نسبت کسینوس پای مجاور. تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت
من فکر می کنم شما لیاقت بیش از این را دارید. در اینجا کلید من برای مثلثات است:
- گنبد، دیوار و سقف را بکشید
- توابع مثلثاتی چیزی جز درصدهایی از این سه شکل نیستند.
استعاره از سینوس و کسینوس: گنبد
به جای اینکه فقط به خود مثلث ها نگاه کنید، با پیدا کردن مثالی از زندگی واقعی، آنها را در عمل تصور کنید.
تصور کنید که در وسط یک گنبد هستید و می خواهید صفحه پروژکتور فیلم را آویزان کنید. شما انگشت خود را به سمت گنبد در زاویه ای "x" نشانه می گیرید و صفحه ای باید از آن نقطه آویزان شود.
زاویه ای که به آن اشاره می کنید تعیین می کند:
- sine (x) = sin (x) = ارتفاع صفحه (نقطه نصب از کف تا گنبد)
- کسینوس (x) = cos (x) = فاصله از شما تا صفحه نمایش (بر اساس طبقه)
- هیپوتنوز، فاصله شما تا بالای صفحه، همیشه یکسان، برابر با شعاع گنبد
آیا می خواهید صفحه نمایش تا حد امکان بزرگ باشد؟ آن را درست بالای سر خود آویزان کنید.
آیا می خواهید صفحه نمایش تا حد امکان دور از شما آویزان شود؟ آن را به صورت عمود بر آویزان کنید. صفحه نمایش در این موقعیت ارتفاع صفر خواهد داشت و تا جایی که شما درخواست کردید آویزان خواهد شد.
ارتفاع و فاصله از صفحه نمایش با یکدیگر نسبت معکوس دارند: هر چه صفحه نمایش نزدیکتر باشد، ارتفاع آن بیشتر خواهد بود.
سینوس و کسینوس درصد هستند
متأسفانه هیچ کس در سالهای تحصیل من به من توضیح نداد که توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس چیزی جز درصد نیستند. مقادیر آنها از +100٪ تا 0 تا -100٪ یا از حداکثر مثبت تا صفر تا حداکثر منفی متغیر است.
فرض کنید 14 روبل مالیات پرداخت کردم. نمیدونی چقدره اما اگر بگویید من 95 درصد مالیات دادم، متوجه می شوید که من مانند یک چسبنده پوست کنده شده ام.
قد مطلق معنایی ندارد. اما اگر مقدار سینوس 0.95 باشد، می‌دانم که تلویزیون تقریباً بالای گنبد شما آویزان است. خیلی زود در مرکز گنبد به حداکثر ارتفاع خود می رسد و دوباره شروع به نزول می کند.
چگونه می توانیم این درصد را محاسبه کنیم؟ بسیار ساده: ارتفاع صفحه نمایش فعلی را بر حداکثر ممکن تقسیم کنید (شعاع گنبد که هیپوتنوز نیز نامیده می شود).
از همین روبه ما گفته می شود که "کسینوس = پای مقابل / هیپوتنوز". این همه برای گرفتن درصد است! بهترین راه برای تعریف سینوس "درصد ارتفاع جریان از حداکثر ممکن" است. (اگر زاویه شما به سمت "زیر زمین" باشد، سینوس منفی می شود. اگر زاویه به نقطه گنبدی در پشت شما باشد، کسینوس منفی می شود.)
بیایید محاسبات را با فرض اینکه در مرکز دایره واحد هستیم (شعاع = 1) ساده کنیم. می توانیم از تقسیم بگذریم و فقط سینوس را برابر با ارتفاع بگیریم.
هر دایره، در واقع، یک تک، بزرگ شده یا کوچک شده در مقیاس به اندازه دلخواه است. بنابراین روابط روی دایره واحد را تعیین کنید و نتایج را به اندازه دایره خاص خود اعمال کنید.
آزمایش: هر گوشه ای را بردارید و ببینید چه درصدی از ارتفاع به عرض آن نمایش داده می شود:
نمودار رشد مقدار سینوس فقط یک خط مستقیم نیست. 45 درجه اول 70 درصد ارتفاع را پوشش می دهد و 10 درجه آخر (از 80 درجه تا 90 درجه) تنها 2 درصد ارتفاع را پوشش می دهد.
این موضوع برای شما واضح تر می شود: اگر به صورت دایره ای بروید، در 0 درجه تقریباً به صورت عمودی بالا می روید، اما با نزدیک شدن به بالای گنبد، ارتفاع کمتر و کمتر تغییر می کند.
مماس و مقطع. دیوار
یک روز همسایه دیواری ساخت پشت به پشتبه گنبد تو نگاهت را از پنجره گریست و قیمت مناسببرای فروش مجدد!
اما آیا می توان در این شرایط به نوعی برنده شد؟
البته که بله. اگر یک صفحه فیلم را درست به دیوار همسایه آویزان کنیم چه؟ شما گوشه (x) را نشانه می گیرید و می گیرید:
- tan(x) = tan(x) = ارتفاع صفحه روی دیوار
- فاصله از شما تا دیوار: 1 (این شعاع گنبد شماست، دیوار به جایی از شما حرکت نمی کند، درست است؟)
- secant(x) = sec(x) = "طول نردبان" از شما که در مرکز گنبد ایستاده اید تا بالای صفحه معلق
بیایید چند مورد را در مورد مماس یا ارتفاع صفحه روشن کنیم.
- از 0 شروع می شود و می تواند بی نهایت بالا برود. می توانید صفحه نمایش را روی دیوار بالاتر و بالاتر بکشید تا فقط یک بوم بی پایان برای تماشای فیلم مورد علاقه خود داشته باشید! (البته برای چنین بزرگی باید پول زیادی خرج کنید).
- مماس فقط یک نسخه بزرگ شده از سینوس است! و در حالی که رشد سینوس با حرکت به سمت بالای گنبد کند می شود، مماس به رشد خود ادامه می دهد!
Sekansu همچنین چیزی برای لاف زدن دارد:
- سکنت از 1 شروع می شود (نردبان روی زمین است، دور از شما به سمت دیوار) و از آنجا شروع به بالا رفتن می کند.
- سکنت همیشه طولانی تر از مماس است. نردبان شیب‌داری که صفحه‌نمایش را با آن آویزان می‌کنید باید از خود صفحه طولانی‌تر باشد، درست است؟ (در اندازه های غیر واقعی، زمانی که صفحه بسیار طولانی است و نردبان باید تقریباً به صورت عمودی قرار گیرد، اندازه آنها تقریباً یکسان است. اما حتی در این صورت سکنت کمی طولانی تر خواهد بود).
به یاد داشته باشید که ارزش ها هستند درصد. اگر تصمیم دارید صفحه نمایش را با زاویه 50 درجه آویزان کنید، tan(50)=1.19. صفحه نمایش شما 19 درصد بزرگتر از فاصله تا دیوار (شعاع گنبدی) است.
(x=0 را وارد کنید و شهود خود را آزمایش کنید - tan(0) = 0 و sec(0) = 1.)
کوتانژانت و کوسکانت. سقف
به طور باورنکردنی، همسایه شما اکنون تصمیم گرفته است که سقفی بر روی گنبد شما بسازد. (چه خبره؟ ظاهراً نمی‌خواهد در حالی که او برهنه در حیاط راه می‌رود، به او نگاه کنید...)
خوب، وقت آن است که یک خروجی به پشت بام بسازید و با همسایه صحبت کنید. شما زاویه شیب را انتخاب می کنید و شروع به ساختن می کنید:
- فاصله عمودی بین خروجی سقف و کف همیشه 1 (شعاع گنبد) است.
- cotangent(x) = cot(x) = فاصله بین بالای گنبد و نقطه خروج
- cosecant(x) = csc(x) = طول مسیر شما تا پشت بام
مماس و سکانت دیوار را توصیف می کنند، در حالی که تانژانت و همزمان کف را توصیف می کنند.
نتیجه گیری های شهودی ما این بار مشابه موارد قبلی است:
- اگر زاویه 0 درجه بگیرید، خروج شما به پشت بام برای همیشه طول می کشد زیرا هرگز به سقف نمی رسد. مسئله.
- اگر آن را با زاویه 90 درجه نسبت به کف بسازید، کوتاه ترین "پله" به پشت بام به دست می آید. کوتانژانت برابر با 0 خواهد بود (ما به هیچ وجه در امتداد سقف حرکت نمی کنیم، کاملاً عمود بر آن خارج می شویم) و کوسکانت برابر با 1 خواهد بود ("طول نردبان" حداقل خواهد بود).
تجسم اتصالات
اگر هر سه مورد به صورت ترکیبی گنبد-دیوار-کف ترسیم شوند، موارد زیر حاصل می شود:
خوب، وای، این مثلث یکسان است، اندازه آن بزرگ شده تا به دیوار و سقف برسد. ما اضلاع عمودی (سینوس، مماس)، اضلاع افقی (کسینوس، کوتانژانت) و "هیپوتنوس" (سکانت، همزمان) داریم. (از روی فلش ها می توانید ببینید که هر عنصر به چه اندازه می رسد. Cosecant کل فاصله شما تا سقف است).
کمی جادو. همه مثلث ها مساوات یکسانی دارند:
از قضیه فیثاغورث (a 2 + b 2 = c 2) می بینیم که اضلاع هر مثلث چگونه به هم وصل شده اند. علاوه بر این، نسبت ارتفاع به عرض نیز باید برای همه مثلث ها یکسان باشد. (فقط کافی است از بزرگترین مثلث به سمت کوچکتر برگردید. بله، اندازه تغییر کرده است، اما نسبت اضلاع ثابت خواهد ماند).
با دانستن اینکه کدام ضلع در هر مثلث 1 است (شعاع گنبد)، می توانیم به راحتی محاسبه کنیم که "sin/cos = tan/1".
من همیشه سعی کرده ام این حقایق را از طریق تجسم ساده به خاطر بسپارم. در تصویر می توانید این وابستگی ها را به وضوح ببینید و بفهمید که از کجا آمده اند. این تکنیک بسیار بهتر از به خاطر سپردن فرمول های خشک است.
زوایای دیگر را فراموش نکنید
خس... نیازی نیست که به یک نمودار آویزان شوید، فکر کنید که مماس همیشه کمتر از 1 است. اگر زاویه را افزایش دهید، می توانید بدون رسیدن به دیوار به سقف برسید:
اتصالات فیثاغورث همیشه کار می کنند، اما اندازه های نسبی می توانند متفاوت باشند.
(احتمالاً متوجه شده اید که نسبت سینوس و کسینوس همیشه کوچکترین است زیرا در داخل یک گنبد محصور شده اند.)
به طور خلاصه: چه چیزی را باید به خاطر بسپاریم؟
برای بسیاری از ما، من می گویم که این کافی خواهد بود:
- مثلثات تشریح آناتومی اشیاء ریاضی مانند دایره ها و فواصل تکراری را توضیح می دهد.
- قیاس گنبد / دیوار / سقف رابطه بین توابع مختلف مثلثاتی را نشان می دهد
- نتیجه توابع مثلثاتی درصدهایی هستند که در سناریوی خود اعمال می کنیم.
شما نیازی به حفظ فرمول هایی مانند 1 2 + cot 2 = csc 2 ندارید. آنها فقط برای آزمون های احمقانه ای مناسب هستند که در آنها دانش یک واقعیت به عنوان درک آن ارائه می شود. یک دقیقه وقت بگذارید و نیم دایره ای به شکل گنبد، دیوار و سقف بکشید، عناصر را امضا کنید و تمام فرمول ها روی کاغذ از شما خواسته می شود.
کاربرد: توابع معکوس
هر تابع مثلثاتییک زاویه را به عنوان ورودی می گیرد و نتیجه را به صورت درصد برمی گرداند. sin(30) = 0.5. این به این معنی است که زاویه 30 درجه 50٪ از حداکثر ارتفاع را اشغال می کند.
تابع مثلثاتی معکوس به صورت sin -1 یا arcsin ("arxine") نوشته می شود. همچنین اغلب در زبان های برنامه نویسی مختلف به صورت asin نوشته می شود.
اگر ارتفاع ما 25 درصد ارتفاع گنبد باشد، زاویه ما چقدر است؟
در جدول نسبت‌های ما، می‌توانید نسبت تقسیم بر 1 را بیابید. برای مثال، سکانس بر 1 (هیپوتانوس به افقی) برابر با 1 تقسیم بر کسینوس خواهد بود:
فرض کنید سکنت ما 3.5 است، یعنی. 350 درصد شعاع دایره واحد. این مقدار با چه زاویه ای از شیب به دیوار مطابقت دارد؟
ضمیمه: چند نمونه
مثال: سینوس زاویه x را پیدا کنید.
کار خسته کننده بیایید پیش پا افتاده "سینوس را پیدا کنید" را به "قد به عنوان درصد حداکثر (هیپوتنوز) چقدر است؟" پیچیده کنیم.
ابتدا توجه کنید که مثلث چرخیده است. هیچ اشتباهی در آن مورد وجود ندارد. مثلث دارای ارتفاع نیز می باشد که در شکل سبز نشان داده شده است.
هیپوتانوس برابر با چیست؟ با قضیه فیثاغورث می دانیم که:
3 2 + 4 2 = هیپوتنوز 2 25 = هیپوتنوز 2 5 = هیپوتنوز
خوب! سینوس درصد ارتفاع از بلندترین ضلع مثلث یا هیپوتونوس است. در مثال ما، سینوس 3/5 یا 0.60 است.
البته از چند راه می توانیم برویم. اکنون می دانیم که سینوس 0.60 است و به سادگی می توانیم آرکسین را پیدا کنیم:
Asin(0.6)=36.9
و در اینجا رویکرد دیگری وجود دارد. توجه داشته باشید که مثلث "رو به رو با دیوار" است، بنابراین می توانیم به جای سینوس از مماس استفاده کنیم. ارتفاع 3، فاصله تا دیوار 4 است، بنابراین مماس ¾ یا 75٪ است. می توانیم از مماس قوس برای برگشت از درصد به زاویه استفاده کنیم:
قهوهای مایل به زرد = 3/4 = 0.75 آتان (0.75) = 36.9 مثال: آیا تا ساحل شنا خواهید کرد؟
شما در یک قایق هستید و سوخت کافی برای حرکت 2 کیلومتری دارید. اکنون 0.25 کیلومتر از ساحل فاصله دارید. با حداکثر چه زاویه ای نسبت به ساحل می توانید به سمت آن شنا کنید تا سوخت کافی داشته باشید؟ علاوه بر شرط مسئله: ما فقط جدولی از مقادیر کسینوس قوس داریم.
آن چه که ما داریم؟ خط ساحلی را می توان به عنوان یک "دیوار" در مثلث معروف ما نشان داد، و "طول پله ها" متصل به دیوار را می توان به عنوان حداکثر فاصله ممکن با قایق تا ساحل (2 کیلومتر) نشان داد. یک سکانت پدید می آید.
ابتدا باید به درصد تغییر دهید. ما 2 / 0.25 = 8 داریم، یعنی می توانیم 8 برابر فاصله مستقیم تا ساحل (یا تا دیوار) شنا کنیم.
این سوال مطرح می شود که "بخش 8 چیست؟". اما ما نمی توانیم پاسخی به آن بدهیم، زیرا ما فقط کسینوس های قوسی داریم.
ما از وابستگی های مشتق شده قبلی خود برای نگاشت سکنت به کسینوس استفاده می کنیم: "sec/1 = 1/cos"
سکنت 8 برابر است با کسینوس ⅛. زاویه ای که کسینوس آن ⅛ است acos(1/8) = 82.8 است. و این بزرگترین زاویه ای است که می توانیم روی یک قایق با مقدار سوخت مشخص شده بپردازیم.
بد نیست، درست است؟ بدون تشبیه گنبد-دیوار-سقف، من در یکسری فرمول ها و محاسبات گیج می شدم. تجسم مسئله جستجوی راه حل را بسیار ساده می کند، علاوه بر این، جالب است که ببینیم کدام تابع مثلثاتی در نهایت به شما کمک خواهد کرد.
برای هر کار، اینگونه فکر کنید: آیا من به یک گنبد (sin/cos)، یک دیوار (tan/sec)، یا یک سقف (cot/csc) علاقه دارم؟
و مثلثات بسیار دلپذیرتر خواهد شد. محاسبات آسان برای شما!
برای شروع، یادآوری می کنیم که مفاهیمی مانند "سینوس"، "کسینوس" و همچنین "کتانژانت" و "مماس" وجود دارد که به بخشی از ریاضیات به عنوان مثلثات اشاره دارد. نسبت پای مقابل این زاویه به هیپوتنوز است که سینوس زاویه حاد نامیده می شود. و نسبت ساق مجاور این زاویه به هیپوتونوس یک کسینوس است.
اگر سینوس مشخص باشد چگونه کسینوس را از طریق جذر پیدا کنیم؟
برای همه انواع زاویه α، یک نام مشخص است:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
کسینوس و سینوس یک زاویه را به هم وصل می کند. به شرطی که سینوس را بدانیم، می توانیم به راحتی مقدار دوم را پیدا کنیم - باید استخراج کنیم ریشه دوم:
cos α = ±√1 - sin 2 α.
ما توجه ویژه ای به علامتی داریم که باید قبل از علامت ریشه باشد. این را می توان با مراجعه به یک چهارم مختصات مشخص کرد. برای سینوس قرار گرفتن در ربع های 1 و 2 مثبت و برای کسینوس بودن در 1 و 4 است.
نحوه یافتن کسینوس از طریق فرمول کاهش در صورت شناخته شدن سینوس
این طرح از فرمول است که با خیال راحت می توان آن را فرمول های کاهش نامید.
اینجا fبه معنای هر تابع مثلثاتی، - تابعی که با آن مطابقت دارد (سینوس برای کسینوس، کسینوس به سینوس و غیره). ولی n-هر عدد صحیح علامت مقابل علامتی که تابع اولیه ربع مختصات را دارد انتخاب می کنیم.
cos(π /2 - α) = گناه α.
در زیر جدولی از چند فرمول ریخته گری آمده است.
اینکه کدام یک از روش های بالا را انتخاب می کنید، البته به شما بستگی دارد. اما روش اول راحت تر در نظر گرفته می شود که اغلب مورد استفاده قرار می گیرد. این همان چیزی است که در کلاس های ریاضی استفاده می شود. موفقیت های آسان و نمرات خوب برای شما.
کسینوسیکی از توابع مثلثاتی اساسی است. کسینوساهم تیز گوشهدر مثلث قائم الزاویه نسبت است پای مجاوربه هیپوتانوز. تعریف کسینوس به یک مثلث قائم الزاویه گره خورده است، اما اغلب زاویه ای که کسینوس آن باید تعیین شود در یک مثلث قائم الزاویه قرار ندارد. چگونه مقدار کسینوس هر کدام را پیدا کنیم گوشه?
دستورالعمل
گوشهدر یک مثلث قائم الزاویه، باید از تعریف کسینوس استفاده کنید و نسبت پای مجاور به هیپوتانوس را پیدا کنید:
cos = a/c، جایی که a طول ساق است، c طول هیپوتانوس است.
اگر نیاز به پیدا کردن کسینوس دارید گوشهدر یک مثلث دلخواه، لازم است از قضیه کسینوس استفاده شود:
اگر زاویه تند باشد: cos؟ = (a2 + b2 - c2)/(2ab)-
اگر زاویه منفرد باشد: cos؟ = (c2 - a2 - b2)/(2ab)، که در آن a، b طول اضلاع مجاور گوشه است، c طول ضلع مقابل گوشه است.
اگر نیاز به پیدا کردن کسینوس دارید گوشهدر یک شکل هندسی دلخواه، تعیین مقدار ضروری است گوشهبر حسب درجه یا رادیان و کسینوس گوشهبا استفاده از یک ماشین حساب مهندسی، جداول Bradys یا هر برنامه ریاضی دیگری، اندازه آن را پیدا کنید.
کسینوستابع مثلثاتی اصلی زاویه است. توانایی تعیین کسینوس در جبر برداری هنگام تعیین پیش بینی بردارها بر روی محورهای مختلف مفید است.
دستورالعمل
کسینوساهم یک زاویه نسبت پای مجاور زاویه به هیپوتنوز است. بنابراین، در یک مثلث قائم الزاویه ABC (ABC یک زاویه قائمه است)، کسینوس زاویه BAC برابر با نسبت AB به AC است. برای زاویه ACB: cos ACB = BC/AC.
اما همیشه زاویه متعلق به مثلث نیست، علاوه بر این، زوایای مبهمی وجود دارد که واضح است که نمی توانند بخشی از یک مثلث قائم الزاویه باشند. زمانی را در نظر بگیرید که زاویه توسط پرتوها داده می شود. در این صورت برای محاسبه کسینوس زاویه به صورت زیر عمل کنید. یک سیستم مختصات به گوشه بسته می شود، مبدأ مختصات از راس گوشه در نظر گرفته می شود، محور X در امتداد یک طرف گوشه می رود، محور Y عمود بر محور X ساخته می شود. سپس دایره ای با شعاع واحد ساخته می شود. با مرکز در راس گوشه ساخته شده است. ضلع دوم زاویه دایره را در نقطه A قطع می کند. عمود را از نقطه A به محور X رها کنید، نقطه تقاطع عمود را با محور Ax مشخص کنید. سپس یک مثلث قائم الزاویه AAxO بدست می آورید و کسینوس زاویه AAx/AO است. از آنجایی که دایره شعاع واحد دارد، AO = 1 و کسینوس زاویه به سادگی AAx است.
در مورد زاویه منفرد، تمام ساختارهای مشابه انجام می شود. کسینوسزاویه منفذ منفی است، اما همچنین برابر با Ax است.
توجه داشته باشید
کسینوس برخی از زوایا در جداول بردیس ارائه شده است.
نماد ریاضی کسینوس cos است.
مقدار کسینوس نمی تواند بزرگتر از 1 و کمتر از -1 باشد.