تقریب و ترتیب تقریب. تقریب مستقیم مسئله (10.1) در حوزه شبکه ترتیب تقریب اختلاف

این مفاهیم اساسی نظریه طرح‌های تفاوت قبلاً در ساخت روش‌های عددی برای حل معمولی مورد بحث قرار گرفته‌اند. معادلات دیفرانسیل. در گذار به معادلات دیفرانسیل جزئی، ماهیت مسائل مورد بررسی از نظر کیفی تغییر می کند، بنابراین لازم است دوباره این مفاهیم مورد توجه قرار گیرد. البته در اینجا فرصتی برای ارائه نظریه طرح های تفاوت نداریم، اما سعی می کنیم بیشترین را ارائه دهیم. اطلاعات لازم.

اولیه مشکل دیفرانسیل، که شامل حل یک معادله دیفرانسیل جزئی برای شرایط اولیه و مرزی است، به شکل عملگر می نویسیم:

توجه داشته باشید که این معادله عملگر نه تنها معادله دیفرانسیل جزئی اصلی، بلکه شرایط اضافی (اولیه و مرزی) را نیز شامل می شود. تابع اف(ایکس, تی) سمت راست معادله و همچنین شرایط اولیه و مرزی را توصیف می کند. منطقه شامل ناحیه محاسباتی است جیو مرز جی.

ما مشکل دیفرانسیل (2.7) را با مسئله تفاوت با توجه به تابع شبکه جایگزین می کنیم اوه، در گره های شبکه تعریف شده است. برای سادگی، فرض می کنیم که شبکه به یک پارامتر بستگی دارد ساعت, و مرحله زمانی τ بیان شده از طریق ساعت: τ = rh, جایی که r = پایان مشکل تفاوت را می توان به شکل عملگر نیز نوشت:

مقادیر تابع شبکه در گره های شبکه تقریباً جایگزین مقادیر تابع مورد نظر در همان گره ها با خطا می شود:

اجازه دهید مقدار مشخصه ای از این خطاها را معرفی کنیم، به عنوان مثال، حداکثر مقدار مدول آنها در شبکه

.

همگرا، اگر این مقدار خطا هنگام ضخیم شدن گره های مش به صفر گرایش پیدا کند، به عنوان مثال. اگر

اگر در همان زمان ، کجا M = const > 0، سپس طرح تفاوت دارد ک- هفتم ترتیب دقتاو نیز گفته می شود با سرعت همگرا می شودO(hk).

همچنین می توان مفهوم ترتیب دقت را برای پارامترهای شبکه مستقل معرفی کرد ساعت, τ. به ویژه، اگر شرط برآورده شود، طرح تفاوت با نرخ همگرا می شود و دارد آر-مین مرتبه دقت در ساعتو q-ام سفارش توسط τ.

اجازه دهید تابع خطای شبکه را تعریف کنیم δ ساعتبه عنوان تفاوت بین حل مسئله دیفرانسیل در نظر گرفته شده در گره های شبکه و راه حل اختلاف: . در عین حال، ارزش δ ساعتدر شماره گره ( من, j) با رابطه (2.9) تعیین می شود. تو را بیان کن ساعت، از طریق اوهو δ ساعتو معادله (2.8) را جایگزین کنید. ما داریم

(2.10)

ارزش Rhتماس گرفت غیر لزج (خطای تقریب)طرح تفاوت هنگامی که حل مسئله دیفرانسیل (2.7) در این معادله جایگزین شود، برابر است با تفاوت بین قسمت چپ و راست (2.8).

اجازه دهید مقداری مشخصه اختلاف را معرفی کنیم آر،مثلا

سپس در آر = O(hk) تقریب دارد کمرتبه -ام نسبت به ساعت. اگر مقادیر ساعتو τ مستقل هستند، سپس برای ترتیب تقریب طرح تفاوت R-فضا و q- ypo زمان

طرح تفاوت (2.8) تقریبی می کندمشکل دیفرانسیل اصلی (2.7) در صورتی که اختلاف با پالایش شبکه به صفر برسد، یعنی.

تقریبی از این نوع، یعنی. زمانی که باقیمانده به سمت صفر گرایش پیدا می کند و به سمت صفر میل می کند ساعتو τ طبق هر قانونی بدون هیچ قید و شرطی نامیده می شود بدون قید و شرطیا تقریب مطلق. چه زمانی تقریب مشروطبرخی شرایط بر اندازه پله ها در مکان و زمان تحمیل می شود. به عنوان مثال، اگر، پس آر→ 0 برای و، یعنی مشکل تفاوت تقریبی مشکل اصلی است، مشروط بر اینکه τ سریعتر به صفر تمایل دارد ساعت 2. بنابراین، با تی = ساعت2 هیچ تقریبی در این مثال وجود ندارد.

طرح تفاوت (2.8) نامیده می شود پایدار، اگر حل آن به طور مداوم به داده های ورودی بستگی دارد، یعنی. یک تغییر کوچک در داده های ورودی مربوط به یک تغییر کوچک در راه حل است. ثبات، حساسیت طرح تفاوت را به انواع مختلف خطاها مشخص می کند. این یک ویژگی ذاتی مسئله تفاوت است و این ویژگی مستقیماً با مسئله دیفرانسیل اصلی (برخلاف همگرایی و تقریب) مرتبط نیست.

با قیاس با تقریب پایداریاتفاق می افتد مشروطو بدون قید و شرطبسته به اینکه آیا محدودیت هایی بر نسبت بین مراحل برای متغیرهای مختلف اعمال می شود یا خیر.

در نظریه طرح‌های تفاوت، راه های مختلفمطالعات تقریب مشکلات دیفرانسیل و اختلاف اصلی و تأیید پایداری طرح‌های تفاوت. در اینجا فقط متذکر می شویم که این بررسی ها بسیار ساده تر از اثبات همگرایی راه حل تفاوت با پاسخ دقیق است. بنابراین، از ادعای زیر استفاده می شود.

قضیه. اگر حل مسئله دیفرانسیل اصلی(2.7) وجود دارد، و طرح تفاوت(2.8) پایدار است و مشکل را تقریبی می کند(2.7) در این تصمیم با دستورک، سپس جواب تفاضل با یک نرخ به مقدار دقیق همگرا می شودO(h(k)).

به طور خلاصه، همگرایی از تقریب و ثبات ناشی می شود. بنابراین، با اثبات تقریب و پایداری طرح اختلاف، می‌توان از همگرایی آن مطمئن بود.

اجازه دهید مطالعه طرح‌های تفاوت را با مثال دو طرح بالا برای معادله گرما - طرح صریح (2.3) و طرح ضمنی (2.4) نشان دهیم. ما این راه حل را فرض خواهیم کرد U(ایکس, تی) مشکل دیفرانسیل (2.2) وجود دارد و مشتقات جزئی ¶ 2 U/ ¶ تی2 و ¶ 4 U/ ¶ ایکس4 در حوزه محاسباتی پیوسته و محدود هستند. سپس مطابق فرمول های تمایز عددی، برای هر گره، می توانیم روابط زیر را بنویسیم:

. (2.11)

اجازه دهید خطای تقریبی معادله اصلی (2.2) را با استفاده از طرح تفاوت (2.3) برای یک گره شبکه دلخواه پیدا کنیم:

اجازه دهید روابط (2.11) را با این برابری جایگزین کنیم. در همان زمان، ما توجه داشته باشید که از زمان U(ایکس, تی) جواب دقیق معادله (2.2) است، پس

(2.12)

در نتیجه، حداکثر مقدار مغایرت با در نظر گرفتن (2.11)، (2.12)، در حد است.

تخمین باقیمانده مشابهی را نیز می توان برای طرح تفاوت (2.4) به دست آورد.

بنابراین، طرح‌های تفاوت (2.3) و (2.4) معادله دیفرانسیل اصلی (2.2) را با مرتبه دوم در تقریب می‌کنند. ساعتو با سفارش اول τ. شرایط اولیه و مرزی مسئله (2.2) دقیقاً در مرزها تقریب می شود، زیرا در اینجا مقادیر تابع شبکه برابر با مقادیر راه حل است: Г مرز حوزه محاسباتی است ( تی= 0, x = 0, x = 1).

ما اکنون پایداری این طرح‌های تفاوت را بررسی می‌کنیم. ما با طرح صریح (2.3) تحت شرایط مرزی (2.5) و شرایط اولیه (2.6) شروع می کنیم. اجازه دهید از (2.3) مقدار تابع grid را در لایه بالایی پیدا کنیم:

فرض کنید محدودیتی به شکل نابرابری وجود دارد

سپس . ما از این روابط برای تخمین راه حل شبکه (2.13) استفاده می کنیم:

اجازه دهید اکنون نماد بزرگترین مقدار مدول تابع شبکه را معرفی کنیم j- omsloe

و با در نظر گرفتن شرایط مرزی (2.5)، نابرابری (2.15) را برای مقادیر محلول در کل می نویسیم. j+ 1) لایه، از جمله مرزها:

از اینجا در j= 0 دریافت کنید

از (2.5)، (2.6) چنین است که

بنابراین، نابرابری (2.17) را می توان به صورت

در j= 1 از (2.16)، (2.18) به دست می آوریم

به همین ترتیب، برای برخی j = جیما داریم

(2.19)

بنابراین، مقادیر محلول شبکه بر روی ( جی + 1) لایه از مدول تجاوز نکنید ارزش های شناخته شدهراه حل شبکه روی لایه صفر ( j= 0) و در مرزها من= 0, من = من[توسط ( جی+1) لایه شامل].

نابرابری (2.19) به معنای طرح پایداری تفاوت (2.3) است. بیایید آن را نشان دهیم. طرح تفاوت در بالا نامگذاری شد پایداراگر یک تغییر کوچک در داده های ورودی با یک تغییر کوچک در راه حل مطابقت دارد. یک مشکل تفاوت را در نظر بگیرید که داده های ورودی آن، به عنوان مثال، شرایط اولیه، دستخوش تغییر کوچکی شده است:

(2.20)

راه حل این مشکل تابع شبکه است

حل مسئله تفاوت اصلی (2.3)، (2.5)، (2.6) کجاست و مقداری تصحیح برای راه حل است. (2.21) را به (2.20) جایگزین می کنیم:

از این رو، با در نظر گرفتن (2.3)، (2.5)، (2.6)، مسئله تفاوت را با توجه به اصلاح به دست می آوریم.

این مشکل با مشکل اصلی منطبق است، اما با شرایط اولیه و مرزی متفاوت. نابرابری (2.19) برای حل آن قابل اعمال است که در این حالت شکل و به این معنی است که تصحیح راه حل برای یک تغییر کوچک در شرایط اولیه کم است. بنابراین، طرح (2.3) در شرایط (2.14) پایدار است. می توان نشان داد که در صورت نقض این شرط، طرح (2.3) ناپایدار خواهد بود، یعنی، طرح صریح (2.3) به طور مشروط پایدار است. تقریب و ثبات دلالت بر همگرایی آن با نرخ دارد O(ساعت2 +τ) .

اجازه دهید اکنون پایداری طرح تفاوت ضمنی (2.4) را بررسی کنیم. اجازه دهید با استفاده از (2.4)، (2.5)، سیستم معادلات برای یافتن مقادیر مجهول تابع شبکه در لایه بالایی را بنویسیم:

این سیستم با روش Sweep قابل حل است. پایداری بدون قید و شرط طرح ضمنی (2.4) با تحقق شرایط پایداری برای روش رفت و برگشت برای سیستم (2.22) تضمین می شود.

پایداری و همگرایی طرح‌های تفاوت را می‌توان با محاسبات پالایش مش تخمین زد. با این حال، این منجر به افزایش قابل توجهی در حجم محاسبات و افزایش کل خطاها می شود.

تمرین طولانی مدت استفاده از روش های عددی برای حل مسائل مهندسی در رایانه نشان می دهد که استفاده از یک یا آن طرح تفاوت، حتی اگر به صورت نظری مورد مطالعه قرار گرفته باشد، نیاز به تأیید کامل آن در حل یک مسئله خاص دارد. برای انجام این کار، آزمایش های محاسباتی روشی انجام می شود که شامل محاسباتی با مقادیر گام های مختلف برای داده های اولیه مختلف است. همچنین اشکال زدایی تکنیک با استفاده از مسائل آزمایشی که می توان برای آنها یک راه حل تحلیلی به دست آورد یا یک راه حل عددی با روش عددی دیگری یافت می شود، مفید است.

مثال ها

سیستم معادلات دیفرانسیل

یک سیستم پویا با زمان پیوسته را تعریف می کند که "نوسانگر هارمونیک" نامیده می شود. فضای فاز آن صفحه است که سرعت نقطه کجاست. نوسان ساز هارمونیک انواع فرآیندهای نوسانی را مدل می کند - به عنوان مثال، رفتار یک بار روی فنر. منحنی های فاز آن بیضی هستند که در مرکز صفر قرار دارند.

اجازه دهید زاویه ای باشد که موقعیت یک نقطه را روی دایره واحد مشخص می کند. نگاشت مضاعف یک سیستم دینامیکی زمان گسسته را تعریف می کند که فضای فاز آن یک دایره است.

سیستم های سریع-آهسته فرآیندهایی را توصیف می کنند که به طور همزمان در چندین مقیاس زمانی توسعه می یابند.

سیستم های دینامیکی، که معادلات آن را می توان با استفاده از اصل حداقل عمل برای یک تابع لاگرانژ به راحتی انتخاب کرد، به عنوان "سیستم های دینامیکی لاگرانژ" شناخته می شود.

روش سیمپلکس- الگوریتمی برای حل مسئله بهینه سازی برنامه ریزی خطی با شمارش رئوس چند وجهی محدب در فضای چند بعدی. این روش توسط ریاضیدان شوروی L. V. Kantorovich در سال 1937 توسعه یافت.

مشکل برنامه‌ریزی خطی این است که باید برخی از عملکردهای خطی را در یک فضای چند بعدی تحت محدودیت‌های خطی معین به حداکثر یا حداقل رساند.

توجه داشته باشید که هر یک از نابرابری های خطی روی متغیرها یک نیم فاصله در فضای خطی مربوطه را محدود می کند. در نتیجه، همه نابرابری‌ها چند وجهی (احتمالاً نامتناهی) را محدود می‌کنند که به آن مجتمع چند وجهی نیز می‌گویند. معادله دبلیو(ایکس) = ج، جایی که دبلیو(ایکس) یک تابع خطی حداکثر شده (یا کمینه شده) است، یک ابر صفحه ایجاد می کند L(c). وابستگی جخانواده ای از ابرصفحه های موازی را ایجاد می کند. سپس مشکل افراطی فرمول زیر را به دست می آورد - لازم است چنین حداکثری پیدا شود جکه هایپر هواپیما L(c)چندوجهی را حداقل در یک نقطه قطع می کند. توجه داشته باشید که تقاطع یک ابر صفحه بهینه و یک چند وجهی حداقل شامل یک راس خواهد بود و اگر تقاطع دارای یک یال یا یال باشد، بیش از یک راس خواهد بود. ک-لبه بعدی بنابراین، حداکثر تابع را می توان در رئوس چند وجهی جستجو کرد. اصل روش سیمپلکس این است که یکی از رئوس چند وجهی انتخاب می شود و پس از آن حرکت در امتداد لبه های آن از راس به راس در جهت افزایش مقدار تابعی آغاز می شود. هنگامی که انتقال در امتداد لبه از راس فعلی به راس دیگری با مقدار بالاتر تابع غیرممکن باشد، در نظر گرفته می‌شود که مقدار بهینه جیافت.

توالی محاسبات با روش سیمپلکس را می توان به دو فاز اصلی تقسیم کرد:

1. یافتن راس اولیه مجموعه راه حل های امکان پذیر،

2. انتقال متوالی از یک راس به راس دیگر، که منجر به بهینه سازی مقدار تابع هدف می شود.

با این حال، در برخی موارد راه حل اصلیبدیهی است یا تعریف آن نیازی به محاسبات پیچیده ندارد، به عنوان مثال، زمانی که همه محدودیت ها با نابرابری هایی به شکل "کمتر یا مساوی" نشان داده می شوند (پس بردار صفر قطعا یک راه حل امکان پذیر است، اگرچه، به احتمال زیاد، بسیار دور از واقعیت است. بهینه ترین). در چنین مسائلی می توان مرحله اول روش سیمپلکس را به کلی حذف کرد. روش سیمپلکس به ترتیب تقسیم می شود تک فازو دو فاز.

تقریب مستقیم مسئله (10.1) در حوزه شبکه

منطقه شبکه

t - گام زمانی، ساعت- مرحله هماهنگی ایکس;

تابع شبکه مورد نظر؛ - مقدار تابع شبکه مربوط به گره

طرح« صلیب". معادلات تفاوت گره های مش داخلی:

پ = 1, 2, …, پ– 1; متر = 1, 2, …, م– 1. (10.2)

تقریب شرایط مرزی:

پ = 1, 2, …, پ.

تقریب شرایط اولیه:

متر = 0, 1, …, م.

در گره های داخلی، معادلات (10.2) معادله دیفرانسیل اصلی را با مرتبه دوم دقت تقریب می کند. با این حال، در این نسخه از طرح، دومین شرط اولیه به ساده ترین روش - با مرتبه اول دقت (در t) تقریب زده می شود. بنابراین، به طور کلی، این یک طرح مرتبه اول است.

شرط پایداری برای حل عددی عدد کورانت است (با توجه به حقایق ذکر شده، به بخش های 10.4-10.7 مراجعه کنید). برای محاسبات طبق این طرح، بند 10.8 را ببینید.

طرحواره صریح. قالب طرحواره به شکل زیر است:

معادلات تفاوت گره های مش داخلی:

پ = 1, 2, …, پ– 1; متر = 1, 2, …, م– 1. (10.3)

شرایط اولیه و مرزی مانند طرح "متقاطع" تقریبی شده است. بنابراین، این طرح از معادلات (10.3) و شرایط اولیه و مرزی از طرح "متقاطع" تشکیل شده است.

این یک طرح دقیق مرتبه اول است، اما کاملاً ناپایدار است! برای حل مسائل خاص استفاده نمی شود و در اینجا فقط به عنوان نمونه ای از طرح تفاوت مطلقاً ناپایدار آورده شده است.

مسئله دیفرانسیل را در فرم عملگر (2.1) و شکل عملگر طرح تفاضل محدود (2.3) را در نظر بگیرید.

اجازه دهید هنجار تابع شبکه را با استفاده از عبارت معرفی کنیم

تعریف 3. طرح تفاضل محدود (2.3) مسئله دیفرانسیل را در راه حل دقیق تقریب می زند اگر هر هنجاری از تفاوت (نه لزوماً به شکل (2.9)) به صفر در:

تعریف 4. طرح تفاضل محدود (2.3) مسئله دیفرانسیل در راه حل دقیق را با مرتبه p در زمان و مرتبه q در مکان تقریب می زند اگر هر معیاری از تفاوت برابری را برآورده کند.

بنابراین، اگر طرح تفاضل محدود به مسئله دیفرانسیل تقریبی داشته باشد، آنگاه ما داریم صحبت می کنیمدر مجاورت عملگرهای دیفرانسیل و تفاضل محدود در گره های شبکه.

از تعریف ترتیب تقریب، واضح است که هر چه ترتیب تقریب بالاتر باشد، طرح تفاضل محدود بهتر به مسئله دیفرانسیل نزدیک می شود. این بدان معنا نیست که راه حل طرح تفاوت می تواند به حل مسئله دیفرانسیل نزدیک باشد، زیرا طرح تفاوت می تواند به صورت شرطی پایدار یا کاملاً ناپایدار باشد.

برای یافتن ترتیب تقریب، از دستگاه بسط سری تیلور برای راه‌حل‌های دقیق (ناشناخته، اما قابل تمایز) مسئله دیفرانسیل در گره‌های شبکه استفاده می‌شود (تاکید می‌کنیم: مقادیر تابع شبکه گسسته هستند، بنابراین قابل تمایز نیستند. و بنابراین نمی توان آن را به سری تیلور گسترش داد).

مطابق با تعریف ترتیب تقریب، ترتیب تقریب طرح تفاضل محدود (2.6) را تجزیه و تحلیل می‌کنیم، که این طرح را روی جواب دقیق می‌نویسیم:

(2.12)

اجازه دهید مقادیر سری تیلور را در متغیر x در مجاورت گره تا مشتق چهارم، و مقدار سری تیلور را در متغیر t در مجاورت گره تا مشتق دوم، گسترش دهیم. ما بدست می آوریم

(2.15)

با جایگزینی (2.13)-(2.15) به (2.12)، متوجه می شویم

بدین ترتیب،

یعنی طرح صریح (2.6) برای معادله گرما دارای مرتبه اول تقریب در زمان و مرتبه دوم در متغیر مکانی است. به طور مشابه، همان ترتیب تقریب را می توان برای طرح ضمنی (2.8) نیز به دست آورد.

تعریف 5. راه حل به دست آمده با استفاده از طرح تفاضل محدود (2.3) به راه حل دقیق U همگرا می شود اگر هر معیاری از تفاوت به صفر گرایش داشته باشد زیرا مشخصه های شبکه به سمت صفر می روند:

تعریف 6. طرح تفاضل محدود (2.3) دارای مرتبه pth همگرایی (ترتیب دقت) در زمان و مرتبه چهارمهمگرایی در یک متغیر فضایی اگر هر معیاری از تفاوت برابری را برآورده کند

بنابراین، ترتیب همگرایی (ترتیب دقت) نزدیکی جواب های تفاضل محدود و دقیق (ناشناخته) را مشخص می کند.

2.1.3 مطالعه پایداری طرح های تفاضل محدود

اجازه دهید داده های ورودی در طرح تفاضل محدود (2.3) مختل شوند و مقادیری را بگیرند. سپس تابع شبکه نیز یک اغتشاش دریافت می کند و مقدار را می گیرد

تعریف 7. یک طرح تفاضل محدود (2.3) نسبت به داده های ورودی پایدار است اگر چنین ثابت محدودی مستقل از ویژگی های شبکه داده های ورودی وجود داشته باشد که نابرابری وجود داشته باشد.

بنابراین، مفهوم پایداری به صورت زیر تفسیر می‌شود: اگر برای اغتشاش‌های کوچک داده‌های ورودی (شرایط مرزی اولیه و سمت راست)، طرح تفاضل محدود (2.3) اغتشاش‌های کوچک شبکه را تضمین کند، طرح تفاضل محدود پایدار است. تابع، یعنی راه حل با استفاده از طرح تفاضل محدود تحت کنترل داده های ورودی است.

اگر داده های ورودی فقط شامل شرایط اولیه، یا فقط شرایط مرزی، یا فقط سمت راست باشند، به ترتیب با توجه به شرایط اولیه، با توجه به شرایط مرزی، یا با توجه به سمت راست، از ثبات صحبت می کنند. کناره های دست

تعریف 8. طرح تفاضل محدود (2.3) کاملاً پایدار نامیده می شود اگر نابرابری (2.17) برای هر نسبتی از مراحل u ارضا شود.

تعریف 9. طرح تفاضل محدود (2.3) که برای هر نسبتی از مراحل ناپایدار است، مطلقاً ناپایدار نامیده می شود.

تعریف 10. به طرح تفاضل محدود (2.3) گفته می شود که اگر نابرابری (2.17) برای مشخصه های شبکه u که مشمول محدودیت های خاصی هستند، به طور مشروط پایدار باشد.

از آنجایی که پایداری یکی از ویژگی های اصلی طرح های تفاضل محدود است، در این بخش روش های مختلفی برای بررسی پایداری طرح های تفاضل محدود با توجه به شرایط اولیه مورد بحث قرار می گیرد. متداول ترین روش ها برای مطالعه پایداری عبارتند از:

روش تحلیل هارمونیک (فوریه);

اصل حداکثر؛

روش طیفی;

روش انرژی

هر کدام از این روش ها مزایا و معایبی دارند.

روش تحلیل هارمونیک از فیزیک ریاضی مشخص شده است که حل مسائل مقدار مرزی اولیه به صورت سری زیر نمایش داده می شود:

مقادیر ویژه کجا هستند، و آیا توابع ویژه از حل مسئله استورم-لیویل مربوطه به دست می آیند، یعنی حل را می توان به عنوان برهم نهی هارمونیک های منفرد، که هر کدام حاصل ضرب تابعی از زمان t و تابعی از هارمونیک ها هستند، نشان داد. متغیر فضایی x، دومی از نظر مدول از بالا با یک مقدار برای هر مقدار متغیر x محدود می شود.

در عین حال، تابع زمان که قسمت دامنه هارمونیک نامیده می شود، به هیچ وجه محدود نمی شود و به احتمال زیاد، این قسمت دامنه هارمونیک ها است که منبع رشد تابع کنترل نشده است. داده های ورودی و در نتیجه منبع بی ثباتی.

بنابراین، اگر طرح تفاضل محدود پایدار باشد، نسبت قسمت دامنه هارمونیک در لایه زمانی بالایی به قسمت دامنه در لایه زمانی پایین باید کمتر از واحد در مقدار مطلق باشد.

اگر مقدار تابع شبکه را از نظر توابع ویژه به یک سری فوریه بسط دهیم:

که در آن قسمت دامنه را می توان به عنوان یک محصول نشان داد

Un ضریب بعدی و ثابت قسمت دامنه و k توان (مرتبط با تعداد لایه زمانی) ضریب وابسته به زمان است، سپس با جایگزینی (2.18) در طرح تفاضل محدود، می‌توانیم نسبت قسمت های دامنه را بر روی لایه های زمانی مجاور با مدول تخمین بزنید.

با این حال، از آنجایی که عملیات جمع خطی است و توابع ویژه برای شاخص های مجموع مختلف متعامد هستند، کافی است یک هارمونیک بسط (2.18) به جای مقادیر شبکه در طرح تفاضل محدود جایگزین شود (شاخص n را از دامنه حذف کنید. بخش)، یعنی

بنابراین، اگر طرح تفاضل محدود با توجه به داده های اولیه پایدار باشد، پس

یعنی شرط (2.21) شرط لازم برای ثبات است.

بررسی پایداری با روش تحلیل هارمونیک طرح‌های صریح و ضمنی معادله گرما. عبارات (2.20) را در طرح صریح با فاصله محدود (2.6) برای معادله گرما جایگزین می کنیم، به دست می آوریم.

در اینجا از فرمول زیر از فرمول اویلر استفاده می کنیم:

و فرمول، علاوه بر این، از آنجایی که و.

مطابق با (2.22)، عبارت را بدست می آوریم

, ,

یا با در نظر گرفتن (2.21)، نابرابری

از این دو نابرابری زیر بدست می آید:

که از آن سمت راست همیشه راضی است و شرط پایداری معروف کورانت از سمت چپ پیروی می کند یا شرط سخت تر برای

از (2.23) نتیجه می‌شود که طرح صریح برای معادله گرما با شرط (2.23) که بر ویژگی‌های شبکه و h تحمیل شده است، به صورت شرطی پایدار است.

اکنون هارمونیک ها (2.20) را در طرح تفاضل محدود ضمنی (2.8) برای معادله گرما جایگزین می کنیم، به دست می آوریم.

,

همیشه، زیرا a و مربع سینوس بزرگتر از صفر هستند.

بنابراین، طرح ضمنی برای معادله گرما کاملاً پایدار است، زیرا هیچ محدودیتی بر ویژگی‌های شبکه h اعمال نشده است تا نابرابری را برآورده کند.

این مختلط را عدد کورانت برای معادله گرما می نامند.

اصل حداکثر. در فیزیک ریاضی، این اصل شناخته شده است که بر اساس آن، حل مسئله مقدار مرز اولیه در محدوده محاسباتی نمی تواند از مقادیر تابع مورد نظر در مرز فضا-زمان تجاوز کند. این اصل اساس روش مطالعه پایداری طرح‌های تفاضل محدود است که اصل حداکثر نامیده می‌شود.

برای استفاده از آن، طرح تفاضل محدود صریح (2.6) را برای معادله گرما در فرم در نظر بگیرید.

و هنجار تابع شبکه را در فرم معرفی کنید

سپس از (2.24) بدست می آوریم

سپس از (2.25) نابرابری را داریم

از آنجا، با ادامه زنجیره نابرابری ها تا شرایط اولیه، به دست می آوریم

شرط اولیه از کجاست (1.18).

نابرابری های (2.27) در ریاضیات محاسباتی اصل حداکثر نامیده می شود. شرط کافی برای پایداری طرح صریح (2.24) برای معادله گرما است.

بنابراین، اگر شرط کورانت (2.26) برآورده شود، زنجیره (2.27) نشان می دهد که مقدار تابع شبکه در هر لایه زمانی از شرایط اولیه در هنجار تجاوز نمی کند، یعنی طرح مورد بررسی با توجه به پایداری شرط اولیه و شرط (2.26) اکنون نه تنها مطابق با روش تحلیل هارمونیک ضروری است، بلکه کافی است.

روش طیفی برای مطالعه پایداری. توابع شبکه و، را روی دو لایه زمانی در نظر بگیرید و طرح تفاضل محدود را به شکل عملگر زیر نشان دهید:

که در آن S عملگر انتقال از لایه tk به لایه tk+1 است. چنین عملگر را نمی توان برای هر طرح تفاضل محدود ساخت

(به عنوان مثال، روش Sweep را نمی توان به شکل (6.64) نشان داد). برای طرح‌های تفاضل محدود صریح (2.6)، عملگر S با ماتریس انتقال زیر نشان داده می‌شود:

.

ما عملیات هنجار را از قسمت های چپ و راست برابری (2.28) ترکیب می کنیم و از ویژگی هنجار استفاده می کنیم: هنجار حاصلضرب عملگرها از حاصلضرب هنجارها تجاوز نمی کند.

اگر نابرابری از فرم

سپس شرایط (2.29) و (2.30) بر اصل حداکثر دلالت دارند

بنابراین، اگر طرح پایدار باشد، هنجار عملگر انتقال S از 1 تجاوز نمی کند و از این رو شرط (2.30) شرط لازم برای پایداری طرح های تفاضل محدود است.

روش انرژی برای مطالعه پایداری طرح‌های تفاضل محدود. همانطور که از قسمت های قبل مشاهده می شود، روش تحلیل هارمونیک و روش طیفی شرایط لازم برای پایداری طرح های تفاضل محدود هستند و اصل حداکثر شرط کافی برای پایداری است. در این پاراگراف، یکی از قدرتمندترین و گسترده ترین روش ها - روش انرژی توسعه یافته در آثار A.A. سامارسکی و بر اساس مفاهیم فضای انرژی با هنجار انرژی، هویت انرژی (نابرابری) و اصل حداکثر. در زیر نشان داده می شود که شرایط استفاده شده در روش انرژی، شرایط کافی برای پایداری طرح های تفاضل محدود است.

برای درک روش انرژی، کاربرد آن را برای مطالعه پایداری طرح‌های تفاضل محدود در حل عددی اولین مسئله مقدار مرزی اولیه زیر برای معادله گرما با شرایط مرزی همگن در نظر بگیرید:

T > 0; (2.31)

X = 0، t > 0; (2.32)

X = 1، t > 0; (2.33)

T = 0; (2.34)

در شبکه (2.2)، این مسئله را با استفاده از طرح‌های تفاضل محدود صریح (2.6) و ضمنی (2.8) که به شکل بردار-عملگر نوشته شده است، تقریب می‌کنیم:

که در آن عملگر تفاضل محدود عملگر دیفرانسیل را با توجه به متغیر فضایی x، یعنی.

فضای انرژی اجازه دهید فضای انرژی HA توابع شبکه را معرفی کنیم که یک فضای هیلبرت است که در آن حاصل ضرب اسکالر برای دو عنصر تعریف شده است:

, (2.37)

و از این رو با هنجار

. (2.38)

همانطور که می دانید فضای هیلبرت یک فضای هنجاری کامل است که در آن محصول اسکالر تعریف می شود. در اینجا کامل بودن به این معنا تعریف می شود که اگر دنباله ای از توابع شبکه به حد خود در (در این مورد، به حل یک مسئله دیفرانسیل) همگرا شود، آنگاه اساسی است، یعنی. شرایط کوشی برآورده می شود

در واقع، اگر طرح تفاضل محدود به مسئله دیفرانسیل تقریبی داشته باشد و پایدار باشد، پس از طریق قضیه هم ارزی، راه حلی که از طرح تفاضل محدود استفاده می کند، هنگامی که شبکه پالایش می شود، به حل مسئله دیفرانسیل همگرا می شود.

برای دو تابع شبکه u (دو عنصر فضای هیلبرت HA) در شبکه های مختلف با مراحل hn و hm، مفهوم کامل بودن به این معنی است که وقتی شبکه پالایش می شود، یعنی زمانی که (یا) دنباله ها به یک حد همگرا می شوند، یعنی. ، (2.39).

در ادامه، به مفاهیم زیر برای مشخص کردن عملگرهای تفاضل محدود نیاز خواهیم داشت: مزدوج، خود الحاقی و قطعیت مثبت.

تعریف 11. اپراتور تفاضل محدود A* را در صورت تساوی به عملگر A می گویند.

برای مثال، اگر عملگر A یک ماتریس متقارن با عناصر واقعی (A = AT) باشد، A عملگر الحاقی است (این را می توان مستقیماً تأیید کرد).

تعریف. اپراتور تفاضل محدود A در صورت تساوی خود الحاقی نامیده می شود

تعریف 12. عملگر تفاضل محدود A را معین مثبت یا نیمه معین مثبت می نامند

در فضای هیلبرت توابع شبکه، اگر

می توان نشان داد که عملگر تفاوت خود الحاقی است، به عنوان مثال،

برای تعیین توابع ویژه و مقادیر ویژه عملگر تفاضل محدود A، ابتدا مسئله مقادیر ویژه و توابع ویژه عملگر را در نظر می گیریم:

توابع بومی باید شرایط زیر را برآورده کنند:

متعامد بر روی قطعه در، به عنوان مثال،

برآورده کردن معادلات مرزی همگن (2.32)، (2.33);

تعداد آنها باید با تعداد مقادیر ویژه مطابقت داشته باشد.

این شرایط توسط توابع برآورده می شود:

برای یافتن مقادیر ویژه، (2.44) را با (2.43) جایگزین می کنیم، دریافت می کنیم

از (2.45) می توان دریافت که همه مقادیر ویژه عملگر A منفی هستند، در حالی که مقادیر ویژه عملگر مثبت هستند، یعنی عملگر مثبت قطعی است.

در بررسی پایداری طرح تفاضل محدود صریح (2.35) با روش انرژی، از هویت‌های زیر استفاده می‌کنیم:

طرح صریح اسکالر (2.35) را در بردار ضرب می کنیم، به دست می آوریم

یا، پس از جایگزینی در اینجا هویت ها (2.46)،

به دلیل پیوستگی عملگر A و جابجایی حاصلضرب اسکالر، دو عبارت آخر لغو می شوند و پس از آن هویت انرژی زیر را به دست می آوریم:

اگر اپراتور

سپس از (2.47) نابرابری انرژی زیر را بدست می آوریم:

که اصل حداکثر بلافاصله از آن پیروی می کند

که شرط کافی برای ثبات است.

اگر اکنون از نابرابری (2.48) هر هنجاری را محاسبه کنیم، برای مثال، هنجاری که برابر با حداکثر مدول است. مقدار خاصعملگر A، سپس با استفاده از عبارت (2.45) به دست می آوریم

بنابراین، شرط پایداری کورانت (2.33) طرح تفاضل محدود صریح برای معادله گرما، که با استفاده از روش تحلیل هارمونیک به دست آمده است، نیز شرط کافی است.

اجازه دهید اکنون پایداری طرح تفاضل محدود ضمنی (2.36) را با روش انرژی مطالعه کنیم، که برای آن هویت را به هویت ها (2.46) اضافه می کنیم.

(2.51)

طرح (2.36) را به صورت اسکالار در بردار ضرب می کنیم، به دست می آوریم

بنابراین، برای طرح ضمنی، هویت انرژی شکل دارد

در اینجا اولین جمله همیشه مثبت است، بنابراین نابرابری انرژی شکل دارد

از آنجایی که از اصل حداکثر پیروی می کند

بنابراین، طرح ضمنی (2.36) بدون قید و شرط پایدار است، زیرا عملگر همیشه مثبت است.

هنگام ساخت معادلات شبکه، دو رویکرد امکان پذیر است: 1) در نظر گرفتن GPZ در چارچوب یک مسئله رسمی فیزیک ریاضی و در نتیجه، استفاده از روش ها و الگوریتم های توسعه یافته در سایر حوزه های علمی که با سیستم های معادلات مشابه عمل می کنند. حل کردن؛ 2) فرمول بندی یک مسئله عددی بر اساس مفاهیم و قوانینی که مستقیماً از بررسی فیزیکی فرآیند مورد مطالعه ناشی می شود.

رویکرد اول جهانی تر است، به فرد اجازه می دهد تا قیاس مستقیمی بین فرآیندهای فیزیکی با طبیعت مختلف (به عنوان مثال، انتشار، حرارتی و فیلتراسیون) ترسیم کند، اگر آنها توسط سیستم های معادلات هم شکل توصیف شوند، که در ابتدا به عنوان یک محرک عمل می کردند. برای معرفی گسترده HFFM، اما بعداً مشخص شد که ایزومورفیسم معادلات دیفرانسیل شرط کافی برای استفاده مؤثر از همان روش عددی در حل مسائل کاربردی با ماهیت فیزیکی مختلف نیست. توجه کافی به فیزیک برای مثال، فرآیند منجر به ساخت طرح‌های عددی بر اساس ساده‌ترین تقریب‌های تفاوت غیرمحافظه‌کار (روش Lax) شد که برای مشکلات فیلتراسیون در محیط‌های ناهمگن منجر به از دست دادن قابل توجه دقت یا ناپایداری راه‌حل شد.

در مقابل، رویکرد دوم - از فرمول‌بندی فیزیکی مسئله، دور زدن معادله دیفرانسیل، مستقیماً به طرح عددی - مبتنی بر یک الزام کاملاً آشکار است: در شبکه تفاوت، هر دو روابط تعادلی (محافظه کاری طرح) و اصلی الگوهای حرکت آب زیرزمینی باید تقریبی شود. اما توجه داشته باشید که برعکس

بیان این دو رویکرد نسبتاً مشروط است: روابط تعادلی را نیز می توان بر اساس معادلات دیفرانسیل برآورده کرد. با این حال، این نیاز اغلب برآورده نمی شود، زیرا تقریب های تفاضل محدود معادلات دیفرانسیل به طور رسمی به این نیاز ندارند. به عنوان مثالی از رویکرد دوم برای ساخت طرح‌های تفاوت قابل پیاده‌سازی بر روی یک AVM، می‌توان به روش لیبمن اشاره کرد که به دلیل دسترسی و وضوح فیزیکی آن، گسترده‌ترین کاربرد را در عمل حل GFZ پیدا کرده است. . این رویکرد برای اولین بار توسط G.N. Kamensky اجرا شد که پیشنهاد استفاده از روش های تفاوت را برای حل مشکلات فیلترینگ ارائه کرد.

در اصل، ساختارهای ذکر شده موارد خاصی از روش درون یابی یکپارچه هستند، که به شما امکان می دهد تا فرمول های فیزیکی و ریاضی یک مسئله عددی خاص را به طور کامل به هم مرتبط کنید و بر این اساس، تخمین های پیشینی از ثبات و همگرایی را با در نظر گرفتن به دست آورید. نه تنها نوع مسئله مقدار مرزی، بلکه ویژگی های خاص آن را نیز در نظر بگیرید. این رویکرد در زیر با استفاده از مثال ساختن یک طرح تفاوت برای یک مشکل برنامه ریزی شده ژئوفیلتراسیون در یک مخزن ناهمگن در نظر گرفته می شود.

تحت طرح تفاوت، منظور ما مجموعه ای از معادلات تفاوت است که تقریباً فرآیندهای فیلتراسیون و شرایط اضافی (مرز و اولیه) را توصیف می کند که رفتار تابع سر مورد نظر H(x, y, f) را در مرزهای داخلی و خارجی مشخص می کند. و همچنین توزیع آن در ناحیه فیلتراسیون در زمان اولیه. برای ساخت معادلات تفاضلی که فرآیند فیلتراسیون را توصیف می‌کنند، با توجه به روش درون‌یابی یکپارچه، موارد زیر مورد نیاز است:

1) ناحیه تغییرات پیوسته آرگومان را با یک گسسته جایگزین کنید: WA=W(xh y(,tn)، جایی که W ناحیه پیوسته تغییرات آرگومان است؛ x، y مختصات هستند، t زمان است، i , j, n تعداد نقاط دامنه گسسته fV& ;

2) برای ناحیه ساخته شده Wg هویت های تعادل مربوط به تغییرات سرعت جریان فیلتراسیون درون عنصر با مساحت Pu) \u003d &x (Ay) با شدت تغییر ذخایر خازنی در آن را نیز بنویسید. مانند هزینه ها منابع اضافی(سینک) اختصاص داده شده به این عنصر (سمت جدایی ناپذیر روش)؛

3) برای بیان تمام اجزای هویت تعادل بر حسب مقادیر فشار در نقاط گرهی منطقه، پارامترهای سیستم مدل‌سازی شده و فواصل تقسیم فضا-زمان شبکه تفاضل (سمت درون یابی). از روش).

در حال حاضر، هنگام حل مسائل فیزیک ریاضی، از انواع اصلی شبکه های زیر استفاده می شود: 1) مستطیل، یکنواخت و غیر یکنواخت. 2) مثلثی و چند ضلعی، یکنواخت و ناهموار. 3) منحنی متعامد. مزایای شبکه های نوع دوم و سوم، تقریب دقیق تر مرزهای بیرونی و داخلی با یک پیچیده است.

هندسه، و همچنین امکان جزئیات بیشتر از ساختار جریان فیلتراسیون در زیر مناطق جداگانه. با این حال، در این نوع، ساخت شبکه یک روش نسبتاً پیچیده و غیر جهانی است. همچنین مهم است که استفاده از چنین شبکه‌هایی به دلیل عدم وجود آن، اغلب به هیچ وجه منجر به افزایش دقت واقعی مدل‌سازی نمی‌شود. اطلاعات هیدروژئولوژیکی لازم برای ساخت آنها.

با توجه به این موضوع، استفاده از شبکه های نوع دوم و سوم در حل GPZ نامناسب به نظر می رسد، به خصوص که تخمین خطای عملی راه حل دشوار است، که به دقت ساخت شبکه بستگی دارد (به اصطلاح " خطاهای موقعیتی). همانطور که تمرین نشان می دهد، افزایش دقت در ساخت چنین شبکه هایی به پیچیدگی قابل توجهی از الگوریتم محاسباتی نیاز دارد، که باعث می شود برنامه های ایجاد شده بر اساس آنها برای استفاده انبوه کمتر مناسب باشند. در نهایت، مهم است که استفاده از روش "مناطق ساختگی" هنگام تقریب مرزهای منحنی بر روی یک شبکه مستطیلی، ساخت الگوریتم‌های عددی را که از نظر دقت تقریباً مشابه با الگوریتم‌های مورد استفاده در FEM هستند، ممکن می‌سازد.

در همین حال، برای ساخت شبکه های نوع اول، حداقل اطلاعات مورد نیاز است که ارتباط با برنامه را بسیار ساده می کند. اکنون دو اصلاح اصلی از چنین شبکه هایی استفاده می شود که در موقعیت نقاط گره نسبت به وجه بلوک های محاسبه شده متفاوت است: در نسخه اول، نقاط گره با مراکز بلوک ها منطبق است (مش بلوک) و در دوم، با نقاط تقاطع چهره ها (شبکه گرهی). شبکه‌های بلوکی در هنگام استفاده از طرح‌های تفاوت همگن بر اساس ایده شمارش، مزایای بدون شک نسبت به شبکه‌های گرهی دارند (به بخش‌های 2.3 و 2.4 مراجعه کنید). استفاده از شبکه های گرهی زمانی ارجحیت دارد که طرح تفاوت منظم نباشد، ب. همچنین در حل مسائل انتقال جرم که نیاز به شناسایی صریح تکینگی ها دارد. توجه داشته باشید که هنگام مراجعه به روش "مناطق ساختگی" برای تقریب در مرزهای شرایط نوع اول یا دوم، این دو تغییر در اینجا معادل هستند. _

بنابراین، برای ساخت یک شبکه تفاوت y،)، تقریبی

که یک ناحیه تصفیه پیوسته W\x,y را تشکیل می دهد، میدان شبیه سازی شده با یک شبکه مستطیلی غیریکنواخت با پله هایی در امتداد محورهای OX و 07 به ترتیب برابر با Axf و Ayj پوشانده شده است (شکل 1).

توازن دبی جریان تصفیه را در یک بلوک ابتدایی با مختصات M(xl+1, yj+1)1 در نظر بگیرید (شکل 1 را ببینید) در زمان tL

1 انتخاب شاخص های نقطه /+1 و j+1 (به جای i و j) به دلیل نیاز به تقریب شرایط مرزی با استفاده از بلوک های مرزی ساختگی است.

برنج. 1. طرح تجزیه ناحیه فیلتراسیون هنگام ساخت هویت تعادل:

1 نقطه لنگر؛ 2 - خط محوری بلوک محاسبه. J - مرز بلوک شانه شده؛ 4 - مرز بلوک که نسبت به آن هویت تعادل ساخته شده است. جهت جریان توسط کروی ها مشخص می شود

که در آن L شاخصی است که انتخاب tL را برای یک عنصر تعادل خاص تعیین می کند. n = 1، 2، ...، K\ Ar -ve

نام فاصله زمانی؛ K تعداد گام های زمانی است. به طور کلی هزینه ها

جریان فیلتراسیون از طریق سطوح بلوک را می توان برای نقاط زمانی مختلف متعلق به بازه انتخابی ثبت کرد. بر اساس قانون حفظ جرم جریان فیلتراسیون، افزایش کل این هزینه ها برابر با شدت کل ورودی آب به بلوک مورد نظر به دلیل تخلیه ذخایر خازنی QE (x, y, t) است. سرریز O.P(x, Y, t); جریان ورودی از مخازن ناقص QB(x, y, t) یا Qu (x, y, t) (اگر اندازه آنها متناسب با فاصله شبکه باشد) یا QP(x, y, t) [اگر اندازه آنها بسیار کوچکتر از آن باشد. ]؛ QM شارژ مجدد نفوذ (x, y, z) و عملکرد چاه QC (x, y, /).

با در نظر گرفتن تمام عناصر تراز، و همچنین با فرض اینکه t1 = t2 = ti = t4 = t، برای طرح هیدرودینامیکی در نظر گرفته شده، می توانیم هویت تعادل را بنویسیم که برای هر لحظه ثابت t معتبر است:

Q A 1/2، j+1 - 3/2، j+ 1 + 6 i3+l،j+ 1/2 ~Qi\ 1 ,j+ 3/2 -

غیر خطی بودن فرآیند مرتبط با وابستگی رسانایی به فشار (عمق) جریان را اغلب می توان با خطی سازی انجام شده با معرفی یک هدایت محاسبه شده ثابت در یک بازه زمانی معین در نظر گرفت.

مقدار QE دبی، به دلیل تغییر ذخایر خازنی در عنصر آبخوان با مساحت F، با عبارت تعیین می شود.

که در آن (1° و u* ظرفیت های گرانشی و الاستیک (اتلاف آب) مخزن هستند؛ H سطح سطح آزاد؛ R میانگین سر در مخزن است.

هنگام تعیین ظرفیت الاستیک، فرض بر این است که تغییر شکل‌های سنگ به طور مشروط ماهیت الاستیک آنی دارند و به طور خطی با تغییرات فشار (سر) مرتبط هستند. در حقیقت، سنگ یک سیستم ناهمگن است و حالت تنش-کرنش آن در هر عنصر "می تواند به طور قابل توجهی ناهمگن باشد. برای در نظر گرفتن این شرایط، یک مدل بلوک ناهمگن یا طرحی از یک محیط با ظرفیت دو برابر استفاده می شود، که در آن از یک مدل بلوک ناهمگن استفاده می شود. سنگ به عنوان متشکل از یک سیستم شبه همگن از بلوک های ضعیف تراوا که به طور یکنواخت جدا شده اند نشان داده می شود. فرض بر این است که فقط جریان در کانال ها به طور مستقیم به تغییرات وضعیت هیدرودینامیکی واکنش نشان می دهد و واکنش بلوک ها به دلیل مقاومت آنها کند می شود. سپس، نرخ جریان QE شامل ظرفیت های شکستگی ها و بلوک ها، ضرب در نرخ تغییر فشار در عناصر مربوطه از محیط ناهمگن است.

ظرفیت گرانشی، همانطور که شناخته شده است، می تواند به دو دلیل تغییر کند: به دلیل تنوع سنگ شناسی لایه های پوششی، که سطح آزاد از داخل آن عبور می کند، و به دلیل نفوذ ناحیه مویرگی. با نقش مهم مکانیسم دوم، به ویژه در مشکلات تامین منطقه، توصیه می شود به مدل جریان مشترک در یک محیط اشباع-غیراشباع تغییر دهید.

نقش مهمی در شکل‌گیری جریان‌های آب زیرزمینی مربوط به تغذیه منطقه‌ای با نرخ جریان QH=eF است (که در آن c شدت تغذیه منطقه است که منعکس‌کننده اثر کل نفوذ و تبخیر و بسته به عمق سطح آب زیرزمینی است). هنگام حل مشکلات منطقه ای پیش بینی شده برای مناطق بازپس گیری شده، مقدار QH شامل ماژول جریان زهکشی u است که بسته به سر متفاوت است.

نرخ جریان QII از طریق مخزن جداکننده با ضریب جریان متقاطع AP=% = kr1tr (که در آن kr ضریب فیلتراسیون است؛ tr ضخامت مخزن است) با توجه به ساده ترین و رایج ترین طرح طراحی سرریز سخت، با بیان تعیین می شود.

که در آن H+ سر در آبخوان مجاور است که سرریز از آن رخ می دهد. توجه داشته باشید که مقدار ضریب جریان می تواند به طور قابل توجهی در منطقه به دلیل تظاهرات تغییرپذیری ساختاری و سنگ شناسی سنگ ها متفاوت باشد. در بیشتر مدل کلیدر مورد سرریز، رژیم الاستیک در لایه های جداکننده باید در نظر گرفته شود، که ظاهراً تظاهرات آن می تواند به طور قابل توجهی با تأثیر ناهمگنی سنگ های کم نفوذپذیر و همچنین نقض قانون فیلتراسیون خطی پیچیده شود.

ما خودمان را به شکل شش ترمی نوشتن سمت راست هویت (2.1) محدود کردیم، که فقط تغذیه نفوذ، سرریز از لایه ها و مخازن مجاور با فشار ثابت در آنها و رژیم فیلتراسیون سخت در لایه جداکننده را در نظر می گیرد. و همچنین وجود چاه. این به سه دلیل است: 1) طیف گسترده ای از مشکلات را می توان به طرح ژئوفیلتراسیون در نظر گرفته کاهش داد، که آن را به اندازه کافی برای استفاده عملی جهانی می کند. 2) تجزیه و تحلیل احتمالات برای حل موثر سیستم های معادلات به دست آمده بر اساس هویت یکپارچه (2.1) نشان می دهد که هر گونه افزایش اضافی در اجزای آن ناگزیر منجر به افزایش شدید هزینه دستگاه پرکننده عملیاتی (RAM) می شود. و زمان محاسبه (منابع کامپیوتری). کاهش جهانی بودن هویت (2.1)، یعنی حذف اصطلاحات فردی از سمت راست آن، عملاً منجر به کاهش منابع رایانه ای استفاده شده نمی شود. 3) شکل پذیرفته شده نمایش منابع اضافی تامین اجازه تعمیم مستقیم به مورد سفره های چند لایه را می دهد.

بنابراین، در مرحله اول توسعه مدل تفاوت، نویسندگان سعی کردند از جهان گرایی بیش از حد اجتناب کنند و دامنه مشکلاتی را که باید حل شوند محدود کنند. این جنبه از طرح‌واره‌سازی محاسباتی (CSN) به ما امکان می‌دهد یک ماژول محاسباتی ابتدایی کارآمد بسازیم، که سپس می‌توان آن را در صورت لزوم به سیستم‌های چندلایه تعمیم داد و از منابع کامپیوتری اضافی برای این کار استفاده کرد.

UDC 519.248:

روش‌های تقریب شبکه برای سیستم‌های رویداد پیچیده

O.Yu. وروبیوف، او.یو. تاراسووا، A.N. اووسیانیکوا

یک روش جدید معرفی شده برای تقریب شبکه ای از توزیع ناشناخته مجموعه ای از رویدادهای تصادفی ارائه شده است.

معرفی

با توجه به تعداد زیاد رویدادها در سیستم های آماری واقعی، تعیین وضعیت هایی که سیستم ممکن است در آن قرار گیرد دشوار است. یکی از راه‌های غلبه بر مشکلات از این دست، یافتن توزیع شبکه‌ای از وضعیت سیستم است که بر روی شبکه معرفی‌شده تعریف شده و نزدیک به توزیع ناشناخته مورد نظر است. مدل‌های بازاریابی ماتریسی ایده روش‌هایی برای تقریب توزیع‌ها، مشابه روش‌های شبکه‌ای برای حل معادلات دیفرانسیل را برانگیخت.

فرمول بندی مسئله

ماهیت روش شبکه به شرح زیر است: به جای فضای اولیه رویدادهای ابتدایی، آنالوگ شبکه آن معرفی می شود. این مدل شبکه ای با احتمالاتی توصیف می شود که فقط روی رویدادهای شبکه تعریف می شوند. توزیع های ناشناخته، یعنی قوانینی که طبق آنها فضای رویدادهای ابتدایی تکامل می یابد با همتایان شبکه مربوطه جایگزین می شوند. در نتیجه، مشکل اصلی جایگزین می شود، یا، همانطور که می گویند، با یک سیستم توزیع شبکه - یک طرح شبکه تقریبی می شود. به عبارت دیگر، مجموعه تقریبی رویدادها «مشبکه‌شده» است تا بتوان تصور کرد که رویدادهای «ناشناخته» از مجموعه تقریبی چگونه در «سلول‌های شناخته‌شده» رفتار می‌کنند، که نقش آن‌ها به رویدادها-تراس‌هایی داده می‌شود. شبکه را تشکیل می دهند.

مفاهیم اساسی رویدادشناسی و نظریه احتمال

رویدادشناسی جهت جدیدی است که در چارچوب نظریه احتمال پدید آمده است و توزیع مجموعه رویدادها، ساختار وابستگی مجموعه رویدادها را مطالعه می کند.

تعریف 1.1. یک فضای احتمال یک سه گانه است (C1، 7٪ P)، که در آن O فضای رویدادهای ابتدایی، T7 جبر رویدادها، و P احتمال تعریف شده بر روی عناصر جبر P - رویدادهای تصادفی x، y، ... eP.

تعریف 1.2. مجموعه محدودی از رویدادهای انتخاب شده AeF انتخاب شده از جبر فضای احتمال (O, P, P) و متشکل از ^Y = |x| رویدادها به مجموعه رویدادهای تصادفی گفته می شود.

تعریف 1.3. مجموعه رویدادهای تصادفی X مجموعه‌های مختلفی از رویدادهای به اصطلاح تراس را ایجاد می‌کند که در میان آنها رویدادهای تراس برای lcX به شکل تقاطع وجود دارد: ler(X)= P|x P)*c.

تعریف 1.4. دو رویداد تصادفی x, y e X (x φ 0, y φ 0) تودرتو نامیده می شوند اگر فقط دو رابطه بین آنها امکان پذیر باشد.

یعنی یکی از این رویدادها درون دیگری تودرتو است: X C y OR V C L".

شبکه رویداد یا شبکه رویدادشناسی (E-grid)

مرحله اولیه در ساخت یک طرح شبکه، جایگزینی فضای اولیه رویدادهای ابتدایی با شبکه ای از رویدادها است که پارتیشن آن را تشکیل می دهند.

تعریف 2.1. یک شبکه رویدادی (E-grid) مجموعه ای از 5 ثانیه / 7 رویداد تصادفی غیر متقاطع است که از جبر P فضای احتمال (O, P, P) انتخاب شده و پارتیشنی از فضای رویدادهای ابتدایی O را تشکیل می دهد.

شبکه الکترونیکی 5 (مجموعه شبکه ای از رویدادهای تصادفی 5، توزیع رویدادشناسی شبکه ای مجموعه 5) تعریف می شود اگر و تنها در صورتی که:

1) مجموعه ای از رویدادهای تصادفی غیر متقاطع BarR انتخاب می شود که یک پارتیشن را تشکیل می دهد

2) مجموعه ای از احتمالات داده شده است<7(5) = Р(«), 5 е

برای یک مسئله «تک بعدی»، ساده‌ترین مثال از شبکه E، تقسیم هم‌احتمال فضای رویدادهای ابتدایی به N رویداد هم‌احتمال‌کننده است که احتمال آن برابر با WE (شبکه E برابر احتمالی) است. رویدادهای به همان اندازه محتمل شبکه E، E-terraces شبکه (گره های شبکه E) نامیده می شوند و احتمالات آنها نیز مراحل E-grid نامیده می شود. مجموعه E-terraces مجموعه ای از رویدادها را تشکیل می دهد که در آن توزیع های E-grid تعریف می شوند.

تعریف 2.2. شبکه رخدادی مرتبه n-ام 8 اینچ فضای رویدادهای ابتدایی O تقاطع مینکوفسکی پارتیشن های A1،...، An با P است:

با وجود سادگی ظاهری، مسئله انتخاب شبکه الکترونیکی شایسته توجه است. از یک طرف، مطلوب است که تعداد زیادی رویداد تراس، یعنی. از شبکه های الکترونیکی دقیق و دقیق استفاده کنید. با انتقال دقیق‌تر منطقه تغییر آرگومان E، ما به طور شهودی انتظار داریم که توزیع E-توزیع مورد نظر را با توزیع‌های شبکه‌ای بهتر تقریب کنیم. از سوی دیگر، ملاحظات عملی و در درجه اول محدودیت سرعت و ظرفیت حافظه رایانه ها، ما را مجبور می کند به شبکه های الکترونیکی با تعداد نسبتاً کمی تراس الکترونیکی روی بیاوریم. شبکه های الکترونیکی غیرمحتمل اغلب به عنوان راه حلی برای این مشکل عمل می کنند. اگر اطلاعاتی در مورد توزیع الکترونیکی وجود داشته باشد، به عنوان مثال، "موقعیت" در فضای رویدادهای ابتدایی برخی از ویژگی های آن، که برای "تفکیک" آن به یک شبکه الکترونیکی خوب نیاز است، آنگاه امکان پذیر است، بدون اینکه افزایش تعداد کل تراس ها، برای ضخیم شدن شبکه در "همسایگی" این ویژگی ها، و پراکندگی شبکه در منطقه توزیع "صاف".

تعریف 2.3.. یک نگاشت شبکه ای تقریبی 5 اینچی را cp نگاشت می نامند: B" -» 2x، که در سلول E

تعریف 2.4. - تقریبی از مجموعه رویدادها X مجموعه ای از co- است

عناصر شبکه الکترونیکی - رویدادهای تراس را مشاهده کنید

آنها سلول های E شبکه E-b1 نامیده می شوند. واضح است که

سلول های الکترونیکی پارتیشنی از فضای رویدادهای ابتدایی O را تشکیل می دهند. بنابراین، شبکه E شکل زیر را دارد:

<Р(-ІСГ{а".а"]^(ХЄХ: *П%>..a«)*0b

که به اختصار آمده است

جایی که هر رویداد

Xph \u003d (xf: 1b!}

یک تقریب 5 اینچی از رویداد xx X نامیده می شود. رویداد تراس مشخص خواهد شد

u!G*(L")= GK P(^)C’ X^X

اجازه دهید مثال هایی از یک نگاشت 5 تقریبی X با درجات مختلف خطا ارائه دهیم: a

Y x، y "L X X

G Y Y> 7~ x، y، r x، r X

Y Y > 2 گرم<т 0

برنج. 1. شبکه رخدادی مرتبه دوم V2 = (a.b.c, c!, r)(n)>a, [, y, e, s)، تقریبی توزیع اولیه E سه گانه رویدادهای A" = (x , y ,d) با خطای صفر (در سمت چپ).

ایکس<р -{хР"уф"г^} на э-ячейках (справа)

برنج. 2. شبکه رخدادی مرتبه دوم 5 = (a, b, c, c/, e)(n)(a, /?, y, s, e), تقریبی توزیع E اولیه سه گانه رویدادهای X = (x، y، d) با مقداری خطا (در سمت چپ). تقریب شبکه الکترونیکی X "r \u003d (x‘r ^ , x1') در سلول‌های الکترونیکی (راست)

انواع تقریب شبکه الکترونیکی

دقت تقریب E-grid توزیع های E توسط ساختار وابستگی محلی مجموعه تقریبی رویدادها تعیین می شود که با نسبت ساختارهای وابستگی دو مجموعه رویدادهای درگیر در E- مشخص می شود. تقریب شبکه: E-grid 51" و مجموعه تقریبی X.

اجازه دهید سه نوع تقریب E-grid را در نظر بگیریم، که هر کدام تحت یکی از سه فرض در مورد ساختار محلی وابستگی مجموعه تقریبی رویدادهای X معتبر است: تودرتو، مستقل، و حداقل متقاطع.

برنج. 3. شبکه رویدادشناسی مرتبه دوم S = (a, b, c, d, e)(n)(a, P, y, S, e) که توزیع اولیه E سه گانه X - ( x، y، z) با بزرگترین خطا (سمت چپ).

تقریب شبکه الکترونیکی X9 = (Q،Q،Q) در سلول‌های الکترونیکی (راست)

تعریف 3.1. مجموعه رویدادهای X دارای ساختار تودرتو محلی نسبت به

بدنه شبکه E-Sn، اگر برای هر سلول E ter، - C] a" e Sn و هر رویدادی

xnter، "=<,

(a "a) lteV..vv

آن ها یا ter | a در l موجود است یا با آن تلاقی ندارد.

از این تعریف دو ویژگی به دست می آید:

U (*ntev..v>J=teV..vv

2) رویدادهای xn ter، "_، که در آن xe X، "معادل هستند.

(a ...a) a ... a 1 1

تعریف 3.2. مجموعه رویدادهای X دارای حداقل ساختار محلی متقاطع با توجه به شبکه E-Sn برای هر سلول E ter، „eSn و هر مجموعه ای است.

مجموعه ای از رویدادهای X، „با X:

I) X (*nte^.aJ=teVv)'

2) رویدادهای xn ter، "1، جایی که r e X، "یکسان هستند.

"(a ... a) a ... a 1

تعریف 3.3. مجموعه رویدادهای X دارای ساختار محلی مستقل با توجه به شبکه E-Sn برای هر سلول E، "i e S" و هر مجموعه ای از رویدادها است.

i "I "nil 1 L ()

(a...a) / (a...a)

2) رویدادهای хгМег، "، که در آن xhH، "به یک اندازه محتمل هستند،

7 (a...a) a...a 1

3) رویدادهای x n leg(a، an، که در آن x ∈ X^ an، متقابل مستقل هستند.

قضیه 3.1. توزیع رویدادی پنجم - تقریب مجموعه رویدادها X

p "p (X) ^ RCegf (X))، XaX

یکی از اشکال زیر را می گیرد:

1) برای یک ساختار تودرتو محلی از مجموعه رویدادهای X:

p*(x)= X p(4er(v"...*")>'

ХШ*г(а>а“))

2) برای ساختار محلی با حداقل همپوشانی مجموعه رویدادها X:

XZ

3) برای یک ساختار مستقل محلی از مجموعه رویدادهای X:

p1p(X) = £ (P(xn ter(a, (P(ter(a, - P(xn ter!a, qH)))1A"11cX,

ایکس<^<р{\ег, „)

جایی که (p(xn 1er(t)1 wi,)) = 1 -(1 -P(1er(a, a n])\ln. اثبات. بدیهی است که

X (ter^ (X) n ter

تر. n eS V (0x ap) -

با جایگزینی (1) به (2)، به دست می آوریم

ter-(T)= IV P<^)“ =

XЄ(p\ ter i ^ ^ a1...a"

Y (xnteral v) n X Y ntera\..a")

xeg>\ ter , „ xєХс XH(p\ ter 1 i

V V a ■ الف) J V ° a) y

با استفاده از عبارت بدست آمده برای Xxx9 (X)، به دست می آوریم

a, ^ = n "in-,) A 1 * cn%> .. "")

هه x<Ехс

یا در نمادهای دیگر

ler"(DT)nx(a، t = T) (*nem(a،

جایی که X = تر،

\ x n ter، „I مکمل x به ter است، | e S'1 و xc = Q \ .

o 1 v (a...a [ / (a...a! V

(a ". an)! "..........." V

اضافه کردن X به P.

بنابراین، عبارت زیر علامت جمع در (3) می تواند به صورت نوشته شود

و فرمول (3)

fl^ntev....")) P (*ntev v/

p(X)= £ p(ter^(X)nter , a)=

I P P (^nter!a>..o") P (JCnteV..V>>C"

فرمول (4) توزیع رویدادشناختی تقریب Sn از مجموعه رویدادهای X است که ساختار محلی دلخواه دارد. با استفاده از فرمول (4)، می‌توان فرمول‌هایی را برای توزیع رویدادی S"-تقریبی مجموعه رویدادهای X، که دارای ساختار محلی تودرتو، کمترین همپوشانی محلی و ساختار محلی مستقل است، نوشت.

به عنوان مثال، مجموعه ای X را در نظر بگیرید که دارای کمترین همپوشانی ساختاری است. با تعریف ساختار محلی با حداقل متقاطع، رویدادهای d:nter، „، جایی که xf/?(ter.، u) قطع نمی‌شوند و احتمال یکسانی دارند. از همین رو

\ 0 ... O (\C1 ... (I)

توزیع رخدادی تقریب های S" از مجموعه رویدادهای X با ساختار محلی حداقل متقاطع را می توان به صورت زیر نوشت:

به عنوان یک مجموعه تقریبی X، مجموعه استراتژی های ارائه شده توسط شرکت Arthur D. Little را در نظر بگیرید. توزیع مجموعه استراتژی ها ناشناخته است، بنابراین از روش تقریب شبکه برای یافتن این توزیع استفاده خواهیم کرد.

در ارائه کلاسیک مدل بازاریابی AOL / LC، اصل ساخت ماتریس AEL نوع شبکه رویدادشناسی را پیشنهاد می کند. تقاطع دو مجموعه از رویدادها - چهار رویداد از چرخه حیات صنعت و پنج رویداد از موقعیت رقابتی آن شکل می گیرد.

شبکه رویدادشناسی مرتبه دوم V2 = (a, b, c, c1)(u)(a, /3, y, 3, e). هر سلول از شبکه مربوط به مجموعه ای از استراتژی ها از مجموعه ای از استراتژی های اساسی ارائه شده توسط متخصصان AOB به عنوان راهنمای عمل است. داشتن مفروضاتی در مورد ساختار وابستگی محلی مجموعه تقریبی استراتژی های A" (به عنوان مثال، بر اساس تجزیه و تحلیل این استراتژی ها

متخصصان بازاریابی)، توزیع رویدادشناختی 52 تقریبی مجموعه رویدادها را بدست می آوریم.

نتایج زیر در کار به دست آمد:

1. مفاهیم نظریه رویدادشناسی روش های شبکه تعریف شده است: E-grid، X-تقریبی نگاشت شبکه $n، 8P-تقریبی مجموعه رویدادها.

2. سه نوع ساختار وابستگی محلی تعریف شده است.

3. قضیه ای در مورد توزیع رخدادی تقریب 5 اینچی مجموعه وقایع X برای ساختارهای وابستگی محلی مختلف این مجموعه فرموله و اثبات شده است.

1. افرموف، ق.م. مدل های کلاسیک تحلیل و برنامه ریزی استراتژیک: ADL / LC / B.C. Efremov // مدیریت در روسیه و خارج از کشور. م.: فین پرس. - 1998. - شماره 1 (http://www.cfm.ru/press/rnanagment/1998-l/09.shtml).

2. Vorobyov، O.Yu. مقدمه ای بر رویدادشناسی / O.Yu. Vorobyov - Krasnoyarsk: KrasGU, INM SO RAN, 2005.-512 p.

3. http://www.r-events.narod.ru

Xs<р(\£Х - „) X ,

(a -a > a...a

جایی که مجموع تمام تر است،<= 5”, содержащим X с X .

کاربرد نتایج

نتیجه

ادبیات