قانون حرکت بدن: تعریف، فرمول ها. قانون حرکت بدن: تعریف، فرمول ها حرکت در امتداد یک مسیر بیضی شکل به عنوان مثال از سیارات منظومه شمسی

بیایید یک مشکل خاص دیگر را در نظر بگیریم.

مشخص شده است که مدول سرعت بدن در کل حرکت ثابت و برابر با 5 متر بر ثانیه باقی مانده است. قانون حرکت این جسم را پیدا کنید. شروع شمارش طول مسیرها با نقطه شروع حرکت جسم همزمان است.

برای حل مشکل از فرمول استفاده می کنیم

از اینجا می توانید افزایش طول مسیر را برای هر دوره زمانی کوچکی پیدا کنید

طبق شرط، مدول سرعت ثابت است. این بدان معنی است که افزایش طول مسیر برای هر بازه زمانی مساوی یکسان خواهد بود. طبق تعریف، این حرکت یکنواخت است. معادله ای که به دست آورده ایم چیزی نیست جز قانون چنین حرکت یکنواختی. اگر عبارات را در این معادله جایگزین کنیم، بدست آوردن آن آسان است

فرض کنیم شروع مرجع زمانی با شروع حرکت جسم همزمان باشد. ما در نظر می گیریم که طبق شرایط، مبدأ طول مسیر با نقطه اولیه حرکت بدن مطابقت دارد. زمان از شروع حرکت تا لحظه مورد نیاز را به عنوان یک فاصله در نظر می گیریم سپس باید تنظیم کنیم پس از جایگزینی این مقادیر قانون حرکت در نظر گرفته شده شکل خواهد گرفت.

مثال در نظر گرفته شده به ما اجازه می دهد تا تعریف جدیدی از حرکت یکنواخت ارائه دهیم (§ 13): حرکت یکنواخت حرکتی با سرعت مدول ثابت است.

همین مثال به ما اجازه می دهد تا فرمول کلی قانون حرکت یکنواخت را بدست آوریم.

اگر مبدأ زمان با شروع حرکت منطبق باشد و مبدأ طول مسیرها با نقطه شروع حرکت منطبق باشد، قانون حرکت یکنواخت شکل خواهد گرفت.

اگر زمان شروع حرکت و طول مسیر تا نقطه شروع حرکت باشد، قانون حرکت یکنواخت شکل پیچیده تری به خود می گیرد:

اجازه دهید به یک نتیجه مهم دیگر توجه کنیم که می توان آن را از قانون حرکت یکنواختی که پیدا کردیم به دست آورد. بیایید فرض کنیم که برای برخی از حرکت های یکنواخت، نموداری از وابستگی سرعت به زمان ارائه شده است (شکل 1.60). قانون این حرکت از شکل می توان دریافت که حاصل ضرب برابر است با مساحت شکل محدود شده توسط محورهای مختصات، نمودار وابستگی سرعت به زمان و اردیته مربوط به

در یک نقطه زمانی معین، با توجه به نمودار سرعت، می توان افزایش طول مسیرها را در حین حرکت محاسبه کرد.

با استفاده از یک دستگاه ریاضی پیچیده تر، می توان نشان داد که این نتیجه، که توسط ما برای یک مورد خاص به دست آمده است، برای هر حرکت غیر یکنواخت معتبر است. افزایش طول مسیر در طول حرکت همیشه از نظر عددی برابر است با مساحت شکل محدود شده توسط نمودار سرعت توسط محورهای مختصات و مختصات مربوط به زمان نهایی انتخاب شده.

از این امکان جستجوی گرافیکی برای قانون حرکات پیچیده در موارد زیر استفاده خواهد شد.

مشتق و کاربرد آن در مطالعه توابع X

§ 218. قانون حرکت. سرعت حرکت لحظه ای

توصیف کامل تری از حرکت را می توان به شرح زیر بدست آورد. اجازه دهید زمان حرکت بدن را به چند بازه جداگانه تقسیم کنیم ( تی 1 , تی 2), (تی 2 , تی 3) و غیره (لزوما برابر نیست، شکل 309 را ببینید) و روی هر یک از آنها میانگین سرعت حرکت را تنظیم می کنیم.

البته این سرعت‌های متوسط، حرکت در کل بخش را کاملاً مشخص می‌کند تا میانگین سرعت در کل زمان حرکت. با این حال، آنها به عنوان مثال، پاسخی به این سؤال نخواهند داد: در چه مقطع زمانی در فاصله زمانی از تی 1 به تی 2 (شکل 309) قطار سریعتر رفت: در حال حاضر تی" 1 یا در حال حاضر تی" 2 ?

سرعت متوسط ​​حرکت را به طور کامل تر مشخص می کند، بخش های مسیری که در آن تعیین می شود کوتاه تر است. بنابراین یکی از راه های ممکنتوصیف حرکت غیر یکنواخت شامل تنظیم سرعت متوسط ​​این حرکت در بخش های کوچکتر و کوچکتر مسیر است.

فرض کنید یک تابع به ما داده شده است س (تی ) نشان می دهد که بدن کدام مسیر را طی می کند و به طور مستقیم در یک جهت در زمان حرکت می کند تی از شروع جنبش این تابع قانون حرکت بدن را تعیین می کند. به عنوان مثال، حرکت یکنواخت طبق قانون اتفاق می افتد

س (تی ) = vt ,

جایی که v - سرعت حرکت؛ سقوط آزاد اجسام طبق قانون اتفاق می افتد

جایی که g - شتاب بدن در حال سقوط آزاد و غیره

مسیری را در نظر بگیرید که جسمی طبق قانون حرکت می کند س (تی ) ، برای زمان از تی قبل از تی + τ .

تا آن زمان تی بدن راه را خواهد رفت س (تی ) و با گذشت زمان تی + τ - مسیر س (تی + τ ). بنابراین، در طول زمان تی قبل از تی + τ راه خواهد رفت س (تی + τ ) - س (تی ).

تقسیم این مسیر بر زمان حرکت τ ، سرعت متوسط ​​زمان را از دریافت می کنیم تی قبل از تی + τ :

حد این سرعت در τ -> 0 (اگر فقط وجود داشته باشد) فراخوانی می شود سرعت لحظه ای حرکت در یک زمان t:

(1)

سرعت لحظه ای حرکت در یک لحظه از زمان تیحد متوسط ​​سرعت حرکت در زمان از نامیده می شود تیقبل از تی+ τ ، چه زمانی τ به سمت صفر میل می کند.

بیایید دو مثال را در نظر بگیریم.

مثال 1. حرکت یکنواخت در یک خط مستقیم.

در این مورد س (تی ) = vt ، جایی که v - سرعت حرکت. سرعت لحظه ای این حرکت را پیدا کنید. برای انجام این کار، ابتدا باید میانگین سرعت را در بازه زمانی از پیدا کنید تی قبل از تی + τ . اما برای حرکت یکنواخت، سرعت متوسط ​​در هر قسمت از کدورت با سرعت حرکت منطبق است v . بنابراین سرعت آنی v (تی ) برابر خواهد بود با:

v (تی ) =v = v

بنابراین، برای حرکت یکنواخت، سرعت آنی (و همچنین سرعت متوسط ​​در هر بخش از مسیر) با سرعت حرکت منطبق است.

همان نتیجه را البته می‌توان به صورت رسمی و بر اساس برابری به دست آورد (1).

واقعا،

مثال 2حرکت شتاب‌دار یکنواخت با سرعت و شتاب اولیه صفر آ . در این حالت، همانطور که از فیزیک مشخص است، بدن طبق قانون حرکت می کند

طبق فرمول (1) سرعت لحظه ای چنین حرکتی را بدست می آوریم v (تی ) برابر است با:

بنابراین، سرعت لحظه ای حرکت شتاب یکنواخت در یک زمان تی برابر است با حاصل ضرب شتاب و زمان تی . بر خلاف حرکت یکنواخت، سرعت لحظه ای حرکت شتاب یکنواخت با زمان تغییر می کند.

تمرینات

1741. نقطه طبق قانون حرکت می کند (س - فاصله بر حسب متر تی - زمان در دقیقه). سرعت لحظه ای این نقطه را پیدا کنید:

ب) در آن زمان تی 0 .

1742. سرعت لحظه ای نقطه ای که طبق قانون حرکت می کند را پیدا کنید س (تی ) = تی 3 (s - مسیر بر حسب متر، تی - زمان در دقیقه):

الف) در شروع حرکت

ب) 10 ثانیه پس از شروع حرکت؛

ج) در حال حاضر تی= 5 دقیقه؛

1743. سرعت لحظه ای جسمی که طبق قانون حرکت می کند را بیابید س (تی ) = √تی ، در یک مقطع زمانی دلخواه تی .

همه به انواع مختلفی از حرکاتی که در زندگی خود با آن مواجه می شوند توجه داشتند. با این حال، هر حرکت مکانیکیبدن به یکی از دو نوع کاهش می یابد: خطی یا چرخشی. در مقاله قوانین اساسی حرکت اجسام را در نظر بگیرید.

در مورد چه نوع حرکتی صحبت می کنیم؟

همانطور که در مقدمه ذکر شد، همه انواع حرکت بدن که در فیزیک کلاسیک در نظر گرفته می شود، یا با یک مسیر مستقیم یا با یک مسیر دایره ای همراه است. هر مسیر دیگری را می توان با ترکیب این دو به دست آورد. در ادامه این مقاله، قوانین زیر در مورد حرکت بدن در نظر گرفته می شود:

1. یکنواخت در یک خط مستقیم.
2. شتاب یکنواخت (یکنواخت کند شده) در یک خط مستقیم.
3. دور دور یکنواخت.
4. به طور یکنواخت در اطراف شتاب گرفته است.
5. حرکت در مسیری بیضوی

حرکت یکنواخت یا حالت استراحت

این حرکت با نکته علمیگالیله برای اولین بار در اواخر قرن شانزدهم - آغاز قرن هفدهم به بینایی علاقه مند شد. او با مطالعه خواص اینرسی بدن و همچنین معرفی مفهوم سیستم مرجع، حدس زد که حالت سکون و حرکت یکنواخت یکسان است (همه به انتخاب جسمی که سرعت نسبت به آن دارد بستگی دارد. محاسبه شد).

متعاقباً، آیزاک نیوتن اولین قانون حرکت یک جسم را فرموله کرد که بر اساس آن، هرگاه هیچ نیروی خارجی وجود نداشته باشد که ویژگی های حرکت را تغییر دهد، سرعت جسم دوم یک مقدار ثابت است.

حرکت مستقیم یکنواخت یک جسم در فضا با فرمول زیر توصیف می شود:

جایی که s فاصله ای است که بدن در زمان t طی می کند و با سرعت v حرکت می کند. این عبارت ساده به شکل های زیر نیز نوشته می شود (همه به کمیت های شناخته شده بستگی دارد):

حرکت در یک خط مستقیم با شتاب

طبق قانون دوم نیوتن، وجود یک نیروی خارجی که بر جسم وارد می‌شود، ناگزیر منجر به ظهور شتاب در جسم دوم می‌شود. از (نرخ تغییر سرعت) عبارت زیر آمده است:

a=v/t یا v=a*t

اگر نیروی خارجی وارد بر بدن ثابت بماند (ماژول و جهت را تغییر ندهد)، شتاب نیز تغییر نخواهد کرد. این نوع حرکت شتاب یکنواخت نامیده می شود که در آن شتاب به عنوان یک عامل تناسب بین سرعت و زمان عمل می کند (سرعت به صورت خطی رشد می کند).

برای این حرکت، مسافت طی شده با ادغام سرعت در طول زمان محاسبه می شود. قانون حرکت یک جسم برای مسیری با حرکت شتاب یکنواخت به شکل زیر است:

رایج ترین نمونه این حرکت سقوط هر جسم از ارتفاع است که در آن گرانش شتاب g = 9.81 m / s 2 را به آن می گوید.

حرکت شتاب دار (آهسته) مستطیلی با سرعت اولیه

در حقیقت، ما داریم صحبت می کنیمدر مورد ترکیب دو نوع حرکت مورد بحث در پاراگراف های قبل. یک موقعیت ساده را تصور کنید: ماشینی با سرعتی برابر صفر در حال رانندگی بود، سپس راننده ترمز را فشار داد و وسیله نقلیهبعد از مدتی متوقف شد چگونه می توان حرکت را در این مورد توصیف کرد؟ برای تابع سرعت در مقابل زمان، عبارت درست است:

در اینجا v 0 سرعت اولیه (قبل از ترمز کردن ماشین) است. علامت منفی نشان می دهد که نیروی خارجی (اصطکاک لغزشی) بر خلاف سرعت v 0 است.

مانند پاراگراف قبل، اگر انتگرال زمانی v(t) را در نظر بگیریم، فرمول مسیر را بدست می آوریم:

s \u003d v 0 * t - a * t 2/2

توجه داشته باشید که این فرمول فقط فاصله ترمز را محاسبه می کند. برای پی بردن به مسافت طی شده توسط ماشین در تمام مدت حرکت آن، باید مجموع دو مسیر را پیدا کنید: یکنواخت و برای حرکت آهسته یکنواخت.

در مثالی که در بالا توضیح داده شد، اگر راننده پدال ترمز را فشار نمی داد، بلکه پدال گاز را فشار می داد، علامت "-" در فرمول های ارائه شده به "+" تغییر می کند.

حرکت دایره ای

هر حرکتی در یک دایره نمی تواند بدون شتاب رخ دهد، زیرا حتی اگر مدول سرعت حفظ شود، جهت آن تغییر می کند. شتاب مرتبط با این تغییر را مرکزگرا می نامند (این شتاب است که مسیر بدن را خم می کند و آن را به یک دایره تبدیل می کند). مدول این شتاب به صورت زیر محاسبه می شود:

a c \u003d v 2 / r، r - شعاع

در این عبارت، سرعت می تواند به زمان بستگی داشته باشد، همانطور که در مورد حرکت با شتاب یکنواخت در یک دایره اتفاق می افتد. در حالت دوم، a c به سرعت رشد خواهد کرد (وابستگی درجه دوم).

شتاب مرکزگرا تعیین کننده نیرویی است که باید برای نگه داشتن جسم در مدار دایره ای اعمال شود. یک مثال مسابقه پرتاب چکش است که در آن ورزشکاران تلاش زیادی می کنند تا پرتابه را قبل از پرتاب بچرخانند.

چرخش حول یک محور با سرعت ثابت

این نوع حرکت مشابه مورد قبلی است، فقط مرسوم است که آن را بدون استفاده از خطی توصیف کنید مقادیر فیزیکی، اما با استفاده از ویژگی های زاویه ای. قانون حرکت چرخشیوقتی سرعت زاویه ای تغییر نمی کند بدنه به صورت اسکالر به صورت زیر نوشته می شود:

در اینجا L و I به ترتیب ممان های تکانه و اینرسی هستند، ω سرعت زاویه ای است که با تساوی به سرعت خطی مربوط می شود:

مقدار ω نشان می دهد که بدن در یک ثانیه چند رادیان خواهد چرخید. مقادیر L و I برای حرکت مستقیم به معنای تکانه و جرم هستند. بر این اساس، زاویه θ که در آن جسم در زمان t می چرخد ​​به صورت زیر محاسبه می شود:

نمونه ای از این نوع حرکت، چرخش فلایویل است که روی میل لنگ در موتور خودرو قرار دارد. فلایویل یک دیسک عظیم است که شتاب دادن به آن بسیار دشوار است. به لطف این، تغییر آرامی در گشتاور ایجاد می کند که از موتور به چرخ ها منتقل می شود.

چرخش حول محور با شتاب

اگر یک نیروی خارجی به سیستمی وارد شود که قابلیت چرخش دارد، آنگاه شروع به افزایش سرعت زاویه ای خود می کند. این وضعیت با قانون زیر حرکت بدن به اطراف توصیف می شود:

در اینجا F نیروی خارجی است که در فاصله d از محور چرخش به سیستم وارد می شود. حاصلضرب سمت چپ برابری را ممان نیرو می نامند.

برای حرکت با شتاب یکنواخت در یک دایره، در می یابیم که ω به صورت زیر به زمان بستگی دارد:

ω = α * t، که در آن α = F * d / I - شتاب زاویه ای

در این مورد، زاویه چرخش در زمان t را می توان با ادغام ω در طول زمان تعیین کرد، به عنوان مثال:

اگر بدن قبلاً با سرعت معینی ω 0 می چرخید و سپس گشتاور خارجی نیروی F * d شروع به عمل کرد ، با قیاس با حالت خطی ، می توان عبارات زیر را نوشت:

ω = ω 0 + α * t;

θ \u003d ω 0 * t + α * t 2 / 2

بنابراین، ظهور یک گشتاور خارجی نیروها دلیل وجود شتاب در سیستمی با محور چرخش است.

برای کامل بودن اطلاعات، توجه می کنیم که امکان تغییر سرعت چرخش ω نه تنها با کمک گشتاور خارجی نیروها، بلکه به دلیل تغییر در ویژگی های داخلی سیستم، به ویژه ممان اینرسی آن نیز وجود دارد. . این وضعیت را هر فردی که چرخش اسکیت بازان را روی یخ تماشا می کرد دیده می شد. با گروه بندی، ورزشکاران طبق قانون ساده حرکت بدن، ω را با کاهش I افزایش می دهند:

حرکت در امتداد یک مسیر بیضی شکل در نمونه سیارات منظومه شمسی

همانطور که می دانید زمین ما و سایر سیارات منظومه شمسیدور ستاره خود نه در یک دایره، بلکه در یک مسیر بیضی شکل می چرخند. برای اولین بار، دانشمند مشهور آلمانی، یوهانس کپلر، قوانین ریاضی را برای توصیف این چرخش در آغاز قرن هفدهم تدوین کرد. کپلر با استفاده از نتایج مشاهدات معلمش تیکو براهه از حرکت سیارات، به تدوین سه قانون خود رسید. آنها به صورت زیر فرموله می شوند:

1. سیارات منظومه شمسی در مدارهای بیضی شکل حرکت می کنند و خورشید در یکی از کانون های بیضی قرار دارد.
2. بردار شعاع که خورشید و سیاره را به هم متصل می کند، همان مناطق را در بازه های زمانی مساوی توصیف می کند. این واقعیت از حفظ تکانه زاویه ای ناشی می شود.
3. اگر مربع دوره انقلاب را بر مکعب محور نیمه اصلی مدار بیضوی سیاره تقسیم کنیم، ثابت معینی به دست می آید که برای تمام سیارات منظومه ما یکسان است. از نظر ریاضی اینگونه نوشته شده است:

T 2 / a 3 \u003d C \u003d Const

متعاقبا، اسحاق نیوتن، با استفاده از این قوانین حرکت اجسام (سیارات)، قانون معروف گرانش جهانی یا گرانش خود را تدوین کرد. با اعمال آن، می توان نشان داد که ثابت C در 3 عبارت است از:

C = 4 * pi 2 / (G * M)

جایی که G ثابت جهانی گرانشی و M جرم خورشید است.

توجه داشته باشید که حرکت در امتداد یک مدار بیضی شکل در مورد عمل نیروی مرکزی (گرانش) منجر به این واقعیت می شود که سرعت خطی v دائماً در حال تغییر است. زمانی که سیاره در نزدیکترین فاصله به ستاره قرار دارد، حداکثر و از آن فاصله دارد.

و چرا به آن نیاز است. ما قبلاً می دانیم که چارچوب مرجع چیست، نسبیت حرکت و نقطه مادی. خوب، وقت آن است که ادامه دهیم! در اینجا به مفاهیم اساسی سینماتیک نگاه می کنیم، مفیدترین فرمول ها را در مورد مبانی سینماتیک گرد هم می آوریم و ارائه می کنیم. مثال عملیحل مشکل

بیایید مشکل زیر را حل کنیم: یک نقطه در دایره ای به شعاع 4 متر حرکت می کند. قانون حرکت آن با معادله S=A+Bt^2 بیان می شود. A=8m، B=-2m/s^2. شتاب عادی یک نقطه در چه نقطه ای از زمان برابر با 9 m/s^2 است؟ سرعت، مماس و شتاب کل نقطه را برای این لحظه در زمان بیابید.

راه حل: می دانیم که برای یافتن سرعت باید اولین مشتق زمانی قانون حرکت را بگیریم و شتاب نرمال برابر است با مربع خصوصی سرعت و شعاع دایره ای که نقطه در امتداد آن حرکت می کند. . مسلح به این دانش، ارزش های مورد نظر را پیدا می کنیم.

برای حل مشکلات به کمک نیاز دارید؟ یک سرویس دانشجویی حرفه ای آماده ارائه آن می باشد.