نابرابری های لگاریتمی پیچیده نابرابری های لگاریتمی

استدلال فوق ساده است، اما حل نابرابری های لگاریتمی را به طور قابل توجهی ساده می کند.

مثال 4

log x (x 2 -3)<0

راه حل:

مثال 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x)

راه حل:

پاسخ. (0; 0.5) U .

مثال 6

برای حل این نابرابری به جای مخرج (x-1-1) (x-1) و به جای صورت کننده حاصل ضرب (x-1) (x-3-9 + x) را می نویسیم.

پاسخ : (3;6)

مثال 7

مثال 8

2.3. تعویض غیر استاندارد

مثال 1

مثال 2

مثال 3

مثال 4

مثال 5

مثال 6

مثال 7

log 4 (3 x -1) log 0.25

بیایید جایگزینی y=3 x -1 را انجام دهیم. سپس این نابرابری شکل می گیرد

log 4 log 0.25
.

زیرا log 0.25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y، سپس آخرین نابرابری را به صورت 2log 4 y -log 4 2 y ≤ بازنویسی می کنیم.

بیایید یک جایگزین t =log 4 y ایجاد کنیم و نابرابری t 2 -2t +≥0 را بدست آوریم که جواب آن فواصل - .

بنابراین، برای یافتن مقادیر y، مجموعه ای از دو نابرابری ساده داریم
راه حل این مجموعه فواصل 0 است<у≤2 и 8≤у<+.

بنابراین، نابرابری اصلی معادل مجموعه دو نامساوی نمایی است.
یعنی سنگدانه ها

جواب اولین نابرابری این مجموعه بازه 0 است<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. بنابراین، نابرابری اصلی برای تمام مقادیر x از بازه‌های 0 برقرار است<х≤1 и 2≤х<+.

مثال 8

راه حل:

نابرابری معادل یک سیستم است

راه حل نابرابری دوم، که ODZ را تعیین می کند، مجموعه ای از آن ها خواهد بود ایکس,

برای کدام ایکس > 0.

برای حل اولین نابرابری، تغییر را ایجاد می کنیم

سپس نابرابری را دریافت می کنیم

یا

مجموعه راه حل های آخرین نابرابری با روش پیدا می شود

فواصل: -1< تی < 2. Откуда, возвращаясь к переменной ایکس، ما گرفتیم

یا

بسیاری از آن ها ایکس، که آخرین نابرابری را برآورده می کند

متعلق به ODZ ( ایکس> 0)، بنابراین، راه حلی برای سیستم است،

و از این رو نابرابری اصلی.

پاسخ:

2.4. وظایف با تله.

مثال 1

.

راه حل. ODZ نابرابری همه x است که شرط 0 را برآورده می کند . بنابراین، تمام x از بازه 0

مثال 2

log 2 (2x +1-x2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? نکته این است که عدد دوم آشکارا بزرگتر از

نتیجه

یافتن روشهای ویژه برای حل مسائل C3 از منابع مختلف آموزشی بسیار آسان نبود. در طول کار انجام شده، توانستم روش های غیر استاندارد برای حل نابرابری های لگاریتمی پیچیده را مطالعه کنم. اینها عبارتند از: انتقال معادل و روش تعمیم فواصل، روش منطقی سازی , تعویض غیر استاندارد , وظایف با تله در ODZ. این روش ها در برنامه درسی مدرسه وجود ندارد.

با استفاده از روش های مختلف، 27 نابرابری ارائه شده در USE در بخش C، یعنی C3 را حل کردم. این نابرابری‌ها با راه‌حل‌ها با روش‌ها، اساس مجموعه «نابرابری‌های لگاریتمی C3 با راه‌حل‌ها» را تشکیل داد که محصول پروژه فعالیت من شد. فرضیه‌ای که در ابتدای پروژه مطرح کردم تأیید شد: اگر این روش‌ها شناخته شده باشند، می‌توان مشکلات C3 را به طور مؤثر حل کرد.

علاوه بر این، من حقایق جالبی در مورد لگاریتم ها کشف کردم. انجامش برام جالب بود محصولات پروژه من هم برای دانش آموزان و هم برای معلمان مفید خواهد بود.

نتیجه گیری:

بنابراین، هدف پروژه محقق می شود، مشکل حل می شود. و کامل ترین و همه کاره ترین تجربه را در فعالیت های پروژه در تمام مراحل کار کسب کردم. در طول کار بر روی پروژه، تأثیر اصلی رشد من بر شایستگی ذهنی، فعالیت های مرتبط با عملیات ذهنی منطقی، توسعه شایستگی خلاق، ابتکار شخصی، مسئولیت پذیری، پشتکار و فعالیت بود.

تضمین موفقیت هنگام ایجاد یک پروژه تحقیقاتی برای من شد: تجربه مهم مدرسه، توانایی استخراج اطلاعات از منابع مختلف، بررسی قابلیت اطمینان آن، رتبه بندی آن بر اساس اهمیت.

او علاوه بر دانش موضوعی مستقیم در ریاضیات، مهارت های عملی خود را در زمینه علوم رایانه گسترش داد، دانش و تجربه جدیدی در زمینه روانشناسی به دست آورد، با همکلاسی های خود ارتباط برقرار کرد و همکاری با بزرگسالان را آموخت. در جریان فعالیت های پروژه، مهارت ها و توانایی های آموزشی عمومی سازمانی، فکری و ارتباطی ایجاد شد.

ادبیات

1. Koryanov A. G.، Prokofiev A. A. سیستم های نابرابری با یک متغیر (وظایف معمولی C3).

2. Malkova A. G. آماده سازی برای امتحان دولتی واحد در ریاضیات.

3. S. S. Samarova، حل نابرابری های لگاریتمی.

4. ریاضیات. مجموعه آثار آموزشی با ویرایش A.L. سمیونوف و آی.وی. یاشچنکو -M.: MTsNMO، 2009. - 72 p.-

آیا فکر می کنید هنوز تا امتحان زمان باقی است و برای آماده شدن زمان خواهید داشت؟ شاید اینطور باشد. اما در هر صورت، دانش آموز هر چه زودتر آموزش را شروع کند، امتحانات را با موفقیت بیشتری پشت سر می گذارد. امروز تصمیم گرفتیم مقاله ای را به نابرابری های لگاریتمی اختصاص دهیم. این یکی از وظایف است، یعنی فرصتی برای گرفتن یک امتیاز اضافی.

آیا می دانید لگاریتم (log) چیست؟ ما واقعا امیدواریم. اما حتی اگر پاسخی برای این سوال ندارید، مشکلی نیست. درک اینکه لگاریتم چیست بسیار آسان است.

چرا دقیقا 4؟ برای بدست آوردن 81 باید عدد 3 را به چنین توانی برسانید. وقتی اصل را فهمیدید، می توانید محاسبات پیچیده تری را انجام دهید.

شما چند سال پیش از نابرابری ها گذشتید. و از آن زمان، شما دائماً آنها را در ریاضیات ملاقات می کنید. اگر در حل نابرابری ها مشکل دارید، بخش مربوطه را بررسی کنید.
حال که با مفاهیم به صورت جداگانه آشنا شدیم، به طور کلی به بررسی آنها خواهیم پرداخت.

ساده ترین نابرابری لگاریتمی

ساده ترین نابرابری های لگاریتمی به این مثال محدود نمی شود، سه مورد دیگر وجود دارد، فقط با علائم مختلف. چرا این مورد نیاز است؟ برای درک بهتر نحوه حل نابرابری با لگاریتم. اکنون یک مثال کاربردی‌تر می‌آوریم، که هنوز هم بسیار ساده است، نابرابری‌های لگاریتمی پیچیده را برای بعد می‌گذاریم.

چگونه آن را حل کنیم؟ همه چیز با ODZ شروع می شود. اگر می خواهید همیشه هر نابرابری را به راحتی حل کنید، باید در مورد آن بیشتر بدانید.

ODZ چیست؟ DPV برای نابرابری های لگاریتمی

مخفف عبارت محدوده مقادیر معتبر است. در تکالیف برای امتحان، این عبارت اغلب ظاهر می شود. DPV نه تنها در مورد نابرابری های لگاریتمی برای شما مفید است.

دوباره به مثال بالا نگاه کنید. ما ODZ را بر اساس آن در نظر می گیریم تا اصل را بفهمید و حل نابرابری های لگاریتمی سؤالی ایجاد نمی کند. از تعریف لگاریتم بر می آید که 2x+4 باید بزرگتر از صفر باشد. در مورد ما، این به معنای زیر است.

این عدد باید طبق تعریف مثبت باشد. نابرابری ارائه شده در بالا را حل کنید. حتی می توان این کار را به صورت شفاهی انجام داد، در اینجا مشخص است که X نمی تواند کمتر از 2 باشد. حل نابرابری، تعریف محدوده مقادیر قابل قبول خواهد بود.
حالا بیایید به حل ساده ترین نابرابری لگاریتمی برویم.

ما خود لگاریتم ها را از هر دو قسمت نابرابری حذف می کنیم. در نتیجه چه چیزی برای ما باقی می ماند؟ نابرابری ساده

حل آن آسان است. X باید بزرگتر از -0.5 باشد. اکنون دو مقدار بدست آمده را در سیستم ترکیب می کنیم. به این ترتیب،

این منطقه مقادیر قابل قبول برای نابرابری لگاریتمی در نظر گرفته شده خواهد بود.

چرا اصلاً ODZ مورد نیاز است؟ این فرصتی است برای از بین بردن پاسخ های نادرست و غیرممکن. اگر پاسخ در محدوده مقادیر قابل قبول نباشد، پاسخ به سادگی معنا ندارد. این ارزش را برای مدت طولانی به یاد داشته باشید، زیرا در امتحان اغلب نیاز به جستجوی ODZ وجود دارد و نه تنها به نابرابری های لگاریتمی مربوط می شود.

الگوریتم حل نابرابری لگاریتمی

راه حل شامل چندین مرحله است. ابتدا باید محدوده مقادیر قابل قبول را پیدا کرد. دو مقدار در ODZ وجود خواهد داشت، ما این را در بالا در نظر گرفتیم. مرحله بعدی حل خود نابرابری است. روش های حل به شرح زیر است:

• روش جایگزینی چند برابر؛
• تجزیه؛
• روش منطقی سازی

بسته به شرایط باید از یکی از روش های فوق استفاده کرد. بیایید مستقیم به سراغ راه حل برویم. ما محبوب ترین روشی را که برای حل وظایف USE در تقریباً همه موارد مناسب است، نشان خواهیم داد. در ادامه روش تجزیه را در نظر خواهیم گرفت. اگر با یک نابرابری «مختلف» مواجه شدید، می تواند کمک کند. بنابراین، الگوریتم برای حل نابرابری لگاریتمی.

نمونه های راه حل :

بیهوده نیست که دقیقاً چنین نابرابری را گرفتیم! به پایه توجه کنید. به یاد داشته باشید: اگر بزرگتر از یک باشد، هنگام یافتن محدوده مقادیر معتبر علامت ثابت می ماند. در غیر این صورت، علامت نابرابری باید تغییر کند.

در نتیجه، نابرابری را دریافت می کنیم:

حالا سمت چپ را به شکل معادله برابر با صفر می آوریم. به جای علامت "کمتر از"، "برابر" قرار می دهیم، معادله را حل می کنیم. بنابراین، ما ODZ را پیدا خواهیم کرد. امیدواریم با حل چنین معادله ساده ای مشکلی نداشته باشید. پاسخ ها -4 و -2 هستند. این همش نیست. شما باید این نقاط را روی نمودار نمایش دهید، "+" و "-" را قرار دهید. برای این کار چه باید کرد؟ اعداد را از فواصل در عبارت جایگزین کنید. در جایی که مقادیر مثبت هستند، "+" را در آنجا قرار می دهیم.

پاسخ: x نمی تواند بزرگتر از -4 و کوچکتر از -2 باشد.

ما محدوده مقادیر معتبر را فقط برای سمت چپ پیدا کردیم، اکنون باید محدوده مقادیر معتبر را برای سمت راست پیدا کنیم. این به هیچ وجه ساده تر نیست. پاسخ: -2. هر دو ناحیه دریافتی را قطع می کنیم.

و فقط اکنون شروع به حل خود نابرابری می کنیم.

بیایید آن را تا حد امکان ساده کنیم تا تصمیم گیری آسان تر شود.

ما دوباره از روش فاصله در محلول استفاده می کنیم. بیایید از محاسبات بگذریم، با او همه چیز از مثال قبلی واضح است. پاسخ.

اما این روش در صورتی مناسب است که نابرابری لگاریتمی دارای پایه های یکسان باشد.

حل معادلات لگاریتمی و نامساوی با پایه های مختلف شامل کاهش اولیه به یک پایه است. سپس از روش فوق استفاده کنید. اما یک مورد پیچیده تر نیز وجود دارد. یکی از پیچیده ترین انواع نابرابری های لگاریتمی را در نظر بگیرید.

نابرابری های لگاریتمی با پایه متغیر

چگونه می توان نابرابری ها را با چنین ویژگی هایی حل کرد؟ بله، و چنین چیزی را می توان در امتحان یافت. حل نابرابری ها به روش زیر نیز تاثیر مفیدی در روند آموزشی شما خواهد داشت. بیایید با جزئیات به موضوع نگاه کنیم. بیایید تئوری را کنار بگذاریم و مستقیم به سراغ عمل برویم. برای حل نابرابری های لگاریتمی کافی است یک بار با مثال آشنا شوید.

برای حل نابرابری لگاریتمی شکل ارائه شده، باید سمت راست را با همان پایه به لگاریتم کاهش داد. این اصل شبیه انتقال های معادل است. در نتیجه، نابرابری به این شکل خواهد بود.

در واقع، ایجاد سیستمی از نابرابری ها بدون لگاریتم باقی مانده است. با استفاده از روش منطقی سازی، به سیستم معادلی از نابرابری ها می رویم. زمانی که مقادیر مناسب را جایگزین کنید و تغییرات آنها را دنبال کنید، خود قانون را درک خواهید کرد. این سیستم دارای نابرابری های زیر خواهد بود.

با استفاده از روش منطقی سازی هنگام حل نابرابری ها، باید موارد زیر را به خاطر بسپارید: باید یک را از پایه کم کنید، x، با تعریف لگاریتم، از هر دو قسمت نابرابری (راست از چپ)، دو کم می شود. عبارات ضرب می شوند و در زیر علامت اصلی نسبت به صفر قرار می گیرند.

راه حل بیشتر با روش فاصله انجام می شود، همه چیز در اینجا ساده است. برای شما مهم است که تفاوت های روش های راه حل را درک کنید، سپس همه چیز به راحتی شروع به کار می کند.

تفاوت های ظریف زیادی در نابرابری های لگاریتمی وجود دارد. حل ساده ترین آنها به اندازه کافی آسان است. چگونه می توان آن را به گونه ای ساخت که هر یک از آنها را بدون مشکل حل کنیم؟ شما قبلا تمام پاسخ ها را در این مقاله دریافت کرده اید. اکنون تمرین طولانی در پیش رو دارید. به طور مداوم حل مسائل مختلف را در آزمون تمرین کنید و خواهید توانست بالاترین امتیاز را کسب کنید. در کار دشوار خود موفق باشید!

در میان انواع نابرابری های لگاریتمی، نابرابری های با پایه متغیر به طور جداگانه مورد بررسی قرار می گیرند. آنها طبق فرمول خاصی حل می شوند که به دلایلی به ندرت در مدرسه تدریس می شود. این ارائه راه حل هایی را برای وظایف C3 USE - 2014 در ریاضیات ارائه می دهد.

دانلود:

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه ها، یک حساب Google (حساب) ایجاد کنید و وارد شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلایدها:

حل نابرابری های لگاریتمی حاوی یک متغیر در پایه لگاریتم: روش ها، تکنیک ها، انتقال معادل معلم ریاضیات MBOU دبیرستان شماره 143 Knyazkina T.V.

در میان انواع نابرابری های لگاریتمی، نابرابری های با پایه متغیر به طور جداگانه مورد بررسی قرار می گیرند. آنها با استفاده از یک فرمول خاص حل می شوند، که به دلایلی به ندرت در مدرسه تدریس می شود: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) ( k (x) − 1) ∨ 0 به جای چک باکس «∨»، می‌توانید هر علامت نابرابری را قرار دهید: بیشتر یا کمتر. نکته اصلی این است که در هر دو نابرابری علائم یکسان است. بنابراین از لگاریتم خلاص می شویم و مسئله را به یک نابرابری منطقی تقلیل می دهیم. حل دومی بسیار ساده تر است، اما هنگام کنار گذاشتن لگاریتم ها، ممکن است ریشه های اضافی ظاهر شوند. برای قطع آنها کافی است محدوده مقادیر قابل قبول را پیدا کنید. ODZ لگاریتم را فراموش نکنید! همه چیز مربوط به محدوده مقادیر قابل قبول باید به طور جداگانه نوشته و حل شود: f (x) > 0. g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. این چهار نابرابری یک سیستم را تشکیل می دهند و باید به طور همزمان برآورده شوند. وقتی محدوده مقادیر قابل قبول پیدا شد، باقی می ماند که با حل یک نابرابری منطقی از آن عبور کنیم - و پاسخ آماده است.

حل نابرابری: راه حل برای شروع، اجازه دهید ODZ لگاریتم را بنویسیم، دو نامعادله اول به طور خودکار انجام می شوند و آخرین مورد باید نقاشی شود. از آنجایی که مربع یک عدد برابر با صفر است اگر و فقط اگر خود عدد برابر با صفر باشد، داریم: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. معلوم می شود که ODZ لگاریتم همه اعداد به جز صفر است: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). اکنون نابرابری اصلی را حل می کنیم: انتقال از نابرابری لگاریتمی به نابرابری منطقی را انجام می دهیم. در نابرابری اصلی یک علامت "کمتر از" وجود دارد، بنابراین نابرابری حاصل نیز باید با علامت "کمتر از" باشد.

داریم: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)

تبدیل نابرابری های لگاریتمی اغلب نابرابری اصلی با موارد فوق متفاوت است. رفع این مشکل با استفاده از قوانین استاندارد برای کار با لگاریتم آسان است. یعنی: هر عددی را می توان به صورت لگاریتمی با پایه معین نشان داد. مجموع و تفاضل لگاریتم هایی با پایه یکسان را می توان با یک لگاریتم جایگزین کرد. به طور جداگانه، می خواهم در مورد محدوده مقادیر قابل قبول به شما یادآوری کنم. از آنجایی که ممکن است چندین لگاریتم در نابرابری اصلی وجود داشته باشد، لازم است DPV هر یک از آنها را پیدا کنید. بنابراین، طرح کلی برای حل نابرابری های لگاریتمی به شرح زیر است: ODZ را برای هر لگاریتم موجود در نابرابری بیابید. با استفاده از فرمول‌های جمع و تفریق لگاریتم، نابرابری را به استاندارد کاهش دهید. نابرابری حاصل را طبق طرح بالا حل کنید.

حل نابرابری: حل بیایید دامنه تعریف (ODZ) لگاریتم اول را پیدا کنیم: با روش بازه ها حل می کنیم. صفرهای عدد را بیابید: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. سپس - مخرج صفرها: x − 1 = 0; x = 1. صفرها و علائم را روی خط مختصات علامت گذاری می کنیم:

x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞) را بدست می آوریم. لگاریتم دوم ODZ یکسان خواهد بود. اگر باور ندارید، می توانید بررسی کنید. حالا بیایید لگاریتم دوم را طوری تبدیل کنیم که در پایه یک عدد 2 وجود داشته باشد: همانطور که می بینید، 3 ها در پایه و جلوی لگاریتم کوچک شده اند. دو لگاریتم با پایه یکسان بدست آورید. آنها را جمع کنید: log 2 (x − 1) 2

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)

ما به تقاطع مجموعه ها علاقه مندیم، بنابراین فواصل سایه دار روی هر دو فلش را انتخاب می کنیم. دریافت می کنیم: x ∈ (−1؛ 2/3) ∪ (1؛ 3) - همه نقاط سوراخ می شوند. پاسخ: x ∈ (-1; 2/3)∪(1; 3)

حل وظایف آزمون دولتی واحد-2014 نوع C3

حل سیستم نابرابری ها. ODZ:  1) 2)

حل سیستم نامساوی 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (ادامه)

حل سیستم نابرابری ها 4) راه حل کلی: و -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (ادامه)

حل نابرابری (ادامه) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

راه حل نابرابری را حل کنید. ODZ: 

حل نابرابری (ادامه دارد)

راه حل نابرابری را حل کنید. ODZ:  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2

در میان انواع نابرابری های لگاریتمی، نابرابری های با پایه متغیر به طور جداگانه مورد بررسی قرار می گیرند. آنها طبق فرمول خاصی حل می شوند که به دلایلی به ندرت در مدرسه تدریس می شود:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

به جای جکدا "∨"، می توانید هر علامت نابرابری را قرار دهید: کم و بیش. نکته اصلی این است که در هر دو نابرابری علائم یکسان است.

بنابراین از لگاریتم خلاص می شویم و مسئله را به یک نابرابری منطقی تقلیل می دهیم. حل دومی بسیار ساده تر است، اما هنگام کنار گذاشتن لگاریتم ها، ممکن است ریشه های اضافی ظاهر شوند. برای قطع آنها کافی است محدوده مقادیر قابل قبول را پیدا کنید. اگر ODZ لگاریتم را فراموش کرده اید، من قویاً توصیه می کنم آن را تکرار کنید - به "لگاریتم چیست" مراجعه کنید.

همه چیز مربوط به محدوده مقادیر قابل قبول باید به طور جداگانه نوشته و حل شود:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

این چهار نابرابری یک سیستم را تشکیل می دهند و باید به طور همزمان برآورده شوند. وقتی محدوده مقادیر قابل قبول پیدا شد، باقی می ماند که با حل یک نابرابری منطقی از آن عبور کنیم - و پاسخ آماده است.

یک وظیفه. حل نابرابری:

ابتدا بیایید ODZ لگاریتم را بنویسیم:

دو نابرابری اول به طور خودکار انجام می شود و آخرین مورد باید نوشته شود. از آنجایی که مربع یک عدد صفر است اگر و فقط اگر خود عدد صفر باشد، داریم:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

معلوم می شود که ODZ لگاریتم همه اعداد به جز صفر است: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). اکنون نابرابری اصلی را حل می کنیم:

ما انتقال از نابرابری لگاریتمی به نابرابری منطقی را انجام می دهیم. در نابرابری اصلی یک علامت "کمتر از" وجود دارد، بنابراین نابرابری حاصل نیز باید با علامت "کمتر از" باشد. ما داریم:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

صفرهای این عبارت: x = 3; x = -3; x = 0. علاوه بر این، x = 0 ریشه کثرت دوم است، به این معنی که هنگام عبور از آن، علامت تابع تغییر نمی کند. ما داریم:

x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) را دریافت می کنیم. این مجموعه به طور کامل در ODZ لگاریتم موجود است، به این معنی که این پاسخ است.

تبدیل نابرابری های لگاریتمی

اغلب نابرابری اصلی با نابرابری بالا متفاوت است. رفع این مشکل طبق قوانین استاندارد برای کار با لگاریتم آسان است - به "ویژگی های اساسی لگاریتم ها" مراجعه کنید. برای مثال:

1. هر عددی را می توان به صورت لگاریتمی با پایه معین نشان داد.
2. مجموع و تفاضل لگاریتم هایی با پایه یکسان را می توان با یک لگاریتم جایگزین کرد.

به طور جداگانه، می خواهم در مورد محدوده مقادیر قابل قبول به شما یادآوری کنم. از آنجایی که ممکن است چندین لگاریتم در نابرابری اصلی وجود داشته باشد، لازم است DPV هر یک از آنها را پیدا کنید. بنابراین، طرح کلی برای حل نابرابری های لگاریتمی به شرح زیر است:

1. ODZ هر لگاریتم موجود در نابرابری را بیابید.
2. با استفاده از فرمول‌های جمع و تفریق لگاریتم، نابرابری را به استاندارد کاهش دهید.
3. نابرابری حاصل را طبق طرح بالا حل کنید.

یک وظیفه. حل نابرابری:

دامنه تعریف (ODZ) لگاریتم اول را پیدا کنید:

ما با روش فاصله حل می کنیم. پیدا کردن صفرهای صورتگر:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

سپس - صفرهای مخرج:

x − 1 = 0;
x = 1.

روی فلش مختصات صفرها و علائم را علامت گذاری می کنیم:

x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) را بدست می آوریم. لگاریتم دوم ODZ یکسان خواهد بود. اگر باور ندارید، می توانید بررسی کنید. حالا لگاریتم دوم را طوری تبدیل می کنیم که پایه دو شود:

همانطور که می بینید، سه گانه در پایه و قبل از لگاریتم کوچک شده اند. دو لگاریتم با پایه یکسان بدست آورید. بیایید آنها را کنار هم بگذاریم:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

ما نابرابری لگاریتمی استاندارد را به دست آورده ایم. با فرمول از شر لگاریتم خلاص می شویم. از آنجایی که در نابرابری اصلی یک علامت کمتر از وجود دارد، عبارت منطقی حاصل نیز باید کمتر از صفر باشد. ما داریم:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1؛ 3).

ما دو ست گرفتیم:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. پاسخ نامزد: x ∈ (-1; 3).

باقی مانده است که از این مجموعه ها عبور کنیم - پاسخ واقعی را دریافت می کنیم:

ما به تقاطع مجموعه ها علاقه مندیم، بنابراین فواصل سایه دار روی هر دو فلش را انتخاب می کنیم. x ∈ (-1; 2/3)∪(1; 3) را دریافت می کنیم - همه نقاط سوراخ می شوند.

حل ساده ترین نابرابری ها و نابرابری های لگاریتمی که پایه لگاریتم ثابت است را در درس آخر در نظر گرفتیم.

اما اگر پایه لگاریتم یک متغیر باشد چه؟

سپس ما به کمک خواهیم آمد منطقی سازی نابرابری هابرای درک اینکه چگونه این کار می کند، به عنوان مثال، نابرابری را در نظر می گیریم:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

همانطور که انتظار می رفت، اجازه دهید با ODZ شروع کنیم.

ODZ

$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$

حل نابرابری

بیایید طوری استدلال کنیم که انگار یک نابرابری را با یک پایه ثابت حل می کنیم. اگر پایه بزرگتر از یک باشد از لگاریتم خلاص می شویم و علامت نابرابری تغییر نمی کند و اگر کمتر از یک باشد تغییر می کند.

بیایید آن را به عنوان یک سیستم بنویسیم:

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(array)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

برای استدلال بیشتر، تمام سمت راست نابرابری ها را به سمت چپ منتقل می کنیم.

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \left\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

چه چیزی به دست آوردیم؟ معلوم شد که ما نیاز داریم که عبارات «2x-1» و «x^2 - x» هم‌زمان مثبت یا منفی باشند. اگر نابرابری را حل کنیم همین نتیجه به دست می آید:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

این نابرابری، مانند سیستم اصلی، در صورتی صادق است که هر دو عامل مثبت یا منفی باشند. به نظر می رسد که می توان از نابرابری لگاریتمی به نابرابری منطقی (با در نظر گرفتن ODZ) حرکت کرد.

فرمول بندی کنیم روش منطقی سازی برای نابرابری های لگاریتمی$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \پیکان راست چپ (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ که در آن "\vee" هر علامت نابرابری است. (برای علامت «>»، ما فقط اعتبار فرمول را بررسی کردیم. برای بقیه، پیشنهاد می کنم خودتان آن را بررسی کنید - به این ترتیب بهتر به خاطر سپرده می شود).

بیایید به حل نابرابری خود برگردیم. با گسترش در پرانتز (برای دیدن بهتر صفرهای تابع)، دریافت می کنیم

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

روش بازه ای تصویر زیر را نشان می دهد:

(از آنجایی که نابرابری سخت است و انتهای فواصل برای ما جالب نیست، آنها پر نمی شوند.) همانطور که مشاهده می شود، فواصل به دست آمده ODZ را برآورده می کند. پاسخ را دریافت کرد: "(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)".

مثال دوم حل نابرابری لگاریتمی با پایه متغیر

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1, \\ x > 0. \end(array)\right.$$

$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0. \end(آرایه)\right.$$

حل نابرابری

طبق قاعده ای که به تازگی بدست آورده ایم منطقی سازی نابرابری های لگاریتمی،دریافت می کنیم که این نابرابری (با در نظر گرفتن ODZ) با موارد زیر یکسان است:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

با ترکیب این راه حل با ODZ، به جواب می رسیم: «(1،2)».

مثال سوم. لگاریتم کسری

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $

از آنجایی که سیستم نسبتاً پیچیده است، بیایید بلافاصله حل نابرابری ها را روی خط اعداد رسم کنیم:

بنابراین، ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.

حل نابرابری

بیایید «-1» را به صورت لگاریتمی با پایه «x» نشان دهیم.

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

با استفاده از منطقی سازی نابرابری لگاریتمیما یک نابرابری منطقی دریافت می کنیم:

$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\راست)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\right)\leqslant0.$$