هواپیما در فضا - اطلاعات لازم. صفحه a عبور از این نقاط
سه صفحه ممکن است نقطه مشترکی نداشته باشند (اگر حداقل دو تا از آنها موازی باشند و همچنین اگر خطوط تقاطع آنها موازی باشند)، ممکن است تعداد بی نهایت نقطه مشترک داشته باشند (اگر همه آنها از یک خط عبور کنند) یا فقط
یک نکته مشترک در حالت اول، سیستم معادلات
هیچ راه حلی ندارد، در دومی بی نهایت راه حل دارد، در سومی فقط یک راه حل دارد. برای تحقیق، استفاده از تعیین کننده ها راحت تر است (§ 183، 190)، اما می توانید با ابزار جبر ابتدایی از پس آن برآیید.
مثال 1. هواپیماها
نقاط مشترکی ندارند، زیرا صفحات (1) و (2) موازی هستند (§ 125). سیستم معادلات ناسازگار است (معادلات (1) و (2) با یکدیگر در تضاد هستند).
مثال 2. بررسی کنید که آیا سه صفحه نقاط مشترک دارند یا خیر
ما به دنبال راه حلی برای سیستم (4)-(6) هستیم. با حذف 2 از (4) و (5)، با حذف 2 از (4) و (6) به دست می آوریم، این دو معادله ناسازگار هستند. یعنی این سه هواپیما نقاط مشترکی ندارند. از آنجایی که هیچ صفحه موازی در بین آنها وجود ندارد، سه خطی که در طول آنها صفحات به صورت جفت همدیگر را قطع می کنند، موازی هستند.
مثال 3. بررسی کنید که آیا هواپیماها نقاط مشترک دارند یا خیر
همانطور که در مثال 2 عمل می کنیم، هر دو زمان را به دست می آوریم، یعنی در واقع، نه دو، بلکه یک معادله. بی نهایت راه حل دارد. پس سه
موضوع " بدیهیات استریومتری و پیامدهای ناشی از آنها." گزینه 2. 1. در مورد موقعیت نسبی دو صفحه که سه نقطه مشترک دارند چه می توان گفتنقاطی که روی یک خط قرار ندارند؟ الف) تقاطع؛ ب) چیزی نمی توان گفت؛ ج) تقاطع نکنند. د) مطابقت؛ ه) سه نقطه مشترک دارند.
2- کدام یک از عبارات زیر صحیح است؟ الف) اگر دو نقطه از یک دایره در یک صفحه قرار گیرد، کل دایره در این صفحه قرار دارد. ب) خط مستقیمی که در صفحه مثلث قرار دارد دو ضلع آن را قطع می کند. ج) هر دو صفحه فقط یک نقطه مشترک دارند. د) یک هواپیما از دو نقطه عبور می کند، و علاوه بر این، فقط از یک نقطه. ه) خطی در صفحه یک مثلث معین قرار دارد که دو خط حاوی اضلاع مثلث را قطع کند.
3. آیا دو صفحه متفاوت فقط دو نقطه مشترک دارند؟ امر غیرممکن؛ ب) من می توانم، اما تحت شرایط اضافی. ج) همیشه داشته باشید؛ د) نمی توان به سؤال پاسخ داد. د) پاسخ دیگری.
4. نقاط K، L، M روی یک خط مستقیم قرار دارند، نقطه N روی آن قرار ندارد. از هر سه نقطه یک صفحه کشیده می شود. این نتیجه چند هواپیمای مختلف داشت؟ الف) 1؛ ب) 2; در 3; د) 4; ه) بی نهایت زیاد.
5. عبارت صحیح را انتخاب کنید. الف) یک هواپیما از هر سه نقطه و علاوه بر آن فقط از یک نقطه عبور می کند. ب) اگر دو نقطه از یک خط در یک صفحه قرار داشته باشند، تمام نقاط خط در این صفحه قرار دارند. ج) اگر دو صفحه یک نقطه مشترک داشته باشند، پس آنها را قطع نمی کنند. د) از طریق یک خط و نقطه ای که روی آن قرار دارد، یک هواپیما و علاوه بر این، فقط یکی می گذرد. ه) یک صفحه را نمی توان از طریق دو خط متقاطع ترسیم کرد.
6. خط مشترک هواپیماهای PBM و MAB را نام ببرید. الف) PM ب) AB; ج) PB; د) BM; د) نمی توان تعیین کرد.
7. خطوط a و b در نقطه M قطع می شوند. خط c که از نقطه M نمی گذرد خطوط a و b را قطع می کند. در مورد موقعیت متقابل خطوط a، b و c چه می توان گفت؟ الف) همه خطوط در سطوح مختلف قرار دارند. ب) خطوط a و b در یک صفحه قرار دارند. ج) همه خطوط در یک صفحه قرار دارند. د) چیزی نمی توان گفت ه) خط c با یکی از خطوط منطبق است: یا با a یا با b.
8. خطوط a و b در نقطه O قطع می شوند. A € a، B € b، Y € AB. عبارت صحیح را انتخاب کنید. الف) نقاط O و Y در یک صفحه قرار ندارند. ب) خطوط OY و a موازی هستند. ج) خطوط a، b و نقطه Y در یک صفحه قرار دارند. د) نقاط O و Y بر هم منطبق هستند. ه) نقاط Y و A بر هم منطبق هستند.
گزینه 2.1. در مورد موقعیت نسبیدو صفحه که سه نقطه مشترک دارند که روی یک خط قرار ندارند؟
الف) تقاطع؛ ب) چیزی نمی توان گفت؛ ج) تقاطع نکنند. د) مطابقت؛ ه) سه نقطه مشترک دارند.
2- کدام یک از عبارات زیر صحیح است؟
الف) اگر دو نقطه از یک دایره در یک صفحه قرار گیرد، کل دایره در این صفحه قرار دارد. ب) خط مستقیمی که در صفحه مثلث قرار دارد دو ضلع آن را قطع می کند. ج) هر دو صفحه فقط یک نقطه مشترک دارند. د) یک هواپیما از دو نقطه عبور می کند، و علاوه بر این، فقط از یک نقطه. ه) خطی در صفحه یک مثلث معین قرار دارد که دو خط حاوی اضلاع مثلث را قطع کند.
3. آیا دو صفحه متفاوت فقط دو نقطه مشترک دارند؟
امر غیرممکن؛ ب) من می توانم، اما تحت شرایط اضافی. ج) همیشه داشته باشید؛ د) نمی توان به سؤال پاسخ داد. د) پاسخ دیگری.
4. نقاط K، L، M روی یک خط مستقیم قرار دارند، نقطه N روی آن قرار ندارد. از هر سه نقطه یک صفحه کشیده می شود. این نتیجه چند هواپیمای مختلف داشت؟
الف) 1؛ ب) 2; در 3; د) 4; ه) بی نهایت زیاد.
5. عبارت صحیح را انتخاب کنید.
الف) یک هواپیما از هر سه نقطه و علاوه بر آن فقط از یک نقطه عبور می کند. ب) اگر دو نقطه از یک خط در یک صفحه قرار داشته باشند، تمام نقاط خط در این صفحه قرار دارند. ج) اگر دو صفحه یک نقطه مشترک داشته باشند، پس آنها را قطع نمی کنند. د) از طریق یک خط و نقطه ای که روی آن قرار دارد، یک هواپیما و علاوه بر این، فقط یکی می گذرد. ه) یک صفحه را نمی توان از طریق دو خط متقاطع ترسیم کرد.
6. خط مشترک هواپیماهای PBM و MAB را نام ببرید.
الف) PM ب) AB; ج) PB; د) BM; د) نمی توان تعیین کرد.
7. خط راست RM کدام یک از صفحات فهرست شده را قطع می کند (شکل 1)؟
الف) DD1C؛ ب) D1PM; ج) B1PM؛ د) ABC; ه) CDA.
B1 C1
8. دو صفحه در یک خط مستقیم c. نقطه M فقط در یکی از صفحات قرار دارد. در مورد موقعیت نسبی نقطه M و خط c چه می توان گفت؟
الف) هیچ نتیجه ای نمی توان گرفت؛ ب) خط c از نقطه M می گذرد. ج) نقطه M روی خط c قرار دارد. د) خط c از نقطه M عبور نمی کند. د) پاسخ دیگری.
9. خطوط a و b در نقطه M قطع می شوند. خط c که از نقطه M نمی گذرد خطوط a و b را قطع می کند. در مورد موقعیت متقابل خطوط a، b و c چه می توان گفت؟
الف) همه خطوط در سطوح مختلف قرار دارند. ب) خطوط a و b در یک صفحه قرار دارند. ج) همه خطوط در یک صفحه قرار دارند. د) چیزی نمی توان گفت ه) خط c با یکی از خطوط منطبق است: یا با a یا با b.
10. خطوط a و b در نقطه O قطع می شوند. A € a، B € b، Y € AB. عبارت صحیح را انتخاب کنید.
الف) نقاط O و Y در یک صفحه قرار ندارند. ب) خطوط OY و a موازی هستند. ج) خطوط a، b و نقطه Y در یک صفحه قرار دارند. د) نقاط O و Y بر هم منطبق هستند. ه) نقاط Y و A بر هم منطبق هستند.
پرتوهای AB و AC بر لبه آن عمود هستند؟ 2. آیا اگر پرتوهای AB و AC روی وجوه زاویه دو وجهی قرار گیرند، زاویه خطی BAC یک زاویه دو وجهی است؟ 3. اگر پرتوهای AB و AC بر لبه آن عمود باشند و نقاط E و C بر روی وجوه زاویه قرار گیرند، درست است که زاویه BAC زاویه خطی یک زاویه دو وجهی است؟ 4. زاویه خطی یک زاویه دو وجهی 80 درجه است. آیا در یکی از وجوه زاویه خطی عمود بر وجه دیگر وجود دارد؟ 5. زاویه ABC - یک زاویه خطی از یک زاویه دو وجهی با لبه آلفا. آیا خط آلفا عمود بر صفحه ABC است؟ آیا درست است که تمام خطوط عمود بر یک صفحه معین و قطع کننده یک خط معین در یک صفحه قرار دارند؟
I5 هر سه نقطه ای که روی یک خط قرار نگیرند، حداکثر یک صفحه از این نقاط عبور می کند.
I6 اگر دو نقطه A و B از یک خط در صفحه a قرار داشته باشند، هر نقطه از خط a در صفحه a قرار دارد. (در این صورت خواهیم گفت که خط a در صفحه a قرار دارد یا اینکه صفحه a از خط a عبور می کند.
I7 اگر دو صفحه a و b دارای نقطه مشترک A باشند، حداقل یک نقطه مشترک B دارند.
I8 حداقل چهار نقطه وجود دارد که در یک صفحه قرار ندارند.
قبلاً از این 8 بدیهیات می توان چندین قضیه هندسه ابتدایی را استنباط کرد که به وضوح واضح است و بنابراین در درس هندسه مدرسه اثبات نمی شود و حتی گاهی اوقات از ملاحظات منطقی در بدیهیات یکی یا دیگری گنجانده می شود. دوره مدرسه
مثلا:
1. دو خط حداکثر یک نقطه مشترک دارند.
2. اگر دو صفحه دارای یک نقطه مشترک باشند، یک خط مشترک دارند که تمام نقاط مشترک این دو صفحه روی آن قرار دارند.
اثبات: (برای خودنمایی):
توسط I 7 $ B، که همچنین متعلق به a و b است، زیرا A، B "a، سپس طبق I 6 AB "b. بنابراین خط AB با دو صفحه مشترک است.
3. از یک خط و نقطه ای که روی آن قرار ندارد و همچنین از دو خط متقاطع، یک و تنها یک صفحه عبور می کند.
4. در هر صفحه سه نقطه وجود دارد که روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرند.
اظهار نظر: با این بدیهیات می توانید چند قضیه را اثبات کنید که اکثر آنها بسیار ساده هستند. به ویژه، نمی توان از این بدیهیات ثابت کرد که مجموعه عناصر هندسی نامحدود است.
GROUP II بدیهیات نظم.
اگر سه نقطه روی یک خط مستقیم داده شود، می توان یکی از آنها را به دو نقطه دیگر در رابطه "دراز کشیدن بین" قرار داد، که بدیهیات زیر را برآورده می کند:
II1 اگر B بین A و C باشد، A، B، C نقاط متمایز یک خط هستند و B بین C و A قرار دارد.
II2 هر دو نقطه A و B باشند، حداقل یک نقطه C در خط AB وجود دارد به طوری که B بین A و C قرار دارد.
II3 در میان هر سه نقطه از یک خط، حداکثر یک نقطه بین دو نقطه دیگر قرار دارد.
به گفته هیلبرت، یک جفت نقطه A و B بر روی یک قطعه AB(BA) درک می شود، نقاط A و B انتهای قطعه نامیده می شوند و هر نقطه ای که بین نقاط A و B قرار گیرد، نقطه داخلی پاره نامیده می شود. AB (BA).
اظهار نظر:اما از II 1-II 3 هنوز نتیجه نمی گیرد که هر بخش دارای نقاط داخلی است، اما از II 2، z که بخش دارای نقاط بیرونی است.
II4 (اصول پاش) فرض کنید A، B، C سه نقطه هستند که روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرند، و اجازه دهید A یک خط مستقیم در صفحه ABC باشد که از هیچ یک از نقاط عبور نمی کند. نقاط A، B، C. سپس اگر خط a از نقطه پاره AB بگذرد، از نقطه پاره AC یا BC نیز می گذرد.
Sl.1: نقاط A و C هر چه که باشند، حداقل یک نقطه D در خط AC بین A و C وجود دارد.
Doc-in: من 3 Þ$ یعنی روی خط AC دراز نمیکشم
Sl.2.اگر C روی قطعه AD و B بین A و C قرار داشته باشد، B بین A و D و C بین B و D قرار دارد.اکنون می توانیم دو جمله را ثابت کنیم
DC3اگر نقاط A، B و C روی یک خط مستقیم قرار گیرند، ادعای II 4 نیز صادق است.
و جالب ترین.
Sl.4 . بین هر دو نقطه از یک خط، تعداد نامتناهی نقطه دیگر روی آن وجود دارد (خودکفا).
با این حال، نمی توان ثابت کرد که مجموعه نقاط خط غیرقابل شمارش است. .
بدیهیات گروه های I و II به ما اجازه می دهد تا مفاهیم مهمی را معرفی کنیم نیمه صفحه، پرتو، نیمه فاصله و زاویه. بیایید ابتدا قضیه را ثابت کنیم.
Th1. خط a در صفحه a مجموعه نقاط این صفحه را که روی خط a قرار ندارند به دو زیرمجموعه غیر خالی تقسیم می کند به طوری که اگر نقاط A و B متعلق به یک زیر مجموعه باشند، پاره AB هیچ مشترکی ندارد. نقاط با خط a; اگر این نقاط به زیرمجموعه های مختلف تعلق داشته باشند، بخش AB نقطه مشترکی با خط a دارد.
ایده: یک رابطه معرفی می شود، یعنی t. A و B Ï آاگر پاره AB هیچ نقطه مشترکی با خط نداشته باشد با Δ در ارتباط هستند آیا این نقاط با هم تطابق دارند. سپس مجموعه ای از کلاس های هم ارزی با توجه به Δ در نظر گرفته شد. ثابت شده است که تنها دو مورد از آنها با استفاده از استدلال های ساده وجود دارد.
ODA1به هر یک از زیرمجموعه‌های نقاطی که با قضیه قبل تعریف شده‌اند، نیم صفحه با مرز a می‌گویند.
به همین ترتیب می توان مفاهیم پرتو و نیم فاصله را معرفی کرد.
اشعه- ساعت، و خط مستقیم است .
ODA2زاویه یک جفت پرتو h و k است که از یک نقطه O ساطع می شود و روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرد. بنابراین O را رأس زاویه و پرتوهای h و k را اضلاع زاویه می نامند. به روش معمول نشان داده می شود: Ðhk.
نقطه M یک نقطه داخلی از زاویه hk نامیده می شود اگر نقطه M و پرتو k در یک نیم صفحه با مرز و نقطه M و پرتو k در یک نیم صفحه با مرز قرار بگیرند. مجموعه تمام نقاط داخلی را باطن زاویه می گویند.
ناحیه بیرونی گوشه یک مجموعه بی نهایت است، زیرا تمام نقاط قطعه با انتهایی در ضلع های مختلف زاویه داخلی هستند. به دلایل روش شناختی، ویژگی زیر اغلب در بدیهیات گنجانده می شود.
ویژگی: اگر یک پرتو از یک راس یک زاویه شروع شود و حداقل از یک نقطه داخلی آن زاویه عبور کند، آنگاه هر قطعه ای را با انتهای آن در طرف های مختلف زاویه قطع می کند. (خود.)
گروه III. بدیهیات همخوانی (برابری)
در مجموعه قطعات و زوایا، یک رابطه همخوانی یا برابری معرفی می شود (که با "=" نشان داده می شود)، که بدیهیات را برآورده می کند:
III 1 اگر یک قطعه AB و یک پرتو نشات گرفته از نقطه A / داده شود، آنگاه $ t.B / متعلق به این پرتو است، به طوری که AB=A / B / .
III 2 اگر A / B / =AB و A // B // =AB، آنگاه A / B / =A // B // .
III 3 اجازه دهید А-В-С، А / -В / -С /، АВ=А / В / و ВС=В / С /، سپس AC=A / С /
ODA3اگر O / یک نقطه باشد، h / پرتوی است که از این نقطه ساطع می شود، و l / یک نیمه صفحه با مرز است، سه گانه اجسام O / ,h / و l / را پرچم (O / ,h) می گویند. /، ل /).
III 4 اجازه دهید Ðhk و یک پرچم (O / ,h /,l /) داده شود. سپس در نیمه صفحه l / یک پرتو یکتا k / وجود دارد که از نقطه O / ساطع می شود به طوری که Ðhk = Ðh / k / .
III 5 بگذارید A، B و C سه نقطه باشند که روی یک خط مستقیم قرار نگیرند. اگر در همان زمان AB=A / B /، AC=A / C /، ÐB / A / C / = ÐBAC، سپس RABC = ÐA / B / C /.
1. نقطه B / B III 1 تنها روی این پرتو (خود.) است.
2. رابطه همسانی پاره ها یک رابطه هم ارزی بر روی مجموعه قطعات است.
3. در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده ها برابر است. (طبق III 5).
4. نشانه های تساوی مثلث ها.
5. رابطه همسانی زاویه یک رابطه هم ارزی روی مجموعه ای از زوایا است. (گزارش)
6. زاویه بیرونی مثلث از هر زاویه مثلثی که مجاور آن نیست بیشتر است.
7. در هر مثلث در برابر سمت بزرگترزاویه بزرگتری قرار دارد
8. هر بخش یک و تنها یک نقطه میانی دارد
9. هر زاویه ای یک نیمساز دارد
می توانید مفاهیم زیر را معرفی کنید:
ODA4به زاویه ای که برابر با زاویه مجاور آن است، زاویه قائمه می گویند..
می تواند زوایای عمودی، عمود و مایل و غیره را تعریف کند.
می توان منحصر به فرد بودن ^ را اثبات کرد. می توانید مفاهیم > و را معرفی کنید< для отрезков и углов:
ODA5اگر بخش های AB و A / B / و $ t.C داده شوند، به طوری که A / -C-B / و A / C \u003d AB، سپس A / B / > AB.
ODA6اگر دو زاویه Ðhk و Ðh / k / داده شود، و اگر بتوان یک پرتو l را از داخل Ðhk و رأس آن به گونه‌ای رسم کرد که Ðh / k / = Ðhl، آنگاه Ðhk > Ðh / k / .
و جالب ترین چیز این است که با کمک بدیهیات گروه I-IIIمی توان مفهوم حرکت (روکش) را معرفی کرد.
به این صورت انجام می شود:
اجازه دهید دو مجموعه از نقاط p و p / داده شود، فرض کنید یک تناظر یک به یک بین نقاط این مجموعه ها برقرار است. هر جفت نقطه M و N از مجموعه p قطعه MN را تعیین می کند. فرض کنید М / و N / نقاطی از مجموعه p / مربوط به نقاط МN باشند. ما موافقت خواهیم کرد که بخش M / N / مربوط به بخش MN را بنامیم.
ODA7اگر $ مطابقت بین p و p / به گونه ای باشد که بخش های متناظر همیشه متجانس باشند، آنگاه مجموعه ها p و p / متجانس نامیده می شوند . همچنین گفته می شود که هر یک از مجموعه های p و p / به دست می آید جنبشاز دیگری یا اینکه یکی از این مجموعه ها را می توان بر دیگری سوار کرد. نقاط متناظر مجموعه p و p / را روی هم قرار می دهند.
برنامه 1: نقاط خوابیده روی یک خط، هنگام حرکت، به نقاطی که روی یک خط قرار دارند نیز منتقل می شوند.
Utv2 زاویه بین دو بخش که هر نقطه از مجموعه را با دو نقطه دیگر متصل می کند با زاویه بین بخش های مربوطه مجموعه همخوان مطابقت دارد.
می توانید مفهوم چرخش، شیفت، ترکیب حرکات و ... را معرفی کنید.
گروه چهارم بدیهیات تداوم و.
IV 1 (Axiom of Archimedes). بگذارید AB و CD چند قطعه باشند. سپس روی خط AB مجموعه متناهی از نقاط А 1 , А 2 , …, А n وجود دارد به طوری که شرایط زیر برقرار است:
1. A-A 1 -A 2، A 1 -A 2 -A 3، ...، A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. الف-ب-آن
IV2 (اصول کانتور) اجازه دهید یک دنباله نامتناهی از قطعات A1В1، А2В2،... روی یک خط دلخواه a داده شود، که هر کدام در داخل خط قبلی قرار دارد و علاوه بر این، برای هر قطعه CD وجود دارد. عدد طبیعی n طوری که AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
| 1A | Def. موازیخطوط مستقیم در فضا خطوط مستقیمی هستند که در یک صفحه قرار دارند و قطع نمی شوند. بر اساس 3. یک هواپیما از دو خط موازی و علاوه بر این فقط از یک خط عبور می کند. | |
| 1B | T 1 (در مورد گذر).دو خط موازی با یک سوم موازی یکدیگر هستند. | |
| 2A | با توجه به کلمه 2. پس از دو متقاطعخطوط مستقیم از یک صفحه عبور می کنند، و علاوه بر این، تنها یک | |
| 3A | Def. دو خط نامیده می شوند آمیختگیاگر در یک هواپیما دراز نکشند. | |
| T 2 (نشانه ای از خطوط متقاطع).اگر یکی از دو خط در صفحه معینی قرار گیرد و خط دیگر این صفحه را در نقطه ای که به خط اول تعلق ندارد قطع کند، چنین خطوطی کج هستند. | ||
| 3B | Def. زاویه بین خطوط اریبزاویه بین خطوط متقاطع موازی با آنها است. | |
| 3B | Def. عمود مشترک دو خط متقاطع، پاره ای است که انتهای آن روی این خطوط و عمود بر آنها باشد. (فاصله بین خطوط اریب). |
- آرایش متقابل خطوط و صفحات در فضا.
در فضا، یک خط مستقیم و یک صفحه می تواند باشد موازی، متقاطعیا مستقیم می تواند به طور کامل در یک هواپیما دراز بکشد.
| 1A | Def. سر راستتماس گرفت صفحه موازی، اگر موازی با هر خطی باشد که در این صفحه قرار دارد. | |
| 1B | T 3 (نشانه توازی خط مستقیم و صفحه). خطی که در یک صفحه قرار ندارد موازی با یک صفحه است اگر با خطی که در آن صفحه قرار دارد موازی باشد. | |
| 2A | Def. دایرکت تماس گرفت عمود بر صفحه، اگر عمود بر هر یک از خطوط متقاطع واقع در این صفحه باشد. | |
| 2B | T 4 (نشانه عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه)اگر خطی که با صفحه ای قطع می شود بر هر دو خط متقاطع واقع در این صفحه عمود باشد، آنگاه بر هر خط سومی که در این صفحه قرار دارد نیز عمود خواهد بود. | |
| 2B | T 5 (حدود دو خط موازی عمود بر خط سوم).اگر یکی از دو خط موازی بر یک صفحه عمود باشد، خط دیگر نیز بر آن صفحه عمود است. | |
| 2G | Def. زاویه بین یک خط و یک صفحه، زاویه بین یک خط معین و طرح ریزی آن بر روی صفحه است. | |
| 2 بعدی | تعریف هر خط مستقیم دیگری که با خط عمود و متقاطع آن صفحه متفاوت باشد، نامیده می شود مورببه این هواپیما (شکل زیر را ببینید). Def. فرافکنی مورب بر روی یک صفحهقطعه اتصال قاعده عمود به مورب نامیده می شود. T 6 (در مورد طول عمود و مایل). 1) عمود کشیده شده به صفحه کوتاهتر از عمود بر این صفحه است. 2) مایل مساوی با برجستگی های مساوی مطابقت دارد. 3) از دو مایل، آن که برآمدگی آن بزرگتر است بزرگتر است. | |
| 2E | T 7 (حدود سه عمود).خط مستقیمی که بر روی یک صفحه از طریق پایه یک برآمدگی مایل عمود بر آن کشیده شده است نیز بر شیب ترین آن عمود است. T 8 (معکوس).خط مستقیمی که روی یک صفحه از قاعده یک صفحه شیبدار و عمود بر آن کشیده شده است نیز عمود بر طرح ریزی صفحه شیبدار بر روی این صفحه است. | |
| 3A | با توجه به اصل 2. اگر دو نقطه از یک خط مستقیم در یک صفحه قرار داشته باشند، تمام نقاط یک خط مستقیم در این صفحه قرار دارند. |
- آرایش متقابل هواپیماها در فضا.
در فضا، هواپیماها می توانند باشند موازییا صلیب.
| 1A | Def. دو سطحتماس گرفت موازیاگر تلاقی نکنند | |
| T 9 (علامت صفحات موازی).اگر دو خط متقاطع از یک صفحه به ترتیب با دو خط از صفحه دیگر موازی باشند، آنگاه این صفحات موازی هستند. | ||
| 1B | T 10 اگر دو صفحه موازی با صفحه سوم قطع شوند، تقاطع های مستقیم موازی هستند. (ویژگی صفحات موازی 1). | |
| 1B | T 11 قطعات خطوط موازی محصور بین صفحات موازی برابر هستند (ویژگی صفحات موازی 2). | |
| 2A | با اصل 3. اگر دو صفحه دارای یک نقطه مشترک باشند، یک خط مشترک دارند که تمام نقاط مشترک این صفحات روی آن قرار دارند. هواپیماها در یک خط مستقیم قطع می شوند). | |
| 2B | T 12 (نشانه عمود بودن صفحات).اگر صفحه ای از خطی عمود بر صفحه دیگر عبور کند، این صفحات عمود هستند. | |
| 2B | Def. زاویه دو وجهیشکلی که توسط دو نیم صفحه که از یک خط مستقیم بیرون می آیند تشکیل می شود. صفحه ای عمود بر لبه ای از زاویه دو وجهی وجه های آن را در امتداد دو پرتو قطع می کند. زاویه تشکیل شده توسط این پرتوها نامیده می شود زاویه خطی یک زاویه دو وجهیپشت اندازه گیری زاویه دو وجهیاندازه گیری زاویه خطی مربوطه گرفته می شود. |