نمونه های سیستم کامل و کاهش یافته باقیمانده ها. سیستم کاهش یافته کسرها

اطلاعات اولیه از نظریه

6. 1. تعریف 1.

کلاس اعداد مدول m مجموعه ای از همه آن و فقط آن اعداد صحیحی است که وقتی بر m تقسیم می شوند، باقیمانده r یکسان دارند، یعنی مدول m قابل مقایسه (t) Î N، t> 1).

تعیین دسته ای از اعداد با باقی مانده r: .

هر عدد از کلاس مدول باقیمانده m و خود کلاس نامیده می شود کلاس باقیمانده مدول m نامیده می شود.

6. 2. ویژگی های مجموعه کلاس های باقیمانده مدول تی:

1) مدول کل تیاراده تیطبقات باقیمانده: Z t = { , , , … , };

2) هر کلاس شامل مجموعه نامتناهی از اعداد صحیح (باقیمانده) به شکل: = ( آ= mq+ r/qÎ ز، 0£ r< متر}

3) "آÎ : آº r(mod m);

4) "الف، بÎ : آº ب(mod m) یعنی هر دو باقیمانده گرفته شود از یکیکلاس، قابل مقایسهمدول تی;

5) "آÎ , " بÎ : آ ب(mod m) یعنی دو باقیمانده وجود ندارد. گرفته شده از متفاوتکلاس ها غیر قابل مقایسهمدول تی.

6. 3. تعریف 3.

یک سیستم کامل از باقیمانده‌های مدول m، مجموعه‌ای از اعداد m است که یک و تنها یک عدد از هر کلاس از باقیمانده‌های مدول m گرفته می‌شود.

مثال: اگر متر= 5، سپس (10، 6، - 3، 28، 44) یک سیستم کامل از باقیمانده های مدول 5 است (و نه تنها!)

به خصوص،

مجموعه (0، 1، 2، 3، … متر–1) یک سیستم است کوچکترین غیر منفیکسر؛

مجموعه (1، 2، 3، ... متر –1, تی) سیستم است حداقل مثبتکسر.

6. 4. توجه داشته باشید که:

اگر ( ایکس 1 , ایکس 2 , … , x t) سیستم کامل مدول باقیمانده است تی، سپس

6. 5. قضیه 1.

اگر یک {ایکس 1 , ایکس 2 , … , x t} – سیستم کامل باقیمانده مدول m, "الف، بÎ Z و(a, t) = 1, – سپس سیستم اعداد {اوه 1 +ب, اوه 2 + ب, … , آه تی+ب} نیز تشکیل می دهد سیستم کاملباقی مانده modulo t .

6. 6. قضیه 2.

همه باقیمانده های یک کلاس باقیمانده مدول m دارای بزرگترین مقسوم علیه مشترک با m هستند: "الف، بÎ Þ ( آ؛ تی) = (ب تی).

6. 7. تعریف 4.

کلاس باقیمانده مدول m coprime با مدول m نامیده می شود,اگر حداقل یک باقیمانده از این کلاس coprime با i.e.

توجه داشته باشید که در این مورد، توسط قضیه 2 همهاعداد این کلاس با مدول همزمان خواهد بود تی

6. 8. تعریف 5.

یک سیستم کاهش یافته از باقیمانده های مدول m سیستمی از باقی مانده ها است که یک و تنها یک مورد از هر کلاس coprime به m گرفته می شود.

6. 9. توجه داشته باشید که:

1) سیستم کاهش مدول باقی مانده تیحاوی j( تی) شماره ( ایکس 1 , ایکس 2 ,…, };

2) : .

3) "x i : (x i, متر) = 1;

مثال : اجازه مدولو تی= 10 10 کلاس باقیمانده وجود دارد:

ز 10 = ( , , , , , , , , , ) مجموعه ای از طبقات باقیمانده مدول 10 است. سیستم کامل کسورات مد 10 برای مثال این خواهد بود: (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9).

بسیاری از کلاس های باقی مانده، coprimeبا ماژول m= 10: ( , , , )(j(10) = 4).

سیستم کاهش یافته کسرهابه عنوان مثال، مدول 10 خواهد بود

(1، 3، 7، 9)، یا (11، 43، - 5، 17)، یا (- 9، 13، - 5، 77)، و غیره. (در همه جا j(10) = 4 عدد).

6.10. عملا: برای تشکیل یکی از سیستم های احتمالی کاهش مانده mod m, لازم است از سیستم کامل باقیمانده‌های mod m آن دسته از باقیمانده‌هایی را انتخاب کنیم که با m هم‌آغاز هستند. چنین اعدادی خواهند بود. j( تی).

6.11. قضیه 3.

اگر یک{ایکس 1 , ایکس 2 ,…, } – سیستم کاهش یافته باقیمانده modulo mو

(آ, متر) = 1, – سپس سیستم اعداد {اوه 1 , اوه 2 , … , تبر j (t)} نیز تشکیل می دهد

سیستم کاهش یافته باقیمانده modulo m .

6.12. تعریف 6.

مجموع( Å ) کلاس های کسر و +b برابر است با مجموع هر دو کسر یکی از هر کلاس داده شده و : Å = , جایی که"آÎ , "بÎ .

6.13. تعریف 7.

کار( Ä ) کلاس های کسر و مدول m کلاس باقیمانده نامیده می شود ، یعنی کلاس باقیمانده های متشکل از اعداد a ´ b برابر است با حاصلضرب هر دو باقیمانده که یکی یکی از هر کلاس داده شده و : Ä = , جایی که"آÎ , "بÎ .

بنابراین، در مجموعه ای از کلاس های باقی مانده مدول تی: Z t= ( , , ,…, ) دو عملیات جبری تعریف شده است - "جمع" و "ضرب".

6.14. قضیه 4.

مجموعه ای از کلاس های باقیمانده Z t modulo t یک حلقه انجمنی - جابجایی با یک واحد است:

< Z t , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – حلقه.

وظایف معمولی

1. ماژول تی= 9:

1) یک سیستم کامل از حداقل باقیمانده های مثبت.

2) یک سیستم کامل از حداقل باقی مانده های غیر منفی.

3) سیستم کامل کسورات دلخواه؛

4) یک سیستم کامل از حداقل کسر مطلق.

پاسخ:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

2. سیستم کاهش یافته مدول باقیمانده را کامپایل کنید تی= 12.

تصمیم گیری

1) یک سیستم کامل از مدول باقیمانده حداقل مثبت بسازید تی= 12:

(1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12) (مجموع تی= 12 عدد).

2) اعدادی را که با عدد 12 همزمان نیستند از این سیستم حذف می کنیم:

{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.

3) اعداد باقیمانده، همزمان با عدد 12، سیستم کاهش یافته مورد نظر مدول باقیمانده را تشکیل می دهند. تی= 12 (مجموع j( تی) = j(12) = 4 عدد).

پاسخ:(1، 5، 7، 11) - کاهش سیستم مدول باقی مانده تی= 12.

130. 1) سیستم کاملی از حداقل باقیمانده های مثبت بسازید. 2) یک سیستم کامل از حداقل باقی مانده های غیر منفی. 3) سیستم خودسرانه کسرها. 4) یک سیستم کامل از کوچکترین کسر مطلق. 5) سیستم کاهش یافته باقیمانده ها: الف) مدول متر= 6; ب) مدول متر = 8.

131. آیا مجموعه (9، 2، 16، 20، 27، 39، 46، 85) یک سیستم کامل از مدول 8 باقیمانده است؟

132 مجموعه (20، - 4، 22، 18، - 1) با چه مدول یک سیستم کامل از باقیمانده ها است؟

133. سیستم کاهش یافته باقیمانده را مدول کنید متراگر یک) متر= 9; ب) متر= 24; که در) متر= 7. چنین سیستمی باید شامل چند عدد باشد؟

134. ویژگی های اصلی سیستم کامل باقیمانده ها و مدول سیستم کاهش یافته باقیمانده ها را فرموله کنید. متر .

135. چه عناصری سیستم های کاهش یافته و کامل باقیمانده های حداقل غیر منفی را از نظر متمایز می کند ماژول ساده?

136. اعداد تحت چه شرایطی هستند آو - آمتعلق به همان کلاس باقیمانده های مدولو هستند متر?

137. همه اعداد اول به کدام دسته از باقیمانده های مدول 8 تعلق دارند؟ آر³ 3 ?

138. آیا مجموعه اعداد (0, 2 0 , 2 1 , 2 2 , ... , 2 9 ) یک سیستم کامل از باقیمانده مدول 11 را تشکیل می دهد؟

139. چند کلاس از مدول باقیمانده 21 متعلق به همه باقیمانده های یک کلاس از مدول 7 باقی مانده است؟

140. مجموعه اعداد صحیح زتوزیع بر اساس کلاس‌های باقیمانده مدول 5. جدول‌های جمع و ضرب را در مجموعه‌ای از کلاس‌های باقیمانده ایجاد کنید. ز 5 . مجموعه است ز 5: الف) گروهی با عملیات اضافه کلاس؟ ب) گروهی با عمل ضرب کلاس؟

§ 7. قضیه اویلر. قضیه کوچک فرمت

اطلاعات اولیه از نظریه

7. 1. قضیه 1.

اگر یکÎ ز,تیÎ N، t>1 و(آ;تی) = 1، – سپس در یک توالی نامتناهی از قدرت ها a 1 , آ 2 , آ 3 , ... , آاس، …، آتی، … حداقل دو توان با توان های s و t وجود دارد(س<تی) به طوری که . (*)

7. 2. اظهار نظر. دلالت می کند تی– س = ک> 0، از (*) دریافت می کنیم: . بالا بردن هر دو طرف این مقایسه به یک قدرت nÎ ن، ما گرفتیم: (**). این بدان معنی است که تعداد بی نهایت قدرت وجود دارد آ، رضایت از مقایسه (**). ولی ماننداین شاخص ها را پیدا کنید؟ چی کمترینشاخصی که مقایسه (**) را برآورده می کند؟ به سوال اول پاسخ می دهد قضیه اویلر(1707 – 1783).

7. 3. قضیه اویلر.

اگر یکÎ ز,تیÎ N، t>1 و(آ;تی) = 1، - سپس . (13)

مثال. بگذار باشد آ = 2,تی = 21, (آ; تی) = (2؛ 21) = 1. سپس . از آنجایی که j (21) = 12، سپس 2 12 º 1 (mod 21). در واقع: 2 12 = 4096 و (4096 - 1) 21. سپس واضح است که 2 24 º 1 (mod 21)، 2 36 º 1 (mod 21) و غیره. اما آیا توان 12 - کمترینمقایسه رضایت بخش 2 nº 1 (Mod 21) ? معلوم است که نه. پایین ترین شاخصاراده پ= 6: 2 6 º 1 (mod 21)، از 2 6 – 1 = 63 و 63 21. توجه داشته باشید که کمترینشاخص مورد جستجو فقط در میان مقسوم علیه های یک عدد j( تی) (در این مثال در میان مقسوم علیه های عدد j(21) = 12).

7. 4. قضیه کوچک فرما (1601 - 1665).

برای هر عدد اول p و هر عدد aÎ ز, بر p قابل تقسیم نیست, مقایسه وجود دارد . (14)

مثال. بگذار باشد آ = 3,آر= 5، که در آن 3 5 نیست. سپس یا .

7. 5. تعمیم قضیه فرما.

برای هر عدد اول p و عدد دلخواه aÎ Z مقایسه می شود (15)

وظایف معمولی

1. ثابت کنید که 38 73 º 3 (mod 35).

تصمیم گیری

1) از آنجایی که (38؛ 35) = 1، پس با قضیه اویلر ; j(35) = 24، بنابراین

(1).

2) از مقایسه (1)، با نتیجه 2، خواص 5 0 مقایسه عددی، داریم:

3) از مقایسه (2)، با نتیجه 1 ویژگی 5 0 مقایسه: 38 72 × 38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ 38 73 º 38 º 38–35 = 3 (mod 35) Þ 38 73 º 3 (d 35) که باید ثابت می شد.

2. با توجه به: آ = 4, تی= 15. کوچکترین توان را پیدا کنید ک، مقایسه راضی کننده است (*)

تصمیم گیری

1) از آنجایی که ( آ; متر) = (4؛ 25) = 1، سپس با قضیه اویلر ، j(25) = 20، بنابراین .

2) آیا توان پیدا شده است - عدد 20 - کمترینیک عدد طبیعی که مقایسه (*) را برآورده می کند؟ اگر توانی کمتر از 20 وجود داشته باشد، باید مقسوم علیه 20 باشد. بنابراین، حداقل توان مورد نیاز کشما باید در بین اعداد زیادی جستجو کنید n= (1، 2، 4، 5، 10، 20) - مقسوم علیه 20.

3) چه زمانی پ = 1: ;

در پ = 2: ;

در پ= 3: (نیازی به در نظر گرفتن نیست)؛

در پ = 4: ;

در پ = 5: ;

در پ= 6، 7، 8، 9: (نیازی به در نظر گرفتن نیست)؛

در پ = 10: .

بنابراین، کمترینتوان ک، مقایسه رضایت بخش (*)، است ک= 10.

پاسخ: .

تمریناتی برای کار مستقل

141. با قضیه اویلر . در آ = 3, تی= 6 داریم: .

از آنجایی که j(6) = 2، سپس 3 2 º1 (mod 6)، یا 9º1 (mod 6)، سپس، با لم، (9 – 1) 6 یا 8 6 (کاملا!؟). اشتباه کجاست؟

142. ثابت کنید که: a) 23 100 º1 (mod 101); ب) 81 40 º 1 (mod100); ج) 2 73 º 2 (Mod 73).

143. ثابت کنید a) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (mod 10);

ب) 5 4 پ + 1 + 7 4پ+ 1 بدون باقی مانده بر 12 بخش پذیر است.

144. یک قضیه برعکس قضیه اویلر را ثابت کنید: اگر آ j ( متر) º 1 (Mod متر)، سپس ( صبح) =1.

145. کوچکترین توان را پیدا کنید کÎ N،رضایت این مقایسه: الف) ; ب) ; که در) ; ز) ;

ه) ; ه) ; ز) ; ح) .

و) ; به) ; ل) ; م) .

146. باقیمانده تقسیم را بیابید:

الف) 7100 برای 11; ب) 9900 برای 5; ج) 5176 در 7; د) 2 1999 توسط 5; ه) 8 377 برای 5;

و) 26 57 در 35; g) 35 359 برای 22; ح) 5718 در 103; ط) 27260 برای 40; j) 25 1998 در 62.

147*. ثابت کنیم که آ 561 º آ(Mod 11).

148*. اگر تجزیه متعارف یک عدد طبیعی پفاکتورهای 2 و 5 را شامل نمی شود، پس توان 12 این عدد به 1 ختم می شود. ثابت کنید.

149*. ثابت کنید که 2 64 º 16 (mod 360).

150*. ثابت کنید: اگر ( آ، 65) =1 , (ب 65) = 1، سپس آ 12 –ب 12 به طور مساوی بر 65 بخش پذیر است.

فصل 3. کاربردهای حسابی

نظریه های مقایسه عددی

§ 8. اعداد سیستماتیک

اطلاعات اولیه از نظریه

1. اعداد سیستماتیک صحیح

8. 1. تعریف 1.

سیستم اعداد هر روشی برای نوشتن اعداد است. به علائمی که این اعداد با آنها نوشته می شود اعداد می گویند.

8. 2. تعریف 2.

یک عدد صحیح سیستماتیک غیر منفی که در سیستم اعداد موقعیتی t-ary نوشته شده است یک عدد n از شکل است.

,جایی که یک آی(من = 0,1, 2,…, ک) – اعداد صحیح غیر منفی - ارقام, و 0 £ یک من £ تی– 1, t پایه سیستم اعداد، t استÎ N، t > 1.

به عنوان مثال، نماد یک عدد در سیستم 7 آری به این صورت است: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3. در اینجا یک من- اینها 5، 6، 0، 3 هستند - اعداد. همه آنها شرایط را برآورده می کنند: 0 £ یک من£ 6. چه زمانی تی=10 بگو: عدد nثبت شده در سیستم اعداد اعشاری،و شاخص t= 10 ننویس.

8. 3. قضیه 1.

هر عدد صحیح غیر منفی را می توان به صورت یک عدد سیستماتیک در هر پایه t نشان داد، جایی که tÎ N، t > 1.

مثال:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …

8. 4. توجه داشته باشید که:

1) انتساب به تعداد سیستماتیک صفرها در سمت چپ تغییر نمی کنداین شماره:

(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .

2) نسبت دادن به یک عدد سیستماتیک سصفرهای سمت راست معادل است ضرباین شماره برای تی اس: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4).

8. 5. الگوریتم تبدیل عدد نوشته شده درتی سیستم -ary، تا اعشار:

مثال: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10.

8. 6. الگوریتم تبدیل عددی که به صورت اعشاری نوشته شده است سیستم، درتی -شخصی:

مثال: (3 9 1) 10 = (ایکس) 12 . برای پیدا کردن ایکس.

8. 7. اقدامات روی اعداد سیستماتیک

2. کسرهای سیستماتیک

8. 8. تعریف 3.

کسر سیستماتیک t-ary محدود در یک سیستم اعداد با پایه t عددی از شکل است

جایی که ج 0 Î ز, با شماره های i– اعداد صحیح غیر منفی, و 0 £ با من£ تی– 1, تیÎ N، t > 1, کÎ ن .

علامت گذاری: a = ( ج 0 , با 1 با 2 …با k)تی. در تی= 10 کسر نامیده می شود اعشاری.

8. 9. نتیجه 1.

هر کسر سیستماتیک متناهی یک عدد گویا است که می تواند به صورت نمایش داده شود , جایی که aÎ ز، بÎ ن.

مثال. a = (3 1، 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + یک عدد گویا است گزاره برعکس به طور کلی درست نیست. به عنوان مثال، یک کسری را نمی توان به یک کسر سیستماتیک (اعشاری) محدود تبدیل کرد.

8.10. تعریف 4.

کسر سیستماتیک مثبت t-ary نامتناهی در یک سیستم اعداد با پایه t عددی از شکل است

, کجا از 0Î ن, با من(من =1, 2, …, به, …) - شماره– اعداد صحیح غیر منفی, و 0 £ با من£ تی–1, تیÎ N، t > 1, کÎ ن.

علامت گذاری: a = ( با 0 , با 1 با 2 … با k…) تی. در تی= 10 کسر نامیده می شود اعشاری.

8.11. تعریف 5.

سه نوع کسر سیستماتیک نامتناهی وجود دارد:

من a = ( با 0 , )تی= = تی، کجا = = = … در این مورد، شمارهآ کسر تناوبی محض نامتناهی نامیده می شود،(با 1 با 2 … با k) – عادت زنانه, k - تعداد ارقام در دوره - طول دوره.

II a = .

در این صورت عدد a کسر متناوب مخلوط نامتناهی نامیده می شود، – پیش دوره, () – عادت زنانه, k - تعداد ارقام در دوره - طول دوره، l - تعداد ارقام بین قسمت صحیح و دوره اول - طول دوره قبل.

III a = ( با 0 , با 1 با 2 … با k …)تی . در این مورد، شمارهآ کسر نامتناهی غیر تناوبی نامیده می شود.

وظایف معمولی

1. شماره ( آ) 5 = (2 1 4 3) 5، داده شده در سیستم 5-ary، به سیستم 7-ary ترجمه کنید، یعنی پیدا کنید ایکس، اگر (2 1 4 3) 5 = ( ایکس) 7 .

تصمیم گیری

1) عدد داده شده (2 1 4 3) 5 را به عدد ( در) 10 در سیستم اعشاری نوشته شده است:

2. مراحل زیر را دنبال کنید:

1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;

4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5.

تصمیم گیری

1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;

2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4×8 + 3 = (4 3) 8 ;

3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6	توجه داشته باشید:	4+5 = 9 = 1×6+3، 3 نوشته می شود، 1 به رقم بعدی می رود، 6+3+1=10 =1×6+4، 4 نوشته می شود، 1 به رقم بعدی می رود، 3+ 4+1= 8 \u003d 1 × 6 + 2، 2 نوشته می شود، 1 به رقم بعدی می رود.
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7	توجه داشته باشید:	واحدی از بالاترین رتبه را اشغال کند، یعنی "1" = 1x7: (3 + 1x7) - 5 = 10 - 5 = 5، (1 + 1x7) - 3 = 8 - 3 = 5،
5) (4 2 3) 5 ´ (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5	توجه داشته باشید:	وقتی در 2 ضرب می کنیم: 3 × 2 = 6 = 1 × 5 + 1، می نویسیم 1، 1 به رقم بعدی می رود، 2 × 2 +1=5 = 1 × 5 +0، می نویسیم 0، 1 به رقم بعدی می رود. رقم بعدی، 2×4 +1=9 = 1×5 +4، 4 نوشته می شود، 1 به رقم بعدی می رود، وقتی در 3 ضرب شود: 3×3 = 9 = 1×5 + 4، 4 نوشته می شود، 1 به رقم بعدی می رود، 3×2 +1=7 = 1×5 +2، 2 نوشته می شود، 1 به رقم بعدی می رود، 3×4 +1=13=2×5 +3، 3 نوشته می شود، 2 به رقم بعدی می رود

6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5

2 3 2 4 (3 2) 5

1 4 0 1 پاسخ: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;

(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .

تمریناتی برای کار مستقل

151. اعداد داده شده در تیسیستم -اری، تبدیل به سیستم اعشاری:

الف) (2 3 5) 7 ; ب) (2 4 3 1) 5 ; ج) (1 0 0 1 0 1) 2 ; د) (1 3 ) 15 ;

ه) (2 7) 11; f) (3 2 5 4) 6 ; g) (1 5 0 1 3) 8 ; ح) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;

i) (7 6 2) 8 ; ی) (1 1 1 1) 20 .

152. اعداد. داده شده در سیستم اعشاری، تبدیل به تیسیستم -ic چک کنید

الف) (1 3 2) 10 = ( ایکس) 7 ; ب) (2 9 8) 10 = ( ایکس) 5 ؛ ج) (3 7) 10 = ( ایکس) 2 ؛ د) (3 2 4 5) 10 = ( ایکس) 6 ;

ه) (4 4 4 4) 10 = ( ایکس) 3 ؛ f) (5 6 3) 10 = ( ایکس) 12 ; g) (5 0 0) 10 = ( ایکس) هشت ؛ h) (6 0 0) 10 = ( ایکس) 2 ;

i)(1 0 0 1 5) 10 =( ایکس) 20 ; j) (9 2 5) 10 = ( ایکس) هشت ؛ k) (6 3 3) 10 = ( ایکس) پانزده ؛ m) (1 4 3) 10 = ( ایکس) 2 .

153. اعداد داده شده در تی-ary system، ترجمه به qسیستم -ic (با عبور از سیستم اعشاری).

الف) (3 7) 8 = ( ایکس) 3 ؛ ب) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( ایکس) 5 ؛ ج) (6 2) 11 = ( ایکس) 4 ;

د) (4) 12 = ( ایکس) نه . ه) (3 3 1 3 1) 5 = ( ایکس) 12 .

154. الف) اگر عدد (1 2 3) 5 در سمت راست به آن صفر اضافه شود چگونه تغییر می کند؟

ب) عدد (5 7 6) 8 اگر دو صفر در سمت راست به آن اضافه شود چگونه تغییر می کند؟

155. مراحل زیر را دنبال کنید:

الف) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4؛ ب) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; ج) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2 ;

د) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; ه) (4 7 6) 9 - (2 8 7) 9; f) (2 4 5 3) 7 - (1 6 4 5) 7 ;

g) (8 3) 12 - (5 7 9) 12; ح) (1 7 5) 11 - ( 6) 11 ; i) (3 6 4 0 1) 7 - (2 6 6 6 3) 7 ;

j) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2 ; k) (7 4 1) 8 × (2 6) 8; m) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8;

m) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; o) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; n) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;

p) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; ج) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; t)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2: (1 0 1 0 1) 2

y) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; f) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6 ; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9: (7 6 4 2) 9 .

v) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8; h) (1 1 1 1) 3 - (2 1 2) 3; w) (1 2 7) 12 + (9 1 3 5 ) 12b" × ب 1 سپس:

من اگر مخرج ب = ب"(فقط حاوی "2" و/یا "5" است) - سپس کسری به تبدیل می شود نهاییکسر اعشاری تعداد ارقام اعشار برابر با کوچکترین عدد طبیعی است ل لº 0( mod b").

II اگر مخرج ب = ب 1(شامل "2" و "5" نیست)، سپس کسری به تبدیل می شود بی نهایت صرفا دوره ایبرابر با کوچکترین عدد طبیعی است ک، مقایسه رضایت بخش 10 کº 1( mod b 1).

III اگر مخرج ب = ب"× ب 1 (شامل "2" و / یا "5"، و همچنین سایر عوامل اول)، سپس کسری به دوره ای مخلوط بی نهایتده-

تیک کسری

طول دوره برابر با کوچکترین عدد طبیعی است ک، مقایسه رضایت بخش 10 کº 1( mod b 1).

طول دوره پیش دوره برابر با کوچکترین عدد طبیعی است ل، مقایسه رضایت بخش 10 لº 0( mod b").

9. 2. یافته ها

9. 3. توجه داشته باشید که:

یک عدد گویا هر کسری اعشاری متناهی یا کسری اعشاری متناوب نامتناهی است.

عدد گنگهر کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی است.

وظایف معمولی

1. این کسرهای رایج که در سیستم اعشاری نوشته می شوند، تبدیل به

اعشاری، قبلابا تعیین نوع کسر مورد نظر (متناهی یا نامتناهی؛ دوره ای یا غیر تناوبی؛ اگر - دوره ای، پس دوره ای کاملاً تناوبی یا مخلوط)؛ در موارد اخیر از قبل پیدا کنیدعدد ک- طول دوره و تعداد لطول دوره پیش است. یک)؛ 2)؛ 3).

تصمیم گیری

1) کسر = مخرج - عدد ب= 80 = 2 4 × 5 فقط شامل "2" و "5" است. بنابراین، این کسر تبدیل به نهاییکسر اعشاری تعداد ارقام اعشار من نامتعیین شده از شرط: 10 لº0 (mod80):

2) کسر = مخرج - عدد ب= 27 = 3 3 حاوی "2" و "5" نیست. بنابراین این کسر به بی نهایت تبدیل می شود صرفا دوره ایکسر اعشاری طول دوره ک نامتعیین شده از شرط: 10 کº1 (mod27):

3) کسر = مخرج - عدد ب= 24 = 2 3 × 3، یعنی به نظر می رسد: ب = ب"× ب 1 (به جز "2" یا "5" حاوی عوامل دیگری است، در این مورد عدد 3). بنابراین این کسر به بی نهایت تبدیل می شود دوره ای مخلوطکسر اعشاری طول دوره ک نامتعیین شده از شرط: 10 کº1 (mod3)، از آنجا ک نام= 1، یعنی طول دوره ک= 1. طول قبل از دوره من نامتعیین شده از شرط: 10 لº0 (mod8)، از آنجا من نام= 3، یعنی طول دوره پیش ل = 3.

بررسی کنید: "گوشه" 5 را بر 24 تقسیم کنید و به دست آورید: = 0، 208 (3).

پاسخ: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).

تمریناتی برای کار مستقل

156. این کسرهای معمولی که در سیستم اعشاری نوشته می شوند به کسری اعشاری تبدیل می شوند. اگر اعشار تناوبی باشد، پس قبلاشماره را پیدا کنید ک- طول دوره و تعداد ل- طول دوره پیش دوره.

157. این کسرهای معمولی که در سیستم اعشاری نوشته می شوند، تبدیل به تیکسرهای سیستماتیک آری اعداد را پیدا کنید ک- طول دوره و ل- طول دوره پیش دوره.

158*. در چه سیستم اعدادی عدد (4 6) 10 به همان اعداد نوشته می شود اما در

به صورت برعکس؟

159*. کدام بزرگتر است: واحد رقم 8 در سیستم باینری یا واحد رقم 4 در سیستم هشتی؟

§ 10. قضیه پاسکال. نشانه های تقسیم پذیری

اطلاعات اولیه از نظریه

10. 1. قضیه پاسکال (1623 – 1662).

داده می شود اعداد صحیح: t > 1و n که در سیستم t-ary نوشته شده است:

,جایی که a i اعداد هستند: a iÎ N، 0 £ یک من £ تی–1 (من = 0,1, 2,…, ک), تیÎ N، t > 1.

بگذار باشد n= (a k a k - 1 … آ 1 آ 0) 10 = یک ک× 10 ک +یک ک - 1×10 k- 1 +…+آ 1×10+ آ 0 , متر=3 و متر = 9.

1) پیدا کنید b i: مدولm = 3 مدولm = 9

10 0 º1 (mod3)، یعنی. ب 0 = 1، 10 0 º1 (mod9)، یعنی. ب 0 =1,

10 1 º1 (mod3)، یعنی. ب 1 = 1، 10 1 º1 (mod9)، یعنی. ب 1 =1,

10 2 º1 (mod3)، یعنی. ب 2 = 1، 10 2 º1 (mod9)، یعنی. ب

حلقه باقیمانده مدول nنشان دادن یا . گروه ضربی آن، مانند حالت کلی گروه‌های عناصر معکوس حلقه‌ها، نشان داده می‌شود. ∗ × × .

ساده ترین مورد

برای درک ساختار گروه، می‌توان یک مورد خاص را در نظر گرفت که عدد اول است و آن را تعمیم داد. ساده ترین حالت را در نظر بگیرید که .

قضیه: - گروه حلقوی.

مثال : یک گروه را در نظر بگیرید

= (1،2،4،5،7،8) مولد گروه عدد 2 است. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ همانطور که می بینید، هر عنصر گروه را می توان به صورت , Where نشان داد ≤ℓφ . یعنی گروه چرخه ای است.

مورد عمومی

برای در نظر گرفتن حالت کلی، لازم است یک ریشه اولیه تعریف شود. یک مدول ریشه ابتدایی a اول عددی است که همراه با کلاس باقیمانده خود باعث ایجاد یک گروه می شود.

مثال ها: 2 11 ; 8 - مدول ریشه اولیه 11 ; 3 ریشه مدولای اولیه نیست 11 .

در مورد یک ماژول کامل، تعریف یکسان است.

ساختار گروه با قضیه زیر مشخص می شود: اگر p یک عدد اول فرد و l یک عدد صحیح مثبت باشد، ریشه های اولیه مدول، یعنی یک گروه حلقوی وجود دارد.

مثال

سیستم کاهش یافته مدول باقیمانده از کلاس های باقی مانده تشکیل شده است: . با توجه به ضرب تعریف شده برای کلاس های باقیمانده، آنها یک گروه را تشکیل می دهند، علاوه بر این، و متقابلا معکوس هستند (یعنی ⋅ ) و برعکس خودشان هستند.

ساختار گروه

ورودی به معنای "گروه چرخه ای از مرتبه n" است.

ساختار گروه (Z/ nز) ×

	×	φ	λ	مولد گروه		×	φ	λ	مولد گروه		×	φ	λ	مولد گروه		×	φ	λ	مولد گروه
1	C1	1	1	0	33	C2×C10	20	10	2, 10	65	C4×C12	48	12	2, 12	97	C96	96	96	5
2	C1	1	1	1	34	ج 16	16	16	3	66	C2×C10	20	10	5, 7	98	C42	42	42	3
3	C2	2	2	2	35	C2×C12	24	12	2, 6	67	C66	66	66	2	99	C2×C30	60	30	2, 5
4	C2	2	2	3	36	C2×C6	12	6	5, 19	68	C2×C16	32	16	3, 67	100	C2×C20	40	20	3, 99
5	C4	4	4	2	37	ج 36	36	36	2	69	C2×C22	44	22	2, 68	101	C 100	100	100	2
6	C2	2	2	5	38	ج 18	18	18	3	70	C2×C12	24	12	3, 69	102	C2×C16	32	16	5, 101
7	C6	6	6	3	39	C2×C12	24	12	2, 38	71	C70	70	70	7	103	ج 102	102	102	5
8	C2×C2	4	2	3, 5	40	C2×C2×C4	16	4	3, 11, 39	72	C2×C2×C6	24	6	5, 17, 19	104	C2×C2×C12	48	12	3, 5, 103
9	C6	6	6	2	41	C40	40	40	6	73	C72	72	72	5	105	C2×C2×C12	48	12	2, 29, 41
10	C4	4	4	3	42	C2×C6	12	6	5, 13	74	ج 36	36	36	5	106	ج 52	52	52	3
11	ج 10	10	10	2	43	C42	42	42	3	75	C2×C20	40	20	2, 74	107	ج 106	106	106	2
12	C2×C2	4	2	5, 7	44	C2×C10	20	10	3, 43	76	C2×C18	36	18	3, 37	108	C2×C18	36	18	5, 107
13	ج 12	12	12	2	45	C2×C12	24	12	2, 44	77	C2×C30	60	30	2, 76	109	ج 108	108	108	6
14	C6	6	6	3	46	ج 22	22	22	5	78	C2×C12	24	12	5, 7	110	C2×C20	40	20	3, 109
15	C2×C4	8	4	2, 14	47	C46	46	46	5	79	C78	78	78	3	111	C 2×C 36	72	36	2, 110
16	C2×C4	8	4	3, 15	48	C2×C2×C4	16	4	5, 7, 47	80	C2×C4×C4	32	4	3, 7, 79	112	C2×C2×C12	48	12	3, 5, 111
17	ج 16	16	16	3	49	C42	42	42	3	81	ج 54	54	54	2	113	ج 112	112	112	3
18	C6	6	6	5	50	ج 20	20	20	3	82	C40	40	40	7	114	C2×C18	36	18	5, 37
19	ج 18	18	18	2	51	C2×C16	32	16	5, 50	83	C82	82	82	2	115	C 2× C 44	88	44	2, 114
20	C2×C4	8	4	3, 19	52	C2×C12	24	12	7, 51	84	C2×C2×C6	24	6	5, 11, 13	116	C2×C28	56	28	3, 115
21	C2×C6	12	6	2, 20	53	ج 52	52	52	2	85	C4×C16	64	16	2, 3	117	C6×C12	72	12	2, 17
22	ج 10	10	10	7	54	ج 18	18	18	5	86	C42	42	42	3	118	ج 58	58	58	11
23	ج 22	22	22	5	55	C2×C20	40	20	2, 21	87	C2×C28	56	28	2, 86	119	C 2×C 48	96	48	3, 118
24	C2×C2×C2	8	2	5, 7, 13	56	C2×C2×C6	24	6	3, 13, 29	88	C2×C2×C10	40	10	3, 5, 7	120	C2×C2×C2×C4	32	4	7, 11, 19, 29
25	ج 20	20	20	2	57	C2×C18	36	18	2, 20	89	ج 88	88	88	3	121	C 110	110	110	2
26	ج 12	12	12	7	58	ج 28	28	28	3	90	C2×C12	24	12	7, 11	122	C60	60	60	7
27	ج 18	18	18	2	59	ج 58	58	58	2	91	C6×C12	72	12	2, 3	123	C2×C40	80	40	7, 83
28	C2×C6	12	6	3, 13	60	C2×C2×C4	16	4	7, 11, 19	92	C2×C22	44	22	3, 91	124	C2×C30	60	30	3, 61
29	ج 28	28	28	2	61	C60	60	60	2	93	C2×C30	60	30	11, 61	125	C 100	100	100	2
30	C2×C4	8	4	7, 11	62	ج 30	30	30	3	94	C46	46	46	5	126	C6×C6	36	6	5, 13
31	ج 30	30	30	3	63	C6×C6	36	6	2, 5	95	C 2×C 36	72	36	2, 94	127	ج 126	126	126	3
32	C2×C8	16	8	3, 31	64	C2×C16	32	16	3, 63	96	C2×C2×C8	32	8	5, 17, 31	128	C 2×C 32	64	32	3, 127

کاربرد

در سختی، مزرعه، هولی، . وارینگ قضیه ویلسون را فرموله کرد و لاگرانژ آن را ثابت کرد. اویلر وجود ریشه های اولیه را مدول یک عدد اول پیشنهاد کرد. گاوس آن را ثابت کرد. آرتین فرضیه خود را در مورد وجود و کمی سازی مدول اعداد اول مطرح کرد که یک عدد صحیح داده شده یک ریشه اولیه است. بروور به مطالعه مسئله وجود مجموعه‌های اعداد صحیح متوالی کمک کرد که هر یک از آن‌ها مدول توان kth p هستند. بیلهارتز مشابه حدس آرتین را ثابت کرد. هولی حدس آرتین را با این فرض اثبات کرد که فرضیه بسط یافته ریمان در فیلدهای اعداد جبری معتبر است.

یادداشت

ادبیات

ایرلند ک.، روزن ام.معرفی کلاسیک به نظریه مدرنشماره. - م.: میر، 1366.
Alferov A.P.، Zubov A.Yu.، Kuzmin A.S. چرموشکین A.V.مبانی رمزنگاری - مسکو: "Helios ARV"، 2002.
روستوفتسف A.G.، Makhovenko E.B.رمزنگاری نظری - سنت پترزبورگ: NPO "Professional"، 2004.

با توجه به خاصیت مقایسه شماره 15، اعداد مدول کلاس یکسان متربا ماژول داشته باشید مترهمان NOD کلاس هایی که برای آنها برابر با 1 است اهمیت ویژه ای دارند.

با گرفتن یک عدد از هر یک از این کلاس ها، به دست می آوریم کاهش سیستم کسوراتمدول متر. معمولاً از سیستم مدول باقیمانده حداقل غیرمنفی جدا می شود متر.

سیستم کاهش یافته مدول باقیمانده حداقل غیر منفی مترنشان داده شده به U متر.

تعداد اعداد در سیستم کاهش یافته مدول باقیمانده متر، بدیهی است که برابر با φ( متر).

مثال:

سیستم کاهش یافته مدول باقیمانده 15 (1؛ 2؛ 4؛ 7؛ 8؛ 11؛ 13؛ 14) است. توجه داشته باشید که φ(15)=(5-1)∙(3-1)= 8 و در واقع، دقیقاً 8 عنصر در سیستم کاهش یافته باقیمانده مدول 15 وجود دارد.

بیانیه 1

هر φ( متر) اعداد به صورت زوجی مدول غیر قابل مقایسه مترو coprime با متر، یک سیستم کاهش یافته از باقی مانده ها را تشکیل می دهند.

(اثبات در بیانیه 1 نکته 2 واضح است)

بیانیه 2

اگر یک ( آ, متر) = 1, ایکساز طریق سیستم کاهش یافته مدول باقیمانده اجرا می شود متر، سپس تبرهمچنین از طریق سیستم کاهش یافته مدول باقی مانده اجرا می شود متر. (اثبات مطابق بیانیه 2 نکته 2 واضح است).

عنصر معکوس

عنصر گفته می شود به بتماس گرفت معکوسبه آمدول متر، اگر a∙b≡1(Mod متر) و بنویس ب ≡ آ-1 (Mod متر).

به طور کلی، نظریه اعداد کلاسیک به چنین مفهومی به عنوان یک عنصر معکوس نیاز ندارد، که می توان آن را با خواندن، به عنوان مثال، با. با این حال، رمزنگاری از سیستم‌های باقیمانده هم در جنبه‌های نظری اعداد و هم در جنبه جبری استفاده می‌کند و بنابراین، برای سهولت ارائه مبانی جبری رمزنگاری، مفهوم عنصر معکوس را معرفی می‌کنیم.

این سوال مطرح می شود که آیا برای همه عناصر مدول متریک معکوس (با ضرب) وجود دارد، و اگر برای برخی از عناصر معکوس وجود داشته باشد، چگونه آن را پیدا کنیم؟

برای پاسخ به این سوال از الگوریتم اقلیدس توسعه یافته استفاده می کنیم. ابتدا اعداد همزمان اول را در نظر بگیرید آو ماژول متر. سپس، بدیهی است، آ,متر)=1. الگوریتم اقلیدس توسعه یافته به شما امکان می دهد اعداد را بدست آورید ایکسو y، به طوری که تبر + من =(آ,متر)، یا، که همان است، تبر + من=1. از آخرین عبارت مقایسه را دریافت می کنیم تبر + من≡1(Mod متر). تا جایی که من≡0(Mod متر)، سپس تبر≡1(Mod متر) یعنی عددی که با استفاده از الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته به دست می آید ایکسفقط عنصر معکوس مورد نظر نسبت به عدد است آمدول متر.

مثال.

آ=5, متر=7. می خواست پیدا کند آ-1 مد متر.

بیایید از الگوریتم اقلیدس توسعه یافته استفاده کنیم.

حرکت معکوس:

1=5–2∙2=5–(7–5∙1)∙2=5∙3–7∙2.

ایکس=3, y=–2.

5 -1 ≡3 (Mod 7)

بررسی کنید: 5∙3=15. 15≡1 (Mod 7).

در واقع، 3 معکوس 5 مدول 7 است.

بنابراین، به روشی سازنده، ما متقاعد شدیم که برای اعدادی که با مدول همزمان هستند، یک مدول معکوس این وجود دارد. و آیا عناصر معکوس برای اعدادی که هم اول با مدول نیستند وجود دارد؟

بگذار ( آ,متر)=د≠1. سپس a و m را می توان به صورت نمایش داد آ=د∙آ 1 , متر=د∙متریکی . فرض کنید برای a یک عنصر معکوس مدول m وجود دارد، یعنی ب: آ∙ب≡1(Mod متر). سپس آ∙b=m∙ک+1. یا همان چیست، د∙آ 1 ∙b=d∙متر 1 ∙ک+1. اما پس از آن، با قضیه 2 از §1 مورد 1، به دلیل این واقعیت است که هر دو سمت چپ این معادله و جمله اول در سمت راست بر د، سپس د\1، که درست نیست زیرا د≠1. ما به تناقض رسیده ایم، بنابراین فرض وجود عنصر معکوس نادرست است.

به طور خاص، (p a) = p a - p a-1، (p) = p-1 خواهیم داشت.

مثال ها. (60) = 60

(81) = 81-27 = 54

تابع ضربی

تابع (a) در صورتی ضرب نامیده می شود که دو شرط زیر را داشته باشد:

این تابع برای همه اعداد صحیح مثبت a تعریف شده است و برای حداقل یکی از آنها غیر صفر است.

برای هر نتیجه مثبت 1 و 2 داریم:

(a 1 a 2) = (a 1) (a 2) .

مفاهیم اساسی تئوری مقایسه

ویژگی های مقایسه

ما اعداد صحیح را در ارتباط با باقیمانده‌ها پس از تقسیم آن‌ها بر یک عدد صحیح مثبت m که مدول می‌نامیم، در نظر می‌گیریم.

هر عدد صحیح پس از تقسیم آن بر m با باقیمانده معینی مطابقت دارد. اگر دو عدد صحیح a و b با یک باقیمانده r مطابقت داشته باشند، آن‌ها مدول معادل m نامیده می‌شوند.

قابلیت مقایسه اعداد a و b مدول m نوشته شده است:

مقایسه اعداد a و b مدول m برابر است با:

امکان نمایش a به صورت a = b + mt که t یک عدد صحیح است.

بخش پذیری b بر m

در واقع، از a b (mod m) آن را دنبال می کند

a = mq + r، b = mq 1 + r، 0<= r

از آنجا a - b \u003d m (q - q 1)، a \u003d b + mt، t \u003d q - q 1.

برعکس، از a = b + mt، نشان دهنده b به عنوان

b = mq 1 + r , 0<=r

ما a = mq + r، q = q 1 + t را استخراج می کنیم، یعنی. a b (mod m).

هر دو ادعا ثابت شده است.

دو عدد که با عدد سوم قابل مقایسه هستند با یکدیگر قابل مقایسه هستند.

مقایسه ها را می توان ترم به ترم اضافه کرد.

در واقع، اجازه دهید

A 1 b 1 (mod m) , a 2 b 2 (mod m) , …, a k b k (mod m) (1).

سپس a 1 = b 1 + mt 1، a 2 = b 2 + mt 2، …، a k = b k + mt k (2)،

از آنجایی که a 1 + a 2 + ... + a k = b 1 + b 2 + ... + b k + m (t 1 + t 2 + ... + t k)، یا

a 1 + a 2 + … + a k b 1 + b 2 + … + b k (mod m).

مقایسه ها را می توان ترم به ترم ضرب کرد.

(1) و (2) را در نظر بگیرید. با ضرب برابری های (2) ترم در ترم، به دست می آوریم:

a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k + mN،

که در آن N یک عدد صحیح است.

از این رو: a 1 a 2 …ak b 1 b 2 …b k (mod m).

هر دو بخش مقایسه را می توان به یک قدرت افزایش داد.

هر دو بخش مقایسه را می توان در یک عدد صحیح ضرب کرد.

در واقع، با ضرب مقایسه a b (mod m) با مقایسه آشکار k k (mod m)، ak bk (mod m) را به دست می آوریم.

هر دو بخش مقایسه را می توان با مقسوم علیه مشترک آنها تقسیم کرد اگر دومی نسبتاً اول نسبت به مدول باشد.

در واقع، از a b (mod m)، a \u003d a 1 d، b \u003d b 1 d، (d، m) \u003d 1، نتیجه می شود که تفاوت a - b برابر است با (a 1 - b 1) d، بر m بخش پذیر است، یعنی a 1 b 1 (mod m).

کسر. سیستم های کسر کامل و کاهش یافته

اعداد مساوی، یا همان مدول m قابل مقایسه، کلاسی از اعداد مدول m را تشکیل می دهند.

از این تعریف نتیجه می شود که همان باقیمانده r مربوط به همه اعداد کلاس است و اگر q را روی همه اعداد صحیح به شکل mq + r اجرا کنیم، همه اعداد کلاس را به دست می آوریم.

با توجه به m مقادیر مختلف r، کلاس های m از اعداد مدول m داریم.

هر عدد از یک کلاس را با توجه به تمام اعداد یک کلاس، مدول باقیمانده m می نامند. باقی مانده به دست آمده در q = 0، برابر با باقیمانده r خود، کوچکترین باقیمانده غیر منفی نامیده می شود.

با گرفتن یک باقیمانده از هر کلاس، یک سیستم کامل از باقیمانده های مدول m بدست می آوریم. اغلب، از کوچکترین باقیمانده های غیر منفی 0، 1، ...، m-1 یا کاملاً کوچکترین باقیمانده ها به عنوان یک سیستم کامل از باقیمانده ها استفاده می شود. دومی، همانطور که از مطالب بالا بر می آید، در مورد m فرد در کنار نشان داده می شود

1, 0, 1, ...,

و در صورت زوج m توسط هر یک از دو ردیف

1, 0, 1, ...,

1, 0, 1, ..., .

هر عدد m که به صورت زوجی مدول m غیرقابل مقایسه باشد یک سیستم کامل از باقیمانده های مدول m را تشکیل می دهد.

در واقع، از آنجایی که این اعداد غیر قابل مقایسه هستند، بنابراین به طبقات مختلف تعلق دارند، و از آنجایی که m از آنها وجود دارد، یعنی. به تعداد کلاس‌ها، هر کلاس احتمالاً شامل یک عدد خواهد بود.

اگر (a, m) = 1 و x از طریق سیستم کامل باقیمانده‌های مدول m بگذرد، ax + b که b هر عدد صحیحی است، نیز از طریق سیستم کامل باقیمانده‌ها مدول m می‌گذرد.

در واقع، تعداد ax + b به تعداد x وجود خواهد داشت، یعنی. متر طبق ادعای قبلی، بنابراین، فقط باید نشان دهیم که هر دو عدد ax 1 + b و ax 2 + b مربوط به x 1 و x 2 غیرقابل مقایسه، خود مدول m غیرقابل مقایسه خواهند بود.

اما با فرض اینکه ax 1 + b ax 2 + b (mod m) به مقایسه ax 1 = ax 2 (mod m) می رسیم، از این رو، به دلیل (a, m) = 1، به دست می آوریم.

x 1 x 2 (mod m),

که با فرض غیرقابل مقایسه بودن اعداد x 1 و x 2 در تناقض است.

اعداد مدول m یک کلاس دارای بزرگترین مقسوم علیه مشترک با مدول هستند. به ویژه کلاس هایی که این مقسوم علیه برابر با یک است، مهم هستند. کلاس های حاوی اعداد با مدول همزمان می شوند.

با گرفتن یک باقیمانده از هر کلاس، سیستم کاهش یافته باقیمانده مدول m را به دست می آوریم. بنابراین، سیستم کاهش یافته باقیمانده ها را می توان از اعداد سیستم کامل، همزمان با مدول، کامپایل کرد. معمولاً سیستم کاهش یافته باقیمانده ها از سیستم کوچکترین باقیمانده های غیر منفی جدا می شود: 0، 1، ...، m-1. از آنجایی که در بین این اعداد، عدد هم اول با m (m) است، پس تعداد اعداد سیستم کاهش یافته و همچنین تعداد کلاس های حاوی اعداد هم اول با مدول (m) است.

مثال. سیستم کاهش یافته مدول باقیمانده 42 1، 5، 11، 13، 17، 19، 23، 25، 29، 31، 37، 41 خواهد بود.

هر عدد (m) که به صورت جفتی مدول m غیرقابل مقایسه و نسبتاً اول نسبت به مدول باشد، یک سیستم کاهش یافته از باقیمانده های مدول m را تشکیل می دهد.

در واقع، از آنجایی که این اعداد غیرقابل مقایسه و همزمان با مدول هستند، بنابراین به کلاس‌های مختلفی تعلق دارند که شامل اعداد همزمان با مدول هستند، و از آنجایی که (m) آنها، یعنی. به هر تعداد کلاس هایی از نوع مشخص شده وجود داشته باشد، هر کلاس احتمالاً دارای یک عدد خواهد بود.

اگر (a, m) = 1 و x از مدول m سیستم باقیمانده کاهش‌یافته عبور کند، آنگاه ax نیز از مدول m سیستم باقیمانده کاهش‌یافته عبور می‌کند.

در واقع، به تعداد x تعداد ax وجود خواهد داشت، یعنی. (متر). با توجه به ویژگی قبلی، بنابراین، فقط نشان می دهد که اعداد ax modulo m غیرقابل مقایسه و همزمان با مدول هستند. مورد اول از خاصیت مقایسه‌ها (اگر مقایسه مدول m انجام شود، مدول d برابر با هر مقسوم‌کننده m نیز رخ می‌دهد) برای اعداد یک شکل کلی‌تر ax + b، در حالی که دومی از (a، m) = 1، (x، m) = 1.

قضایای اویلر و فرما

قضیه اویلر (2.5.3.1).

برای m>1 و (a, m) = 1 یک (m) 1 (mod m) داریم.

اثبات در واقع، اگر x از سیستم کاهش یافته باقیمانده ها عبور کند

x = r 1 , r 2 , ..., r c ; c = (m)،

متشکل از کوچکترین باقیمانده های غیر منفی، سپس کوچکترین باقیمانده های غیر منفی 1، 2، ...، از اعداد تبر از طریق یک سیستم عبور می کنند، اما به طور کلی، به ترتیب متفاوتی (1).

ضرب مقایسه های ترم به ترم

ar 1 1 (mod m)، ar 2 2 (mod m)، ...، ar c c (mod m)،

ما یک c 1 (mod m) دریافت می کنیم.

قضیه فرما (2.5.3.2).

برای p اول و a غیر قابل تقسیم بر p، داریم

a p-1 1 (mod p). (2)

اثبات این قضیه نتیجه قضیه اویلر برای m = p است. قضیه فرما را می توان با ضرب هر دو طرف مقایسه (2) در a شکل راحت تری داد، مقایسه a p a (mod p) را بدست می آوریم، که از قبل برای همه اعداد صحیح a معتبر است، زیرا برای مضربی از نیز صادق است. پ. قضیه ثابت شده است.

قضیه (2.5.3.3). اگر n = pq، (p و q اعداد اول متمایز هستند)، آنگاه (n) = (p-1) (q-1).

قضیه (2.5.3.4). اگر n = pq، (p و q اعداد اول متمایز هستند) و x نسبت به p و q اول باشد، x(n) = 1 (mod n).

در پاراگراف قبل ذکر شد که نسبت  مترمدول مقایسه متریک رابطه هم ارزی روی مجموعه اعداد صحیح است. این رابطه هم ارزی باعث تقسیم مجموعه اعداد صحیح به کلاس هایی از عناصر معادل می شود، به عنوان مثال. اعداد در یک کلاس ترکیب می‌شوند و وقتی بر آن تقسیم می‌شوند، ارائه می‌شوند مترهمان باقی مانده ها تعداد کلاس های هم ارزی  متر(کارشناسان خواهند گفت - "شاخص هم ارزی  متر") دقیقا برابر است با متر.

تعریف.هر عددی از کلاس هم ارزی  مترمدول باقیمانده نامیده می شود متر. مجموعه ای از باقیمانده ها از هر کلاس معادل  یک عدد گرفته می شود متر، سیستم کامل مدول باقیمانده نامیده می شود متر(بنابراین در سیستم کامل باقیمانده ها در مجموع m عدد اعداد وجود دارد). مستقیماً خود باقیمانده ها وقتی تقسیم بر مترکم‌ترین باقیمانده‌های غیرمنفی نامیده می‌شوند و البته یک سیستم کامل از مدول باقیمانده را تشکیل می‌دهند. متر. کسر ρ مطلقا حداقل نامیده می شود اگر ⎪ ρ ⎪ کوچکترین در بین ماژول های باقیمانده کلاس داده شده.

مثال: اجازه بده متر= 5. سپس:

0، 1، 2، 3، 4 - کوچکترین باقی مانده های غیر منفی.

2، -1، 0، 1، 2 مطلقاً کوچکترین باقیمانده ها هستند.

هر دو مجموعه کاهش یافته اعداد سیستم های کاملی از باقیمانده های مدول 5 را تشکیل می دهند.

لم 1. 1) هر مترقطعات جفتی از نظر مدول قابل مقایسه نیستند متراعداد یک سیستم کامل از مدول باقیمانده را تشکیل می دهند متر.

2) اگر آو متر coprime، و ایکساز طریق سیستم کامل مدول باقیمانده اجرا می شود متر، سپس مقادیر فرم خطی آایکس + ب، جایی که ب- هر عدد صحیح، همچنین از طریق سیستم کامل مدول باقیمانده اجرا شود متر.

اثباتادعای 1) بدیهی است. اجازه دهید ادعای 2) اعداد را اثبات کنیم آایکس+بصاف مترچیزها اجازه دهید نشان دهیم که آنها با یکدیگر قابل مقایسه نیستند متر. خوب اجازه دهید برای برخی متفاوت است ایکس 1 و ایکس 2 از سیستم کامل کسر معلوم شد که تبر 1 + ب ≡ تبر 2 + ب(mod m). سپس، با ویژگی های مقایسه های پاراگراف قبل، به دست می آوریم:

تبر 1 ≡ تبر 2 (Mod متر)

ایکس 1 ≡ ایکس 2 (Mod متر)

- تناقض با چیست ایکس 1 و ایکس 2 متفاوت هستند و از سیستم کامل کسورات گرفته شده اند.

از آنجایی که همه اعداد از کلاس هم ارزی داده شده  متراز یک عدد از یک کلاس معین با جمع کردن عددی که مضرب است به دست می آیند متر، سپس همه اعداد از این کلاس دارای مدول هستند مترهمان بزرگترین مقسوم علیه مشترک به دلایلی، بقایایی که با ماژول وجود دارد، مورد توجه بیشتر قرار می گیرند متربزرگترین مقسوم علیه مشترک برابر با یک، یعنی. باقیمانده هایی که نسبتاً اول به مدول هستند.

تعریف.سیستم کاهش یافته مدول باقیمانده مترمجموعه ای از تمام باقی مانده های سیستم کامل همزمان با مدول است متر.

سیستم کاهش یافته معمولا از کوچکترین باقیمانده های غیر منفی انتخاب می شود. واضح است که سیستم کاهش مدول باقی مانده است مترشامل ϕ (متر) تکه های باقی مانده، که در آن ϕ (متر) تابع اویلر است، تعداد اعداد کمتر از مترو coprime با متر.

تابع اویلر

تابع اویلر ϕ (آ) تعداد اعداد از سری 0، 1، 2،...، آ-1 coprime با آ.

لمابگذار باشد

تی
چه زمانی:

به طور خاص، φ( پ α) = پ α – پα -1، φ( پ) = پ–1.

مثال. بگذار باشد متر= 42. سپس سیستم کاهش یافته باقی مانده است:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

لم 2. 1) هر ϕ (متر) اعدادی که به صورت زوجی مدول غیر قابل مقایسه هستند مترو نسبتاً اول به مدول، یک سیستم کاهش یافته از مدول باقی مانده را تشکیل می دهند متر.

2) اگر د(آ, متر) = 1 و ایکساز طریق سیستم کاهش یافته مدول باقیمانده اجرا می شود متر، سپس آایکسهمچنین از طریق سیستم کاهش یافته مدول باقی مانده اجرا می شود متر.

اثبات. ادعای 1) بدیهی است. اجازه دهید ادعای 2 را ثابت کنیم). شماره آایکسبه صورت زوجی غیرقابل مقایسه هستند (این به همان روشی که در لمای 1 این بخش ثابت شده است) دقیقاً وجود دارد ϕ (متر) چیزها همچنین واضح است که همه آنها نسبتاً اول به ماژول هستند، زیرا د(آ, متر)=1, د(ایکس,متر)=1 ⇒ د(تبر, متر)=1. بنابراین اعداد آایکسسیستم کاهش یافته کسرها را تشکیل می دهند.

لم 3.بگذار باشد متر 1 ، م 2 ، ...، م ک به صورت جفتی coprime و متر 1 متر 2 ... متر ک = م 1 متر 1 = م 2 متر 2 =...= م ک متر ک ، جایی که م j = متر 1 ... متر j -1 متر j +1 ... متر ک

1) اگر ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس ک اجرا از طریق سیستم های کامل مدول باقی مانده متر 1 ، م 2 ، ...، م ک م 1 ایکس 1 +M 2 ایکس 2 +... + م ک ایکس ک از طریق سیستم کامل مدول باقیمانده اجرا شود m=m 1 متر 2 ... متر ک .

2) اگر ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ ک اجرا از طریق سیستم های کاهش یافته از مدول باقی مانده متر 1 ، م 2 ، ...، م کبه ترتیب، سپس مقادیر فرم خطی م 1 ξ 1 +M 2 ξ 2 +... + م ک ξ کاز طریق سیستم کاهش یافته مدول باقیمانده اجرا شود m=m 1 متر 2 ... متر ک .

لم 4.بگذار باشد ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس ک ، ایکساز طریق آنهایی که کامل، و ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ ک , ξ از طریق سیستم های کاهش یافته باقیمانده در مدول اجرا می شود متر 1 ، م 2 ،...، م ک و m=m 1 متر 2 ... متر ک به ترتیب، در کجا (م من متر j )=1 در من≠ j. سپس کسری (ایکس 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x ک /m ک } مطابقت با کسری (x/m)، و کسرها { ξ 1 /m 1 + ξ 2 /m 2 +...+ ξ ک /m ک } مطابقت با کسری { ξ /m).

با نشان دادن ε ک کریشه -ام m-ای درجه از وحدت:

اینجا ک=0,1,...,متر-1 - از طریق سیستم کامل مدول باقیمانده اجرا می شود متر.

اجازه دهید یادآوری کنم که مجموع ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 همه ریشه ها مترتوان واحد برای هر کدام صفر است متر. در واقع، اجازه دهید ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 = a. این مقدار را در یک عدد غیر صفر ضرب کنید ε یکی . چنین ضربی از نظر هندسی در صفحه مختلط به معنای چرخش صحیح است متر-gon که در رأس آن ریشه ε است 0 + ε 1 +...+ ε m-1، به یک زاویه غیر صفر 2 π /m. واضح است که در این مورد ریشه ε 0 به ریشه ε می رود 1 ، ریشه ε 1 به ریشه ε می رود 2 و غیره و ریشه ε m-1به ریشه ε می رود 0 ، یعنی مجموع ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 تغییر نخواهد کرد. ما ε داریم 1 a=a، جایی که a=0.

قضیه 1.بگذار باشد m>0یک عدد صحیح است، آ ز, ایکساز طریق سیستم کامل مدول باقیمانده اجرا می شود متر. سپس اگر آچندگانه متر، سپس

در غیر این صورت، چه زمانی آچندگانه نیست متر,

قضیه 2.بگذار باشد m>0یک عدد صحیح است، ξ از سیستم کاهش یافته مدول باقیمانده عبور می کند متر. سپس (مجموع ریشه های اولیه درجه متر):

کجا μ( متر) تابع موبیوس است.