چگونه تفاوت یک پیشرفت حسابی را پیدا کنیم. مجموع یک تصاعد حسابی. فرمول های اساسی پیشرفت حسابی

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که به شدت "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی...")

فرمول بسیار مفید! به شما امکان می دهد تا به سرعت و به راحتی انواع مختلفی از وظایف را در پیشروی حسابی حل کنید. تسلط به آن منطقی است، درست است؟) در اینجا، این فرمول است:

a n = a 1 + (n-1)d

ماهیت فرمول چیست؟

این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هر با شماره او" n" .

البته باید ترم اول را بدانید یک 1و تفاوت پیشرفت دخوب، بدون این پارامترها، نمی توانید یک پیشرفت خاص را یادداشت کنید.

حفظ کردن (یا تقلب) این فرمول کافی نیست. لازم است جوهر آن را جذب کرد و فرمول را در مسائل مختلف به کار برد. بله، و در زمان مناسب فراموش نکنید، بله ...) چگونه فراموش نکن- نمی دانم. ولی چگونه به خاطر بسپاریمدر صورت نیاز به شما راهنمایی می کنم. برای کسانی که تا آخر درس را تسلط دارند.)

بنابراین، اجازه دهید با فرمول n-امین یک پیشروی حسابی بپردازیم.

به طور کلی فرمول چیست - ما تصور می کنیم.) پیشرفت حسابی، عدد عضو، اختلاف پیشروی چیست - در درس قبل به وضوح بیان شده است. اگر نخوانده اید نگاه کنید. آنجا همه چیز ساده است. باقی مانده است که بفهمیم چه چیزی نهمین عضو.

به طور کلی پیشرفت را می توان به صورت یک سری اعداد نوشت:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

یک 1- نشان دهنده اولین جمله یک پیشرفت حسابی است، یک 3- عضو سوم یک 4- چهارم و غیره. اگر به دوره پنجم علاقه مندیم، فرض کنیم که با آن کار می کنیم یک 5، اگر صد و بیستم - از یک 120.

چگونه به طور کلی تعریف کنیم هرعضو یک پیشرفت حسابی، s هرعدد؟ بسیار ساده! مثل این:

a n

همین است n-امین عضو یک پیشرفت حسابی.زیر حرف n همه اعداد اعضا به طور همزمان پنهان می شوند: 1، 2، 3، 4 و غیره.

و چنین رکوردی چه چیزی به ما می دهد؟ فقط فکر کن به جای عدد، یک نامه نوشتند...

این نماد یک ابزار قدرتمند برای کار با پیشرفت های حسابی به ما می دهد. با استفاده از نماد a n، ما می توانیم به سرعت پیدا کنیم هرعضو هرپیشرفت حسابی و مجموعه ای از کارها برای حل در حال پیشرفت. در ادامه خواهید دید.

در فرمول عضو n یک پیشرفت حسابی:

a n = a 1 + (n-1)d

یک 1- اولین عضو پیشروی حسابی؛

n- شماره عضو

فرمول پارامترهای کلیدی هر پیشرفتی را به هم مرتبط می کند: a n ; a 1 ; دو n. حول این پارامترها، تمام پازل ها در حال چرخش هستند.

از فرمول ترم n نیز می توان برای نوشتن یک پیشرفت خاص استفاده کرد. به عنوان مثال، در مسئله می توان گفت که پیشرفت با شرط داده می شود:

a n = 5 + (n-1) 2.

چنین مشکلی حتی می تواند گیج شود ... هیچ سری وجود ندارد، هیچ تفاوتی وجود ندارد ... اما، با مقایسه شرایط با فرمول، به راحتی می توان فهمید که در این پیشرفت a 1 \u003d 5 و d \u003d 2.

و حتی می تواند عصبانی تر باشد!) اگر همین شرط را در نظر بگیریم: a n = 5 + (n-1) 2،بله، براکت ها را باز کنید و مشابه آن را بدهید؟ ما یک فرمول جدید دریافت می کنیم:

an = 3 + 2n.

آی تی فقط نه کلی، بلکه برای یک پیشرفت خاص. این همان جایی است که دام نهفته است. برخی از مردم فکر می کنند که ترم اول یک سه است. اگر چه در واقع اولین عضو پنج ... کمی پایین تر ما با چنین فرمول اصلاح شده کار خواهیم کرد.

در وظایف پیشرفت، نماد دیگری وجود دارد - یک n+1. حدس زدید این عبارت "n به اضافه اولین" پیشروی است. معنی آن ساده و بی ضرر است.) این عضوی از پیشروی است که تعداد آن از عدد n در یک بیشتر است. به عنوان مثال، اگر در برخی از مشکل ما برای a nترم پنجم، پس یک n+1ششمین عضو خواهد بود. و غیره.

اغلب تعیین یک n+1در فرمول های بازگشتی رخ می دهد. از این کلمه وحشتناک نترسید!) این فقط راهی برای بیان یک اصطلاح یک پیشرفت حسابی است. از طریق قبلیفرض کنید با استفاده از فرمول مکرر، یک پیشرفت حسابی به این شکل داده شده است:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

چهارم - از طریق سوم، پنجم - از طریق چهارم، و غیره. و چگونه فوراً بشماریم، بگوییم ترم بیستم، یک 20? اما به هیچ وجه!) در حالی که ترم 19 مشخص نیست، 20 ام قابل شمارش نیست. این تفاوت اساسی بین فرمول بازگشتی و فرمول ترم n است. بازگشتی فقط از طریق کار می کند قبلیترم، و فرمول ترم n - از طریق اولینو اجازه می دهد فوراهر عضوی را با شماره آن پیدا کنید. بدون شمارش کل سری اعداد به ترتیب.

در یک پیشرفت حسابی، یک فرمول بازگشتی به راحتی می تواند به یک فرمول معمولی تبدیل شود. یک جفت عبارت متوالی بشمارید، تفاوت را محاسبه کنید د،در صورت لزوم، اولین ترم را پیدا کنید یک 1فرمول را به شکل معمول بنویسید و با آن کار کنید. در GIA، چنین وظایفی اغلب یافت می شود.

استفاده از فرمول n-امین عضو یک پیشروی حسابی.

ابتدا به کاربرد مستقیم فرمول نگاه می کنیم. در پایان درس قبلی یک مشکل وجود داشت:

با توجه به پیشرفت حسابی (a n). اگر 1=3 و d=1/6 باشد عدد 121 را پیدا کنید.

این مشکل را می توان بدون هیچ فرمولی، به سادگی بر اساس معنای پیشروی حسابی حل کرد. اضافه کنید، بله اضافه کنید... یک یا دو ساعت.)

و طبق فرمول حل کمتر از یک دقیقه طول خواهد کشید. شما می توانید آن را زمان بندی کنید.) ما تصمیم می گیریم.

شرایط تمام داده ها را برای استفاده از فرمول فراهم می کند: a 1 \u003d 3، d \u003d 1/6.باید دید چه چیزی nمشکلی نیست! ما باید پیدا کنیم یک 121. در اینجا می نویسیم:

لطفا توجه کنید! به جای شاخص nیک عدد مشخص ظاهر شد: 121. که کاملاً منطقی است.) ما به عضوی از پیشروی حسابی علاقه مند هستیم. شماره یکصد و بیست و یکاین ما خواهد بود nاین معناست n= 121 ما بیشتر در فرمول، در پرانتز جایگزین خواهیم کرد. تمام اعداد فرمول را جایگزین کرده و محاسبه کنید:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد. به همین سرعت می توان پانصد و دهمین عضو و هزار و سومین عضو را پیدا کرد. به جای آن قرار دادیم nعدد مورد نظر در نمایه حرف " آ"و در پرانتز، و در نظر می گیریم.

اجازه دهید ماهیت را به شما یادآوری کنم: این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هراصطلاح یک پیشرفت حسابی با شماره او" n" .

بیایید مشکل را هوشمندتر حل کنیم. فرض کنید مشکل زیر را داریم:

جمله اول پیشروی حسابی (a n) را بیابید اگر a 17 =-2; d=-0.5.

اگر مشکلی دارید، قدم اول را پیشنهاد می کنم. فرمول n ام یک پیشروی حسابی را بنویسید!بله بله. درست در دفترچه یادداشت خود بنویسید:

a n = a 1 + (n-1)d

و حالا با نگاه کردن به حروف فرمول، متوجه می شویم که چه داده هایی داریم و چه چیزی کم است؟ در دسترس d=-0.5،یک عضو هفدهم وجود دارد ... همه چیز؟ اگر فکر می کنید این همه است، پس نمی توانید مشکل را حل کنید، بله ...

یک عدد هم داریم n! در شرایط a 17 =-2پنهان شده است دو گزینه.این هم مقدار عضو هفدهم (-2) و هم عدد آن (17) است. آن ها n=17.این «چیز کوچک» اغلب از سر می‌گذرد و بدون آن، (بدون «چیز کوچک»، نه سر!) مشکل حل نمی‌شود. اگرچه ... و بدون سر نیز.)

اکنون می توانیم داده های خود را احمقانه با فرمول جایگزین کنیم:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

آه بله، یک 17ما می دانیم که -2 است. خوب، بیایید آن را در آن قرار دهیم:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

این، در اصل، همه چیز است. باقی مانده است که عبارت اول پیشرفت حسابی را از فرمول بیان کنیم و محاسبه کنیم. جواب میگیرید: a 1 = 6.

چنین تکنیکی - نوشتن یک فرمول و جایگزینی ساده داده های شناخته شده - در کارهای ساده بسیار کمک می کند. خوب، البته شما باید بتوانید یک متغیر را از یک فرمول بیان کنید، اما چه باید کرد!؟ بدون این مهارت، ریاضیات اصلا قابل مطالعه نیست...

یکی دیگر از مشکلات رایج:

تفاوت پیشروی حسابی (a n) را در صورت 1 =2 بیابید. a 15 = 12.

ما چه کار می کنیم؟ شگفت زده خواهید شد، ما فرمول را می نویسیم!)

a n = a 1 + (n-1)d

آنچه می دانیم را در نظر بگیرید: a 1 = 2; a 15 = 12; و (برجستگی ویژه!) n=15. با خیال راحت در فرمول جایگزین کنید:

12=2 + (15-1) روز

بیایید حساب را انجام دهیم.)

12=2 + 14 روز

د=10/14 = 5/7

این جواب درست است.

بنابراین، وظایف a n، a 1و دتصمیم گرفت. باقی مانده است که یاد بگیرید چگونه شماره را پیدا کنید:

عدد 99 عضوی از یک تصاعد حسابی (a n) است که در آن 1 =12; d=3. شماره این عضو را پیدا کنید.

ما مقادیر شناخته شده را به فرمول n ام جایگزین می کنیم:

a n = 12 + (n-1) 3

در نگاه اول، دو کمیت ناشناخته در اینجا وجود دارد: a n و nولی a nبرخی از اعضای پیشرفت با شماره است n... و این عضو از پیشرفت ما می دانیم! 99 است. شماره او را نمی دانیم. nبنابراین این عدد نیز باید پیدا شود. عبارت پیشرفت 99 را با فرمول جایگزین کنید:

99 = 12 + (n-1) 3

از فرمول بیان می کنیم n، ما فکر می کنیم. جواب میگیریم: n=30.

و اکنون یک مشکل در همان موضوع، اما خلاقانه تر):

تعیین کنید که آیا عدد 117 عضوی از پیشروی حسابی (an) خواهد بود یا خیر:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

بیایید دوباره فرمول را بنویسیم. چه، هیچ پارامتری وجود ندارد؟ هوم... چرا به چشم نیاز داریم؟) آیا اولین عضو پیشرفت را می بینیم؟ می بینیم. این -3.6 است. می توانید با خیال راحت بنویسید: a 1 \u003d -3.6.تفاوت داز سریال مشخص میشه؟ اگر بدانید تفاوت یک پیشرفت حسابی چیست آسان است:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

بله، ما ساده ترین کار را انجام دادیم. باقی مانده است که با یک شماره ناشناخته مقابله کنیم nو عدد نامفهوم 117. در مسئله قبلی حداقل معلوم بود که اصطلاح پیشروی داده شده است. اما اینجا ما حتی نمی دانیم که ... چگونه باشیم!؟ خوب، چگونه بودن، چگونه بودن... توانایی های خلاقانه خود را روشن کنید!)

ما فرض کنیدبالاخره 117 عضوی از پیشرفت ماست. با شماره نامعلوم n. و درست مانند مشکل قبلی، بیایید سعی کنیم این عدد را پیدا کنیم. آن ها ما فرمول را می نویسیم (بله-بله!)) و اعداد خود را جایگزین می کنیم:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

دوباره از فرمول بیان می کنیمn، می شماریم و می گیریم:

اوه! شماره معلوم شد کسری!صد و یک و نیم. و اعداد کسری در پیشرفت نمیتونه باشه.چه نتیجه ای می گیریم؟ آره! شماره 117 نیستعضو پیشرفت ما جایی بین اعضای 101 و 102 است. اگر عدد طبیعی بود، یعنی. عدد صحیح مثبت، آنگاه عدد عضوی از پیشرفت با عدد یافت شده خواهد بود. و در مورد ما، پاسخ به این مشکل خواهد بود: نه

وظیفه مبتنی بر نسخه واقعی GIA:

پیشروی محاسباتی با شرط داده می شود:

a n \u003d -4 + 6.8n

عبارت اول و دهم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت به روشی غیرعادی تنظیم شده است. نوعی فرمول ... این اتفاق می افتد.) با این حال، این فرمول (همانطور که در بالا نوشتم) - همچنین فرمول n-امین یک پیشروی حسابی!او هم اجازه می دهد هر عضوی از پیشرفت را با تعداد آن پیدا کنید.

ما به دنبال اولین عضو هستیم. اونی که فکر میکنه این که عبارت اول منهای چهار است، به طرز مهلکی اشتباه است!) زیرا فرمول در مسئله اصلاح شده است. اولین جمله یک پیشرفت حسابی در آن پنهان شده است.هیچی، الان پیداش می کنیم.)

همانطور که در کارهای قبلی جایگزین می کنیم n=1به این فرمول:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

اینجا! جمله اول 2.8 است نه -4!

به همین ترتیب، ما به دنبال ترم دهم هستیم:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد.

و اکنون، برای کسانی که تا این سطور خوانده اند، پاداش وعده داده شده است.)

فرض کنید، در یک موقعیت رزمی دشوار GIA یا آزمون یکپارچه دولتی، فرمول مفید n-امین یک پیشرفت حسابی را فراموش کرده اید. چیزی به ذهن می رسد، اما به نحوی نامشخص ... آیا nوجود دارد، یا n+1 یا n-1...چگونه باشیم!؟

آرام! این فرمول به راحتی قابل استخراج است. خیلی سخت گیر نیست، اما برای اطمینان و تصمیم درستکافی است!) برای نتیجه گیری، کافی است معنای ابتدایی پیشروی حسابی را به خاطر بسپارید و چند دقیقه وقت داشته باشید. شما فقط باید یک تصویر بکشید. برای شفافیت.

یک محور عددی رسم می کنیم و اولی را روی آن علامت می زنیم. دوم، سوم و غیره اعضا. و به تفاوت توجه کنید دبین اعضا مثل این:

به تصویر نگاه می کنیم و فکر می کنیم: جمله دوم برابر است با چیست؟ دومین یکی د:

آ 2 =a 1 + 1 د

ترم سوم چیست؟ سومترم برابر با ترم اول به اضافه است دو د.

آ 3 =a 1 + 2 د

متوجه شدي؟ من بعضی از کلمات را بیهوده به صورت پررنگ نمی نویسم. خوب، یک قدم دیگر.)

ترم چهارم چیست؟ چهارمترم برابر با ترم اول به اضافه است سه د.

آ 4 =a 1 + 3 د

وقت آن رسیده است که متوجه شویم تعداد شکاف ها، یعنی. د، همیشه یک کمتر از تعداد عضو مورد نظر شما n. یعنی تا تعداد n، تعداد شکاف هاخواهد بود n-1.بنابراین، فرمول (بدون گزینه!):

a n = a 1 + (n-1)d

به طور کلی، تصاویر بصری در حل بسیاری از مسائل در ریاضیات بسیار مفید هستند. از تصاویر غافل نشوید اما اگر کشیدن یک تصویر دشوار است، پس ... فقط یک فرمول!) علاوه بر این، فرمول ترم n به شما امکان می دهد کل زرادخانه قدرتمند ریاضیات را به راه حل متصل کنید - معادلات، نابرابری ها، سیستم ها و غیره. شما نمی توانید یک تصویر را در یک معادله قرار دهید ...

وظایف برای تصمیم گیری مستقل

برای گرم کردن:

1. در پیشرفت حسابی (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. 3 را پیدا کنید.

نکته: طبق تصویر، مشکل در 20 ثانیه حل می شود ... طبق فرمول، دشوارتر می شود. اما برای تسلط بر فرمول مفیدتر است.) در قسمت 555 این مشکل هم با تصویر و هم با فرمول حل می شود. تفاوت را احساس کنید!)

و این دیگر گرم کردن نیست.)

2. در پیشرفت حسابی (a n) a 85 \u003d 19.1؛ a 236 = 49، 3. یک 3 را پیدا کنید.

چه، بی میلی به کشیدن نقاشی؟) هنوز! در فرمول بهتر است، بله ...

3. پیشرفت محاسباتی با شرط داده می شود:a 1 \u003d -5.5؛ a n+1 = a n +0.5. جمله صد و بیست و پنجم این پیشروی را پیدا کنید.

در این کار، پیشرفت به صورت مکرر داده می شود. اما شمردن تا ترم صد و بیست و پنجم... همه نمی توانند چنین شاهکاری کنند.) اما فرمول ترم n در توان همه است!

4. با توجه به پیشروی حسابی (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

عدد کوچکترین جمله مثبت پیشرفت را پیدا کنید.

5. با توجه به شرط تکلیف 4، مجموع کوچکترین اعضای مثبت و بزرگترین اعضای منفی پیشروی را پیدا کنید.

6. حاصل ضرب جمله های پنجم و دوازدهم یک تصاعد حسابی فزاینده 5/2- است و مجموع جمله های سوم و یازدهم صفر است. 14 را پیدا کنید.

ساده ترین کار نیست، بله ...) در اینجا روش "روی انگشتان" کار نخواهد کرد. شما باید فرمول بنویسید و معادلات را حل کنید.

پاسخ ها (به هم ریخته):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

اتفاق افتاد؟ خوبه!)

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. به هر حال، در آخرین کار یک نکته ظریف وجود دارد. دقت در هنگام خواندن مشکل مورد نیاز خواهد بود. و منطق.

راه حل همه این مشکلات به تفصیل در بخش 555 مورد بحث قرار گرفته است. و عنصر فانتزی برای چهارم، و لحظه ظریف برای ششم، و رویکردهای کلی برای حل هر مشکلی برای فرمول ترم n - همه چیز نقاشی شده است. من توصیه می کنم.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

دنباله عددی که هر عضو آن با شروع از دومی برابر با قبلی است که با همان عدد برای دنباله داده شده اضافه می شود، پیشرفت حسابی نامیده می شود. عددی که هر بار به عدد قبلی اضافه می شود فراخوانی می شود تفاوت یک پیشرفت حسابیو با حرف مشخص شده است د.

بنابراین، دنباله عددی a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 5 ; ... و n یک تصاعد حسابی خواهد بود اگر a 2 = a 1 + d;

a 3 \u003d a 2 + d;

آنها می گویند که با توجه به یک پیشروی حسابی با یک اصطلاح مشترک a n. بنویسید: با توجه به پیشرفت حسابی (a n).

یک پیشروی حسابی در صورتی قطعی در نظر گرفته می شود که جمله اول آن مشخص باشد. یک 1و تفاوت د

مثال های پیشروی حسابی

مثال 1یک 3; 5 7; 9؛ ... اینجا یک 1 = 1; د = 2.

مثال 2هشت 5 2 -یک -چهار؛ -7; -10؛… اینجا یک 1 = 8; د =-3.

مثال 3-16; -12; -هشت؛ -4؛... اینجا یک 1 = -16; د = 4.

توجه داشته باشید که هر عضوی از پیشروی، با شروع از دوم، برابر است با میانگین حسابی اعضای مجاور خود.

در 1 مثالعضو دوم 3 =(1+5): 2 آن ها a 2 \u003d (a 1 + a 3) : 2 عضو سوم 5 =(3+7): 2;

یعنی یک 3 \u003d (a 2 + a 4) : 2.

بنابراین فرمول معتبر است:

اما، در واقع، هر یک از اعضای پیشروی حسابی، با شروع از دوم، برابر است با میانگین حسابی نه تنها اعضای مجاور آن، بلکه همچنین با فاصله مساویاعضایی از او، یعنی.

بچرخیم مثال 2. عدد -1 چهارمین عضو پیشروی حسابی است و به طور مساوی از اعضای اول و هفتم فاصله دارد (a 1 = 8 و 7 = -10).

طبق فرمول (**) داریم:

ما فرمول را استخراج می کنیم n-عضو یک پیشرفت حسابی

بنابراین، اگر تفاوت را به اولی اضافه کنیم، ترم دوم پیشرفت حسابی را بدست می آوریم د; اگر تفاوت را به دومی اضافه کنیم، جمله سوم را دریافت می کنیم دیا دو تفاوت به عبارت اول اضافه کنید د; اگر مابه التفاوت را به جمله سوم اضافه کنیم، عبارت چهارم را به دست می آوریم دیا سه تفاوت به اولی اضافه کنید دو غیره