2 + d 2 + 2ab – d1 2 ,

Как в первом, так и во втором случаях:
d1, d2 – искомые диагонали,
a, b – основания,
c, d – боковые стороны.


Диагонали и высота трапеции

При известном значении одного из оснований фигуры или боковой стороны, угла при нижнем основании, а также высоты четырехугольника, с определением длин диагоналей также не возникнет сложностей.

Если по условиям задания трапеция имеет равные боковые стороны, то выражения для нахождения диагоналей фигуры преобразуются с учетом того, что c=d:

d1 = d2 = √c 2 + ab,
d1 = d2 = √a 2 + c 2 – 2ac*cosα,
d1 = d2 = √a 2 + c 2 + 2ac*cosβ,
d1 = d2 = √b 2 + c 2 – 2bc*cosβ,
d1 = d2 = √b 2 + c 2 + 2bc*cosα,
d1 = d2 = √h 2 + l 2 ,
d1 = d2 = √h 2 + (a+b) 2 /4,
d1 = d2 = √h*(a+b)/sinφ = √2S/ sinφ = √2lh/sinφ (sinφ = sin γ),

d1, d2 – искомые диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры,
S – площадь,
a, b – основания (a < b),
c – боковая сторона,
l – средняя линия.


Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, при решении задачи будет полезен следующий теоретический материал.

1. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований.

Проведем через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с CF.

Четырехугольник BCFD — параллелограмм (BC∥ DF как основания трапеции, BD∥ CF по построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.

Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, то есть треугольник ACF — равнобедренный с основанием AF. Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то

что в общем виде можно записать как

где h — высота трапеции, a и b — ее основания.

2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.

Так как средняя линия трапеции m равна полусумме оснований, то

3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты трапеции (или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).

Так как площадь трапеции находится по формуле

а высота, полусумма оснований и средняя линия равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равны между собой:

Г.И. Ковалева

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СВОЙСТВ ТРАПЕЦИИ

В материалах различных контрольных работ и экзаменов очень часто встречаются задачи на трапецию, решение которых требует от учащихся знаний «непрограммных» свойств трапеции. (Программными считаются свойство средней линии трапеции, свойства диагоналей и углов равнобедренной трапеции.) Какими же замечательными свойствами обладает трапеция? Где и когда их изучать в школьном курсе геометрии?

После изучения свойства средней линии трапеции можно сформулировать и доказать свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Отрабатывая основной прием решения задач на трапецию «провести две высоты», учащимся необходимо предложить задачу: «Пусть BT – высота равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD .

,

. Найдите длины отрезков AT и TD ».

Тема «Подобие фигур» очень благодатна для изучения свойств трапеции. Например, диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Назовем это утверждение с войством треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями. Причем первая часть утверждения доказывается очень легко через признак подобия треугольников по двум углам. Вторую часть можно предложить учащимся в виде задачи.

Аналогично, треугольники BOC и АОВ имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки CO и OA . Тогда

и

.

Из этих двух предложений следует, что

.

Было бы замечательно не останавливаться на сформулированном утверждении, а найти связь между площадями треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями , предложив учащимся решить задачу: «Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями BC и AD . Известно, что площади треугольников BOC и AOD равны соответственно и . Найдите площадь трапеции».

Так как . Отсюда , из подобия треугольников B О C и AOD следует, что

.Следовательно,

. Тогда

С использованием подобия доказывается и свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. Предлагаем учащимся решить задачу: «Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями BC и AD . , . Найдите длину отрезка PK , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. На какие отрезки делится PK точкой О ».


Отсюда

.

Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBC , следует, что

. Отсюда

и

.

Добиваемся от учащихся осознания доказанного свойства: отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции.

Следующее свойство четырех точек: в трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии.

Знакомя учащихся с подобием фигур (не треугольников), можно предложить найти длину отрезка разбивающего трапецию на две подобных.

Таким образом, отрезок разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований.

После вывода формулы площади трапеции полезно доказать свойство отрезка, делящего трапецию на две равновеликие.

Составим систему



Решение системы

.

Таким образом, длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна

(среднему квадратичному длин оснований). ).

Чтобы учащиеся осознали связь между указанными отрезками, необходимо попросить построить их для данной трапеции. Без труда учащиеся построят среднюю линию трапеции и отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. Где будет лежать третий и четвертый отрезок? Ответ на этот вопрос должен привести учащихся к открытию связи между средними величинами.

Признак и свойство вписанного и описанного четырехугольника должны быть конкретизированы для всех известных учащимся четырехугольников, в том числе и для трапеции.

Свойства описанной трапеции. Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Первое очевидно. Для доказательства второго следствия необходимо установить, что угол COD прямой, что так же не составляет большого труда. Зато знание этого следствия позволяет при решении задач использовать прямоугольный треугольник.

Конкретизируем следствия для равнобедренной описанной трапеции :

высота равнобедренной описанной равнобедренной трапеции есть среднее геометрическое оснований трапеции.

.

Рассмотрим основные принципы методики изучения свойств трапеции.

Во-первых, это использование задачного подхода . Нет необходимости вводить в теоретический курс геометрии новые свойства трапеции. Эти свойства открываются и формулируются учащимися через решение задач (лучше систем задач). Важно, чтобы учитель знал, какие задачи должны быть поставлены и в какой момент учебного процесса. Кроме того, каждое свойство может быть ключевой задачей в системе задач.

Во-вторых, «спиральная» организация изучения свойств трапеции . К отдельным свойствам можно возвращаться несколько раз, тогда есть вероятность, что учащиеся их запомнят. Например, свойство четырех точек можно доказать при изучении подобия и потом с помощью векторов. Равновеликость треугольников, прилежащих к боковым сторонам трапеции, можно доказать, используя как свойство треугольников, имеющих равные высоты, проведенные к сторонам, лежащим на одной прямой, так и формулу

. Можно отрабатывать свойства прямоугольного треугольника на описанной трапеции, теорему синусов на вписанной трапеции и так далее.

Предложенное включение «непрограммных» свойств трапеции в содержание школьного курса геометрии, задачная технология их изучения, неоднократное обращение к свойствам трапеции при изучении других тем позволят учащимся более глубоко познать трапецию и обеспечат успешность решения задач на применение ее свойств.