فاصله از یک نقطه تا یک خط معین. تعیین فاصله نقطه تا خط

توانایی یافتن فاصله بین اجسام هندسی مختلف هنگام محاسبه مساحت شکل ها و حجم آنها مهم است. در این مقاله به این سوال می پردازیم که چگونه فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم را در فضا و در هواپیما پیدا کنیم.

توصیف ریاضی خط مستقیم

برای درک چگونگی یافتن فاصله از یک نقطه تا یک خط، باید به سؤال مشخصات ریاضی این اجسام هندسی بپردازید.

همه چیز با یک نقطه ساده است، با مجموعه ای از مختصات توصیف می شود که تعداد آنها با بعد فضا مطابقت دارد. به عنوان مثال، در یک هواپیما این دو مختصات هستند، در فضای سه بعدی - سه.

در مورد یک جسم تک بعدی - یک خط مستقیم، چندین نوع معادله برای توصیف آن استفاده می شود. بیایید فقط دو مورد از آنها را در نظر بگیریم.

اولین نوع معادله برداری نامیده می شود. در زیر عباراتی برای خطوط در فضای سه بعدی و دو بعدی آمده است:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

در این عبارات، مختصات با شاخص های صفر نقطه ای را که خط داده شده از آن عبور می کند، توصیف می کنند، مجموعه مختصات (a; b; c) و (a; b) به اصطلاح بردارهای جهت برای خط مربوطه هستند، α یک a است. پارامتری که می تواند هر مقدار واقعی را بگیرد.

معادله برداری از این نظر راحت است که به طور صریح شامل بردار جهت خط مستقیم است که مختصات آن را می توان در حل مسائل موازی یا عمود بودن اجسام هندسی مختلف، به عنوان مثال، دو خط مستقیم استفاده کرد.

دومین نوع معادله ای که برای خط مستقیم در نظر می گیریم، معادله عمومی نامیده می شود. در فضا این شکل با معادلات کلی دو صفحه بدست می آید. در هواپیما به شکل زیر است:

A × x + B × y + C = 0

هنگامی که نمودار انجام می شود، اغلب به عنوان یک وابستگی به x / y نوشته می شود، یعنی:

y = -A / B × x +(-C / B)

در اینجا عبارت آزاد -C / B مربوط به مختصات تقاطع خط با محور y است و ضریب -A / B مربوط به زاویه خط به محور x است.

مفهوم فاصله بین یک خط و یک نقطه

پس از پرداختن به معادلات، می توانید مستقیماً به پاسخ این سؤال بروید که چگونه فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم را پیدا کنید. در کلاس هفتم، مدارس با تعیین مقدار مناسب شروع به بررسی این موضوع می کنند.

فاصله بین یک خط و یک نقطه طول پاره عمود بر این خط است که از نقطه مورد نظر حذف می شود. شکل زیر خط r و نقطه A را نشان می دهد. خط آبی قسمت عمود بر خط r را نشان می دهد. طول آن فاصله مورد نیاز است.

مورد دوبعدی در اینجا به تصویر کشیده شده است، با این حال، این تعریف فاصله برای مسئله سه بعدی نیز معتبر است.

فرمول های مورد نیاز

بسته به شکلی که معادله یک خط مستقیم نوشته شده است و در چه فضایی مشکل حل می شود، دو فرمول اساسی می توان ارائه داد که به این سوال پاسخ می دهد که چگونه فاصله بین یک خط مستقیم و یک نقطه را پیدا کنیم.

نقطه شناخته شده را با علامت P 2 نشان دهید. اگر معادله یک خط مستقیم به صورت برداری داده شود، برای فاصله d بین اشیاء مورد نظر، فرمول معتبر است:

d = || / |v¯|

یعنی برای تعیین d باید ماژول حاصلضرب بردار بردار مستقیم v¯ و بردار P 1 P 2 ¯ را محاسبه کرد که ابتدای آن در یک نقطه دلخواه P 1 روی خط قرار دارد و انتهای آن برابر است. در نقطه P 2، سپس این ماژول را بر طول v ¯ تقسیم کنید. این فرمول برای فضای مسطح و سه بعدی جهانی است.

اگر مشکل در صفحه ای در سیستم مختصات xy در نظر گرفته شود و معادله یک خط مستقیم به صورت کلی ارائه شود، فرمول زیر به شما امکان می دهد فاصله یک خط مستقیم تا یک نقطه را به صورت زیر پیدا کنید:

خط مستقیم: A × x + B × y + C = 0.

نقطه: P 2 (x 2; y 2; z 2);

فاصله: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

فرمول فوق بسیار ساده است، اما استفاده از آن با شرایط ذکر شده در بالا محدود است.

مختصات طرح ریزی یک نقطه روی یک خط مستقیم و فاصله

همچنین می توانید به این سوال پاسخ دهید که چگونه فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم را به روش دیگری که شامل به خاطر سپردن فرمول های بالا نیست، پاسخ دهید. این روش شامل تعیین یک نقطه در یک خط مستقیم است که یک طرح از نقطه اصلی است.

فرض کنید یک نقطه M و یک خط r وجود دارد. طرح ریزی روی r نقطه M مربوط به نقطه ای M 1 است. فاصله M تا r برابر طول بردار MM 1 ¯ است.

چگونه مختصات M 1 را پیدا کنیم؟ بسیار ساده. کافی است به یاد بیاوریم که بردار خط v¯ عمود بر MM 1 ¯ خواهد بود، یعنی حاصل ضرب اسکالر آنها باید برابر با صفر باشد. با اضافه کردن این واقعیت که مختصات M 1 باید معادله خط مستقیم r را برآورده کند، سیستمی از اعداد اول را به دست می آوریم. معادلات خطی. در نتیجه حل آن، مختصات طرح نقطه M بر روی r به دست می آید.

روشی که در این پاراگراف برای یافتن فاصله یک خط تا یک نقطه توضیح داده شده است، می تواند برای صفحه و فضا استفاده شود، اما کاربرد آن مستلزم دانش معادله برداری برای خط است.

وظیفه در هواپیما

اکنون زمان آن است که نشان دهیم چگونه از دستگاه ریاضی ارائه شده برای حل مسائل واقعی استفاده کنیم. فرض کنید که یک نقطه M(-4; 5) در صفحه داده شده است. لازم است فاصله نقطه M تا خط مستقیم را پیدا کنیم که با یک معادله کلی توضیح داده شده است:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

یعنی M روی یک خط دراز نمی کشد.

از آنجایی که معادله یک خط مستقیم به صورت کلی ارائه نشده است، برای اینکه بتوانیم از فرمول مربوطه استفاده کنیم، آن را به آن کاهش می دهیم:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

اکنون می توانید اعداد شناخته شده را در فرمول d جایگزین کنید:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3.48

وظیفه در فضا

حال مورد را در فضا در نظر بگیرید. بگذارید خط مستقیم با معادله زیر توصیف شود:

(x؛ y؛ z) = (1؛ -1؛ 0) + α × (3؛ -2؛ 1)

فاصله آن تا نقطه M(0; 2; -3) چقدر است؟

درست مانند مورد قبلی، بررسی می کنیم که آیا M به یک خط معین تعلق دارد یا خیر. برای انجام این کار، مختصات را در معادله جایگزین کرده و آن را به صراحت بازنویسی می کنیم:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

از آنجایی که α پارامترهای مختلف بدست می آید، پس M روی این خط قرار نمی گیرد. اکنون فاصله آن تا خط مستقیم را محاسبه می کنیم.

برای استفاده از فرمول d، یک نقطه دلخواه روی خط بگیرید، برای مثال P(1; -1; 0)، سپس:

اجازه دهید حاصل ضرب بین PM¯ و خط v¯ را محاسبه کنیم. ما گرفتیم:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

اکنون ماژول های بردار یافت شده و بردار v¯ را در فرمول d جایگزین می کنیم، به دست می آوریم:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2.95

این پاسخ را می توان با استفاده از روشی که در بالا توضیح داده شد، که شامل حل یک سیستم معادلات خطی است، به دست آورد. در این و مسائل قبلی، مقادیر محاسبه شده فاصله از خط تا نقطه در واحدهای سیستم مختصات مربوطه ارائه شده است.

فرمول محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط در یک صفحه

اگر معادله خط Ax + By + C = 0 داده شود، با استفاده از فرمول زیر می توان فاصله نقطه M(M x , M y) تا خط را پیدا کرد.

نمونه هایی از وظایف برای محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط در یک صفحه

مثال 1

فاصله بین خط 3x + 4y - 6 = 0 و نقطه M(-1, 3) را پیدا کنید.

راه حل.ضرایب خط و مختصات نقطه را در فرمول جایگزین کنید

پاسخ:فاصله یک نقطه تا یک خط 0.6 است.

معادله صفحه ای که از نقاط عمود بر بردار می گذرد معادله کلی یک صفحه

بردار غیر صفر عمود بر یک صفحه معین نامیده می شود بردار معمولی (یا به طور خلاصه طبیعی ) برای این هواپیما.

در فضای مختصات (در یک سیستم مختصات مستطیلی) بگذارید:

یک نقطه ;

ب) یک بردار غیر صفر (شکل 4.8، a).

نوشتن معادله برای صفحه ای که از یک نقطه می گذرد الزامی است عمود بر بردار پایان اثبات

اکنون در نظر بگیرید انواع متفاوتمعادلات یک خط مستقیم در یک صفحه

1) معادله کلی هواپیماپ .

از اشتقاق معادله نتیجه می شود که در همان زمان آ, بو سیبرابر 0 نیست (توضیح دهید که چرا).

نقطه متعلق به هواپیما است پفقط در صورتی که مختصات آن معادله هواپیما را برآورده کند. بسته به ضرایب آ, ب, سیو دیسطح پیک موقعیت یا موقعیت دیگر را اشغال می کند.

- هواپیما از مبدأ سیستم مختصات عبور می کند، - هواپیما از مبدأ سیستم مختصات عبور نمی کند،

- صفحه موازی با محور است ایکس,

ایکس,

- صفحه موازی با محور است Y,

- هواپیما موازی با محور نیست Y,

- صفحه موازی با محور است ز,

- هواپیما موازی با محور نیست ز.

این گفته ها را خودتان ثابت کنید.

معادله (6) به راحتی از رابطه (5) به دست می آید. در واقع، اجازه دهید نقطه در هواپیما باشد پ. سپس مختصات آن معادله را برآورده می کند. با کم کردن رابطه (7) از رابطه (5) و گروه بندی عبارت ها، معادله (6) را به دست می آوریم. اکنون دو بردار را به ترتیب با مختصات در نظر بگیرید. از فرمول (6) بر می آید که حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است. بنابراین، بردار عمود بر بردار است. ابتدا و انتهای آخرین بردار به ترتیب در نقاطی هستند که متعلق به صفحه هستند. پ. بنابراین، بردار عمود بر صفحه است پ. فاصله از نقطه به هواپیما پ, معادله کلیکه با فرمول تعیین می شود اثبات این فرمول کاملاً شبیه اثبات فرمول فاصله بین یک نقطه و یک خط است (شکل 2 را ببینید).
برنج. 2. به اشتقاق فرمول فاصله بین صفحه و خط مستقیم.

در واقع فاصله دبین یک خط و یک هواپیما است

نقطه ای در هواپیما کجاست از اینجا مانند سخنرانی شماره 11 فرمول فوق بدست می آید. دو صفحه موازی هستند اگر بردارهای عادی آنها موازی باشند. از اینجا شرط موازی بودن دو صفحه را بدست می آوریم - ضرایب معادلات عمومی صفحات. دو صفحه عمودند اگر بردارهای نرمال آنها عمود بر هم باشند، از این رو شرط عمود بودن دو صفحه را در صورتی به دست می آوریم که معادلات کلی آنها مشخص باشد.

گوشه fبین دو صفحه برابر است با زاویه بین بردارهای عادی آنها (شکل 3 را ببینید) و بنابراین می توان از فرمول محاسبه کرد.
تعیین زاویه بین صفحات

(11)

فاصله نقطه تا هواپیما و نحوه پیدا کردن آن

فاصله از نقطه تا سطحطول عمودی است که از یک نقطه به این صفحه کاهش یافته است. حداقل دو راه برای یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه وجود دارد: هندسیو جبری.

با روش هندسیابتدا باید بفهمید که چگونه عمود از یک نقطه به یک صفحه قرار گرفته است: ممکن است در یک صفحه مناسب قرار داشته باشد، این یک ارتفاع در یک مثلث راحت (یا نه) باشد، یا شاید این عمود به طور کلی یک ارتفاع در یک هرم باشد. .

پس از این اولین و دشوارترین مرحله، مسئله به چندین مسئله پلان سنجی خاص (شاید در سطوح مختلف) تقسیم می شود.

با روش جبریبرای یافتن فاصله نقطه تا صفحه باید وارد یک سیستم مختصات شده، مختصات نقطه و معادله صفحه را بیابید و سپس فرمول فاصله نقطه تا صفحه را اعمال کنید.

اوه-او-او-او-اوه ... خوب قلع مثل اینکه جمله رو پیش خودت خوندی =) با این حال آرامش کمکت میکنه مخصوصا که امروز خریدمش لوازم جانبی مناسب. بنابراین، بیایید به بخش اول برویم، امیدوارم تا پایان مقاله حال و هوای شادی داشته باشم.

ترتیب متقابل دو خط مستقیم

موردی که سالن با هم آواز می خواند. دو خط می تواند:

1) مطابقت؛

2) موازی باشد: ;

3) یا در یک نقطه تلاقی می کنند: .

کمک به آدمک ها : لطفا علامت ریاضی تقاطع را به خاطر بسپارید، اغلب اتفاق می افتد. ورودی به این معنی است که خط با خط در نقطه قطع می شود.

چگونه موقعیت نسبی دو خط را تعیین کنیم؟

بیایید با مورد اول شروع کنیم:

دو خط منطبق هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب مربوطه آنها متناسب باشد، یعنی چنین عددی "لامبدا" وجود دارد که برابری ها

بیایید خطوط مستقیم را در نظر بگیریم و از ضرایب مربوطه سه معادله بسازیم: . از هر معادله نتیجه می شود که بنابراین، این خطوط بر هم منطبق هستند.

در واقع، اگر تمام ضرایب معادله ضرب در -1 (علائم تغییر)، و کاهش تمام ضرایب معادله 2، معادله یکسان را بدست می آورید: .

حالت دوم وقتی خطوط موازی هستند:

دو خط موازی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب آنها در متغیرها متناسب باشد: ، ولی.

به عنوان مثال، دو خط مستقیم را در نظر بگیرید. تناسب ضرایب مربوطه را برای متغیرها بررسی می کنیم:

با این حال، واضح است که.

و حالت سوم، وقتی خطوط را قطع می کنند:

دو خط اگر و فقط در صورتی قطع می شوند که ضرایب متغیرهای آنها متناسب نباشد، یعنی چنین مقداری از "لامبدا" وجود ندارد که برابری ها برآورده شوند

بنابراین، برای خطوط مستقیم، سیستمی را می سازیم:

از معادله اول بر می آید که و از معادله دوم: از این رو، سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، ضرایب در متغیرها متناسب نیستند.

نتیجه: خطوط همدیگر را قطع می کنند

در مسائل عملی می توان از طرح راه حلی که به تازگی در نظر گرفته شده استفاده کرد. به هر حال، بسیار شبیه به الگوریتم بررسی بردارها برای همخطی بودن است که در درس در نظر گرفتیم. مفهوم وابستگی خطی (غیر) بردارها. مبنای برداری. اما یک بسته متمدن تر وجود دارد:

مثال 1

برای پیدا کردن ترتیب متقابلمستقیم:

راه حلبر اساس مطالعه بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

الف) از معادلات بردارهای جهت خطوط را پیدا می کنیم: .

، بنابراین بردارها خطی نیستند و خطوط همدیگر را قطع می کنند.

در هر صورت، سنگی را با اشاره گر در چهارراه قرار می دهم:

بقیه از روی سنگ می پرند و ادامه می دهند، مستقیم به کشچه ای بی مرگ =)

ب) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

خطوط بردار جهت یکسانی دارند، به این معنی که آنها موازی یا یکسان هستند. در اینجا تعیین کننده ضروری نیست.

بدیهی است که ضرایب مجهولات متناسب هستند، در حالی که .

بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر:

به این ترتیب،

ج) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

بیایید تعیین کننده را محاسبه کنیم که از مختصات این بردارها تشکیل شده است:
بنابراین، بردارهای جهت خطی هستند. خطوط یا موازی یا منطبق هستند.

ضریب تناسب "لامبدا" به راحتی از نسبت بردارهای جهت خطی قابل مشاهده است. با این حال، می توان آن را از طریق ضرایب خود معادلات نیز یافت: .

حالا بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر. هر دو عبارت رایگان صفر هستند، بنابراین:

مقدار حاصل این معادله را برآورده می کند (به طور کلی هر عددی آن را برآورده می کند).

بنابراین، خطوط منطبق هستند.

پاسخ:

خیلی زود یاد خواهید گرفت (یا حتی قبلاً یاد گرفته اید) مشکل در نظر گرفته شده را به صورت شفاهی در عرض چند ثانیه حل کنید. در این زمینه، دلیلی برای ارائه چیزی برای یک راه حل مستقل نمی بینم، بهتر است یک آجر مهم دیگر در پایه هندسی بگذاریم:

چگونه یک خط موازی با یک خط داده شده رسم کنیم؟

به دلیل ناآگاهی از این ساده ترین کار، بلبل دزد به شدت مجازات می کند.

مثال 2

خط مستقیم با معادله به دست می آید. برای خط موازی که از نقطه عبور می کند معادله بنویسید.

راه حل: خط مجهول را با حرف مشخص کنید. شرط در مورد آن چه می گوید؟ خط از نقطه عبور می کند. و اگر خطوط موازی باشند، بدیهی است که بردار جهت دهنده خط «ce» برای ساخت خط «de» نیز مناسب است.

بردار جهت را از معادله خارج می کنیم:

پاسخ:

هندسه مثال ساده به نظر می رسد:

تأیید تحلیلی شامل مراحل زیر است:

1) بررسی می کنیم که خطوط بردار جهت یکسانی داشته باشند (اگر معادله خط به درستی ساده نشده باشد، بردارها هم خط خواهند بود).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر.

تأیید تحلیلی در بیشتر موارد به صورت شفاهی آسان است. به دو معادله نگاه کنید و بسیاری از شما به سرعت متوجه خواهید شد که چگونه خطوط بدون ترسیم موازی هستند.

نمونه هایی برای حل خود امروز خلاقانه خواهد بود. چون هنوز باید با بابا یاگا رقابت کنی و او هم که می دانی عاشق انواع معماهاست.

مثال 3

برای خطی که از نقطه ای موازی با خط if می گذرد معادله بنویسید

یک راه منطقی و نه چندان منطقی برای حل وجود دارد. کوتاه ترین راه در پایان درس است.

ما کمی با خطوط موازی کار کردیم و بعداً به آنها باز خواهیم گشت. مورد خطوط منطبق چندان جالب نیست، بنابراین بیایید مشکلی را در نظر بگیریم که از برنامه درسی مدرسه برای شما کاملاً شناخته شده است:

چگونه نقطه تلاقی دو خط را پیدا کنیم؟

اگر مستقیم در نقطه قطع می شود، سپس مختصات آن راه حل هستند سیستم های معادلات خطی

چگونه نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنیم؟ سیستم را حل کنید.

این برای تویه حس هندسیسیستم های دو معادله خطی با دو مجهولدو خط مستقیم متقاطع (اغلب) روی یک صفحه هستند.

مثال 4

نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید

راه حل: دو راه برای حل وجود دارد - گرافیکی و تحلیلی.

راه گرافیکی این است که به سادگی خطوط داده شده را رسم کنید و نقطه تقاطع را مستقیماً از نقاشی پیدا کنید:

نکته ما اینجاست: . برای بررسی، باید مختصات آن را در هر معادله یک خط مستقیم جایگزین کنید، آنها باید هم آنجا و هم آنجا قرار بگیرند. به عبارت دیگر مختصات یک نقطه حل سیستم است. در واقع یک راه گرافیکی برای حل در نظر گرفتیم سیستم های معادلات خطیبا دو معادله، دو مجهول.

روش گرافیکی البته بد نیست، اما معایب قابل توجهی دارد. نه، نکته این نیست که دانش آموزان کلاس هفتم اینگونه تصمیم می گیرند، نکته این است که انجام یک نقاشی صحیح و دقیق زمان می برد. بعلاوه، ساختن برخی خطوط چندان آسان نیست، و خود نقطه تقاطع ممکن است جایی در سی ام پادشاهی خارج از برگه دفترچه یادداشت باشد.

بنابراین جستجوی نقطه تقاطع با روش تحلیلی به مصلحت بیشتری است. بیایید سیستم را حل کنیم:

برای حل سیستم از روش جمع ترمی معادلات استفاده شد. برای توسعه مهارت های مربوطه، از درس دیدن کنید چگونه یک سیستم معادلات را حل کنیم؟

پاسخ:

تأیید بی اهمیت است - مختصات نقطه تقاطع باید هر معادله سیستم را برآورده کند.

مثال 5

نقطه تلاقی خطوط را در صورت تلاقی آنها پیدا کنید.

این یک مثال برای خودتان است. کار را می توان به راحتی به چند مرحله تقسیم کرد. تجزیه و تحلیل وضعیت نشان می دهد که لازم است:
1) معادله یک خط مستقیم را بنویسید.
2) معادله یک خط مستقیم را بنویسید.
3) موقعیت نسبی خطوط را دریابید.
4) اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، نقطه تلاقی را پیدا کنید.

توسعه یک الگوریتم اقدامات معمولی برای بسیاری از مسائل هندسی است، و من بارها بر این موضوع تمرکز خواهم کرد.

راه حل و پاسخ کامل در انتهای آموزش:

یک جفت کفش هنوز کهنه نشده است که به بخش دوم درس رسیدیم:

خطوط عمود بر هم. فاصله از یک نقطه تا یک خط.
زاویه بین خطوط

بیایید با یک کار معمولی و بسیار مهم شروع کنیم. در قسمت اول یاد گرفتیم که چگونه یک خط مستقیم به موازات خط داده شده بسازیم و اکنون کلبه روی پای مرغ 90 درجه خواهد چرخید:

چگونه یک خط عمود بر یک معین رسم کنیم؟

مثال 6

خط مستقیم با معادله به دست می آید. برای خط عمودی که از یک نقطه می گذرد معادله بنویسید.

راه حل: با فرض معلوم است که . خوب است که بردار جهت خط مستقیم را پیدا کنیم. از آنجایی که خطوط عمود هستند، ترفند ساده است:

از معادله، بردار نرمال: را حذف می کنیم که بردار هدایت کننده خط مستقیم خواهد بود.

معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار جهت می‌سازیم:

پاسخ:

بیایید طرح هندسی را باز کنیم:

هوم... آسمان نارنجی، دریای نارنجی، شتر نارنجی.

بررسی تحلیلی راه حل:

1) بردارهای جهت را از معادلات استخراج کنید و با کمک حاصل ضرب نقطه ای بردارهانتیجه می گیریم که خطوط در واقع عمود هستند: .

به هر حال، شما می توانید از بردارهای معمولی استفاده کنید، حتی ساده تر است.

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر .

باز هم تأیید صحت به صورت شفاهی آسان است.

مثال 7

اگر معادله مشخص باشد، نقطه تلاقی خطوط عمود بر هم را بیابید و نقطه

این یک مثال برای خودتان است. چندین عمل در کار وجود دارد، بنابراین راحت است که راه حل را نقطه به نقطه مرتب کنید.

ما یک سفر سرگرم کنندهادامه می دهد:

فاصله از نقطه به خط

پیش روی ما یک نوار مستقیم از رودخانه است و وظیفه ما رسیدن به آن در کوتاه ترین راه است. هیچ مانعی وجود ندارد و بهینه ترین مسیر حرکت در امتداد عمود خواهد بود. یعنی فاصله یک نقطه تا یک خط طول پاره عمود بر هم است.

فاصله در هندسه به طور سنتی با حرف یونانی "ro" نشان داده می شود، به عنوان مثال: - فاصله از نقطه "em" تا خط مستقیم "de".

فاصله از نقطه به خط با فرمول بیان می شود

مثال 8

فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید

راه حل: تنها چیزی که نیاز دارید این است که اعداد را با دقت در فرمول جایگزین کنید و محاسبات را انجام دهید:

پاسخ:

بیایید طراحی را اجرا کنیم:

فاصله یافت شده از نقطه تا خط دقیقاً به اندازه طول قطعه قرمز است. اگر روی کاغذ شطرنجی در مقیاس 1 واحد نقاشی بکشید. \u003d 1 سانتی متر (2 سلول)، سپس فاصله را می توان با یک خط کش معمولی اندازه گیری کرد.

با توجه به همان نقاشی، کار دیگری را در نظر بگیرید:

وظیفه یافتن مختصات نقطه است که با نقطه متقارن با خط است. . من پیشنهاد می کنم اقدامات را به تنهایی انجام دهید، با این حال، الگوریتم راه حل را با نتایج متوسط ​​شرح می دهم:

1) خطی را پیدا کنید که عمود بر یک خط باشد.

2) نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید: .

هر دو عمل به تفصیل در این درس مورد بحث قرار می گیرند.

3) نقطه نقطه وسط قطعه است. مختصات وسط و یکی از انتها را می دانیم. توسط فرمول مختصات وسط قطعهپیدا کردن .

بررسی اینکه فاصله نیز برابر با 2.2 واحد است، اضافی نخواهد بود.

در اینجا ممکن است مشکلاتی در محاسبات ایجاد شود، اما در برج یک ریزمحاسبه کمک زیادی می کند و به شما امکان می دهد کسرهای معمولی را بشمارید. بارها توصیه کرده ام و دوباره توصیه می کنم.

چگونه فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنیم؟

مثال 9

فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید

این مثال دیگری برای راه حل مستقل است. یک نکته کوچک: راه های بی نهایت زیادی برای حل وجود دارد. خلاصه در پایان درس، اما بهتر است سعی کنید خودتان حدس بزنید، فکر می کنم نبوغ شما به خوبی پراکنده شده است.

زاویه بین دو خط

هر گوشه ای که باشد، پس گیره:


در هندسه، زاویه بین دو خط مستقیم به عنوان زاویه کوچکتر در نظر گرفته می شود که از آن به طور خودکار نتیجه می شود که نمی تواند کج باشد. در شکل، زاویه نشان داده شده با قوس قرمز، زاویه بین خطوط متقاطع در نظر گرفته نمی شود. و همسایه "سبز" آن یا مخالف جهت گیریگوشه زرشکی

اگر خطوط عمود باشند، هر یک از 4 زاویه را می توان به عنوان زاویه بین آنها در نظر گرفت.

زاویه ها چگونه متفاوت است؟ گرایش. اول، جهت "پیمایش" گوشه اساسا مهم است. ثانیا، یک زاویه جهت منفی با علامت منفی نوشته می شود، به عنوان مثال، اگر .

چرا این را گفتم؟ به نظر می رسد که می توانید با مفهوم معمول یک زاویه کنار بیایید. واقعیت این است که در فرمول هایی که با آن زاویه ها را پیدا خواهیم کرد، به راحتی می توان نتیجه منفی گرفت و این نباید شما را غافلگیر کند. زاویه ای با علامت منفی بدتر نیست و معنای هندسی بسیار خاصی دارد. در نقاشی برای زاویه منفی، نشان دادن جهت آن (در جهت عقربه های ساعت) با یک فلش ضروری است.

چگونه زاویه بین دو خط را پیدا کنیم؟دو فرمول کار وجود دارد:

مثال 10

زاویه بین خطوط را پیدا کنید

راه حلو روش یک

دو خط مستقیم را در نظر بگیرید که با معادلات به صورت کلی داده می شود:

اگر مستقیم عمود نیست، سپس جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

بیایید به مخرج دقت کنیم - این دقیقاً همین است حاصلضرب عددیبردارهای جهت خطوط مستقیم:

اگر، مخرج فرمول ناپدید می شود، و بردارها متعامد و خطوط عمود خواهند بود. به همین دلیل است که در مورد عمود نبودن خطوط در فرمول بندی رزرو شده است.

بر اساس موارد فوق، راه حل به راحتی در دو مرحله رسمیت می یابد:

1) حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم را محاسبه کنید:
بنابراین خطوط عمود بر هم نیستند.

2) زاویه بین خطوط را با فرمول پیدا می کنیم:

با استفاده از تابع معکوسبه راحتی می توان گوشه را پیدا کرد. در این مورد، ما از عجیب بودن مماس قوس استفاده می کنیم (شکل 2 را ببینید). نمودارها و خواص توابع ابتدایی):

پاسخ:

در پاسخ، مقدار دقیق و همچنین مقدار تقریبی (ترجیحاً هم بر حسب درجه و هم بر حسب رادیان) را که با استفاده از ماشین حساب محاسبه می شود، نشان می دهیم.

خوب، منهای، پس منهای، اشکالی ندارد. در اینجا یک تصویر هندسی است:

جای تعجب نیست که زاویه جهت گیری منفی داشته باشد، زیرا در شرایط مسئله، عدد اول یک خط مستقیم است و "پیچش" زاویه دقیقاً از آن شروع شد.

اگر واقعاً می خواهید زاویه مثبت بگیرید، باید خطوط مستقیم را عوض کنید، یعنی ضرایب را از معادله دوم بگیرید. و ضرایب را از معادله اول بگیرید. به طور خلاصه، شما باید با یک مستقیم شروع کنید .

این مقاله در مورد موضوع صحبت می کند « فاصله از نقطه به خط », تعاریف فاصله از یک نقطه تا یک خط با مثال های مصور با روش مختصات در نظر گرفته شده است. هر بلوک نظریه در پایان نمونه هایی از حل مسائل مشابه را نشان داده است.

فاصله یک نقطه تا یک خط با تعیین فاصله یک نقطه تا یک نقطه به دست می آید. بیایید با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم.

بگذارید یک خط a و یک نقطه M 1 وجود داشته باشد که به خط داده شده تعلق ندارد. از میان آن خطی عمود بر خط a رسم کنید. نقطه تقاطع خطوط را H 1 در نظر بگیرید. دریافتیم که M 1 H 1 یک عمود است که از نقطه M 1 به خط a کاهش یافته است.

تعریف 1

فاصله از نقطه M 1 تا خط مستقیم aفاصله بین نقاط M 1 و H 1 نامیده می شود.

رکوردهایی از تعریف با شکل طول عمود وجود دارد.

تعریف 2

فاصله از نقطه به خططول عمود رسم شده از یک نقطه به یک خط معین است.

تعاریف معادل هستند. شکل زیر را در نظر بگیرید.

مشخص است که فاصله از یک نقطه تا یک خط مستقیم کوچکترین فاصله ممکن است. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم.

اگر نقطه Q را که روی خط a قرار دارد و با نقطه M 1 منطبق نیست در نظر بگیریم، دریافتیم که قطعه M 1 Q مایل نامیده می شود و از M 1 به خط a کاهش می یابد. لازم به ذکر است که عمود از نقطه M 1 کمتر از هر مورب دیگری است که از نقطه به خط مستقیم کشیده شده است.

برای اثبات این موضوع، مثلث M 1 Q 1 H 1 را در نظر بگیرید، که در آن M 1 Q 1 افت فشار است. مشخص است که طول آن همیشه از طول هر یک از پاها بیشتر است. بنابراین، ما M 1 H 1 را داریم< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

داده های اولیه برای یافتن از یک نقطه به یک خط مستقیم امکان استفاده از چندین روش حل را فراهم می کند: از طریق قضیه فیثاغورث، تعاریف سینوس، کسینوس، مماس زاویه و غیره. اکثر وظایف از این نوع در مدرسه در درس هندسه حل می شود.

هنگامی که هنگام یافتن فاصله از یک نقطه تا یک خط، می توانید یک سیستم مختصات مستطیلی را وارد کنید، سپس از روش مختصات استفاده می شود. در این پاراگراف، دو روش اصلی برای یافتن فاصله مورد نظر از یک نقطه معین را در نظر می گیریم.

روش اول شامل یافتن فاصله به صورت عمود رسم شده از M 1 به خط a است. روش دوم از معادله معمولی خط مستقیم a برای یافتن فاصله مورد نیاز استفاده می کند.

اگر نقطه ای در صفحه با مختصات M 1 (x 1، y 1) در یک سیستم مختصات مستطیلی، یک خط مستقیم وجود دارد و باید فاصله M 1 H 1 را پیدا کنید، می توانید به دو روش محاسبه کنید. بیایید آنها را در نظر بگیریم.

راه اول

اگر مختصات نقطه H 1 برابر با x 2، y 2 وجود داشته باشد، فاصله نقطه تا خط از مختصات فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y محاسبه می شود. 2 - y 1) 2.

حال به سراغ یافتن مختصات نقطه H 1 می رویم.

مشخص است که یک خط مستقیم در O x y با معادله یک خط مستقیم در یک صفحه مطابقت دارد. بیایید با نوشتن یک معادله کلی از یک خط مستقیم یا یک معادله با شیب، یک خط مستقیم را تعریف کنیم. معادله خط مستقیمی را می سازیم که از نقطه M 1 عمود بر یک خط معین a می گذرد. بیایید خط را با راش b نشان دهیم. H 1 نقطه تلاقی خطوط a و b است، بنابراین برای تعیین مختصات باید از مقاله ای استفاده کنید که در آن در سوالروی مختصات نقاط تقاطع دو خط.

مشاهده می شود که الگوریتم برای یافتن فاصله از یک نقطه معین M 1 (x 1, y 1) تا خط مستقیم a با توجه به نقاط انجام می شود:

تعریف 3

• پیدا کردن معادله کلی خط مستقیم a ، به شکل A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 یا معادله ای با ضریب شیب به شکل y \u003d k 1 x + b 1.
• به دست آوردن معادله کلی خط b که به شکل A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 یا معادله ای با شیب y \u003d k 2 x + b 2 است اگر خط b نقطه M 1 را قطع کند. و عمود بر خط داده شده a است.
• با تعیین مختصات x 2، y 2 نقطه H 1 که نقطه تقاطع a و b است، برای این، سیستم معادلات خطی حل می شود A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 یا y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• محاسبه فاصله مورد نیاز از یک نقطه تا یک خط مستقیم با استفاده از فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

راه دوم

این قضیه می تواند به پاسخ به سؤال یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط معین در یک صفحه کمک کند.

قضیه

یک سیستم مختصات مستطیلی دارای O x y دارای یک نقطه M 1 (x 1, y 1) است که از آن یک خط مستقیم a به صفحه رسم می شود که با معادله نرمال صفحه به شکل cos α x + cos β داده می شود. y - p = 0، برابر با مدول مقدار به دست آمده در سمت چپ معادله خط مستقیم عادی، محاسبه شده در x = x 1، y = y 1، به این معنی است که M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

اثبات

خط a مطابق با معادله نرمال صفحه است که به شکل cos α x + cos β y - p = 0 است، سپس n → = (cos α , cos β) بردار نرمال خط a در a در نظر گرفته می شود. فاصله از مبدا تا خط a با واحد p . لازم است تمام داده ها را در شکل به تصویر بکشید، یک نقطه با مختصات M 1 (x 1، y 1) اضافه کنید، جایی که بردار شعاع نقطه M 1 - O M 1 → = (x 1، y 1) . لازم است یک خط مستقیم از یک نقطه به یک خط مستقیم بکشیم که آن را با M 1 H 1 نشان می دهیم. لازم است پیش بینی های M 2 و H 2 نقاط M 1 و H 2 را روی یک خط مستقیم که از نقطه O می گذرد با یک بردار جهت دهنده به شکل n → = (cos α , cos β) و طرح عددی نشان دهیم. از بردار به صورت O M 1 → = (x 1 , y 1) به جهت n → = (cos α , cos β) به صورت n p n → O M 1 → نشان داده می شود.

تغییرات به محل خود نقطه M 1 بستگی دارد. شکل زیر را در نظر بگیرید.

ما نتایج را با استفاده از فرمول M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p ثابت می کنیم. سپس تساوی را به این شکل M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p می آوریم تا n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 به دست آوریم.

حاصل ضرب اسکالر بردارها منجر به فرمول تبدیل شده ای به شکل n →، O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → می شود که حاصل ضربی به شکل مختصات است. شکل n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . از این رو، به دست می آوریم که n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . نتیجه می شود که M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . قضیه ثابت شده است.

ما دریافتیم که برای یافتن فاصله از نقطه M 1 (x 1, y 1) تا خط مستقیم a در صفحه، چندین عمل باید انجام شود:

تعریف 4

• به دست آوردن معادله عادی خط a cos α · x + cos β · y - p = 0، مشروط بر اینکه در کار نباشد.
• محاسبه عبارت cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ، که در آن مقدار حاصل M 1 H 1 می گیرد.

بیایید از این روش ها برای حل مسائل مربوط به یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه استفاده کنیم.

مثال 1

فاصله نقطه با مختصات M 1 (- 1 , 2) تا خط 4 x - 3 y + 35 = 0 را بیابید.

راه حل

بیایید از روش اول برای حل استفاده کنیم.

برای انجام این کار، باید معادله کلی خط b را پیدا کنید، که از نقطه معین M 1 (- 1 , 2) عمود بر خط 4 x - 3 y + 35 = 0 عبور می کند. از شرایطی که خط b عمود بر خط a است، مشخص می شود، سپس بردار جهت آن دارای مختصاتی برابر با (4، - 3) است. بنابراین، ما این فرصت را داریم که معادله متعارف خط b را روی صفحه بنویسیم، زیرا مختصاتی از نقطه M 1 وجود دارد، متعلق به خط b است. بیایید مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم b را تعیین کنیم. دریافت می کنیم که x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . معادله متعارف حاصل باید به یک معادله عمومی تبدیل شود. سپس آن را دریافت می کنیم

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

بیایید مختصات نقاط تقاطع خطوط را پیدا کنیم که به عنوان نام H 1 در نظر می گیریم. تحولات به این صورت است:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

با توجه به موارد فوق، داریم که مختصات نقطه H 1 (- 5; 5) است.

محاسبه فاصله از نقطه M 1 تا خط مستقیم a ضروری است. مختصات نقاط M 1 (- 1, 2) و H 1 (- 5, 5) را داریم، سپس در فرمول یافتن فاصله جایگزین می کنیم و به این نتیجه می رسیم که

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

راه حل دوم.

برای حل به روشی دیگر، باید معادله عادی یک خط مستقیم را به دست آورد. مقدار ضریب نرمال سازی را محاسبه می کنیم و دو طرف معادله را 4 x - 3 y + 35 = 0 ضرب می کنیم. از اینجا دریافت می کنیم که ضریب نرمال کننده - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 است، و معادله نرمال به شکل - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - خواهد بود. 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

با توجه به الگوریتم محاسبه، لازم است معادله عادی یک خط مستقیم را به دست آوریم و آن را با مقادیر x = - 1، y = 2 محاسبه کنیم. سپس آن را دریافت می کنیم

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

از اینجا دریافتیم که فاصله از نقطه M 1 (- 1 , 2) تا خط مستقیم داده شده 4 x - 3 y + 35 = 0 دارای مقدار - 5 = 5 است.

پاسخ: 5 .

مشاهده می شود که در این روش استفاده از معادله عادی یک خط مستقیم مهم است، زیرا این روش کوتاه ترین است. اما روش اول از این نظر راحت است که منسجم و منطقی است، اگرچه امتیازات محاسباتی بیشتری دارد.

مثال 2

در صفحه یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با نقطه M 1 (8، 0) و یک خط مستقیم y = 1 2 x + 1 وجود دارد. فاصله یک نقطه معین تا یک خط مستقیم را پیدا کنید.

راه حل

راه حل به روش اول دلالت بر کاهش یک معادله داده شده با ضریب شیب به یک معادله کلی دارد. برای ساده‌تر شدن، می‌توانید آن را متفاوت انجام دهید.

اگر حاصل ضرب شیب های خطوط عمود بر - 1 باشد، شیب خط عمود بر y = 1 2 x + 1 داده شده 2 است. اکنون معادله خط مستقیمی را که از نقطه ای با مختصات M 1 (8, 0) می گذرد به دست می آوریم. داریم که y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

ما به یافتن مختصات نقطه H 1 ، یعنی نقاط تقاطع y \u003d - 2 x + 16 و y \u003d 1 2 x + 1 ادامه می دهیم. ما یک سیستم معادلات می سازیم و به دست می آوریم:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d سال \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6، 4)

نتیجه این است که فاصله از نقطه با مختصات M 1 (8, 0) تا خط y = 1 2 x + 1 برابر است با فاصله از نقطه شروع و نقطه پایان با مختصات M 1 (8, 0) و H. 1 (6، 4). بیایید محاسبه کنیم و بدست آوریم که M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

راه حل در راه دوم این است که از معادله با ضریب به شکل عادی آن عبور کنیم. یعنی ما y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 را دریافت می کنیم ، سپس مقدار ضریب نرمال کننده خواهد بود - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . بنابراین معادله معمولی یک خط مستقیم به شکل - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 است. بیایید از نقطه M 1 8 , 0 تا یک خط مستقیم از شکل - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 محاسبه کنیم. ما گرفتیم:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

پاسخ: 2 5 .

مثال 3

لازم است فاصله از نقطه با مختصات M 1 (- 2 , 4) تا خطوط مستقیم 2 x - 3 = 0 و y + 1 = 0 محاسبه شود.

راه حل

معادله شکل عادی خط مستقیم 2 x - 3 = 0 را بدست می آوریم:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

سپس فاصله نقطه M 1 - 2, 4 تا خط مستقیم x - 3 2 = 0 را محاسبه می کنیم. ما گرفتیم:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

معادله خط مستقیم y + 1 = 0 دارای ضریب نرمال کننده با مقدار -1 است. این به این معنی است که معادله به شکل - y - 1 = 0 خواهد بود. ما به محاسبه فاصله از نقطه M 1 (- 2، 4) تا خط مستقیم - y - 1 = 0 ادامه می دهیم. دریافت می کنیم که برابر است - 4 - 1 = 5.

پاسخ: 3 1 2 و 5 .

اجازه دهید تعیین فاصله از یک نقطه معین از صفحه تا محورهای مختصات Ox و Oy را با جزئیات در نظر بگیریم.

در یک سیستم مختصات مستطیلی، محور O y معادله ای از یک خط مستقیم دارد که ناقص است و به شکل x \u003d 0 و O x - y \u003d 0 است. معادلات برای محورهای مختصات نرمال است، پس باید فاصله نقطه با مختصات M 1 x 1 , y 1 تا خطوط مستقیم را پیدا کرد. این کار بر اساس فرمول های M 1 H 1 = x 1 و M 1 H 1 = y 1 انجام می شود. شکل زیر را در نظر بگیرید.

مثال 4

فاصله نقطه M 1 (6، - 7) تا خطوط مختصات واقع در صفحه O x y را بیابید.

راه حل

از آنجایی که معادله y \u003d 0 به خط O x اشاره دارد، می توانید فاصله M 1 را با مختصات داده شده به این خط با استفاده از فرمول پیدا کنید. ما 6 = 6 را دریافت می کنیم.

از آنجایی که معادله x \u003d 0 به خط O y اشاره دارد، می توانید فاصله M 1 تا این خط را با استفاده از فرمول پیدا کنید. سپس دریافت می کنیم که - 7 = 7.

پاسخ:فاصله M 1 تا O x دارای مقدار 6 و از M 1 تا O y دارای مقدار 7 است.

وقتی در فضای سه بعدی نقطه ای با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) داریم، لازم است فاصله نقطه A تا خط a را پیدا کنیم.

دو روش را در نظر بگیرید که به شما امکان می دهد فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم a واقع در فضا را محاسبه کنید. حالت اول فاصله نقطه M 1 تا خط را در نظر می گیرد که نقطه روی خط H 1 نامیده می شود و پایه عمود رسم شده از نقطه M 1 به خط a است. مورد دوم نشان می دهد که نقاط این صفحه را باید به عنوان ارتفاع متوازی الاضلاع جستجو کرد.

راه اول

از تعریف داریم که فاصله از نقطه M 1 واقع در خط مستقیم a به اندازه طول عمود بر M 1 H 1 است، سپس با مختصات یافت شده نقطه H 1 دریافت می کنیم، سپس فاصله را پیدا می کنیم. بین M 1 (x 1, y 1, z 1 ) و H 1 (x 1, y 1, z 1) بر اساس فرمول M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

به این نتیجه رسیدیم که کل جواب به یافتن مختصات قاعده عمود رسم شده از M 1 به خط a می رود. این کار به صورت زیر انجام می شود: H 1 نقطه ای است که خط a با صفحه ای که از نقطه داده شده می گذرد تلاقی می کند.

این بدان معناست که الگوریتم تعیین فاصله از نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) تا خط مستقیم a از فضا متضمن چندین نقطه است:

تعریف 5

• ترسیم معادله صفحه χ به عنوان معادله صفحه ای که از نقطه معینی عمود بر خط عبور می کند.
• تعیین مختصات (x 2 , y 2 , z 2) متعلق به نقطه H 1 که نقطه تلاقی خط a و صفحه χ است.
• محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط با استفاده از فرمول M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

راه دوم

از شرطی که یک خط a داریم، سپس می توانیم بردار جهت a → = a x، a y، a z را با مختصات x 3، y 3، z 3 و یک نقطه M 3 متعلق به خط a تعیین کنیم. با توجه به مختصات نقاط M 1 (x 1 , y 1 ) و M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → می توان محاسبه کرد:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3)

لازم است بردارهای a → \u003d a x، a y، a z و M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3 را از نقطه M 3 به تعویق بیندازید، وصل کنید و دریافت کنید. یک شکل متوازی الاضلاع M 1 H 1 ارتفاع متوازی الاضلاع است.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

ما داریم که ارتفاع M 1 H 1 فاصله مورد نظر است، سپس باید آن را با استفاده از فرمول پیدا کنید. یعنی ما به دنبال M 1 H 1 هستیم.

مساحت متوازی الاضلاع را با حرف S مشخص کنید، با فرمول با استفاده از بردار a → = (a x، a y، a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3 یافت می شود. y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . فرمول مساحت به شکل S = a → × M 3 M 1 → است. همچنین، مساحت شکل برابر است با حاصلضرب طول اضلاع و ارتفاع آن، دریافت می کنیم که S \u003d a → M 1 H 1 با → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2، که طول بردار a → \u003d (a x, a y, a z) است طرف مساویمتوازی الاضلاع. بنابراین، M 1 H 1 فاصله نقطه تا خط است. با فرمول M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → یافت می شود.

برای یافتن فاصله از نقطه ای با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) تا یک خط مستقیم a در فضا، باید چندین نقطه از الگوریتم را انجام دهید:

تعریف 6

• تعیین بردار جهت خط مستقیم a - a → = (a x , a y , a z) ;
• محاسبه طول بردار جهت a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• به دست آوردن مختصات x 3 , y 3 , z 3 متعلق به نقطه M 3 واقع در خط a.
• محاسبه مختصات بردار M 3 M 1 → ;
• یافتن ضرب ضربدری بردارهای a → (a x, a y, a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 به صورت a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 برای به دست آوردن طول طبق فرمول a → × M 3 M 1 → ;
• محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

حل مسائل مربوط به یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط مستقیم در فضا

مثال 5

فاصله نقطه با مختصات M 1 2 , - 4 , - 1 تا خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 را بیابید.

راه حل

روش اول با نوشتن معادله صفحه χ که از M 1 می گذرد و بر یک نقطه معین عمود می شود شروع می شود. ما عبارتی مانند این را دریافت می کنیم:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

لازم است مختصات نقطه H 1 را که نقطه تقاطع با صفحه χ به خط مستقیم شرط است، پیدا کنید. باید از شکل متعارف به حالت متقاطع حرکت کرد. سپس یک سیستم معادلات به شکل زیر بدست می آوریم:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

لازم است سیستم x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 محاسبه شود. 2 x - y + 5 z = 3 با روش کرامر، سپس به این نتیجه می رسیم:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

از این رو داریم که H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

روش دوم باید با جستجوی مختصات در معادله متعارف شروع شود. برای این کار به مخرج کسر توجه کنید. سپس a → = 2 , - 1 , 5 بردار جهت خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 است. لازم است طول را با استفاده از فرمول a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 محاسبه کنید.

واضح است که خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 نقطه M 3 (- 1 , 0 , - 5) را قطع می کند، از این رو داریم که بردار با مبدا M 3 (- 1 , 0 , - 5) و انتهای آن در نقطه M 1 2 , - 4 , - 1 M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 است. حاصل ضرب برداری a → = (2, - 1, 5) و M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) را بیابید.

عبارتی به شکل a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j به دست می آوریم. → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

ما دریافت می کنیم که طول ضربدر یک → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 است.

ما تمام داده ها را برای استفاده از فرمول برای محاسبه فاصله از یک نقطه برای یک خط مستقیم داریم، بنابراین آن را اعمال می کنیم و به دست می آوریم:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

پاسخ: 11 .

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

زاویه بین خطوط در یک صفحه.

تعریف.

استخراج فرمول فاصله از نقطه تا خط

انتخاب 1

بگذارید یک خط مستقیم روی هواپیما داده شود ل: تبر + توسط + ج= 0 و نقطه M1(x 1;y 1) که به این خط تعلق ندارد. فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید. زیر فاصله ρ از نقطه M1به راست لطول بخش را درک کنید M0M1⏊ ل.

برای تعیین فاصله، استفاده از بردار واحد هم خط با بردار معمولی خط مستقیم راحت است.

توضیح:از نقطه نظر M0در یک خط مستقیم قرار دارد ل، سپس مختصات آن باید معادله خط داده شده را برآورده کند. ax0 + توسط 0 + ج= 0گزینه 2

اگر نقطه M(x 0، y 0) داده شود، فاصله تا خط Ax + Vy + C \u003d 0 به صورت تعریف می شود. .

اثباتبگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M به خط داده شده رها شده است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:(1) مختصات x 1 و y 1 را می توان به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات یافت: معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از یک نقطه معین M 0 عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد. اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم: A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0, سپس، حل، می گیریم: با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم: . قضیه ثابت شده است.