مثال هایی برای یافتن مقادیر عبارات مثال های مثلثاتی. درس "ساده سازی عبارات مثلثاتی"

بخش ها: ریاضیات

کلاس: 11

درس 1

موضوع: پایه یازدهم (آمادگی برای امتحان)

ساده سازی عبارات مثلثاتی.

حل ساده ترین معادلات مثلثاتی (2 ساعت)

اهداف:

• سیستم سازی، تعمیم، گسترش دانش و مهارت های دانش آموزان مربوط به استفاده از فرمول های مثلثاتی و حل ساده ترین معادلات مثلثاتی.

تجهیزات برای درس:

ساختار درس:

1. اورگمنت
2. تست روی لپ تاپ بحث در مورد نتایج.
3. ساده سازی عبارات مثلثاتی
4. حل ساده ترین معادلات مثلثاتی
5. کار مستقل.
6. خلاصه درس. توضیح تکالیف.

1. لحظه سازمانی. (2 دقیقه.)

معلم به حضار سلام می کند ، موضوع درس را اعلام می کند ، به یاد می آورد که قبلاً وظیفه تکرار فرمول های مثلثات داده شده بود و دانش آموزان را برای آزمایش قرار می دهد.

2. آزمایش. (15 دقیقه + 3 دقیقه بحث)

هدف آزمایش دانش فرمول های مثلثاتی و توانایی به کارگیری آنهاست. هر دانش آموز روی میز خود یک لپ تاپ دارد که در آن گزینه تست وجود دارد.

گزینه های مختلفی می تواند وجود داشته باشد، من یکی از آنها را مثال می زنم:

گزینه I.

ساده سازی عبارات:

الف) هویت های مثلثاتی اساسی

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

ب) فرمول های جمع

3. sin5x - sin3x;

ج) تبدیل یک محصول به مبلغ

6. 2sin8y cos3y;

د) فرمول های دو زاویه

7.2sin5x cos5x;

ه) فرمول های نیم زاویه

و) فرمول های زاویه سه گانه

ز) جایگزینی جهانی

ح) پایین آوردن مدرک

16. cos 2 (3x/7);

دانش‌آموزان روی لپ‌تاپ در مقابل هر فرمول پاسخ‌های خود را می‌بینند.

کار فوراً توسط رایانه بررسی می شود. نتایج بر روی یک صفحه نمایش بزرگ برای همه نمایش داده می شود.

همچنین پس از پایان کار، پاسخ های صحیح بر روی لپ تاپ دانش آموزان نمایش داده می شود. هر دانش آموز می بیند که اشتباه کجا بوده و چه فرمول هایی را باید تکرار کند.

3. ساده سازی عبارات مثلثاتی. (25 دقیقه)

هدف تکرار، کار کردن و تثبیت کاربرد فرمول های اصلی مثلثات است. حل مسائل B7 از امتحان.

در این مرحله، توصیه می شود کلاس را به گروه های دانش آموزان قوی (به طور مستقل با تأیید بعدی کار کنید) و دانش آموزان ضعیف که با معلم کار می کنند تقسیم کنید.

تکلیف برای دانش آموزان قوی (از قبل به صورت چاپی آماده شده است). بر اساس USE 2011 تاکید اصلی بر روی فرمول های کاهش و زاویه دوگانه است.

عبارات را ساده کنید (برای زبان آموزان قوی):

به موازات آن، معلم با دانش آموزان ضعیف کار می کند و تکالیف را بر روی صفحه نمایش تحت دیکته دانش آموزان حل می کند.

محاسبه:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

ساده کردن:

نوبت به بحث در مورد نتایج کار گروه قوی رسید.

پاسخ ها روی صفحه نمایش داده می شود و همچنین با کمک دوربین فیلمبرداری، کار 5 دانش آموز مختلف (برای هر کدام یک کار) نمایش داده می شود.

گروه ضعیف شرایط و روش حل را می بیند. بحث و تحلیل است. استفاده كردن وسایل فنیبه سرعت اتفاق می افتد

4. حل ساده ترین معادلات مثلثاتی. (30 دقیقه.)

هدف تکرار، نظام‌بندی و تعمیم حل ساده‌ترین معادلات مثلثاتی با ثبت ریشه‌های آنهاست. حل مسئله B3.

هر معادله مثلثاتی، مهم نیست که چگونه آن را حل کنیم، به ساده ترین آنها منجر می شود.

دانش آموزان هنگام انجام تکلیف باید به نوشتن ریشه معادلات موارد خاص و فرم کلی و انتخاب ریشه در آخرین معادله توجه کنند.

حل معادلات:

کوچکترین ریشه مثبت پاسخ را بنویسید.

5. کار مستقل (10 دقیقه)

هدف آزمایش مهارت های کسب شده، شناسایی مشکلات، خطاها و راه های رفع آنهاست.

انواع کار به انتخاب دانشجو ارائه می شود.

گزینه برای "3"

1) مقدار عبارت را بیابید

2) عبارت 1 - sin 2 3α - cos 2 3α را ساده کنید

3) معادله را حل کنید

گزینه برای "4"

1) مقدار عبارت را بیابید

2) معادله را حل کنید کوچکترین ریشه مثبت پاسخ خود را بنویسید.

گزینه برای "5"

1) اگر tgα را پیدا کنید

2) ریشه معادله را بیابید کوچکترین ریشه مثبت پاسخ خود را بنویسید.

6. خلاصه درس (5 دقیقه)

معلم این واقعیت را خلاصه می کند که درس فرمول های مثلثاتی را تکرار و تلفیقی می کند، حل ساده ترین معادلات مثلثاتی.

تکالیف (از قبل به صورت چاپی آماده شده است) با بررسی نقطه ای در درس بعدی تعیین می شود.

حل معادلات:

9)

10) پاسخ خود را به عنوان کوچکترین ریشه مثبت بیان کنید.

درس 2

موضوع: پایه یازدهم (آمادگی برای امتحان)

روش های حل معادلات مثلثاتی. انتخاب ریشه (2 ساعت)

اهداف:

• تعمیم و سیستماتیک کردن دانش در حل معادلات مثلثاتی انواع مختلف.
• برای ترویج توسعه تفکر ریاضی دانش آموزان، توانایی مشاهده، مقایسه، تعمیم، طبقه بندی.
• دانش آموزان را تشویق کنید تا بر مشکلات در فرآیند فعالیت ذهنی غلبه کنند، به خودکنترلی، درون نگری در فعالیت های خود.

تجهیزات برای درس: KRMu، لپ تاپ برای هر دانش آموز.

ساختار درس:

1. اورگمنت
2. بحث d/s و samot. کار درس آخر
3. تکرار روش های حل معادلات مثلثاتی.
4. حل معادلات مثلثاتی
5. انتخاب ریشه در معادلات مثلثاتی.
6. کار مستقل.
7. خلاصه درس. مشق شب.

1. لحظه سازماندهی (2 دقیقه)

معلم به حضار سلام می کند، موضوع درس و برنامه کاری را اعلام می کند.

2. الف) تجزیه و تحلیل تکالیف (5 دقیقه.)

هدف بررسی عملکرد است. یک اثر با کمک دوربین فیلمبرداری روی صفحه نمایش داده می شود، بقیه به صورت انتخابی برای بررسی معلم جمع آوری می شوند.

ب) تجزیه و تحلیل کار مستقل (3 دقیقه)

هدف این است که اشتباهات را مرتب کنید، راه هایی را برای غلبه بر آنها نشان دهید.

در صفحه نمایش پاسخ ها و راه حل ها، دانش آموزان کار خود را از قبل منتشر کرده اند. تحلیل به سرعت پیش می رود.

3. تکرار روشهای حل معادلات مثلثاتی (5 دقیقه)

هدف، یادآوری روش‌هایی برای حل معادلات مثلثاتی است.

از دانش آموزان بپرسید که چه روش هایی برای حل معادلات مثلثاتی می دانند. تاکید کنید که روش های به اصطلاح اساسی (متداول مورد استفاده) وجود دارد:

• جایگزینی متغیر،
• فاکتورسازی،
• معادلات همگن،

و روش های کاربردی وجود دارد:

• با توجه به فرمول های تبدیل جمع به حاصل و حاصلضرب به جمع،
• با فرمول های کاهش،
• جایگزینی مثلثاتی جهانی
• معرفی یک زاویه کمکی،
• ضرب در یک تابع مثلثاتی

همچنین لازم به ذکر است که یک معادله را می توان به روش های مختلف حل کرد.

4. حل معادلات مثلثاتی (30 دقیقه)

هدف تعمیم و تجمیع دانش و مهارت در این موضوع، برای آماده شدن برای حل C1 از USE است.

حل معادلات هر روش را به همراه دانش آموزان به مصلحت می دانم.

دانش آموز راه حل را دیکته می کند، معلم روی تبلت می نویسد، کل فرآیند روی صفحه نمایش داده می شود. این به شما این امکان را می دهد که به سرعت و کارآمد مطالبی را که قبلاً پوشش داده شده است در حافظه خود بازیابی کنید.

حل معادلات:

1) تغییر متغیر 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) فاکتورسازی 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) معادلات همگن sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) تبدیل مجموع به حاصل ضرب cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) تبدیل محصول به مجموع 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) کاهش درجه sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0.5

7) جایگزینی مثلثاتی جهانی sinx + 5cosx + 5 = 0.

هنگام حل این معادله، باید توجه داشت که استفاده از این روش منجر به باریک شدن دامنه تعریف می شود، زیرا سینوس و کسینوس با tg(x/2) جایگزین می شوند. بنابراین، قبل از نوشتن پاسخ، لازم است بررسی کنید که آیا اعداد از مجموعه π + 2πn، n Z اسب های این معادله هستند یا خیر.

8) معرفی یک زاویه کمکی √3sinx + cosx - √2 = 0

9) ضرب در یک تابع مثلثاتی cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. انتخاب ریشه معادلات مثلثاتی (20 دقیقه)

از آنجایی که در شرایط رقابت شدید هنگام ورود به دانشگاه ها، حل یک قسمت اول امتحان کافی نیست، بیشتر دانشجویان باید به وظایف قسمت دوم (C1، C2، C3) توجه کنند.

بنابراین، هدف از این مرحله از درس، یادآوری مطالب قبلاً مطالعه شده، برای آماده شدن برای حل مسئله C1 از USE در سال 2011 است.

معادلات مثلثاتی وجود دارد که هنگام نوشتن پاسخ باید ریشه ها را انتخاب کنید. این به دلیل برخی محدودیت ها است، به عنوان مثال: مخرج کسری برابر با صفر نیست، عبارت زیر ریشه یک درجه زوج غیر منفی است، عبارت زیر علامت لگاریتم مثبت است و غیره.

این گونه معادلات معادلات با پیچیدگی افزایش یافته در نظر گرفته می شوند و در نسخه USE در قسمت دوم یعنی C1 قرار دارند.

معادله را حل کنید:

کسر صفر است اگر آن وقت با استفاده از دایره واحد، ریشه ها را انتخاب می کنیم (شکل 1 را ببینید)

تصویر 1.

x = π + 2πn، n Z را دریافت می کنیم

پاسخ: π + 2πn، n Z

در صفحه، انتخاب ریشه ها روی یک دایره در یک تصویر رنگی نشان داده شده است.

زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است و کمان در عین حال معنای خود را از دست نمی دهد. سپس

با استفاده از دایره واحد، ریشه ها را انتخاب کنید (شکل 2 را ببینید)

شکل 2.

5)

بریم سراغ سیستم:

در اولین معادله سیستم، ثبت تغییرات را 2 (sinx) = y می کنیم، سپس معادله را به دست می آوریم. ، بازگشت به سیستم

با استفاده از دایره واحد، ریشه ها را انتخاب می کنیم (شکل 5 را ببینید)،

شکل 5

6. کار مستقل (15 دقیقه)

هدف ادغام و بررسی یکسان سازی مطالب، شناسایی خطاها و ترسیم راه های اصلاح آنها است.

این اثر در سه نسخه ارائه شده است که از قبل به صورت چاپی و به انتخاب دانشجویان تهیه شده است.

معادلات را می توان به هر طریقی حل کرد.

گزینه برای "3"

حل معادلات:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

گزینه برای "4"

حل معادلات:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

گزینه برای "5"

حل معادلات:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. خلاصه درس، تکلیف (5 دقیقه)

معلم درس را خلاصه می کند، یک بار دیگر توجه را به این واقعیت جلب می کند که معادله مثلثاتی را می توان به چندین روش حل کرد. اکثر بهترین راهبرای دستیابی به یک نتیجه سریع، آن چیزی است که توسط یک دانش آموز خاص به بهترین شکل یاد می شود.

هنگام آماده شدن برای امتحان، باید به طور سیستماتیک فرمول ها و روش های حل معادلات را تکرار کنید.

تکالیف (از قبل به صورت چاپی تهیه شده) توزیع شده و راه های حل برخی از معادلات توضیح داده شده است.

حل معادلات:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) گناه 2 x + گناه 2 2x - گناه 2 3x - گناه 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

ورونکووا اولگا ایوانونا

MBOU "دبیرستان

شماره 18"

انگلس، منطقه ساراتوف.

معلم ریاضی.

"عبارات مثلثاتی و تبدیل آنها"

مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

فصل 1 طبقه بندی وظایف برای استفاده از تبدیل عبارات مثلثاتی ………………………………………………………………….5

1.1. وظایف محاسباتی مقادیر عبارات مثلثاتی……….5

1.2.وظایف ساده سازی عبارات مثلثاتی .... 7

1.3. وظایف تبدیل عبارات مثلثاتی عددی ... ..7

1.4 وظایف مختلط…………………………………………………………….

فصل 2

2.1 تکرار موضوعی در کلاس 10……………………………………………………………………

آزمون 1………………………………………………………………………………..12

آزمون 2………………………………………………………………………………..13

تست 3………………………………………………………………………………..14

2.2 تکرار نهایی در پایه 11……………………………………………………………………………………

آزمون 1………………………………………………………………………………………..17

تست 2…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

آزمون 3……………………………………………………………………………..18

نتیجه گیری………………………………………………………………………………………………………………………………

فهرست ادبیات استفاده شده……………………………………………….20

مقدمه.

در شرایط امروز مهم ترین سوال این است: "چگونه می توان به رفع برخی خلاءهای دانش دانش آموزان کمک کرد و آنها را از اشتباهات احتمالی در امتحان برحذر داشت؟" برای حل این مسئله، لازم است از دانش آموزان نه جذب رسمی مطالب برنامه، بلکه درک عمیق و آگاهانه آن، توسعه سرعت محاسبات شفاهی و تحولات و همچنین توسعه مهارت های حل ساده ترین مطالب حاصل شود. مشکلات "در ذهن". لازم است دانش آموزان را متقاعد کرد که تنها در صورت حضور یک موقعیت فعال، در مطالعه ریاضی، مشروط به کسب مهارت های عملی و استفاده از آنها، می توان روی موفقیت واقعی حساب کرد. لازم است از هر فرصتی برای آمادگی برای امتحان، از جمله دروس انتخابی در پایه های 10-11، برای تجزیه و تحلیل منظم وظایف پیچیده با دانش آموزان، انتخاب منطقی ترین راه برای حل آنها در کلاس و کلاس های اضافی استفاده شود.نتیجه مثبت درحوزه حل مسائل معمولی را می توان در صورتی به دست آورد که معلمان ریاضی با ایجادآموزش پایه خوب دانش آموزان، جستجوی راه های جدید در حل مشکلاتی که پیش روی ما باز شده است، به طور فعال آزمایش می کنیم، از فن آوری های آموزشی مدرن، روش ها، تکنیک هایی استفاده می کنیم که شرایط مطلوبی را برای خود تحقق بخشی و خودمختاری موثر دانش آموزان ایجاد می کند. شرایط اجتماعی جدید

مثلثات - جزءدرس ریاضی مدرسه دانش خوب و مهارت های قوی در مثلثات گواه سطح کافی از فرهنگ ریاضی، شرط ضروری برای مطالعه موفقیت آمیز ریاضیات، فیزیک و تعدادی از فنون است.رشته ها

مرتبط بودن کار. بخش قابل توجهی از فارغ التحصیلان مدرسه سال به سال آمادگی بسیار ضعیفی را در این بخش مهم از ریاضیات نشان می دهند، همانطور که نتایج سال های گذشته نشان می دهد (درصد تکمیل در سال 2011-48.41٪، 2012-51.05٪)، از زمان تجزیه و تحلیل قبولی آزمون یکپارچه ایالتی نشان داد که دانش آموزان هنگام انجام تکالیف این بخش خاص اشتباهات زیادی مرتکب می شوند یا اصلاً چنین تکالیفی را انجام نمی دهند. در یک آزمون دولتیسوالات مربوط به مثلثات تقریباً در سه نوع کار یافت می شود. این حل ساده ترین معادلات مثلثاتی در کار B5 و کار با عبارات مثلثاتی در کار B7 و مطالعه است. توابع مثلثاتیدر کار B14، و همچنین کار B12، که در آن فرمول هایی وجود دارد که پدیده های فیزیکی را توصیف می کند و حاوی توابع مثلثاتی است. و این تنها بخشی از وظایف B است! اما معادلات مثلثاتی مورد علاقه با انتخاب ریشه های C1 و وظایف هندسی "نه چندان مورد علاقه" C2 و C4 نیز وجود دارد.

هدف، واقعگرایانه. تجزیه و تحلیل از مواد استفاده کنیدوظایف B7 که به تبدیل عبارات مثلثاتی اختصاص دارد و وظایف را بر اساس شکل ارائه آنها در آزمون ها طبقه بندی می کند.

این اثر از دو فصل مقدمه و خاتمه تشکیل شده است. مقدمه بر ارتباط کار تأکید دارد. فصل اول یک طبقه بندی از وظایف برای استفاده از تبدیل عبارات مثلثاتی در آزمون ارائه می دهد از تکالیف استفاده کنید(2012).

در فصل دوم، سازماندهی تکرار مبحث «تحول عبارات مثلثاتی» در پایه های 10، 11 در نظر گرفته شده و تست هایی در این زمینه تدوین شده است.

فهرست منابع شامل 17 منبع است.

فصل 1. طبقه بندی وظایف برای استفاده از تبدیل عبارات مثلثاتی.

مطابق با استاندارد آموزش متوسطه (کامل) و الزامات سطح آموزش دانش آموزان، وظایف دانش مبانی مثلثات در کدنویس الزامات گنجانده شده است.

یادگیری اصول مثلثات زمانی موثر خواهد بود که:

دانش آموزان انگیزه مثبتی برای تکرار مطالبی که قبلا مطالعه کرده اند، خواهند داشت.

که در فرآیند آموزشییک رویکرد شخص محور اجرا خواهد شد.

سیستمی از وظایف اعمال خواهد شد که به گسترش، تعمیق، نظام مند کردن دانش دانش آموزان کمک می کند.

فن آوری های آموزشی پیشرفته استفاده خواهد شد.

پس از تجزیه و تحلیل ادبیات و منابع اینترنتی برای آماده شدن برای امتحان، یکی از طبقه بندی های ممکن وظایف B7 (KIM USE 2012-مثلثات) را پیشنهاد کرده ایم: وظایف برای محاسبهمقادیر عبارات مثلثاتی؛ تکالیف برایتبدیل عبارات مثلثاتی عددی. تکالیف برای تبدیل عبارات مثلثاتی تحت اللفظی؛ وظایف مختلط

1.1. وظایف محاسباتی مقادیر عبارات مثلثاتی

یکی از رایج ترین انواع مسائل مثلثاتی ساده، محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی با مقدار یکی از آنهاست:

الف) استفاده از هویت مثلثاتی پایه و پیامدهای آن.

مثال 1 . پیدا کنید اگر
و
.

تصمیم.
,
,

زیرا ، سپس
.

پاسخ.

مثال 2 . پیدا کردن
، اگر
و .

تصمیم.
,
,
.

زیرا ، سپس
.

پاسخ. .

ب) استفاده از فرمول های دو زاویه.

مثال 3 . پیدا کردن
، اگر
.

تصمیم. ، .

پاسخ.
.

مثال 4 . مقدار یک عبارت را پیدا کنید
.

تصمیم. .

پاسخ.
.

1. پیدا کردن ، اگر
و
. پاسخ. -0.2

2. پیدا کردن ، اگر
و
. پاسخ. 0.4

3. پیدا کردن
، اگر . پاسخ. -12.884. پیدا کردن
، اگر
. پاسخ. -0.845. مقدار عبارت را پیدا کنید:
. پاسخ. 66. مقدار یک عبارت را پیدا کنید
.پاسخ. -نوزده

1.2.وظایف برای ساده سازی عبارات مثلثاتی. فرمول‌های کاهش باید به خوبی توسط دانش‌آموزان تسلط داشته باشند، زیرا بیشتر در درس‌های هندسه، فیزیک و سایر رشته‌های مرتبط استفاده خواهند شد.

مثال 5 . ساده سازی عبارات
.

تصمیم. .

پاسخ.
.

وظایف برای راه حل مستقل:

1. بیان را ساده کنید
. پاسخ. 0.62. پیدا کردن
، اگر
و. پاسخ. 10.563. مقدار یک عبارت را پیدا کنید
، اگر
. پاسخ. 2

1.3. وظایف تبدیل عبارات مثلثاتی عددی.

هنگام توسعه مهارت ها و توانایی های وظایف برای تبدیل عبارات مثلثاتی عددی، باید به دانش جدول مقادیر توابع مثلثاتی، ویژگی های برابری و تناوب توابع مثلثاتی توجه شود.

الف) استفاده از مقادیر دقیق توابع مثلثاتی برای برخی زوایا.

مثال 6 . محاسبه
.

تصمیم.
.

پاسخ.
.

ب) استفاده از خصوصیات برابری توابع مثلثاتی

مثال 7 . محاسبه
.

تصمیم. .

پاسخ.

که در) استفاده از ویژگی های دوره ایتوابع مثلثاتی

مثال 8 . مقدار یک عبارت را پیدا کنید
.

تصمیم. .

پاسخ.
.

وظایف برای راه حل مستقل:

1. مقدار یک عبارت را پیدا کنید
. پاسخ. -40.52. مقدار عبارت را بیابید
. پاسخ. 17

3. مقدار یک عبارت را پیدا کنید
. پاسخ. 6

. پاسخ. -24
پاسخ. -64

1.4 وظایف مختلط

فرم آزمون گواهینامه دارای ویژگی های بسیار قابل توجهی است، بنابراین توجه به وظایف مرتبط با استفاده از چندین فرمول مثلثاتی به طور همزمان مهم است.

مثال 9 پیدا کردن
، اگر
.

تصمیم.
.

پاسخ.
.

مثال 10 . پیدا کردن
، اگر
و
.

تصمیم. .

زیرا ، سپس
.

پاسخ.
.

مثال 11. پیدا کردن
، اگر .

تصمیم. , ,
,
,
,
,
.

پاسخ.

مثال 12. محاسبه
.

تصمیم. .

پاسخ.
.

مثال 13 مقدار یک عبارت را پیدا کنید
، اگر
.

تصمیم. .

پاسخ.
.

وظایف برای راه حل مستقل:

1. پیدا کردن
، اگر
. پاسخ. -1.75
2. پیدا کردن
، اگر
. پاسخ. 33. پیدا کنید
، اگر .پاسخ. 0.254. مقدار عبارت را بیابید
، اگر
. پاسخ. 0.35. مقدار عبارت را بیابید
، اگر
. پاسخ. پنج

فصل 2. سازماندهی جنبه های روش شناختی تکرار نهایی مبحث "تحول عبارات مثلثاتی".

یکی از مهم ترین مسائلی که به بهبود عملکرد تحصیلی کمک می کند، دستیابی به دانش عمیق و مستحکم در بین دانش آموزان، موضوع تکرار مطالبی است که قبلاً مطالعه شده اند. تمرین نشان می دهد که در کلاس دهم سازماندهی یک تکرار موضوعی مصلحت تر است. در کلاس یازدهم - تکرار نهایی.

2.1. تکرار موضوعی در پایه دهم.

در فرآیند کار بر روی مطالب ریاضی، تکرار هر مبحث تکمیل شده یا یک بخش کامل از دوره اهمیت ویژه ای پیدا می کند.

با تکرار موضوعی، دانش دانش آموزان در مورد موضوع در آخرین مرحله عبور یا پس از استراحت، سیستماتیک می شود.

برای تکرار موضوعی، دروس ویژه ای اختصاص داده می شود که بر روی آن مطالب یک موضوع خاص متمرکز و تعمیم می یابد.

تکرار در درس از طریق گفتگو با مشارکت گسترده دانش آموزان در این گفتگو انجام می شود. پس از آن، به دانش آموزان وظیفه داده می شود تا موضوع خاصی را تکرار کنند و به آنها هشدار داده می شود که روی تست ها کار اعتباری انجام می شود.

آزمون یک موضوع باید شامل تمام سوالات اصلی آن باشد. پس از اتمام کار، خطاهای مشخصه تجزیه و تحلیل می شوند و تکراری برای حذف آنها سازماندهی می شود.

برای درس های تکرار موضوعی، ما توسعه یافته را ارائه می دهیم اوراق تستدر قالب آزمونبا موضوع "تبدیل عبارات مثلثاتی".

تست شماره 1

تست شماره 2

تست شماره 3

جدول پاسخ

تست

2.2. تکرار پایانی در کلاس یازدهم.

تکرار نهایی در مرحله نهایی مطالعه موضوعات اصلی درس ریاضیات انجام می شود و در ارتباط منطقی با مطالعه مطالب آموزشی برای این بخش یا دوره به طور کلی انجام می شود.

تکرار نهایی مطالب آموزشی دارای اهداف زیر است:

1. فعال سازی مواد کل دوره آموزشی برای روشن شدن ساختار منطقی آن و ایجاد سیستمی در درون روابط موضوعی و بین موضوعی.

2. تعمیق و در صورت امکان گسترش دانش دانشجویان در مورد مسائل اصلی درس در فرآیند تکرار.

در زمینه امتحان اجباری در ریاضیات برای همه فارغ التحصیلان، معرفی تدریجی USE باعث می شود معلمان رویکرد جدیدی را برای آماده سازی و اجرای دروس اتخاذ کنند، با در نظر گرفتن نیاز به اطمینان از تسلط همه دانش آموزان بر مواد آموزشی در سطح پایه، و همچنین فرصتی برای دانشجویان با انگیزه و علاقه مند به کسب نمرات بالا برای پذیرش در دانشگاه، پیشرفت پویا در تسلط بر مطالب در سطح فزاینده و بالا.

در درس های تکرار نهایی می توانید کارهای زیر را در نظر بگیرید:

مثال 1 . مقدار عبارت را محاسبه کنید.تصمیم. =
= =
=
=
=
=0,5. پاسخ. 0.5. مثال 2 بزرگترین مقدار صحیحی که عبارت می تواند بگیرد را مشخص کنید
.

تصمیم. مانند
می تواند هر مقدار متعلق به بخش [–1; 1]، سپس
هر مقدار از بخش [-0.4; 0.4]، بنابراین. مقدار صحیح عبارت یک است - عدد 4.

پاسخ: 4 مثال 3 . بیان را ساده کنید
.

راه حل: از فرمول فاکتورگیری مجموع مکعب ها استفاده می کنیم: . ما داریم

ما داریم:
.

پاسخ 1

مثال 4 محاسبه
.

تصمیم. .

پاسخ: 0.28

برای درس های تکرار نهایی، تست های توسعه یافته با موضوع "تبدیل عبارات مثلثاتی" را ارائه می دهیم.

بزرگترین عدد صحیح را که از 1 تجاوز نکند مشخص کنید

نتیجه.

با بررسی ادبیات روش شناختی مربوطه در مورد این موضوع، می توان نتیجه گرفت که توانایی و مهارت در حل تکالیف مربوط به تبدیل های مثلثاتی در دوره مدرسهریاضیات خیلی مهمه

در طول کار انجام شده، طبقه بندی وظایف B7 انجام شد. فرمول های مثلثاتی که بیشتر در CMM های سال 2012 استفاده می شود در نظر گرفته شده است. نمونه هایی از وظایف همراه با راه حل آورده شده است. تست‌های متفاوتی برای سازماندهی تکرار و نظام‌بندی دانش در آمادگی برای امتحان ایجاد شده‌اند.

توصیه می شود کار آغاز شده را با در نظر گرفتن ادامه دهید حل ساده ترین معادلات مثلثاتی در کار B5، مطالعه توابع مثلثاتی در کار B14، کار B12، که در آن فرمول هایی برای توصیف پدیده های فیزیکی و حاوی توابع مثلثاتی وجود دارد.

در پایان، من می خواهم توجه داشته باشم که اثربخشی قبولی در امتحانتا حد زیادی با چگونگی سازماندهی مؤثر فرآیند آموزش در همه سطوح آموزش و پرورش با همه دسته های دانش آموزان تعیین می شود. و اگر بتوانیم استقلال، مسئولیت پذیری و آمادگی دانش آموزان را برای ادامه یادگیری در طول زندگی بعدی خود شکل دهیم، نه تنها دستور دولت و جامعه را انجام خواهیم داد، بلکه عزت نفس خود را نیز افزایش خواهیم داد.

تکرار مطالب آموزشی مستلزم کار خلاقانه معلم است. او باید ارتباط روشنی بین انواع تکرار فراهم کند، یک سیستم عمیقاً فکر شده تکرار را اجرا کند. تسلط بر هنر سازماندهی تکرار وظیفه معلم است. قدرت دانش دانش آموزان تا حد زیادی به راه حل آن بستگی دارد.

ادبیات.

ویگودسکی یا.یا.، کتابچه راهنمای ریاضیات ابتدایی. -M.: Nauka، 1970.

وظایف افزایش دشواری در جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای کلاس های 10-11 دبیرستان/ B.M. ایولف، A.M. آبراموف، یو.پی. دودنیتسین، اس.آی. شوارتزبرد. - م.: روشنگری، 1990.

استفاده از فرمول های مثلثاتی پایه برای تبدیل عبارات (پایه 10) // جشنواره ایده های آموزشی. 2012-2013.

کوریانوف A.G. ، پروکوفیف A.A. ما دانش آموزان خوب و دانش آموزان ممتاز را برای امتحان آماده می کنیم. - م.: دانشگاه علوم تربیتی "اول شهریور"، 1391.- 103 ص.

کوزنتسوا E.N.ساده سازی عبارات مثلثاتی. حل معادلات مثلثاتی روش های مختلف(آمادگی برای امتحان). کلاس 11 ام. 2012-2013.

Kulanin E.D. 3000 مسئله رقابتی در ریاضیات. شناسه چهارم، درست است. و اضافی - M.: Rolf، 2000.

موردکوویچ A.G. مشکلات روشی مطالعه مثلثات در مدرسه آموزش عمومی // ریاضیات در مدرسه. 2002. شماره 6.

Pichurin L.F. درباره مثلثات و نه تنها درباره آن: -M. روشنگری، 1985

Reshetnikov N.N. مثلثات در مدرسه: -M. : دانشگاه علوم تربیتی "اول شهریور"، 1385، lk 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. ریاضیات. جبر. شروع تجزیه و تحلیل ریاضی سطح مشخصات: کتاب درسی پایه دهم - M .: BINOM. آزمایشگاه دانش، 2007.

پورتال آموزشی برای آمادگی در آزمون.

آماده شدن برای امتحان ریاضی "اوه، این مثلثات! http://festival.1september.ru/articles/621971/

پروژه "ریاضی؟ آسان!!!" http://www.resolventa.ru/

AT تحولات یکسان عبارات مثلثاتیاز ترفندهای جبری زیر می توان استفاده کرد: جمع و تفریق عبارت های یکسان. خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز ضرب و تقسیم بر یک مقدار؛ استفاده از فرمول های ضرب مختصر؛ انتخاب یک مربع کامل؛ فاکتورسازی یک مثلث مربع; معرفی متغیرهای جدید برای ساده سازی تبدیل.

هنگام تبدیل عبارات مثلثاتی حاوی کسر، می توانید از خواص نسبت استفاده کنید، کسرها را کاهش دهید، یا کسرها را به مخرج مشترک. علاوه بر این، می توانید از انتخاب قسمت صحیح کسر استفاده کنید و صورت و مخرج کسر را در یک مقدار ضرب کنید و همچنین در صورت امکان، یکنواختی صورت یا مخرج را در نظر بگیرید. در صورت لزوم، می توانید یک کسر را به صورت مجموع یا تفاضل چند کسر ساده تر نشان دهید.

علاوه بر این، با استفاده از تمام روش های لازم برای تبدیل عبارات مثلثاتی، باید به طور مداوم مساحت را در نظر گرفت. مقادیر مجازعبارات تبدیل شده

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 1

محاسبه A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x - 7π /2) +
+ گناه (3π/2 - x) گناه (2x -5π/2)) 2

تصمیم.

از فرمول های کاهش نتیجه می شود:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x. cos (3π - x) \u003d -cos x;

گناه (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x؛ cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x؛ cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

گناه (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

از این رو، به واسطه فرمول های جمع آرگومان ها و هویت مثلثاتی پایه، به دست می آوریم

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= گناه 2 3x + cos 2 3x = 1

پاسخ 1.

مثال 2

عبارت M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ را به یک محصول تبدیل کنید.

تصمیم.

از فرمول های جمع آرگومان ها و فرمول های تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به حاصل ضرب، پس از گروه بندی مناسب، داریم.

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β - γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β - γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β - γ)/2) - (α + (β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

پاسخ: M = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

مثال 3.

نشان دهید که عبارت A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) برای همه x از R یک می گیرد. و همین مقدار این مقدار را پیدا کنید.

تصمیم.

ما دو روش برای حل این مشکل ارائه می دهیم. با استفاده از روش اول، با جداسازی مربع کامل و استفاده از فرمول های مثلثاتی اولیه مربوطه، به دست می آوریم.

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2 (cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

حل مسئله به روش دوم، A ​​را تابعی از x از R در نظر بگیرید و مشتق آن را محاسبه کنید. پس از تحولات، می گیریم

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

از این رو، با توجه به معیار ثبات یک تابع قابل تمایز در یک بازه، نتیجه می گیریم که

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4، x ∈ R.

پاسخ: A = 3/4 برای x € R.

روشهای اصلی اثبات هویت مثلثاتی عبارتند از:

آ)کاهش سمت چپ هویت به سمت راست با تبدیل مناسب.
ب)کاهش سمت راست هویت به سمت چپ؛
که در)کاهش قسمت راست و چپ هویت به یک شکل.
ز)کاهش به صفر تفاوت بین قسمت چپ و راست هویت در حال اثبات است.

مثال 4

بررسی کنید که cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

تصمیم.

تبدیل سمت راست این هویت با توجه به فرمول های مثلثاتی مربوطه، داریم

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) - (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

سمت راست هویت به سمت چپ کاهش می یابد.

مثال 5

ثابت کنید که sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 اگر α، β، γ زوایای داخلی یک مثلث باشند.

تصمیم.

با توجه به اینکه α، β، γ زوایای داخلی یک مثلث هستند، آن را بدست می آوریم

α + β + γ = π و از این رو γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

برابری اصلی ثابت شده است.

مثال 6

ثابت کنید برای اینکه یکی از زوایای α، β، γ مثلث برابر با 60 درجه باشد، لازم و کافی است که sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 باشد.

تصمیم.

شرط این مشکل، ثبوت وجوب و کفایت را هم مستلزم دارد.

ابتدا ثابت می کنیم ضرورت.

می توان نشان داد که

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

بنابراین، با در نظر گرفتن cos (3/2 60°) = cos 90° = 0، به دست می آوریم که اگر یکی از زوایای α، β یا γ برابر با 60 درجه باشد، پس

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 و از این رو sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

حالا ثابت کنیم کفایتشرایط مشخص شده

اگر sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0، پس cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0، و بنابراین

یا cos (3α/2) = 0، یا cos (3β/2) = 0، یا cos (3γ/2) = 0.

در نتیجه،

یا 3α/2 = π/2 + πk، یعنی. α = π/3 + 2πk/3،

یا 3β/2 = π/2 + πk، یعنی. β = π/3 + 2πk/3،

یا 3γ/2 = π/2 + πk،

آن ها γ = π/3 + 2πk/3، که در آن k ε Z.

از اینکه α، β، γ زوایای یک مثلث هستند، داریم

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

بنابراین، برای α = π/3 + 2πk/3 یا β = π/3 + 2πk/3 یا

γ = π/3 + 2πk/3 از همه kϵZ فقط k = 0 مناسب است.

از این رو چنین است که یا α = π/3 = 60 درجه، یا β = π/3 = 60 درجه، یا γ = π/3 = 60 درجه.

ادعا ثابت شده است.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه عبارات مثلثاتی را ساده کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.